2025年中考数学大题专练：三角形的证明与计算问题（5大题型）（解析版）

大题04三角形的证明与计算问题

考情分析•直击中考

在中考中，涉及三角形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，且三角形结合其它几何图

形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，其中一线三等角与手拉手模型较为常见，属于

是中考必考的中等偏上难度的考点.

琢题突破•保分必拿

三角形角度计算的常考模型

全等三角形的常考模型

相似三角形的常考模型

利用勾股定理解决三角形折叠问题

全等三角形与相似三角形综合（几何模型）

题型一：三角形角度计算的常考模型

1.（2021•吉林•中考真题）如图①，在RtaABC中，AACB=90°,N4=60。，CD是斜边4B上的中线，点

E为射线上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点用

图①图②

（1）若4B=a.直接写出CD的长（用含a的代数式表示）;

（2）若DF1BC,垂足为G,点F与点D在直线CE的异侧，连接CF,如图②，判断四边形4DFC的形状，并

说明理由；

（3）^DFLAB,直接写出N8DE的度数.

【答案】（1）|a；（2）菱形，见解析；（3）NBDE=45。或NBDE=135。

【分析】（1）根据"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"得CO=/B=》；

（2）由题意可得DF〃4C,DF=^AB,由"直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半"，得

AB,得DF=2C,则四边形4DFC是平行四边形，再由折叠得DF=BD=4。，于是判断四边形4DFC是菱

形；

（3）题中条件是"点E是射线BC上一点"，因此DF14B又分两种情况，即点F与点D在直线CE的异侧或同

侧，正确地画出图形即可求出结果.

【详解】解：（1）如图①，在RtA/lBC中，AACB=90°,

・•・CD是斜边4B上的中线，AB^a,

■■.CD=^AB=1cz.

(2)四边形4DFC是菱形.

理由如下：

如图②•・•£>/LBC于点G,

.•.NDGB=NaCB=90°,

.-.DF//AC-,

由折叠得，DF=DB,

：.DF=^AB；

-L.ACB=90°,ZX=6O°,

...ZB=90°-60°=30°,

.'.AC=1T4B,

：,DF=AC,

・•・四边形/DFC是平行四边形;

-AD=^AB,

.'-AD=DF,

.•・四边形ADFC是菱形.

(3)如图③，点尸与点D在直线CE异侧，

,：DF1AB,

・・ZBDF=9O。；

由折叠得，ZBDE=ZFDE,

.-.ZBDE=ZFDE=jzBDF=|x90°=45°；

如图④，点F与点。在直线CE同侧,

•：DF1AB,

・"DF=90。，

"BDE+乙FDE=360°-90°=270°,

由折叠得，乙BDE=^FDE,

.-.Z.BDE+ZBDE=270°,

・"OE=135。.

综上所述，^BDE=45°^ZFDE=135°.

【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识

茏皿一变其训绻

1.(2024•浙江宁波•模拟预测)贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下

探究：

在△2BC中，已知NA8C=18。，ZOZB.

图1图2图3

⑴如图1,若D为BC上一点.连接力D,将△4BD沿着4D进行翻折后得到△力BiD,若4DC=47。，求

N8DB1的大小；

(2)如图2,将△BEF沿EF翻折得到△BiEF,探究N1,42之间的数量关系并说明理由.

(3)如图3,若D为直线BC上的动点，连接AD,将△4BD沿4D进行翻折后得到△ABiD,连接若

△BO当中存在50。的内角，贝”BAD的度数为.

【答案】(l)NBDBi=94°

(2)41—42=36。，理由见解析

⑶22。或137°或7°或122。

【分析】(1)4WC=47。，求出=180。-47。=133。，根据折叠得出N/WB=180。-47。=133。，

求出NCD/=86。，最后由平角的定义即可求解；

⑵根据折叠得出血=乙48(7=18。，乙BEF=LB]EF,KBFE=KB^FE,求出Z_BEF=NBI

1-1

EF=180°-18°-90°-jz2=7°-jz2,根据=180°-2/BEF得出Z.1-z2=36°即可；

(3)分情况讨论：当点D在线段BC上，当点。在线段延长线上时，当点。在线段延长线上，分别画出

图形求出结果即可；

本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注

意分类讨论.

