百师联盟2024年高二10月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年度高二10月联考

数学试题

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设直线，：2x+4y+3=°的倾斜角为则cosa的值为（）

2.已知直线乙的方向向量为1=（左/），直线乙的方向向量为%=（2-左,左），若入〃%，则上=（）

A.-2B.1C.-2或1D.0或2

3.在四面体。中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=^OA,BN=ABC（A>Q）,若

——■31-1

MN=——a+-b+-c,则2=（）

422

1121

A.-B.-C.-D.一

2334

4.若｛摩瑟,1｝是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得

a=xel+ye^+ze1,我们把有序实数组（x,%z）叫做基底忖可下向量2的斜坐标.设向量P在基底

｛力而｝下的斜坐标为（-1,2,3）,则向量力在基底｛"3+5,5-B厚+口下的斜坐标为（）

A.（2,-4,-1）B.（-2,-4,1）C.（-2,4,1）D.（2,-4,1）

5.平行六面体ABCD-4与。12的底面ABCD是矩形，其中AD=2,A3=4,且

/AADn/AABnGO'AA=4,M为4G，与2的交点，则线段的长为（）

已知从点（3,3）发出的一束光线，经过直线2x-y+2=0反射，反射光线恰好过点（4,0）,则反射光线

所在的直线方程为（）

A.3%+y-12=0B.3%+7y-12=0

C.x+y-4=0D.x=4

7.圆C:（x—l/+y2=1与圆。：尤2+y2—2x+8y+8=0的公切线的条数为（）

A.0B.1C.2D.3

8.已知圆C:(x+2y+y2=4,直线/:(m+l)x+4y-l+机=0(meR),则()

A.直线/恒过定点（—1,1）

B.直线/与圆C有两个交点

当m=1时，圆C上恰有两个点到直线/的距离等于1

D.过直线/的平行线3x+4y—7m=0上一动点p作圆C的一条切线，切点为A,则|PAImin=4

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知空间向量G=（l,2,3）,2G+B=（O,3,7）7=（2,m,6）,且N/片，则下列说法正确的是（）

A.W=V6B.m=4

C.2b+cyLa

D。…T

10.下列说法中错误的是（）

A.任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率

若一条直线的斜率为1,则该直线的倾斜角为E

4

C.直线的斜率越大，倾斜角越大

D.设A(-若直线/：办+>+1=。与线段A3有交点，则。的取值范围是

(-<x),-5]o[4,+oo)

11.如图，在正三棱柱ABC-44G中，瓦R分别为3cAG的中点，AC=2,则下列说法正确的是

()

A.若异面直线AF和5c所成的角的余弦值为：，则AA=2夜

B.若A&=G，则点C到平面AEF的距离为噜^

C.存在A4,,使得BC工EF

D.若三棱柱ABC—A4G存在内切球，则A4=殍

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在空间直角坐标系中，点4(0,2,2),点3(5,-4,6),点。(2』,1),则通在五方向上的投影向量

的坐标为.

13.已知实数满足x—3y+7=0,且—则上的最小值为.

x-3

14.已知圆。1：(%—1)2+(>-2)2=12和圆。2：必+>2+6%+2y—6=0交于两点，点P在圆C上运动,

点。在圆C,上运动，则下列说法正确的是.

①点G和点C2关于直线8x+6y-1=0对称；

②圆G和圆3的公共弦长为Y等；

③的取值范围为［0,5+2jf|；

④若M为直线X-y+8=0上的动点，则|+的最小值为V109—26—4.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知AABC的顶点A(6,—2),顶点C在x轴上，A5边上的高所在的直线方程为x+2y—2=0,AC

边上的中线所在的直线方程为x-y+根=0.

(1)求直线A5的方程；

(2)求根的值.

16.如图，在六棱柱A5CDEP-A4G2用耳中，底面是正六边形，设

AB=a,AF=b,=c.

(1)用％尻5分别表示丽，丽.

