2025中考数学专项复习：反比例函数常见几何模型归纳（七大模型）含答案

2025中考数学专项复习反比例函数常见几何模型归纳

（七大模型）

反比例期数常见几何模饕归纳（七大模型）

考点归纳

【模型1：定值矩形与定值三角形】

【模型2：平行线之间的定值三角形】

【模型3："重叠型”定值矩形/定值三角形】

【模型4：”喇叭三角形”】

【模型5：中点模型】

【模型6：比例模型】

【模型7：相等模型】

考点精讲

【模型1：定值矩形与定值三角形】

【方法点拨】

1.如图，在平面直角坐标系心中，点P在反比例函数厂珠的图象上，过点P作口j轴，出U轴,

垂足分别为则矩形AOBP的面积是（）

2.如图，点4是反比例函数“=—9（/<0）的图象上的一点，过点A作平行四边形使8、C在宓轴

上，点。在4轴上,则平行四边形ABCD的面积为（）

A.2B.4C.6D.8

3.如图，人、8是反比例函数夕="（卜¥0）的图象上两点，点C、D、E、尸分别在坐标轴上，若正方形

X

OCAD的面积为6，则矩形OEBF的面积为.

4.如图是反比例函数夕=--在第二象限内的图象，则图中矩形BCOA的面积为------

【模型2：平行线之间的定值三角形】

【方法点拨】

5.如图,是反比例函数片亳和kU在,轴上方的图象轴的平行线的分别与这两个函数图象相

交于点4,8,则△AO8的面积是（

A.7B.14D.28

6.已知反比例函数9=一@（名<0）与g=2（%>0）的图象如图所示，过g轴正半轴上的任意一点P作力轴;

xx:

________________________V

的平行线，分别与这两个函数的图象交于双，N两点.若点人是立轴上的任意一点，连接则

7.如图，在函数夕=2(必>0)的图象上任取一点A,过点A作9轴的垂线交函数0=—■—(a;<0)的图象于

点8,连接。4、OB,则△AOB的面积是

8.如图，8、。两点分别在函数沙=旦(必>0)和夕=—2(c<0)的图象上，线段夕轴，点4在2轴上,

XX

则△AbC的面积为.

【模型3："重叠型”定值矩形/定值三角形】

【方法点拨】

S是杉dSCQ=I左！一k?I

9.如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数行号的图像上，且〃2轴，点C.D\

在刀轴上，若四边形ABCD为长方形,则它的面积为.

♦

y,

10.如图，点A、B分别是反比例函数夕=在（工＞0）的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形

X

ACEG的面积记作S，四边形BFDG的面积记作S2,则⑸S2（填＞、＜或=）.

11.如图，平行于刀轴的直线z与函数0=@3＞0）和0=23＞0）的图象分别相交于两点，分别连接

xx

AO.80,则/\ABO的面积为

12.如图，点a在双曲线“=!

【模型4「喇叭三角形”】

【方法点拨】

•92MOEV四边形E5DC'

I,，.