【详解】(1)•••将△力BD沿着2D进行翻折后得到，AABiD,乙4DC=47。，

.-.Z.ADB=180°-47°=133°,

.-.^ADB1=^ADB=133°,

:zCDBi=zXDBi-/.ADC=133°-47°=86°,

:.乙BDB[=180°-4CDBi=94°；

(2)

Z1-Z2=36°,理由如下：

,将△BEF沿EF翻折得至!]△BiEF,

."1=N4BC=18。，4BEF=LB、EF,ABFE=AB1FE,

;/BFE+4B1FE=180°+Z2,

“BFE=乙BJE=90°+|z2,

11

乙BEF=ZB1EF=180°-18°-90°-1z2=72°-%,

.-.zl=180°-24BEF=180°-2(72°-|z2)=360+42,

即41—42=36。；

(3)将△ABD沿4。进行翻折后得到△ABi。连接BBi，根据折叠可知BD=B”，AB^ABr,/.BAD=z

BiAD,

；/DBB\=乙DB、B,乙ABB1=Z,AB1B,

若△BO当中存在50。的内角时，分以下几种情况讨论:

当点。在线段BC上，4DBBi=50。时，如图所示：

B1

乙

=Z.ABBr=/.ABC+DBB[=18°4-50°=68°,

・"岫=180°—68°-68°=44°,

,.ZBAD=Z-B^AD,

1

,^BAD=Z.B1AD=-^BAB1=22°；

当点O在线段BC上，43081=50。时，如图所示，

与

"DBBi=乙DB$=1(180°-50°)=65°,

乙、乙

：,Z.ABrB=ABB=/.ABC+DBB[=18°+65°=83°,

・"岫=180°-83°-83°=14°,

.,./-BAD=Z-B1AD==7°,

当点。在线段CB延长线上时，如图所示：

・••乙408<18°,

根据折叠可矢口，乙408=乙4。31，

.“叫=2乙4。8<36。，

"DBB]=乙DB、B>72°,

此时△OB当中的角不存在50。的角；

当点。在线段BC延长线上，48。当=50。时，如图所示:

Bi

根据折叠可知，/-ADB^ADBr，

1

：.^BDA=-ABDB1=25°

"BAD=180°-Z.BDA-4ABD=180°-25°-18°=137°,

当点。在线段延长线上，48%。=50。时，如图所示，

B,

二.乙DBB1=Z-DB1B=50°,

"BDB、=180°—50°-50°=80°,

根据折叠可知，/-ADB=/-ADBr,

1

.-.^ABD=^BDB1=40°,

：.Z-BAD=180°-/.BDA-乙ABD=180°-40°-18°=122°；

综上分析可知，NB4D的值为22。或137。或7。或122°.

故答案为：22。或137。或7。或122°.

2.（2023内江六中二模）如图①，在△力BC中，乙4BC与乙4cB的平分线相交于点P.

E

图②图③

(1)如果乙4=80。，求N8PC的度数；

(2)如图②，作△2BC外角NM8C,NNCB的角平分线交于点。，试探索NQ、乙4之间的数量关系.

⑶如图③，延长线段BP、QC交于点E,4EQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求乙4的度数.

【答案】(1)NBPC=130。

(2)zQ=90°-|zX

⑶N4的度数是90。或60。或120。

【分析】(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出/PBC+4PC8,进而求出4BPC即可

解决问题；

(2)根据三角形的外角性质分别表示出NMBC与NBCN,再根据角平分线的性质可求得NCBQ+N8CQ,最

后根据三角形内角和定理即可求解；

(3)在aEQE中，由于NQ=90。一!乙4,求出=Z.EBQ=90°,所以如果A/QE中，存在一个内

角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①NEBQ=24E=90。；②NEBQ=2NQ=90°；

③NQ=2NE；④NE=2NQ；分别列出方程，求解即可.

【详解】(1)解：月=80。.

•••4ABC+/.ACB=100°,

,点尸是乙4BC和"CB的平分线的交点，

11

工乙BPC=180°--^ABC+Z.ACB)=180°--X100°=130°；

(2)•・・外角NM8C,4NCB的角平分线交于点0,

1

:.乙QBC+乙QCB=式4MBe+乙NCB),

=|(360°-AABC-N4CB),

1

=式180。+乙4),

=90°+N4

“=180°-(90°+泊)=90°-

(3)延长BC至R

Q

图③•；CQ为△ABC的外角NNCB的角平分线,

CE是△ABC的夕卜角NACF的平分线，

•­•Z.ACF=24ECF,

•••BE平分N4BC,

•••Z-ABC=2/-EBC,

Z.ECF=乙EBC+Z.E,

•••2/.ECF=2/-EBC+2zE,

^/.ACF=AABC+2Z.E,

Z-ACF=Z.ABC+/-A,

1

LA=2zE,即乙月二万4/；

Z-EBQ=Z.EBC+乙CBQ,

1i

=-/-ABC+-Z-MBC,

=+N4+zXCS)=90°.