(2)若cos/3A4j=cos/FAylj=g,A3=2,AAj=5,求：

(i)而•丽；

(ii)|祠.

17.已知点尸(2,2),圆C：(x—3y+(y—Ip=9.

(1)求圆C过点尸的最长弦、最短弦所在的直线方程；

(2)若圆C与直线x—y+a=0相交于A,B两点,。为坐标原点，且。4LO3,求。的值.

18.如图，已知四棱锥P—A8CD的底面A3CD是正方形，侧面尸，底面A3CD,APCD是以CD

为底边的等腰三角形，点E,G分别是的中点，点R在棱A3上且=

(1)求证：FG〃平面5PE；

3

(2)若A3=6,cos/PDC=y,求直线FG与平面P3C所成的角的正弦值.

19.如图，在平行六面体A3CD—A31G2中，，平面=2,。。=4,

DD,=2^3,DQlDjB.

(1)求证：DA1DB；

(2)求三棱锥。一4和。的体积；

(3)线段G2上是否存在点E，使得平面防。与平面ABB]A的夹角的余弦值为如？若存在，求

4

RE的长；若不存在，请说明理由.

2024-2025学年度高二10月联考

数学试题

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设直线,：2x+4y+3=°的倾斜角为则cosa的值为（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线方程可得左=-』，结合同角三角关系运算求解即可.

2

【详解】直线/：＞=-1尤一的斜率为左=」，即tana=里吧=」＜0,

242coscr2

1兀

可得sino=——cosa,且一＜。＜兀，

22

又有sin2tz+cos2a=—cos2a=l,可得cosa=±二一，

45

又因为4＜&＜兀，所以cosa=—•

25

故选：D.

2.已知直线4的方向向量为［=（左,1）,直线4的方向向量为％=（2-左㈤，若乙〃4，则左=（）

A.-2B.1C.—2或1D.0或2

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线平行可得I//Z,结合向量平行的坐标表示运算求解即可.

【详解】因为q=（左/），a2=（2-k,k）,

若k〃%，可知q〃a,，

则左2=2—左，解得上=—2或左=1.

故选：C.

3.在四面体。4BC中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=^OA,BN=ABC（A>0）,若

——•31-1

MN=——a+-b+-c,则2=（）

422

1121

A.-B.-C.—D.一

2334

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算即可得解.

【详解】如图，

O

B

____„3_►

因为丽=%前，所以丽=4反+(1-4)旗,(4>0),又丽=]9，

所以丽=砺_而=4反+(1_田丽―0A=一a+(l-2)b+Acf

—►31一1

又MN=——a+—b+—c,

422

所以1—2=,且；1=工，解得：2=-.

222

故选：A

若｛摩可,1｝是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得

a=xel+ye^+ze1,我们把有序实数组(x,y,z)叫做基底忖可下向量。的斜坐标.设向量P在基底

｛力而｝下的斜坐标为(-1,2,3),则向量力在基底｛"3+5,5-B厚+口下的斜坐标为()

A.(2,-4,-1)B.(-2,-4,1)C.(-2,4,1)D.(2,-4,1)

【答案】D

【解析】

【分析】由题意利用待定系数法列出关于工，%z的方程组即可求解.

【详解】设p=x^a-b+c\+y[a-b\+z[a+c^=(%+y+z)a+(-%-y)区+(%+z)c,

又p=-。+2另+3c,

%+y+z=—l（x=2

<-x-y=2,解得<y=—4,

x+z=3z=1

即〃=2（彳_彼+5）_4（5_袱）+（5+亍）.

所以向量方在基底仅-B+己口-反方+己｝下的斜坐标为(2,-4,1).

故选：D.

5.平行六面体ABC。—4AG2的底面ABCD是矩形，其中AO=2,AB=4,且

/44。=/443=60°,44=4,“为AG，4A的交点，则线段的长为()

C.y/17D.3V2

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算可得菽=羽+,诟-,荏，进而结合数量积运算求模长.

