2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题-立体几何初步

2025人教A版高中数学必修第二册

第八章立体几何初步

全卷满分150分考试用时120分钟

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的）

1.下列说法中正确的是（）

A.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体

B.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台

C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D.棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形

2.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是底角为45。的等腰梯形07VBe，且

BC=1QC=V^,则该平面图形的面积为（）

A.yB.2C.2V2D.4V2

3.已知圆锥侧面展开图的圆心角为60。,底面圆的半径为8,则该圆锥的侧面积为（）

A.384兀B.392兀C.398JID.404TT

4.已知圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为180。,则下

面说法不正确的是（）

A.圆台的母线长是20B.圆台的表面积是1100兀

C.圆台的高是10V2D.圆台的体积是若纥i

5.在直三棱柱ABD-AiBiDi中,AB=AD=AAi,NABD=45o,P为BiDi的中点，则直线PB与

ADi所成的角为（）

A.30°B.450C.60°D.9O0

6.如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，点D,E分别在棱AAi,CCi

上,AB=AC=AD=2AiD=CE=2CiE=2,点F满足前=入丽（0（九＜1）,若BiE〃平面ACF,贝|X的

值为（）

7.已知正方体ABCD-AiBiCiDi的表面积为96,点P为线段AAi的中点，若点DiG平面a,

且CP,平面a,则平面a截正方体ABCD-AiBiCiDi所得的截面图形的周长为（）

A.4V3+6V5B.6V3+4V5C.4岳6西D.6V2+4V5

8.《九章算术》是我国古代的数学著作，书中记载有几何体“刍薨”.现有一个刍薨如图所示,

底面ABCD为正方形,EF〃底面ABCD,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯

形,EF=；AB=2,AE=2何则该刍薨的外接球的体积为（）

A.丝回B.32兀c.空回D.64V27T

33

二、多项选择题（本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.某圆锥的底面半径为3,母线长为4,则下列关于该圆锥的说法正确的是（）

A.该圆锥的侧面展开图的圆心角为当

B.该圆锥的体积为9夕兀

C.过该圆锥的两条母线所作截面的面积的最大值为8

D.该圆锥轴截面的面积为券

10.如图，正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为1,则下列四个命题中正确的是（）

A.直线BC与平面ABCD所成的角所

B.点C到平面ABCiDi的距离为日

C.异面直线DC和BCi所成的角为：

D.二面角C-BCi-D的余弦值为

11.如图1,在等腰梯形ABCD中,AB〃CD,EF，AB,CF=EF=2DF=2,AE=3,EB=4,将四边形

AEFD沿EF进行折叠，使AD到达AD的位置，且平面ADFE，平面BCFE,连接A'B,D'C,

如图2,则（）

图1图2

A.BEXA'D'

B.平面A，EB〃平面D'FC

C.多面体A'EBCD'F为三棱台

D.直线ATT与平面BCFE所成的角为工

4

三、填空题（本题共3小题,每小题5分，共15分）

12.正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,高为3,则点A到不经过点A的侧面的距离

13.在△ABC中,NACB=9（r,AC=2,BC=5,P为AB上一点，沿CP将^ACP折起形成直二面

角AICP-B,当A'B最短时，答=.

14.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯，一般情况下粽子的形状是四面体.如图1,

已知底边和腰长分别为8cm和12cm的等腰三角形纸片将它沿虚线（中位线）折起来，可以

得到如图2所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最

大值为cm（用最简根式表示）;当该四面体的棱所在的直线是异面直线时，其所成

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分是正四棱锥

P-AiBiCiDi,下部分是正四棱柱ABCD-AiBiCiDi,正四棱柱的高0Q是正四棱锥的高POi

的4倍.

⑴若AB=6m,P0i=2m,求仓库的容积（含上下两部分）；

⑵若上部分正四棱锥的侧棱长为6m,当POi为多少时，下部分正四棱柱的侧面积最大?最

大面积是多少？

16.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形,E为PD的中点,EA=[PD,EF，AC,

垂足为F,且AC=4AF.证明：

（1）PB〃平面ACE;

（2）PA,平面ABCD.

17.（15分）如图所示，在直三棱柱ABC-AiBiCi中,AC=3,BC=4,AB=5,AAi=4,点D是AB的

中I占八'、•

⑴求证:ACLBCi；

⑵求证:ACi〃平面CDBi;

⑶求异面直线ACi与BiC所成角的余弦值.

18.（17分）如图，在四边形ABCD中,AB，AD,AD〃:BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在

BC,AD上,EF〃AB,现将四边形ABEF沿EF折起，使BE±EC.

⑴若BE=3,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,使得CP〃平面ABEF?若存在，求出色的

值;若不存在,请说明理由；

（2）求三棱锥A-CDF的体积的最大值,并求出此时点F到平面ACD的距离.

19.（17分）如图，已知三棱台ABC-AiBiCi的体积为等，平面ABBiAi,平面BCCIBI,AABC

是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=2AAi=2AiBi=2BBi.

⑴证明:BC,平面ABBiAi；

⑵求点B到平面ACCiAi的距离；

⑶在线段CCi上是否存在点F,使得二面角F-AB-C的大小为J?若存在，求出CF的长;若不

6

存在,请说明理由.

答案全解全析

1.D对于A,长方体是四棱柱,底面不是长方形的直四棱柱不是长方体,A错误；

对于B,棱台侧棱的延长线必须相交于一点,B错误；

对于C,各侧面都是正方形，底面不是正方形(如菱形)的四棱柱不是正方体,C错误；

对于D,棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形,D正确.