如果ABQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况:

①NEBQ=2/E=90。，则NE=45。，乙4=2Z_E=90。；

②NEBQ=2NQ=90°,则NQ=45°,NE=45°,N4=2NE=90°；

③NQ=2N£则90。一=解得=60。；

④NE=2“，则1月=2(90。一解得〃=120。.

综上所述，N2的度数是90。或60。或120。.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用

三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键.

3.（2023•山西太原•二模）如图，在凹四边形力BCD中，乙4=55。，NB=30。，4。=20。，求/BCD的度

数.

下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：

方法一：作射线NC；

方法二：延长2C交4D于点£；

方法三：连接30.

请选择上述一种方法，求NBCD的度数.

【答案】NBCD=105。，方法见解析

【分析】选择方法一：作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E,根据外角的性质求出

△BCE=NB+NB4E即可解得；

选择方法二：延长交/D于点E,根据外角的性质求出ABED=NB+乙4即可解得；

选择方法三：连接8D,根据三角形内角和求出N4+N4BD+N力DB=180。，在△BCD中，

乙BCD=180°-乙CBD-ACDB,再根据角之间的和差即可求出.

【详解】解：选择方法一：

如答图1,作射线/C并在线段NC的延长线上任取一点瓦

•.2BCE是△4BC的外角，

"BCE=Z.B+Z.BAE,

同理可得NDCE=4。+Z.DAE.

••/BCD=乙B+Z-BAE+Z.D+Z-DAE,

"BCD=ZB+乙BAD+乙D.

•.28/0=55。，48=30。，40=20。，

"BCD=105°

A

选择方法二：

如答图2,延长BC交4。于点E.

•.2BED是△4BE的外角，

:.乙BED=乙B+Z-A.

同理可得NBCO=乙BED+乙D.

"BCD=+N。.

vzX=55°,Z.B=30°,4。=20。，

"BCD=105°

（答图2）

选择方法三：

如答图3,连接3D

在△4BD中，Z/l+AABD+/LADB=180°.

.•2+4ABe+乙CBD+^ADC+乙CDB=180°

.•.乙4+乙ABC+N力DC=180°-4CBD-乙CDB.

在△BCD中，乙BCD=18。°一七CBD一乙CDB.

:/BCD=/.A+/.ABC+/.ADC.

•"=55°,A4BC=30°,A4DC=20°,

"BCD=105°

A

（答图3）

【点睛】此题考查了三角形的外角性质、三角形内角和，解题的关键是构造辅助线，会用三角形的外角性

质、三角形内角和解题.

题型二：全等三角形的常考模型

笼〉X鹘典网

1.（2023•贵州,中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在

等腰直角三角形ABC中，以=CB/C=90。，过点B作射线BD1AB,垂足为B,点P在CB上.

如图②，若点P在线段CB上，画出射线P4并将射线P4绕点P逆时针旋转90。与BD交于点E,根据题意在

图中画出图形，图中NP8E的度数为度；

（2）【问题探究】

根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；

⑶【拓展延伸】

如图③，若点P在射线CB上移动，将射线P力绕点P逆时针旋转90。与BD交于点E,探究线段之间

的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）作图见解析；135

（2）PA=PE；理由见解析

（3）84—8后=鱼8「或8后=84+遮8「；理由见解析

-1

【分析】（1）根据题意画图即可；先求出乙4BC=NB4C=5X90。=45。，根据乙4BD=90。，求出

乙CBE=^ABC+乙ABE=45°+90°=135°；

(2)根据乙4PE=90。，N4BE=90。，证明4、P、B、£•四点共圆，得出乙4EP=N4BP=45。，求出

^AEP=NEAP,根据等腰三角形的判定即可得出结论；

(3)分两种情况，当点尸在线段BC上时，当点尸在线段BC延长线上时，分别画出图形，求出B4BP,BE之

间的数量关系即可.

【详解】(1)解：如图所示：

•••CA=CB/C=90。，

1

：.Z.ABC=^LBAC=-X90°=45°,

•：BDLAB,

.•.乙48。=90°,

：.Z.CBE=乙ABC+(ABE=45°+90°=135°；

故答案为：135.

(2)解：PA=PE；理由如下：

连接ZE,如图所示：

根据旋转可知，/APE=90。,

•・•乙4BE=90。，

・•・/、尸、B、石四点共圆,

・•.乙4EP=/.ABP=45°,

・・."”二90。-45。=45。，

：.Z-AEP=Z.EAP,

.-.PA=PE.