22

【详解】由题意可知：丽=丽+3瓦瓦=函+：(4/—4瓦)=无4+|■川万—g通，

]1-21•2*•,-1•-

+—AD+—AB+AA-AD-AA,■AB——ABAD

44"'2

=16+l+4+4x2x1-4x4x1-0=17,所以|丽|=而，即线段8M的长为内.

故选：C.

6.已知从点(3,3)发出的一束光线，经过直线2x-y+2=0反射，反射光线恰好过点(4,0),则反射光线

所在的直线方程为()

A.3x+y-12=0B.3%+7y-12=0

C.x+y-4=0D.%=4

【答案】C

【解析】

【分析】利用反射原理，先求出点A(3,3)关于直线2x-y+2=0的对称点A的坐标，再求直线45的方

程即可.

如图，设点A(3,3)关于直线2x—y+2=0的对称点为A1(a,b),

b-31

a—32解得a二=-51,即A(T5),

则有＜

a+3b+3c八

2x

22

依题意，反射光线即直线A'5,因3(4,0),则直线A3的斜率为七，B=-1，

于是反射光线所在的直线方程为y=-(x-4),即x+y-4=0.

故选：c.

7.圆C:(x—iJ+V=1与圆。：必+产―2%+8丁+8=0的公切线的条数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】先由两圆位置关系的判断方法得到两圆外切，再得到公切线条数即可.

【详解】由题意，圆C:(x—1)?+/=1的圆心C(1,O),半径彳=1,

圆。：/+/—2x+8y+8=0化为标准方程为：(x-l)2+(y+4)2=9,

故圆心。(1,-4),半径々=3,

则圆心距CD=吁+(-4—0)2=4=彳+2，

所以两圆外切，公切线条数为3条.

故选：D.

8.已知圆C:(x+2y+y2=4,直线/:(m+l)x+4y-l+机=O(meR),贝°()

A.直线/恒过定点(—1』)

B.直线/与圆C有两个交点

C.当m=1时，圆C上恰有两个点到直线/的距离等于1

D.过直线/的平行线3x+4y—7m=0上一动点尸作圆C的一条切线，切点为A,则1尸川皿=4

【答案】B

【解析】

【分析】通过将直线方程变形找到定点，再根据圆心到直线的距离与圆半径的关系判断直线与圆的位置关

系，结合切线性质，和勾股定理分析判断即可.

［详解］对于A选项，将直线/的方程(m+l)x+4y-l+m=0变形为〃(zx+l)+(x+4y_l)=0.

x+1=0

令〈”，c，解方程组，由x=—l代入x+4y—l=0得_l+4y_l=0,

x+4y-l=0

即4y=2,解得y=g.所以直线/恒过定点［一1,；；A选项错误.

对于B选项，圆C：(x+2)2+y2=4,圆心。(-2,0),半径〃=2.

定点［tJ到圆心0(一2,°)的距离d=J(—1+2)2+g-o1=^1+|=^<2-

因为定点在圆内部，所以直线/与圆C有两个交点，B选项正确.

对于C选项，当m=1时，直线/的方程为2x+4y=0,即x+2y=0.

|-2+0|2

圆心C(—2,0)到直线I的距离dJ=——-=f

Vl2+22V5

“2—/=史"2x(2.236—I"?〉].

V5V52.236

所以圆C上有四个点到直线/的距离等于1,C选项错误.

对于D选项，对于直线3x+4y—7m=0,圆心C(—2,0)到直线3x+4y—7m=0的距离

|-6-7m|17m+61177n+6]\2

d二■\PA\=^d2-r2

22-4.

A/3+455)

当机=一e时，d=|-6+61=0,|PA|70^4,此式无意义,

75

因为d20,d最小为圆心到直线/恒过定点的距离1=|-3+2|=-

55

\pA\=,此式无意义，因为|—4<0,

minI

实际上|PA\mi=”—尸,心是圆心到直线的最短距离,

6

这里d:是圆心到直线I恒过定点的距离d=—2，1\PA\itni.n=-4，此式无意义,

2

因为-4<0,D选项错误.

