2025中考数学专项复习：等积模型-三角形中的重要模型（含答案）

等积模型-三角形中的重要模型2025中考

数学专项复习含答案

三角形中的重要模型一等积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思

想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三角形

中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型,燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析,方便

掌握。

模型1.等积变换基础模型

1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图1,当AB〃则S.D=S的D；反之，如果Ss=Sbb，则可知直线AB〃CD。

2）两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。

如图2,当点。是BC边上的动点时,则5刖：S^DC=BD：DC。

如图3,当点。是BC边上的动点，BEVAD,CF±AD时，则S△迎:S△皿=BE：CF。

网］1（山东省临沂市2023—2024学年八年级月考）如图，是△ABC边AC的中线，点E在BC上，BE=

的面积是3,则△BED的面积是（）

四2（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，是AABC的边AC上的中线，AE是4ABD

的边上的中线，是△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32,则阴影部分的面积是

（）

厕3（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点G为△ABC的重心,D,E,F分别为BC,

CA,AB的中点,具有性质：AG-.GD=BG-.GE=CG-.GF=2:1.已知A4FG的面积为2，则^ABC的面

积为.

94（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，CD是△ABC的一条中线，E

为边上一点且BE=2CE,AE、CD相交于F,四边形BDFE的面积为6，则/XABC的面积是.

题5（2023春・江西萍乡•八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积.

如图1,AD是ZVIB。边3。上的中线，则S△施=SMCD=yS^c.

理由：因为AD是ZVIBC边BC上的中线，所以BO=CD

又因为~^~BDxAH,S&ACD=/CDXAH，所以S^ABD=S^ACD=^^^ABC-

所以三角形中线等分三角形的面积.

基本应用：

在如图2至图4中，△ABC的面积为a.

A

（图1）

•M

E.

（图4）（图5）

⑴如图2,延长4ABC的边BC到点。，使CD=BC,连接DA.若AACD的面积为S,则S1=

（用含a的代数式表示）；

⑵如图3,延长&ABC的边BC到点。，延长边C4到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.若

△DEC的面积为52,则SF（用含a的代数式表示）；

⑶在图3的基础上延长AB到点F,使,连接FD,FE,得到△QEF（如图4）.若阴影部分的面

积为S3，则$3=（用含a的代数式表示）；

拓展应用：

⑷如图5,点。是△ABC的边BC上任意一点，点E,F分别是线段40,。£的中点，且4ABC的面积为

8a,则△BEF的面积为一（用含a的代数式表示），并写出理由.

网］6（2023春・上海•九年级期中）解答下列各题

（1）如图1,已知直线馆〃n,点在直线外上，点C、P在直线M上，当点P在直线馆上移动时，总有

与△ABC的面积相等.

图1

E

（2）解答下题.①如图2,在4ABC中，已知BC=6,且BC边上的高为5，若过。作CE//AB,连接AE,

BE,则的面积为.

②如图3,三点在同一直线上，力。，垂足为X.若AC=4,BH=，夏，乙

=60°,/3=/05干=60°,求4人质的面积.

（3）如图4，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，48#CD,且S^BC<过点A画一条直线平分

四边形ABCD的面积（简单说明理由）.

•M

模型2.蝴蝶（风筝）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边

形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

蝴蝶定理:任意四边形中的比例关系

如图1,结论:①&：&=或SxS3=S2X&；②AO-.OC=（&+S?）：（S4+S3）。

梯形蝴蝶定理:梯形中比例关系

22

如图2,结论:①8:8=a:&；②S1:S3:S2:S4=^-.ab-.ab；③梯形S的对应份数为（a+b）:

回工在四边形ABCD中，4。和互相垂直并相交于O点，四个小三角形的面积如图所示.则阴影部分三

角形BOO的面积为.

网］8如图，SMCB=24平方厘米，S&ACD=16平方厘米，S^ABD=25平方厘米,则SACOB为平方厘米。

题9如下图，梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于。，已知A4OB与ABOC的面积分别为25

平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米.