(3)解：当点尸在线段BC上时，连接4E,延长CB,作EF1CB于点尸，如图所示:

根据解析(2)可知，PA=PE,

•:乙EFP=Z.APE=90°,

.-.Z.EPF+ZPEF=4EPF+LAPC=90°,

.\Z-PEF=Z.APC,

-Z.EFP=AACP=90°,

・••△PEFzAAPC,

・・.EF=PC,

-A.EBF=180°-Z.CBE=45°,Z.EFB=90°,

.•.△EBF为等腰直角三角形，

.'.BE—y[2EF,

•・•△28C为等腰直角三角形，

：.BA=V2BC=五(BP+PC)=V2BP+五PC=5P+近EF=近BP+BE,

即Ba—BE=V^8P；

当点P在线段BC延长线上时，连接力E,作于点R如图所示：

根据旋转可知，NAPE=90。,

■,■Z.ABE=90°,

■■A,B、尸、E四点共圆，

.•ZE4P=4EBP=45°,

.•2"=90°—45°=45°,

：.Z-AEP=Z.EAP,

・・.P4=PE,

•:乙EFP=4APE=90°,

：.£.EPF+乙PEF=乙EPF+^APC=90°,

：.Z-PEF=Z-APC,

"EFP=AACP=90°,

:.△PEFNAAPC,

：,PF=AC,

-BC=AC,

：.PF=BC,

vzEBF=45°,ZEFB=9O°,

.•.△EBF为等腰直角三角形,

■■BE=V2BF=丘(PF+BP)=V2(FC+BP),

即BE=B4+®P；

综上分析可知，BA-BE=aBP或BE=BA+aBP.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，

等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论.

2.(2023•黑龙江•中考真题)如图①，△ABC和△4DE是等边三角形，连接DC,点、F,G,H分别是

DE,DC和BC的中点，连接FG,FH.易证：FH=^FG.

若△ABC和△4DE都是等腰直角三角形，且Nb4C=4ME=90。，如图②：若△4BC和△4DE都是等腰

三角形，且4B4C=ND4E=120°,如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜

想，并利用图②或图③进行证明.

【答案】图②中=图③中FH=FG,证明见解析

【分析】图②：如图②所示，连接BD,HG,CE,先由三角形中位线定理得到FGIICE,FG=犷E,

GH||BD,GH=-BD,再证明△48。三△4CE得到CE=BD,^ACE=^ABD,则FG=HG,进一步证明

Z.FGH=90°,即可证明△HGF是等腰直角三角形，贝IjFH=«FG；

图③：仿照图②证明△HGF是等边三角形，则FH=FG.

【详解】解：图②中=图③中FH=FG,

图②证明如下：

如图②所示，连接BD,HG,CE,

,:点F,G分别是DE,DC的中点，

・•,”是△CDE的中位线，

.-.FG||CE,FG=^CE,

同理可得GHIIBD,GH=^BD,

•・•△ABC和△4DE都是等腰直角三角形，S.ABAC=4DAE=90°,

：.AB—AC,Z-BAD—Z-CAE,AD—AE,

：.△ABD=△ZCE(SAS),

・•.CE=BD,Z,ACE=Z-ABD,

.-.FG=HG,

-BD||GHfFG||CE,

"FGH=乙FGD+乙HGD

=乙DCE+乙GHC+乙GCH

=Z.DBC+Z.DCB+Z-ACD+Z-ACE

=Z-DBC+Z-ABD+Z-ACB

=Z-ACB+Z-ABC

=90°,

・・.△HGF是等腰直角三角形，

.-.FW=V2FG；

图③证明如下：

如图③所示，连接BD,HG,CE,

•••点尸,G分别是OE,DC的中点,

.•.FG是△(?£»£1的中位线，

：.FG||CE,FG=3E,

同理可得GHIIBD,GH=^BD,

△ABC和△ADE都是等腰三角形，且乙B4C=Z.DAE=120°,

：.AB=AC,Z-BAD=Z-CAE,AD=AE,

­.AABD=AACE(SAS),

：.CE=BD,Z-ACE=Z-ABD,

•，FG=HG,

-BD||GH,FG||CE,

"FGH=Z.FGD+Z.HGD

=(DCE+乙GHC+乙GCH

=Z.DBC+Z.DCB+Z-ACD+Z-ACE

=Z-DBC+乙ABD+Z-ACB

=Z-ACB+Z-ABC

=180°-^.BAC

=60°,

...△HGF是等边三角形，

:.FH=FG.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股

定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

3.（2024沈阳大东区一模）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1,在△4BC

中，AB=6,AC=4,求BC边上的中线ZD的取值范围.