③SOAB=S梯於CDB=；（Ac+80xCD。

13.如图，点A,B,在反比例函数"=*的图象上，连接。4,。口,分别过点4B作力轴的垂线，垂足分别

14.如图是一个反比例函数（C>0）的图象，点4（2,4）在图象上，轴于C,当点A运动到图象上的

点B（4,2）处，/轴于DA4OC与△60。重叠部分的面积为（）

15.如图，过反比例函数夕=号廿>0）的图象上任意两点人、B分别作①轴的垂线，垂足分别为C、。,连接

0408,设△49C和△BOD的面积分别是Si、S2,比较它们的大小，可得（）

。k产£

A.Si>SB.$=52C.S1<S2D.大小关系不能确定

2____F

16.如图,在第一象限内，点P（2,3），Ma,2）是双曲线“若”。）上的两点,MU轴于点4MBU

【模型5：中点模型】

【方法点拨】

条件：A/B两点分别位y=—上不同两点，延长AB交2轴与点尸，B位人尸的中点

X

结论：

①上ACF-▲BDF，且相似比为缥=±。本质为6。+▲ACF中位线

AF2

②C、。为线段。尸的三等分，即OC=CD=DF

③为OAB=S^OAF~

④S\0AB—S四边形48^=S^BDF=2：3：1

17.如图，48是双曲线2/=在上的两个点,过点人作47,2轴,交0口于点。,垂足为。,若40。。的面

X

积为义，。为OB的中点，则k的值为（）

A.4

18.如图是双曲线””上的两点，过A点作U①轴，交于。点,，垂足为C,连接。4,若

/\ADO的面积为1,。为OB的中点，则看的值为（）

【模型6：比例模型】

【方法点拨】

条件：M是点反比例函数"="上一点，且满足翌=给定值（如m）,S3=给定值（比如m），AB

x（JA

与力轴交反比例与。点；

结论:作与X轴交于H,连接MC,OC,如上右图所示

①S^ACM~SbOMC~4M:OM,

②OAffl-▲O4B,且相似比为TV=给定值小

C7A

③心膏?S^OMHSbOMH

SbOABSA4V/C+S/^OMC-\-SbOBC

19.如图,矩形。他C的对角线与反比例函数"=}/＞。）相交于点，且黑7,则矩形

的面积为（）

A.25

20.如图，已知双曲线y=，k>0）经过直角三角形。4b斜边OB的中点。，与直角边AB相交于点C.

若△OBC的面积为3,则k值是（）

1

A.3B.2C.4D.4

21.如图，双曲线片］与△O4B交于点4

。，已知48,。三点横坐标的比为5：5：2,且SAO.=21,则

k=.

22.如图‘双曲线"咛经过放谶℃斜边上的点4且满足彩二=］,与交于点。，SABOD=24,则k

【模型7：相等模型】

【方法点拨］

条件:一函数,=自尤+6与反比例函数U=&交于点A和点8

X

结论:①=

②SXODB=S&OAC

③过点B作BE，刀轴，作轴，则。后=尸。

23.如图，反比例函数"="0¥0）经过4B两点，分别过48作刀轴的垂线水7、瓦9,垂足分别为C、。,

X

连接49,连接80交AC于点E,若△AEO的面积为3,则四边形8DCE的面积是（）

24.如图，点在反比例函数厂争勺图象上，4口的纵坐标分别是2和4,连接。4。吐则△。的的

面积是.

4

25.如图，双曲线"="经过点A（2,2）、5（4,巾），则△AOB的面积为

X

r

反比例期数常为几何模饕归纳（七大模鳖）

考点归纳

【模型1:定值矩形与定值三角形】

【模型2：平行线之间的定值三角形】

【模型3："重叠型”定值矩形/定值三角形】

【模型4：”喇叭三角形”】

【模型5:中点模型】

【模型6：比例模型】

【模型7：相等模型】

考点精讲

【模型1:定值矩形与定值三角形】

【方法点拨】

1.如图，在平面直角坐标系心中，点P在反比例函数厂珠的图象上，过点P作口j轴，出U轴,

垂足分别为A、B,则矩形AOBP的面积是（）

【答案】。

【分析】本题考查了反比例函数夕="/片0）系数k的几何意义：从反比例函数9=旦（fc^O）图象上任意一

XX

点向力轴和。轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为\k\.因为过双曲线上任意一■点引力轴、g轴垂线，

所得矩形面积S是个定值，即S=|礼据此解答即可.

【详解】解：•.•点P在反比例函数9=2的图象上，过点P作A4，夕轴，PB，2轴，

X

：.矩形4OB尸的面积=|6|=6.

故选：C.

2.如图，点A是反比例函数0=—4（T<0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD,使B、。在

上，点。在沙轴上，则平行四边形ABCD的面积为()

A.2B.4D.8

【答案】B

【分析】本题考查了反比例函数?/=—(fc^O)系数k的几何意义：从反比例函数g="(kWO)图象上任意一点

xx

向/轴和g轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为网.作_LOB于X,根据平行四边形的性质得

AD〃OB,则S平行四边形ABCD=S矩形,再根据反比例函数n=与(kw。)系数k的几何意义得到S矩形=

4|=4,所以有S平行四边.ABCD=4.

【详解】解:作AH，OB于X,如图，

・・・四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//OB,

•*,S平行四边形ABCD=S矩形4HQO,

•.,点A是反比例函数g=—―(a;<0)的图象上的一点、,

S矩形4HOD=I-4|=4,

S平行四边形ZBCD=4.

故选：R

3.如图，4、8是反比例函数沙="(k"0)的图象上两点，点C、D、E、F分别在坐标轴上，若正方形

X

OCAD的面积为6,则矩形OEBF的面积为

【答案】6

【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数k的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常

见的考查点.根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积

S的关系即S=|M，进行解答即可.

■：S^ioCAD=OD-OC=\xA-yA\=|fc|=6,

S长方形OC4D=OE,OF=\xB-yB\=|fc|=6.

故答案为：6.