网］10如图，梯形ABCD中，AAOB、XCOD的面积分别为1.2和2.7,则梯形ABCD的面积为

B

血］11梯形ABCD中，对角线交于点O,垂直AC,并且已知40=6厘米，BO=10厘米，则三

角形。OC的面积是平方厘米。

网］12图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS的面积为

模型3.藕尾（定理）模型

条件:如图，在△ABC中，E分别是8。上的点，G在AE上一点，结论：S〕S尸S3：S4=Sy+S^+S^BE-

EC。

血］13如图，A4B。中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，411、BN相交于点。，已知△BOM的面积

为2,则四边形MCNO的面积为o

刷14（2023.山东•八年级专题练习）如图，在AABC中，己知点P、Q分别在边AC.BC上，BP与AQ相交于

点。，若△3。◊、4480、人4。0的面积分别为1、2、3,则馍Q。的面积为（）

A.22B.22.5C.23D.23.5

厕15如下图，三角形ABC中，AF-.FB=BD：DC=CE-.AE=3:2，且三角形GHI的面积是1,则三角形ABC

的面积为______.

BDC

血］16（2023江苏淮安九年级月考）已知△ABC的面积是60,请完成下列问题

⑴如图1,若AD是4ABC的边上的中线，则4ABD的面积△ACD的面积.（填

“二”）

⑵如图2,若CD、跳;分别是△ABC的48、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法，

连接40,由AD—DB得：SMDO=S^BDO，问理：^/\CEO~S^EO,设^^ADO~X,^^CEO~V,则^^BDO~X,

S^AEO=V由题意得：SAABE=30,S，AADC~9AABC=30,可列方程组为：，解得

22{x-r2y=3U

，则可得四边形ADOE的面积为.（3）如图3,AD-.DB=1：3,CE:AE=1：2,则四边形

ADOE的面积为.（4）如图4,。，F是AB的三等分点，夙G是CA的三等分点,CD与BE交于

。，且S0BC=60,则四边形ADOE的面积为.

模型4.鸟头定理（A共角定理）模型D

A,以

图1图2

共角三角形:两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角定理:共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图，在△48。中，分别是上的点（如图1）或。在A4的延长线上，E在47上（如图2）,则隈BO：

S^E=（ABxACy.（ADxAE）

血］17如图，在三角形ABC中，D、E是45,4。上得点,且40：45=2:5,4£；：47=4：7,三角形4DE的面

积是16平方厘米,则ABC的面积为。

血］18（2023•山西晋中•九年级统考阶段练习）阅读理解

如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形,共角三角形的面积比

等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比，•M

^AADE_AD•AE

例:在图1中，点O,E分别在48和上，/\ADE和4ABe是共角三角形，则

SAAB。AB,AC

证明:分别过点E,。作EG,AB于点G,CF,AB于点F,得到图2,

AAGE=AAFC,又/A=/A,4GAE〜AFAC,祟=倏

CFAC

▽..S4AB固彳入。，EGS^ADEAD■EG_ADAE即S△他石_ADAE

AB-CF~~AB'~ACS-AB,AC

S^ABCyAB-CFS拄BCAABC

任务：（1）如图3,已知ABAC+/DAE=180°,请你参照材料的证明方法,求证：等些=丝＞,空

,△ABCAU•AC

⑵在（1）的条件下,若年迹=白需=；,AB=9,则AE=

^△ABC。AC4

曲19（2023・重庆•九年级专题练习）问题提出：如图1,。、E分别在△ABO的边AB、AC上，连接DE,已知线

段AD=a,DB=b,AE=c,EC=d，则S^ADE,S^ABC和a,b,c,d之间会有怎样的数量关系呢？

图1

问题解决:探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律.如图2,若。石〃

•••

BC,则AADE=,且/A=/A,所以4ADE〜/\ABC,可得比例式：-^―=上;而根据相似三角

a+bc+d

形面积之比等于相似比的平方.可得各出=/02、2-根据上述这两个式子，可以推出：鲁跑=

b^ABC(a+b)b2ABe

a2_a_____a_a_____c_______ac_____

(a+6)2a+ba+ba+bc+d(a+b)(c+d)

(2)如图3,若/AO石=NC,上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程;着不成立,请说明理由.

探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件,是否仍存在结论:各里=-_等--?方法回

S^ABC(a+b)(c+d)

顾:两个三角形面积之比,不仅可以在相似的条件下求得,当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可

-

Q春BD,AHD7)

以解决.如图4,。在△45。的边上，做于H,可得：当迹=^--------=黑.借用这个

5盘。。如C•AHDC

结论，请你解决最初的问题.