【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：

①延长2D到E,使得DE=4D；

②连接BE,通过三角形全等把AB、AC,24。转化在△ABE中；

③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到2D的取值范围是

方法总结：解题时，条件中若出现"中点"、"中线"字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已

知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

（2）如图2,4。是△4BC的中线，4E是△4DC的中线，且4C=DC,NC4D=NCD4,下列四个选项中：

直接写出所有正确选项的序号是.

①NC4E=ND4E@AB=2AE（3）^DAE=Z.DAB@AE=AD

【问题拓展】

（3）如图3,OA=OB,OC=OD,22。8与NC。。互补，连接2C、BD,£是AC的中点，求证：0E=?

BD.

（4）如图4,在（3）的条件下，若乙4。8=90。，延长E0交BD于点/，OF=2,0E=4,则△40C的面

积是

【答案】(1)1<AD<5；(2)②③；(3)见解析；(4)8

【分析】(1)由“SAS"可证△ADCmaEDB,可得47=BE=4,由三角形的三边关系可求解；

(2)由"SAS”可证△4EC三△//£■£),可得AC=DH,Z.ACD=Z.HDC,由"SAS"可证△ADB三△4DH,可得

AB^AH,/LBAD=ADAE,即可求解；

(3)由"SAS”可证△4E0三△CEH,可得4。=CH,4A=4HC0,由"SAS"可证△B。。三△HC。，可得

BD=OH,可得结论；

(4)由全等三角形的性质可得SOEOUSMEH，SABOD=S&HCO,乙D=KCOE,由三角形的面积公式可求

解.

【详解】解：(1)如图1中，延长4。至点E,使ED=4D.

在△4DC和△EDB中，

(DA^DE

\z.ADCZ.EDB,

IDC=DB

・••△ADC三△EDB(SAS),

.-.AC=BE=4,

vAB=6,

6-4<i4E<6+4,

・•・2<2AD«10,

・•・1<AD<5f

故答案为：1<4。<5；

(2)如图2,延长力E至H,使EH=AE,连接DH,

DE=EC,

又=AE=EH,

・••△/EC三△HEO(SAS),

:・AC=DH,乙ACD=^HDC,

vZ.ADB=Z.ADC+乙/CO,^ADH=^ADC+乙CDH,

・•.Z.ADB=Z-ADH,

•・•AD为中线，

BD=CD,

-AC=CD,

：・BD=DC=AC=DH,

又・.•AD=AD,

•••△2WBW2\4DH(SAS),

：.AB=AH,Z.BAD=Z.DAE,

AB=2AE,

故答案为：②③；

(3)证明：如图3,延长0E至H,使EH=OE,连接CH,

・•・E是4c的中点，

•••AE=CE,

又OE=EH,乙AEO=^CEH,

•••△/EOwaCE”(SAS),

・・・AO=CH,AA=AHCO,

.MOIIC”，

・••乙4OC+N"CO=180。，

与NCOO互补，

・•・乙4。。+"。。=180。，

・••乙BOD=LOCH,

又・：CH=OA=OB,OC=OD,

.-.△^OD=AHCO(SAS),

：.BD=OH,

OE=^BD；

(4)如图3,•••△/E。三△CEH,ABOD经△HCO,

•••S/VIE。=$△”“，S^BOD=S^HCO,乙D=LCOE,

•••S^AOC=SMOD=S^HCO,

V^AOB=(COD=90°,

・•."OE+"OF=90。，

••/OOF+"=90。，

・•・zOFZ)=90°,

•・•OF—2,OE—4,

.・.BD=2OE=8,

•1•S^A0C=S&BOD=1BD,。尸=8,

故答案为：8.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添

加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

已知图示结论（性质）

如图，直线AB的同一侧作△1)AABM丝AACN2)BM=CN

M

ABC和AAMN都为等边三角形3)ZMEN=Z2=60°(拉手线的夹角等于顶

（A、B、N三点共线），连接角)

BM、CN,两者相交于点E

4)AANF^AAMD5)AAFC^AADB

6)连接DF,DFIIBN7)连接AE,AE平

BAN

分NBEN8)存在3组四点共圆

9)EN=EM-EA,EB=EC-EA,EA=ED+EF

如图，AABC和AAMN都为等边1)AABMaAACN2)BM=CN

三角形（A、B、N三点不共3)ZM0N=60°(拉手线的夹角等于顶角)