故选：B

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知空间向量G=(l,2,3),21+B=(O,3,7)7=(2,机,6),且日//方，则下列说法正确的是()

A.|^|=V6B.加=4

C.(2b+c^LaD.c…=一察

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据条件，利用空间向量的坐标运算，求得B=(-2,-1,1),再利用模长的计算公式，可判断选项

A的正误；利用空间向量平行的坐标表示，可求得m=4,可判断选项B的正误；利用空间向量数量积的

坐标运算，可求得(2分+可心力0,即可判断选项C的正误；利用空间向量夹角的坐标表示，即可求得

所

cosb,c=-^-，从而判断出选项D正确.

42

【详解】对于选项A,设彼=(x,y,z),因为行=(1,2,3),则2G+坂=(2+x,4+y,6+z)=(0,3,7),

2+x=0

所以<4+y=3,解得x=—2,y=—l,z=l,所以B=(―,

6+z=7

则W=7(-2)2+(-1)2+1=逐，所以选项A正确，

123

对于选项B,a=(1,2,3),?=(2,m,6),al1c,所以一二一=—,得到加=4,所以选项B正确，

2m6

对于选项C,因为3=(—2,—1,1),c=(2,4,6),所以23+乙=(—2,2,8),又万=(1,2,3),

则(2另+己)与=—2+4+24=26。0,所以选项C错误，

-/、——4—4+6A/27

对于选项D,因为6=(—2,—1,1),c=(2,4,6),则cosb,5=k一—二—二，所以选项D正确，

V776x75642

故选：ABD.

10.下列说法中错误的是()

A.任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率

B.若一条直线的斜率为1,则该直线的倾斜角为H

4

C.直线的斜率越大，倾斜角越大

D.设A(-1,4),3(1,3),若直线/："+y+l=。与线段A5有交点，则。的取值范围是

(-oo,-5]u[4,+oo)

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A：根据倾斜角和斜率的定义分析判断即可；对于B：根据倾斜角的取值范围即可；对于B：

举反例说明即可；对于D：根据直线过定点，由定点与线段上的点所成直线的斜率范围判断.

【详解】对于选项A：由倾斜角的定义可知：任何一条直线都有倾斜角,

71

但不是所有的直线都有斜率，例如倾斜角。二—时，就没有斜率，故A正确;

2

对于选项B：因为直线倾斜角ae［O,兀），不可能为I，故B错误；

7T3冗

对于选项C：例如倾斜角%=1%=了，贝!j对应的斜率为左1=1,左2=-1,

即9＜，但占〉左2，故C错误;

对于选项D：因为直线/：G+y+l=O过定点尸（0,-1）,斜率为左=-a,

3+1

贝UkpA=-；―7=-5,kpB---=44

—1—U1-0

由图形可知：一〃（一5或一424,解得〃25或。《-4,

所以。的取值范围是（—00,—4］。［5,+句，故D错误.

故选：BCD.

11.如图，在正三棱柱ABC—44G中，E,歹分别为的中点，AC=2,则下列说法正确的是

A.若异面直线A尸和5c所成的角的余弦值为'，则AA=2夜

6

B.若A4=e,则点C到平面AEF的距离为噜^

C.存在明，使得3CLER

若三棱柱ABC-44G存在内切球，则A4=孚

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题设条件建系，写出相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式求解判

断A项，利用点到平面的距离公式计算判断B项，利用向量数量积的结果排除C项，根据内切球的特征求

出其半径即可排除D项.

如图，过点E作33］的平行线EM,交用q于点“，则平面ABC,

又AE_L8C,故可分别以EC,EA,EM所在直线为％%z轴建立空间直角坐标系.