延伸探究：⑴如图5,。、E分别在△ABC的边AB,AC反向延长线上,连接DE,已知线段AD^a,AB

=b,AE=c,AC=d,则差迪=.(2)如图6,E在△48。的边AC上，。在4B反向延长线上,

、丛ABC

连接_DE,已知线段40=a,AB—b,AE—c,AC—d,^ADE=.

b4ABe

结论应用：如图7,在平行四边形ABCD中，6是右。边上的中点，延长GA到E,连接OE交历1的延长线

于F,若AB=5,4G=4,AE=2,UABCD的面积为30,则4AEF的面积是.

模型5.金字塔与沙漏模型

金字塔模型沙漏模型

条件.①4Q=Ag=DE22

杀件•①ABACBC；②SLADE：S/\ABC=AF:AGO

回致(2023秋・辽宁沈阳•九年级校考阶段练习)如图，已知点ZXE分别是46、AC边上的点，且△4。石〜

△48。,面积比为1：9,交。后于点尸.则AF\4G=()

A.1：3B.3:1C.1：9D.9：1

网］21（2023•福建龙岩.九年级校考阶段练习）如图，A4BC中，BE与CD相交于点F.如果OF:

血］22（2023•江苏•模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,D是网格线交点，AC与相交于点

。，则△48。的面积与△8。的面积的比为（）

C.1：4D.72:4

血］23（2023春・北京海淀•九年级校考开学考试）如图，△ABC是等边三角形,被一矩形所截，AB被截成三等

分，EH7/BC,若图中阴影部分的面积是6,则四边形BCGF的面积为（）

A.8B.9C.10D.11

题24（2023•辽宁・九年级校考期中）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为L6

米，车头FACD可近似看成一个矩形，且满3ED=2FA,盲区EB的长度是6米，车宽艮4的长度为

__米.

10

的25（2023・四川成都•九年级成都实外校考期中）如图，△ABC中，点PQ分别在AB,上，且PQ〃BC,

PAILBC于点M，QN_LBC于点、N,4D，BC于点。，交PQ于点E,且4D：BC=2:3,连接,若

△ABC的面积等于75，则MQ的最小值为.

翻126（2022秋•河南郑州•九年级校考期中）如图，矩形EFGH内接于△ABC（矩形各顶点在三角形边上），E,

F在G分别在AB,AC上，且于点。，交HG于点N.

（1）求证:LAHG〜△480（2）若AD=3,BO=9,设r，则当必取何值时,矩形EFGH的面积最大?

最大面积是多少？

课后专项训练

颔目工（2023山西八年级期末）如图在△AB。中，D、E分别是边BC、AD的中点.CF=[EF,S,C=

12cm2,则图中阴影部分的面积为（）

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2

题目②（2023•江苏扬州•八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形

面积的15%,黄色三角形面积是21平方厘米,则矩形面积为平方厘米.

•M

题目包（2023安徽芜湖八年级期中）如图，在△ABC中，D,E,F分别是BC,AD,CE的中点，且5百0=

8cm2,贝ljS阴影=-

题目@（浙江省杭州2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，CD是△ABC的一条中线,

E为BO边上一点且BE=2CE,AE.CD相交于F,四边形BDFE的面积为6，则/\ABC的面积是

题目回（广东省宝安区文汇学校2023-2023学年九年级上学期月考数学试题）如图,AABC的面积为

40cm2,DE=2AE,CD=3BD,则四边形BDEF的面积等于cm2.

题目工如图，在&ABC中，已知M、N分别在边AC.上，BM与AN相交于O,若AABO和

△RON的面积分别是3、2、1,则的面积是.

题目区四边形ABCD的对角线AC与交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形

BCD的面积的2，且40=2，。。=3,那么8的长度是。。的长度的倍。

O

D

3

BCB

题目10如图，△ABC三边的中线AD,BE,。歹的公共点为G,且AG：GO=2：1,若反43c=12,则图中阴

影部分的面积是.

题目兀如图，三角形ABC的面积是LE是4。的中点，点。在BC上，且80:00=1:2,AD与BE交于

点F.则四边形DFEC的面积等于.

【题目兀（2023春・北京西城•七年级校考期中）阅读与理解：

三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1,AD是AABC中BC边上的中线，则

SAABO=SA48=~^S^ABC.

理由：；BD=CD，：.SRABD=^BDxAH=^CDxAH=S^ACD=京.，

即:等底同高的三角形面积相等.

操作与探索:在如图2至图4中，AAB。的面积为a.