线），连接BM、CN,两者相交

于点04)连接AO,A0平分NBON

15)存在2组四点共圆

N6)ON=OM+OA,OB=OC+OA

如图，四边形ABCD和四边

BC1)AAGD^AAEB2)GD=EB

形AEFG为正方形，连接EB

和GD,两者交于点OI3)GD1EB4)AO平分ZEOD

N

尸«

E

1倍长中线模型】

已知图示结论（性质〉

已知点D为AABC中BC边中

一1)连接EC,贝必ABD2ECD,ABIICE

点，延长线段AD到点E使

AD=DE

2)连接BE,贝“AADCaEDB,AC//BE

\，/

已知点D为AABC中BC边中点，A△BDF^ACDE

延长线段DF到点E使DF=DE,

连接EC

D*

蔻能＞港式训绻

1.(2024・广东汕头•一模)综合运用

(1)如图L乙4CE=90。，顶点C在直线BD上，过点4作4B18D于点B,过点E作ED1BD于点。，当

BC=DE时，判断线段4C与CE的数量关系；(直接写出结果，不要求写解答过程)

⑵如图2,直线。：y=，+4与坐标轴交于点4B,将直线k绕点B顺时针旋转45。至直线%,求直线L的函

数解析式；

⑶如图3,四边形2BC0为长方形，其中。为坐标原点，点B的坐标为(8,—6),点力在y轴的负半轴上，点C

在%轴的正半轴上，P是线段8c上的动点，。是直线y=—2x+6上的动点且在第四象限.若△2PD是以。为

直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标.

【答案】⑴4C=CE；

(2)y="x+4；

⑶(4,-2)或停,—9.

【分析】(1)由N2CE=90°可得NC4B=NECD,根据AAS即可证明△三△CBE；

(2)证明△力CD三△BAO(AAS),得到C(—7,3),最后运用待定系数法求直线办的函数表达式即可；

(3)根据△APD是以点。为直角顶点的等腰直角三角形，当点。是直线y=—2x+6上的动点且在第四象

限时，分两种情况：点。在矩形40C2的内部时和点。在矩形40C2的外部时，设。(居一2乂+6),根据

△ADE3ADPF,得出4E=DF,据此列出方程进行求解即可.

【详解】(1)解：如图1,

图1

■：Z.ACE=90°,

：.Z.ACB+Z.ECD=90°,

,：AB1BD,ED1BD,

・••乙ABC=^CDE=90°,

.•.乙4cB+乙CAB=90°,

：.Z-CAB=乙ECD,

在△ABC与△COE中，

(乙CAB=Z.ECD

］乙ABC=乙CDE=90°,

(BC=DE

・•.△ABC^△COE(AAS),

•.AC=CE；

(2)解：•・,直线/1：、=乏+4与坐标轴交于点4B,

.-.71(-3,0),8(0,4),

.,.AO=3,BO=4,

如图2,过点4作交直线%于点c,过点c作CDlx轴于点D,

•・・将直线人绕点8顺时针旋转45。至直线%,

・・・乙48。=45。，

'.'AC1AB,

.""=90。，

：,/-ACB=90°一45°=45°,L.BAO+Z.CAD=90°,

：.Z-ABC=Z-ACB,

.,.AB=AC,

•:CD1%轴，

・・.“。/=乙4。8=90。，

：.Z.ACD+匕CAD=90°,

：.Z-ACD=Z.BAO,

.••△/COw2\B4O(AAS),

...CD=/。=3,AD=BO=4,

.•・。0=40+40=4+3=7,

・•・C(—7,3),

设%的解析式为y=kx+b,将8,c点坐标代入得,

,3=—7k.+b

I4=b'

解得(b尸=4I

也的函数表达式为y+4；

（3）解：当点。是直线y=—2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况:

当点。在矩形40CB的内部时，

如图3,过D作x轴的平行线EF,交直线。4于E,交直线BC于F,

图3

设D(x,—2x+6),贝!|0E=2x—6,AE=6—(2x-6)=12—2%,DF=EF—DE=8—x,

同(1)可得，△4DE三△DPF,

:.DF^AE,

即12—2x=8—x,

解得x=4,

：.2x+6——2,

・•.D(4,—2),

此时，PF=ED=4,CP=6=CB,符合题意；

当点O在矩形40CB的外部时，

如图4,过。作x轴的平行线EF,交直线。力于E,交直线于F,

设。(%,-2x+6),贝lJOE=2x—6,AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12,DF=EF-DE=8-x,

同理可得△ADE^△DPF,

:.AE=DF,

即2x—12=8—x,

解久=g,

■•■2x—6=—y,

.・噌，一给,

此时，ED=PF=^-,AE=BF=l，

:.BP=PF—BF*<6,符合题意；

综上，点D的坐标为(4,—2)或停,一等).

【点睛】本题考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关

知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

2.(2023・辽宁大连•模拟预测)如图1,在△ABC中，点D,E分别在BC,AC上，AB=BD,点F在BE

上，AF=EF,^.ABD=/.AFE.