则A(0,G,0),B(-l,0,0),C(l,0,0).设=a,(a>0),

对于A,依题意,,〃)，

1R一,——i\AF-BC\11「

则”=(万,一号,a),BC=(2,0,0)，由「。5〈」仁取〉卜鬲鬲=2^~^=%na=2d2,即

A4]=2A/2,故A正确；

对于B,依题意，EA=(0,V3,0),EF=(py-

设平面AEE的法向量为”=(x,y,z)，

EA-n=s/3y=0

则<.i/3广，故可取”=(―2省,0,1),

EF-n=-x+—y+V3z=0

122*

又反=(1,0,0),故点C到平面AEF的距离为d=子利=理=拽9,故B正确;

|/z|V1313

对于C,设A4]=f,则/（!■，日,力，EF=（1,^,r）,

由前•丽=1/0可得，5C与EE不垂直，即C错误；

对于D,若三棱柱ABC-A4G存在内切球，不妨设其半径为r,则朋=2,

且内切球在底面上的射影是底面三角形的内切圆，故由虫X22=3义工义2厂,解得厂=且

423

则AA=2®,故D错误.

13

故选：AB.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在空间直角坐标系中，点A（0,2,2）,点3（5,-4,6）,点C（2,l,l）,则荏在直方向上的投影向量

的坐标为

【答案】（4,一2,-2）

【解析】

AB-CA—►

【分析】先求出而和近的坐标，再由痛在由方向上的投影向量概念，写出计算公式一丁・CA,代

\CA\-

入向量坐标计算即得.

【详解】依题意，AB(5,-6,4),CA=(-2,1,1),

ABCA

因荏在5方向卜.的投影向量为■CA,

|C4|2

-10-6+4

则由——-——(-2,1,1)=(4,-2,-2),

6

可知而在近方向上的投影向量的坐标为：（4,-2,-2）.

故答案为：（4,-2,-2）.

13.已知实数羽丁满足x—3y+7=0,且—lWx<2,则一2二的最小值为

x-3

【答案】-3

【解析】

【分析】，为线段X—3y+7=o（-lWx<2）上的点（x,y）与点（3,0）的直线的斜率，画出相应图形,

x-3

易得的C即为上的最小值，计算即可得.

x-3

【详解】上为线段x—3y+7=0（-1WXW2）上的点（x,y）与点（3,0）的直线的斜率，

x-3

如图，当点（》»）在A点时，二二取最小，此时A（2,3）,

x-3

14.已知圆。1：（工一1）2+（>一2）2=12和圆。2：必+>2+6工+2'一6=0交于两点，点P在圆G上运动，

点。在圆C,上运动，则下列说法正确的是.

①点G和点G关于直线8x+6y-1=0对称；

②圆G和圆Q的公共弦长为*'；

③|尸0的取值范围为［。,5+2有］；

④若M为直线％-y+8=0上的动点，则归必+\MQ\的最小值为V109—2百—4.

【答案】②④

【解析】

【分析】求出圆心和半径，再结合点线对称知识可判断①，先求出公共弦，再利用弦长公式即可判断②，

由题意可知，当点P和。重合时，IPQI的值最小，当尸，Q,G，Q四点共线时，|PQ|的值最大，进

而可判断③，求出。关于直线x-y+8=0对称点A的坐标，再结合两点间距离公式可判断④.