4.如图是反比例函数y=—£在第二象限内的图象，则图中矩形BCOA的面积为.

【答案】4

【分析】根据矩形的面积公式除"BCOA=\a-b\=|画，再根据反比例函数的性质解答即可.本题考

查了矩形的面积公式，反比例函数的性质，熟练运用反比例函数的性质是解题的关键.

【详解】解:设点B(a,b),

四边形3coA是矩形，

AB—|a|,BC—\b\,

S矩形BCOH=AB•BC—\cL9b\=\ab\,

•・,点_B在反比例函数g=——在图象上，

x

：.a-b=—4,

/.\a-b\=4,

S矩形BCOH=\ab\=4;

故答案为4.

【模型2：平行线之间的定值三角形】

【方法点拨】

5.如图,是反比例函数“=.和"=一.在力轴上方的图象,,轴的平行线分别与这两个函数图象相

交于点则的面积是()

A.7B.14D.28

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可.

【详解】解：•.•2轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A.B,

：.AB_1_y轴，

1,点A、_8在反比例函数g=&和y=——的x轴上方的图象上，

xx

=

S^AOBSMOB+Si1Aoe=了（5+9）=7,

故选：A.

6.已知反比例函数9=—1■(/〈())与4=~|■(力＞0)的图象如图所示，过g轴正半轴上的任意一点P作力轴

的平行线，分别与这两个函数的图象交于河，N两点.若点人是N轴上的任意一点，连接M4,NA,则

SAAMN等于

【答案】4

【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，连接MO,NO,根据MN//x轴可得，SXAMN=S4OMN，进而即可

求解.

•：MN//X轴

|-6|

S^AMN=S&OMN=St^POM+SAPON+2

2

故答案为：4.

7.如图，在函数夕=2(*>0)的图象上任取一点A,过点力作沙轴的垂线交函数“=—33<0)的图象于

XX

点8,连接04、06,则△/OB的面积是.

【答案】5

【分析】根据反比例函数系数％的几何意义进行计算即可.理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的

关键.

【详解】解:如图,

•点>1在函数y=—(a?>0)的图象上,

S&A0C=gx2=1,

又：点B在反比例函数9=——(a;<0)的图象上,

SABOC=万X8=4,

S^AOB-^AAOC+S^BQC=1+4=5,

故答案为：5.

8.如图，8、。两点分别在函数夕=立3>0)和夕=—工3<0)的图象上，线段轴，点A在C轴上,

xx

则△ABC的面积为

【答案】3

【分析】设B(rn,n),则mn=5,结合BC_Ly轴，得到C(——,n),计算BC=m—(——)=m+—，根据平行

\n'vn'n

线间的距离处处相等，得至1△ABC的面积为4BC|遍=](m+：)xn计算即可.

本题考查了反比例函数的性质，平行线间距离处处相等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

【详解】设6（山,九），根据题意，得7rm=5,

•・・BC_Ly轴，

•e•――,

\n）

BC=m—（——）=m+—,

vnJn

根据平行线间的距离处处相等，得到4480的面积为《石。・加|=《（山+!）乂九=4（馆口+1）=3,

22vn72

故答案为：3.

【模型3："重叠型”定值矩形/定值三角形】

【方法点拨】

=IZe,—k]I

9.如图，点/在反比例函数夕=工的图像上，点B在反比例函数4=苴的图像上，且48〃①轴，点C.D

XX

在刀轴上，若四边形ABCD为长方形,则它的面积为.

【答案】2

【分析】此题考查了反比例函数的系数k的几何意义.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形

结合思想的应用.首先延长历1交y轴于点E,易得四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，又由点A在反比

例函数y=工的图像上，点B在反比例函数沙=旦的图像上，即可得ADOE—3,继而求得答

案.

【详解】解:延长A4交9轴于点E,

•/四边形ABCD为矩形，且4B〃a;轴，点。、。在a：轴上,r

AEJ_g轴，

・・・四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，

•.•点A在反比例函数y=上的图像上，点B在反比例函数9=在的图像上,

XX

••S矩形ADOE=1，S矩形BCOE=3,

S矩形4BCD=S矩形BCOE-S矩形/POE=3-1=2.

故答案为：2.

10.如图，点A、口分别是反比例函数,=卷（力>0）的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形

ACEG的面积记作$,四边形BFDG的面积记作S2,则⑸S?（填>、<或=）.

【答案】=

【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数y=反图像中任取一点，过这一个点向立轴和沙

X

轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值同，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这

一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是y\k\,且保持不变.根据反比例函数解析式中k的几何

意义可知S矩形ACOD~S矩形瓦;o尸=3,设S矩形DOEG=他，得出Si=3—m,S?=3—馆，即可得出答案.