⑴如图2,延长AABC的边到点。，使CD=B。，连接DA.若XACD的面积为Si,则S产（用

含a的代数式表示）；

⑵如图3,延长XABC的边BC到点D,延长边CA到点H,使CD=,AE=CA,连接DE.若LDEC

的面积为S2，则$2=（用含a的代数式表示），并写出理由；

⑶在图3的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到ADEF（如图4）.若阴影部分的面积

为S3,则$3=;（用含a的代数式表示）

13

拓展与应用：⑷如图5,已知四边形ABCD的面积是a,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、D4的中点，连

接EG交于点求图中阴影部分的面积？

题目电（2022秋•陕西西安•七年级西安益新中学校考期中）探索:在图1至图3中，已知△ABC的面积为a,

yng

（1）如图1,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA.若AACD的面积为S、，则S产.（用

含a的代数式表示）

（2）如图2,延长AABC的边到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE,若4DEC

的面积为S2,则$2=.（用含a的代数式表示）

⑶在图2的基础上延长AB到点F,使=AB,连接FD,FE,得到ADEF（如图）若阴影部分的面积为

S3,则S3=.（用含a的代数式表示）

（4）发现：像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点,得到ADEF（如图3）,此时,我们称

△4BC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来△ABC面积的倍.

（5）应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在的空地上种

红花,然后将△ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）.在第一次扩展区域内种黄花，第二

次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花.如果种红花的区域（即△ABC的面积是10平方米，请你

运用上述结论求出:①种紫花的区域的面积;②种蓝花的区域的面积.

I题目叵（2022•河南郑州•校考二模）小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关

系.

如图1,△ABC中，CD为AB边的中线，可得AD=,过点。作CM，AB于M■，则S^=yAD-CM

^-BD-CM^SABDC

图1

在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：

⑴如图2,矩形ABCD中，点分别为CD,4B上的动点，且=⑷W■与。N交于点E.连接

CE.①判断△。力E与△。儿石的面积关系;②若AD=3,AB=4,当点河为CD的中点时，求四边形

BCEN的面积；⑵△4BC中，乙4=30°,AB=6,点。为4B的中点，连接CD,将△ACD沿CD折叠，点

A的对应点为点E,若岫CD与ZVIB。重合部分的面积为ZVIB。面积的［，直接写出△ABC的面积.

题目口&〕（2022秋・浙江•九年级专题练习）如图1,点。将线段AB分成两部分，如果需=整，那么称点C

TTLO

为线段AB的黄金分割点.

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直

线I将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S,S2,如果粤=年，那么称直线I为该图

形的黄金分割线.

.一/,//~「7c

-D\ii'•///

4CADBADKBAgB

图1图2图§图4

（1）研究小组猜想:在△ABC中，若点。为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分

割线.你认为对吗？为什么？

（2）请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现:过点。任作一条直线交AB于点E,再过点。作直线。F〃CE,交AC

于点F,连接EF（如图3）,则直线EF也是4ABC的黄金分割线.请你说明理由.

（4）如图4,点E是DABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF〃AD,交OC于点F,显然直线EF是

DABCD的黄金分割线.请你画一条口ABCD的黄金分割线,使它不经过LJABCD各边黄金分割点.

短目匡〕（2023春・江苏南京•七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要

线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点.

（1）①如图1,/\ABC中，/A=90°,则A4BC的三条高所在直线交于点；

②如图2,A4BC中，力。＞90°,已知两条高BE、AO,请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点

作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出AABC的第三条高.（不写画法，保留作图痕迹）

【综合应用】（2）如图3,在4ABC中,AABOZC,AD平分/A4C,过点B作BE_LAD于点E.

①若/ABC=80°,/。=30°,则NEBD=:②请写出NEBD与/ABC,/C之间的数量关系

，并说明理由.

【拓展延伸】（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积

比等于对应底边的比.如图4,△48。中，河是上一点，则有空空吗理13=碧.如图5,△48。

△ACM的面积CM

中，河是BC上一点，且是AC的中点，若△ABC的面积是m,请直接写出四边形CMDN

O

的面积.（用含小的代数式表示）

161（2023春•江苏盐城•七年级统考期末）【问题情境】

苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题:如图1,AD是AABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎

样的数量关系？

小旭同学在图1中作8。边上的高4E,根据中线的定义可知BD=CD.又因为高AE相同，所以S△迎=

SMOD，于是△也.据此可得结论:三角形的一条中线平分该三角形的面积.

【深入探究】（1）如图2,点。在△ABC的边BC上，点P在AD上.