【详解】对于命题①，圆G：（x—l）2+（y—2y=12和圆。2：d+/+6%+2y—6=0,

圆心和半径分别是G(1,2),G(—3,-1),4=2石,鸟=4,则两圆心中点为［一1,£|,

若点a和点C?关于直线8x+6y—1=0对称，则中点在直线8x+6y—1=0上，

但—8+6x』—IwO,故①错误；

2

对于命题②，因为圆a：(x—iy+(y—2)2=12和圆C2：Y+y2+6x+2y—6=0,

/、18+12+1121

则两圆的共公弦为8x+6y+1=0,所以G(1,2)到8x+6y+1=0的距离为d=」1=—,

V82+6210

所以圆G和圆C2的公共弦长为L=2历方=2/2—帝='等，故命题②正确，

对于命题③，圆心距为J(l+3)2+(2+1)2=5,当点尸和。重合时，|「。|的值最小，

当P,GG四点共线时，|PQ|的值最大为9+26，

故的取值范围为［0,9+26］,所以③错误；

对于D,如图，设0关于直线x-y+8=0对称点为A(根,〃)，

2-咒_

-----——1

m=-6/、

则《1一<C,解得<c,即G关于直线x—y+8=0对称点为A（—6,9）,

S—乌8=0n=9

[22

连接AG交直线x->+8=0于点"，此时|P"|+|MQ|最小,

|PM\+\MQ\>\MC,\+\MC21-4-2>/3=|C^A|-4-2A/3

=J（-+）+（+）——yJ~=yj——A/-，

即+\MQ\的最小值为V1Q9—2百—4，所以④正确，

故答案为：②④.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知AABC的顶点A（6,—2）,顶点C在％轴上，A3边上的高所在的直线方程为x+2y—2=0,AC

边上的中线所在的直线方程为x-y+根=0.

（1）求直线A3的方程；

（2）求机的值.

【答案】⑴2x-y-14=0

（2）m=-5

【解析】

【分析】⑴由题意可得5=—1，即可得L，结合点A（6,—2）,即可得直线A3的方程；

（2）设C（/,0）,代入A5边上的高所在的直线方程可得/的值，即可得AC中点坐标，结合AC边上的中

线所在的直线方程即可得解.

【小问1详解】

由AB边上的高所在的直线方程为x+2y-2=0,其斜率为一,，

2

则左AB[-=即鼬=2,又A（6,-2）,

则L：y=2（X—6）_2,即2%_y_14=0；

【小问2详解】

设0）,由0）在x+2y—2=0上，即/—2=0,即/=2,

则AC中点坐标为（4,一1）,故有4+1+加=0,即冽二一5.

16.如图，在六棱柱A4CDE尸-ABiGAg耳中，底面底厂是正六边形，设

AB=a,AF=b,AAX=c.

(1)用口尻5分别表示丽，丽.

(2)若cos/3A4j=cos/FL4yli=g,A3=2,A4]=5,求：

(i)而•丽；

(ii)|同.

【答案】(1)AjZ)=2a+2b—c；AE^=a+2b+c

(2)(i)23；(ii)7

【解析】

【分析】(1)根据正六边形与六棱柱的几何性质，结合向量的线性运算，可得答案;

(2)利用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律，可得答案.

【小问1详解】

由题意，底面A8CDEE,连接对角线且交点记为。，如下图：

因为底面为正六边形，则3C=ER=A。，B.AOIIFEIIBC,

易知反;二而二加二通+/，

4D=^A+AB+BC+CO=-A^+AB+AB+AF+AF

=2A5+2AF—AAj=2a+2b—c；

=AF+FE+EEi=AF+AB+AF+££1

=AB+2AF+AAj=a+2b+c.

【小问2详解】

AC=XA+AB+BC=-AA+AB+AB+AF

=AB+AF-AA=a+b-c,

由AB=2,A4]=5,则同=W=2,同=5,

由cos/BA\=cos/FA\=g,则展B=同忖cosg=-2,

a-c=|S||c|cosZBA^=2,b-c=|^||c|cosZFAAi=2

(i)~A^C-Aj5=(2a+2b-c)-(2a+b-c)

=4同-+2忖+\c^+6a-b-4a-c-3b-c

=16+8+25—12—8—6=23,

(ii)阳2=\a+2b+cf=\af+4^+\cf+4a-b+2a-c+4b-c

=4+16+25-8+4+8=49,

M=7.

17.已知点尸(2,2),圆C：(x—3)2+(y-l)2=9.

(1)求圆C过点P的最长弦、最短弦所在的直线方程；

(2)若圆C与直线x—y+a=0相交于A,B两点,。为坐标原点，且。4LO8,求。的值.

【答案】(1)最长弦所在直线的方程为x+y-4=0,最短弦所在直线的方程x->=0

(2)a=-l

【解析】

【分析】(1)根据圆的性质可知，最长弦过点C和点尸，最短弦与最长弦垂直，从而可得最短弦所在直线

的方程；

(2)由。4,03转化为宓.赤=0,然后联立直线和圆的方程，利用韦达定理可得关于。的方程，即可

求解.