【详解】解：•.AB两点在反比例函数夕=彦（0>0）的图像上，

S矩粕ACOD~S矩形BEOF~3,

设S矩形DOEG~m，

/.Si=3—m,$2=3—771,

・・.S1=S2.

故答案为：=.

11.如图，平行于2轴的直线z与函数u=@3>0）和v=2（/>0）的图象分别相交于两点，分别连接

XX

AO,8。,则△ABO的面积为.

【答案】2______/

【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，％的几何意义，设/交0轴于点V,根据反比例函数k的几

何意义，得出S^ABO~~S丛BOM=2,即可求解.

【详解】解:如图，设/交沙轴于点

故答案为：2.

12.如图，点A在双曲线夕=上上，点8在双曲线夕=3上，且〃比轴，则△ABO的面积是

<~r------------------------

【答案】1

【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，延长BA交"轴于。，则AB，9轴，根据反比例函

=

数比例系数的几何意义可得S△力OC=-,S"OC=怖■，则S^oBS^BQ(J—S丛AOC~1•

【详解】解:如图所示，延长BA交沙轴于。，

AB〃z轴,

/.AB_Lg轴，

二•点4在双曲线g=!上，点8在双曲线g=旦上，

xx

••S^AOC~1，SABOC=年，

S^AOB~SABOC-S^AOC=］，

故答案为：1.

____________屈

【模型4："喇叭三角形”】

【方法点拨】

③SOAB=S梯形ACDB=］（AC+3C）XCZ）O

13.如图，点4瓦在反比例函数y=/的图象上，连接0408,分别过点4B作刀轴的垂线,垂足分别

为M,N,图中两块阴影部分面积分别为Si、S2；若Si=1,则祭=.

【答案】2

【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义,熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线,

这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为［■同是解答此题的关键.利用％的几何意义求出

△O4W、/XOBN的面积，然后求出△OCM的面积，利用相似三角形的性质得到S^OCM=（了即可求解.

b^OBN'ON）

【详解】解:设OB交AM■于点。，

­.•分别过点4,B作二轴的垂线，垂足分别为河，N,

—S^OBN~2，

S&OCM~S^OAM-S1=2-1=1，

又:AM//BN,

：.△OCM〜△OBN,

.S^OCM_(OM\2_1

一s△啊二正)一万，

.OM=E

一ON-F，

又•/OM-AM=ON-BN,

.AMON回

••BNOMV,

故答案为：血

14.如图是一个反比例函数（2>0）的图象，点入⑵4）在图象上，AC_L力轴于。，当点人运动到图象上的

【答案】4

【解答】解:如图所示:

・・•点42,4),点石(4,2),A7_L力轴于C,BO_L力轴于D,

・••点。的坐标为(2,0),点。的坐标为(4,0),AC//BD,

・・・△OCE〜△ODB,

.OC=CE

2_GE

即％一工

解得无=1,

即△AO。与△BQD重叠部分的面积为1.

故选：A.

_______________________________

15.如图，过反比例函数夕=，必＞0）的图象上任意两点48分别作工轴的垂线，垂足分别为C、O,连接

。4、。8,设△A9C和△BOD的面积分别是S〉S2,比较它们的大小，可得（）

A.S>S2B.S[=SzD.大小关系不能确定

【答案】8

【解答】解：由于人、5均在反比例函数9=2■的图象上,

且AC_L，轴，BD_L2轴，

,Q

则S1’;

故S1=$2.

故选：B.

16.如图，在第一象限内，点P（2,3）,M（a,2）是双曲线g="（kWO）上的两点，24,力轴于点A,MB，/

x

轴于点8,B4与。河交于点。，则△047的面积为（）

R4

A,—2B-JD-1

【答案】8

【解答】解:把P(2,3),M(a,2)代入g="得k=2x3=2Q,解得fc=6,a=3,

x

设直线O河的解析式为沙=力力，

把M（3,2）代入得3m=2,解得m=,

o

所以直线OM的解析式为y=当力=2时，g=?X2=

ooo

所以。点坐标为（2,[■）,

o

所以△047的面积=1■x2x-^=-1-.

/oo

故选：B.