①若AD是4ABC的中线，求证：SAAPB=S^APC；②若BD=3DC,则.

【拓展延伸】⑵如图3,分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE,BF、CG的

中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH.

①求证：S^HDG+SAFBE~2s四边形ABC。；②右S四边形488=3,贝!JS四边形石尸GH=,

「题目亘（2023秋,广西柳州•八年级校考开学考试）阅读下面资料:

16

小明遇到这样一个问题:如图1,对面积为a的△ABC逐次进行以下操作:分别延长AB,BC、CA至4、

5、CL使得A.B=2AB,BC=2BC,CIA=2cA，顺次连接4、5,得到△4B1G,记其面积为S、,

求Si的值.

小明是这样思考和解决这个问题的:如图2,连接AQ、,因为AXB=2AB,BQ=2BC,C.A=

2CA,根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以SAA、BC=S&B、CA=SAA、BC=S&GAB=2s△48。=2a,由此

继续推理,从而解决了这个问题.（1）直接写出S尸（用含字母a的式子表示）.

请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：

⑵如图3,P为4ABC内一点,连接AP.BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点。、E、尸，则把

△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求&ABC的面积.

⑶如图4,若点P为LABC的边AB上的中线CF的中点，求S“PE与S^BPF的比值.

［题目逗（2023•江苏盐城・统考二模）⑴如图1,△ABC中，。是BC边上一点，则△48。与ZVID。有一个相

同的高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为年迺=袈（4480、△4。。的面积分别用$送5。、

^AADCDU

SAADC表示）.现有BD=:BC,则S&ABD：S^ADC=_；

O

（2）如图2,△ABC中，E、F分别是BC、AC边上一点，且有BE：EC=1：2,AF：FC=1：1,AE与BF相

交于点G、现作EH〃BF交AC于点H、依次求FH:HC、AG：GE、BG：GF的值；

（3）如图3,△ABC中，点P在边AB上，点M、N在边力。上，且有AP=PB,AM=MN=NC,BM.BN

与CP分别相交于点R、Q,现已知△48。的面积为1,求ABRQ的面积.

图1图2图3

、题目包（2023•四川成都・八年级统考期末）如图，已知正方形DEFG的边EF在△ABC的边上，顶点D

G分别在边上,于H.BC=15,AH=10.求正方形OEFG的边长和面积.

17

A

题目R（2023•广东九年级校考课时练习）已知：如图，■是AB边的三等分点，EF〃的V〃BC.求:

△AEF的面积:四边形EMNF的面积:四边形MBCN的面积.

题目卫（2023•河南信阳・九年级统考期末）将一副直角三角板按右图叠放.

（1）证明：A4OB〜/\COD；（2）求△AOB与4DOC的面积之比.

BC

三角形中的重要模型-等积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思

想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三角形

中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型,金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便

掌握。

模型1.等积变换基础模型

1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图1,当AB〃,则S9=S的D；反之，如果S^ACD=S^CD，则可知直线ABHCD.

2）两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。

如图2,当点。是BC边上的动点时,则5刖：S^DC=BD：DC。

如图3,当点。是BC边上的动点，BEVAD,CF±AD时，则S△迎:S△皿=BE：CF。

（山东省临沂市2023—2024学年八年级月考）如图，是△ABC边AC的中线，点E在BC上，BE=

1■EC,△ABD的面积是3,则△BED的面积是（）

【答案】。

【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出

S^BDC、S/^BED.

【详解】解：•・・瓦?是△ABC边AC的中线，△46。的面积是3,3,

,•*BE—-^-EC,S^BED—1,故选：D.

/o

【点睛】本题考查了三角形面积:三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半;三角形的中线将三角形分

成面积相等的两部分.

四2（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，6。是的边AC上的中线，AE是4ABD

的边上的中线，是△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32,则阴影部分的面积是

（）•M

A

C.18D.20

【答案】B

【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可.

【详解】解：:BD是AABC的边4。上的中线，・・.S.BD=S^CD=1X32=16,

,•*是丛ABD的边BD上的中线，S^^BE—SAM）E=~^^/\ABD=X16=8,

又・・・BF是△ABE的边上的中线，则CF是△ACE的边AE上的中线,

=

••S岫EF=^^ABF~qS/^ABE1X8=4,S^CEF=S.CF=S^DE—S^CED=5S.CE=8,

则S阴影=S^EF+SACEF=4+8=12,故选：B.