【小问1详解】

由题意知点尸在圆C内，圆心C(3,l),半径厂=3,

由圆的性质可知，直径是圆中的最长弦，此时直线过点尸(2,2),C(3,l),

所以圆C过点P的最长弦所在直线的方程为L=二三，化简得x+y-4=0；

2-12-3

由圆的性质可知，过点P的最短弦和圆心C与点尸的连线垂直,

所以设直线方程为X—y+m=o,将尸（2,2）代入得根=0,

所以圆C过点尸的最短弦所在直线的方程X->=0.

【小问2详解】

x-y+a=0

消去y得(x—3『+(x+a—1)2=9,

由<]/(x-3\)2+(/y-l)\2=9'

化简得2x?+(2a-8)x+(a-l)2=0.

因为圆C与直线x—y+a=0相交于A,8两点，

所以A=（2a—8）2—8（a—I1〉o,

即。2+4。一14<0，解得-2-3正<a<-2+3万

、（a-

设8（%2，丫2），则%i+%2=—。+4,xrX2=-—―

因为。4JLQB,所以乐.砺二0，即玉%2+X%=0.

%=再+。/\/\/\7

由<,得=（玉+〃）（％2+〃）=玉%2+〃（玉+%2）+〃

y2=x2+a

（。―1）2A2+6。+1

=--------a+4〃+。=-----------

22

从而也里+近±四土1=（。+1）2=0,解得O=—1.

22V7

18.如图，已知四棱锥P—ABCD的底面A3CD是正方形，侧面PC。，底面A3CD,△「（；£）是以CD

为底边的等腰三角形，点E,G分别是DC,。尸的中点，点R在棱A3上且2尸=

（1）求证：尸G〃平面3尸石；

3

(2)若AB=6,cos/PDC=m，求直线PG与平面P3C所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵—

35

【解析】

【分析】(1)取PE的中点H,连接证明四边形是平行四边形，得线线平行，然后得

证线面平行；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角；

【小问1详解】

取PE的中点X,连接

因为点G是。P的中点，所以GH〃DE,且GH=，DE,

2

正方形中，点E是CD的中点，BF=；AF,

所以8尸=工48=!。£,且A尸〃DE,

42

所以GH〃3F,且GH=BF,所以四边形是平行四边形,

所以GF〃BH,又GFa平面5PE,5"u平面8PE,

所以FG〃平面3PE.

【小问2详解】

3

因为A5=6,COS/PDC=M，E为OC中点，DE=3,

DE3

又cos/PDC=—=-

PD5

所以PC=PD=5,点E是。。的中点，所以尸

X

又侧面PC。，底面A3CD,侧面PCDn底面ABC。=CD,PE7平面尸CD,所以PEL平面

ABCD,

如图以点E为坐标原点，直线EC,EP为y轴和z轴建立空间直角坐标系,

则矶0,0,0）,尸（0,0,4）1卜|,0）,。（0,—3,0）,3（6,3,0）,。（0,3,0）

济=(一6,—3,2),而=(―6,—3,4),BC=(-6,0,0)

,、n-BC=-6x=0

设行=(x,y,z)是平面P3C的一个法向量，则＜_.

n-BP=-6x-3y+4z=0

取z=3得x=0»=4,所以元=(0,4,3),

n-FG-12+66

所以cos

736+9+4x5-35

设直线FG与平面PBC所成的角为e,贝也由6=卜。5（五,用，=1|=[

所以直线尸G与平面PBC所成的角的正弦值为9.

19.如图，在平行六面体A3CD—AgGA中，。〃，平面45。£）,4。=2,。。=4,

DDi=25DCJD[B.

(1)求证：DALDB-,

(2)求三棱锥c-4G。的体积；

(3)线段£2上是否存在点E,使得平面防。与平面ABB]A的夹角的余弦值为