⑴在图1中找出与ADBF相等的角并证明；

(2)求证：4BFD=ZAFB；

AC

如图连接点在上，AF=kDF,求赤.(用含的代数式表示)

(3)2,FD,MEFzFOF+zMOF=180°,Mrk

【答案】⑴=见解析

(2)见解析

(3)^-1

【分析】本题考查四边形，三角形全等，三角形相似等综合问题，解题的关键是正确作出辅助线.

(1)根据三角形外角性质及角的和差求解即可；

(2)在BE上截取BG=4F,连接。G,先证△BGD三△AFB(SAS),得出N8GD=DG=BF,再根

据等量代换，乙FEA=^GED,即N8E4=NBED；

(3)在EA上截取EN=ED,连接NF,先证△NEF三△DEF(SAS),根据等量代换，^FEA=AFAE,

^FAE=^FED,得出△AFNsaEMD,对应边成比例，进而求解.

【详解】(1)解：/-BAF=/.DBF,

证明：••・”FE是aABF的外角，

：.A.AFE=乙ABF+Z-BAF,

又•:(ABD=乙ABF+乙EBC,^AFE=乙ABD,

：.Z-BAF=乙DBF；

(2)证明：如图1,在BE上截取BG=/F,连接DG,

图1

在△BGO和中，

(BD=AB

{Z.GBD=乙BAF,

(BG=AF

△BGD=△ZFB(SAS),

BGD=CAFB,DG=BF,

-BG=AF,FA=FE,

.-.BG=FE,

・・・BG-GF=FE-GF,

；.BF=GE,

••.DG=GE,

：.Z.GDE=/-GED,

"BGD=Z-GDE+乙GED=2Z.GED,

'.tFA=FE,

.,.Z.FAE=Z.FEA,

：,Z-AFB=Z.FAE+Z.FEA=2/-FEA,

X-Z.AFB=Z.BGD,

：.Z-FEA=Z.GED,

=乙BED；

(3)解：如图2,在瓦4上截取EN=ED,连接NF,

图2

在△NEF和△DEF中,

EN=ED

乙NEF=乙DEF,

EF=EF

△NEF=△DEF(SAS),

"ENF=乙EDF,

-Z.EDM+乙EDF=180°,"NF+乙ENF=180°,

"ANF=乙EDM,

,-'FA=FE,

.\Z-FEA=Z.FAE,

：.Z-FAE=乙FED,

MAFN〜AEMD,

AF_AN

,•丽—访'

AN=AE-EN=AE-DE=kDE—DE=(k-1)DE,

AFAN(k-l)ED.4

而，=~^=kT

嚏为"L

3.（2023•河南商丘•模拟预测）综合与实践

【操作发现】

甲、乙两位同学对"三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下:

如图1,在aABC中，点。是BC的中点，点E是边4B上一点,连接

ED.

甲同学；延长ED至点F,使DF=DE,连接CF,如图2所示.

・•・D是BC的中点，:.BD=CD.

X•••DE=DF,乙BDE=LCDF,：./\BDE=ACDF.(依据1：_)

乙同学；过点C作48的平行线交ED的延长线于点F,如图3所示.

VCFWAB,乙B=^DCF.

又•：BD=CD,乙BDE=2CDF,△CDF.(依据2：_)

(2)如图4,在四边形48CD中，ADWBC,E是DC的中点，连接ZE,BE,4E平分ZBAD,请根据(1)中

的方法，判断线段4。，AB,BC之间的数量关系，并说明理由.

图4

【拓展应用】

(3)如图5,在中，乙4cB=90。，4B=5,BC=3,以A为顶点作Rt△4DE,使乙4DE=90。，

^EAD=^CAB,AD=2,连接BE,F为线段BE的中点.将△4DE绕点A在平面内旋转，当DEIIBC时，请

直接写出线段CF的长.

图5

【答案】(1)SAS,ASA；(2)AB=BC+AD,见解析；(3)线段CF的长为1.25或3.75

【分析】(1)解读证明过程，即可知道依据1是SAS；依据2是ASA,进行作答即可.

(2)方法一：延长4E,交BC的延长线于点F,通过AAS证明△力DE三aFCE,结合角平分线的性质以及

线段的等量代换，即可作答；方法二：延长4E至点F,使EF=4E,连接CF,通过SAS证明△40E三

△FCE,结合角平分线的性质以及线段的等量代换，即可作答；

(3)当DEIIBC时，分两种情况讨论：①当点。在线段4c上时，延长ED交2B于点G,连接FG,可得此时

点G在2B的中点处，②当点。在C4的延长线上时，CF和DE的延长线交于点G,运用相似三角形的判定

与性质，得出线段之间的关系，结合勾股定理代入数值进行计算，即可作答.