【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键.

四3（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点G为△ABC的重心，。，E,F分别为BC,

CA,AB的中点，具有性质：AG:GD=BG：GE=CG:GF=2：L已知△AFG的面积为2,则AAB。的面

积为.

【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案.

【详解】解：•••CG：GF=2:1,A4FG的面积为2,

.•.△ACG的面积为4,.•.△4。斤的面积为2+4=6,

•.•点F为AB的中点，,/XACF的面积=△BCF的面积，

.♦.△ABC的面积为6+6=12,故答案为：12.

【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比

等于底之比是解题的关键.

厕4（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，CD是△ABC的一条中线，E

为BC边上一点且BE=2CE,AE、CD相交于F,四边形BDFE的面积为6,则AABC的面积是.

•M

【答案】14.4

【分析】连接BF,设S^DF=a,则SXBEF=6-a,根据CD为AB边上中线，可得S^DF=S^DF=a,SgDc

iiio

=W'S最BC；根据BE=2CE,可得S^c=~Z'S^B——(6—a),5a4郎=.进而，$小a7的面积可表

ZiEFZiEFZio

示为2sAsDC和yS^BE,由此建立方程18-a=+9,解出a的值即可得到△ABC的面积.

【详解】解：连接BF,如图所示：设S^DF=a,则SABEF=6—a,

CD为AB边上中线，SAADF^5刖=a,SgDC=gs4ABe•

119

BE=2CE,SACEF=}SgEF=1(6—a),SAABE=mS4ABe•

••S》BC=2sAsoc=21a+(6—a)a+-^~(6—Q)]=18—Q,

=

S^ABCy<5AASB=y(2a+6—a)=-|-a+9,

即18—a=+9.解得：a—3.6.二$4^0=18—a=18—3.6=14.4,故答案为：14.4.

【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面

积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.

血］5(2023春・江西萍乡•八年级统考期中)基本性质:三角形中线等分三角形的面积.

如图1,AD是△ABC边上的中线，则S△谢=53=0外的.

理由：因为4D是△48。边上的中线，所以BD=CD

又因为SMBD=}BDxAH,S^ACD——CDXAH，所以S^BD—S0°D=~^^^ABC-

所以三角形中线等分三角形的面积.

基本应用：

在如图2至图4中，△48。的面积为a.

•M

E,

A

（图4）（图5）

⑴如图2,延长4ABC的边BC到点。，使CD=BC,连接DA.若AACD的面积为S,则S1=

（用含a的代数式表示）；

⑵如图3,延长△48。的边BC到点。，延长边C4到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.若

△DEC的面积为$2,则$2=（用含a的代数式表示）；

⑶在图3的基础上延长AB到点F,使BF=,连接FD,FE,得到ADEF（如图4）.若阴影部分的面

积为S3,则$3=（用含a的代数式表示）；

拓展应用：

（4）如图5,点。是△ABC的边BC上任意一点，点E,F分别是线段40,。£的中点，且4ABC的面积为

8a,则△BEF的面积为一（用含a的代数式表示），并写出理由.

【答案】（l）a（2）2a（3）6a（4）2a,见解析

【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；

⑵连接AD,运用”等底同高的三角形面积相等”得出S庄CD=2SQABC，即可得解;

⑶由⑵结论即可得出SSMSAEOD+SAEFA+SAB即，从而得解；

（4）点石是线段4D的中点，可得S/RDE，S/X£）CE.S八"^"S八ARC•点F是线段CE的中

点,可得S^BEF=SgcF=；S^BCE・从而可得答案.

【详解】（1）解:如图2,・・・延长的边石。到点、D,使CD=BC,

AC为△ABD的中线，,SAACD=SMBC即S、=a;

（2）如图3,连接AD,

•・・延长△ABC的边BC到点。，延长边C4到点E,使CD=BC,AE=CA,

7

S^ACD—SA^£；D=}S^ECD，SAZ（7D=^LABC，S^ECD^2sA^5。=2a,艮IS2—2a;

⑶由⑵得SXECD=2S\,c=2Q,

==

同理:S.FL2SbABC=2a,S^ECD—S^FD2a,S^S.CD+S的?A+6a;

⑷SABEF=2a,理由如下：理由：•.•点E是线段AD的中点,

S&ABE=SABDE,S^ACE=Sy)cE,•'•Sg°E=

"点是线段CE的中点，，SABEF