【模型5：中点模型】

【方法点拨】

条件两点分别位上不同两点，延长此交,轴与点斤m立,的中点

结论:

①上ACF-▲BDF，且相似比为综=［。本质为3。十上ACF中位线

A.r2

②。、。为线段。尸的三等分，即OC=CD=DF

③S、OAB-S&OAF=母网

④Sb0AB=S四边形4a=SkBDF~2：3：1

17.如图,48是双曲线“咛上的两个点,过点入作AC轴，交于点D垂足为C,若△°蛇的面

积为义，。为的中点，则小的值为（）

A.4B.5D.8

【答案】4

•・•轴,

・・・4OCD〜4OEB,

OD\2

OB)

也

又・・・。是OB的中点，4ODC的面积为方,

S^OEB-2=—|fc|,

fc=4.

故选：4

1&如图,46是双曲线"=§上的两点，过4点作/c轴,交。口于，点，垂足为a连接。4,若

△AOO的面积为1,。为OB的中点，则k的值为（）

【答案】B

【解答】解：过点B作BE_L7轴于点E,

•.•。为OB的中点，DCIIBE,

OC=CE,

：.CD是AOBE的中位线，即CD=-^BE.

设4立，国），则B（2c,与），CO=5,AD=总—

xlx4a;x

・・・A4OO的面积为1,

...看4。.℃=1,宗旦—4）出=1,解得k=,

ZJUO

故选：B.

【模型6：比例模型】

【方法点拨】

_____________的

条件：M是点反比例函数沙="上一点，且满足%=给定值(如m)，S^ACM=给定值(比如m),AB

x(JA

与t轴交反比例与C点；

结论:作MH与X轴交于H,连接MC,OC,如上右图所示

①S&ACM=SdOMC=AM:OM,

②OAffl-▲048,且相似比为臭牛=给定值小

2

③7n2=(OM\S'OMHSbOMH

OA',卜0ABS^AMC+S^OMC-\-S&OBC

19.如图，矩形04BC的对角线OB与反比例函数“=2(①>0)相交于点。，且霜=得，则矩形。4BC

的面积为()

A.25B.20D.与

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性

质是解题关键.过点。作DE，04于点E,先证出4ODE〜△OR4,根据相似三角形的性质可得嗯=

室=架=3,再设点。的坐标为。(a,b)(a>0,b>0),从而可得。4=苧,48=半，然后利用矩形的面

ABOB533

积公式计算即可得.

【详解】解:如图，过点。作DE，。4于点E,

・・•四边形O4B。是矩形，

J.BA^OA,

：.ABIIDE,

・・・4ODE〜AOBA,

.OE=DE=OD=3

9，~OA~~AB~~OB~~59

设点。的坐标为0(Q,b)(a>0,b>0),则OE=a,DE=b,

・a_b_3

''~OA~~AB~~59

.•.04=等,43=平，

oo

,点。在反比例函数^二"(力>0),

ab=9,

：.矩形OABC的面积为04・48=粤•粤=^-ab=25,

ooy

故选：A.

20.如图，已知双曲线"=8①>0）经过直角三角形。4B斜边OB的中点。，与直角边AB相交于点C.

X

若△OBC的面积为3,则%值是（）

【答案】B

【解答】解:如图，过。点作DE_L/轴，垂足为E.

•/Rt^OAB中，ZOAB=90°,

：.DE//AB,

■：D为Rt/\OAB斜边OB的中点。,

DE为Rt^OAB的中位线，

•/AOED-AOAB,

.OD_1

"OB

•••双曲线的解析式是y=-^(fc>0),

S^AOC~S^DOE=丁左，

^AOB~4s9OE~2k,

由SMOB~S^AOC=SAOBC=3,得2k-]k=3,

解得k=2.

故选：R

21.如图，双曲线"="与△OAB交于点A,。，已知。三点横坐标的比为5：5：2,且21，则

X

k=8

【答案】见试题解答内容

【解答】解:过点A作2轴于点E,过点。作CD，re轴于点

•：A,B,。三点横坐标的比为5:5:2,

.•.设A、B的横坐标为5a,则。点的横坐标为2a,

S40AB-21,

.-.yAB-5a=21,

二AB=普，

5a

•.•双曲线夕=总与△04B交于点A,C,

X

kk

CD=——,AE=——,OD—2a,OE=5a,

2a5a

：.BE=fc+42

5a

•：CDIIBE,

・・・△OCD〜△OBE,

.CD=OD

9，~BE~~OEf

k

即__但_=2a

k+425d'

5a

解得，fc=8,

故答案为：8.

22.如图，双曲线"等经过电MOC斜边上的点4且满足器与.交于点DS"=24,则%

=16

【答案】见试题解答内容

【解答】解：作45，力轴，

则SMOE~$