【详解】解：⑴SAS,ASA.

(2)AB=BC+AD.

理由如下：

方法一：延长交的延长线于点F,如解图1所示.

图1

・・・E是DC的中点，

・•.DE=CE.

•・,AD\\BCf

・•・/-DAE=ZF.

又vAAED=乙FEC,

ADE=△FCE(AAS).

・•・AD=FC.

•・•ZE平分乙8他

•••Z-DAE=Z-BAE.

又vZ-DAE=乙F,

•••Z.BAE=zF.

:.AB=BF.

•.AB=BC+CF=BC+AD.

方法二：延长/E至点F,使EF=/E,连接CF,如解图2所示.

AD

图2

・・・E是DC的中点,

・•.DE=CE.

XvAE=FE,乙AED=^FEC,

.-.△i4DE=AFCE(SAS).

AD=FC,Z.D=Z.ECF,Z-DAE=zF.

•••ADWBC,

/.AD+ABCD=180°.

ZECF+ZBC/)=18O°,即8,C,F三点共线.

•・•AE平分/BAD,

Z-DAE=Z-BAE.

又Z-DAE=乙F,

Z-BAE=Z-F.

・•.AB=BF.

・•.AB=BC+CF=BC+AD.

(3)当DEIIBC时，分两种情况讨论:

①当点。在线段AC上时，延长交AB于点G,连接FG

•.•在RS4CB中，AACB=90°,AB=5,BC=3

••AC=V25—9=4

-DEWBC

：.DG\\BC

AD_AG2_AG

''~AC~~AB94-"T

即4G=|=SB

此时点G在48的中点处，

如图3所示.

则DG=y/AG2-AD2=1.5

•：Z-EAD=Z-CAB

.-.tanzETlD=tanZ,CAB,整=会

.-.ED=1.5

.-.EG=ED+DG=3=CB

-DGWBC

••.△GEF=乙CBF

图3

•；EF=BF,

・•.△CFB=△GFE,

：,/LEFG=乙BFC

MBFC+乙EFC=180°

・・."FG+(EFC=180°

・・•点C、F、G在同一直线上,

；.CB=GE=3,CF=GF.

v^LACB=90°,48=5,BC=3,

••.AC=4.

XvAEAD=ACAB,AADE=Z.ACB=90°

.••△/EO〜△ABC.

・••ED:BC=AD-.AC.

又「AD=2,

ED=1.5.

在RtZkCOG中，CD=AC-AD=4-2=2fDG=EG-ED=3-1.5=1.5,

...CG=V22+1.52=2.5.

CF=GF=|CG=1.25.

②当点D在C4的延长线上时，CF和DE的延长线交于点G,

如图4所示.同理，在RtZXCDG中，。。=4。+4。=4+2=6,DG=EG+ED=3+1.5=4.5,

CG=V624-4.52=7.5.

...CF=G?=#G=3.75.

综上所述，当DEIIBC时，线段CF的长为1.25或3.75.

【点睛】本题考查了全等三角形的综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，综合性强，难

度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

题型三：相似三角形的常考模型

加AX鹘典例.

1.(2023•吉林长春•中考真题)如图①.在矩形2BCD.AB=3,AD=5,点E在边BC上，且BE=2.动

点P从点E出发，沿折线EB—B4—AD以每秒1个单位长度的速度运动，作NPEQ=90。，EQ交边40或边OC

于点Q，连续PQ.当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒.(t>0)

图①图②

(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为；

(2)当点Q和点。重合时，求tan/PQE；

⑶当点P在边4。上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形.如图②.请说明理由；

⑷作点E关于直线PQ的对称点F,连接PF、QF,当四边形EPFQ和矩形48CD重叠部分图形为轴对称四边形

时，直接写出t的取值范围.

【答案】(1)任

(2)1

⑶见解析

(4)0<t<上磬或t=*或t=7

【分析】(1)证明四边形ABEQ是矩形，进而在QBE中，勾股定理即可求解.

PFRF9

(2)证明得出tan"QE=0=今=g

UcCU5

(3)过点P作PH1BC于点H,证明△PHE三ZXECQ得出PE=QE,即可得出结论

(4)分三种情况讨论，①如图所示，当点P在BE上时，②当P点在2B上时，当F,4重合时符合题意，此时

如图，③当点P在力。上，当月。重合时，此时Q与点C重合，贝UPFQE是正方形，即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，连接8Q,

AQD

L_______□_____________

B(P)EC

图①

•.•四边形4BCD是矩形

.-