故选D.

2.D画出原来的平面图形，如图，则四边形OABC为直角梯形,OC=2OC=2V^,BC=BC=1,

在等腰梯形O'ABC中,O'A，=V^x/x2+l=3,因此OA=3,

所以S四边形OABC=：X(1+3)X2/=4鱼.故选D.

3.A设圆锥的底面半径为r,母线长为1,则r=8,

由题意知,2兀L全,解得1=48,

所以圆锥的侧面积为兀rl=8x48;r=384兀

故选A.

4.C圆台侧面展开图,如图.

设圆台的上底面周长为C,由扇环的圆心角为180。,得C=7i-SA,

又C=2TIX10,所以SA=20,同理SB=40,则AB=SB-SA=20,圆台的高h=7^B2-(20-10)2=10V3,

表面积S=7i(10+20)x20+10071+40071=1IOO71,

体积V=17rxl0V3x(102+10x20+202)=Z£y^7i.

故选C.

5.A取BD的中点E,连接EDi,AE,

易得PD1/7BE且PDi=BE,

所以四边形BEDiP为平行四边形，所以PB〃DiE,

故NADiE（或其补角）为直线PB与ADi所成的角.

设AB=AD=AAi=2,因为NABD=45。,所以NDAB=90。,因为E为BD的中点，所以

AE=DE=yAB=V2.

易得ADi=Ja02+叫=2"D1E=JDE2+叫=语

因为AD/=AE2+DIE2,所以AEXD1E.

故cosNADiE=鬻=需=*又0o<NADiE<180。,所以NADiE=30。.故选A.

6.C在BBi上取一点G,使得BiG=2BG,连接CG,AG,如图所示.

CE=2CiE=2,ACCi=BBi=3,

...在直三棱柱ABC-AiBiCi中,BiG〃CE,且BiG=CE=2,

•••四边形BiGCE为平行四边形,，BiE〃CG,

：BiEC平面ACG,CGu平面ACGJBiE〃平面ACG,

若BiE〃平面ACF,则F在平面ACG内，又F为BD上一点,...F为BD与AG的交点.

易知△BFG<^ADFA,

DFDA2'

：.BF=^BDJ\\X的值为1.

故选C.

7.D取AD的中点M,AB的中点N,连接PD,MDI,MN,NBI,BIDI,AICI,AC.

易知M,N,Bi,Di四点共面,DlM，PD,DlM，CD,^.•PDnCD=D,PD,CDu平面PCD,.*.DiM±

平面PCD,又CPu平面PCD,ACP±DiM.

由AAi,平面ABCD,MNu平面ABCD,可得AAiLMN,易知MNXAC,

VACAAAi=A,AC,AAIACCiAi,...MN，平面ACCiAi,

又CPu平面ACCiAi,.\CP±MN,

又DiMCMN=M,DiM,MNu平面MNBiDi,

...CP，平面MNBiDi,即平面a为平面MNBiDi.

由题意可知6AB2=96,故AB=4,，MN=2V^,BIDI=4A②BiN=DiM=2花，，截面图形的周长

为6鱼+4迷.故选D.

8.A取AD,BC的中点N,M,正方形ABCD的中心O,EF的中点。2,连接EN,MN,FM,OO2,

如图，

由题意知002,平面ABCD,EF〃AB〃MN,点0是MN的中点,MN=AB=4,

在等腰△AED中,AD，EN,EN=VAE2-AN2=2VX同理FM=2/,

因此，等腰梯形EFMN的高002=辰2-（誓］二夕，

由几何体的结构特征知，刍喘的外接球球心在直线002上，设外接球球心为01,连接

0iE,0iA,0A,易知0A=2版

则霏-0^+0%易得O1A=O1E>°2E4EF=1'

当点01在线段020的延长线（含点0）上时，视001为非负数;当点01在线段020（不含点

0）上时，视001为负数，即O2O1=O2O+OO1=V7+OO1,

所以（2e）2+0。*1+（«+0。1）2,解得001=0,

因此刍薨的外接球球心在点0处,半径为0A=2VI

所以刍薨的外接球的体积为空（2圾3=等故选A.

9.AC对于A,因为圆锥的底面半径为3,所以圆锥的底面周长为27rx3=6匹又因为圆锥的母

线长为4,所以圆锥的侧面展开图的圆心角为野=芋，故A选项正确.

42

对于B,因为圆锥的底面半径为3,母线长为4,所以圆锥的高h=回矛=夕,故圆锥的体积

V=gx兀X32X«=3近再故B选项不正确.

对于C,设圆锥的两条母线的夹角为0,则过这两条母线所作截面的面积为*4x4xsin0=8sin

o,易知过圆锥母线的截面中,轴截面三角形对应的e最大，此时cos所以0最

2X4X4o

大是钝角,所以当0苫时，截面的面积最大，为8sin5=8,故C选项正确.

对于D,易知圆锥的轴截面的面积为*6x77=3夕，故D选项不正确.

故选AC.

10.AB如图，取BCi的中点H,连接CH,易证CH,平面ABCiDi,

所以NCiBC是直线BC与平面ABCiDi所成的角，为:，故A正确.

点C到平面ABC1D1的距离即为CH的长，为日，故B正确.

易证BCi〃ADi,所以异面直线DiC和BG所成的角为NADiC（或其补角），连接AC,易知

△ACDi为等边三角形，所以NADiCg,所以异面直线DiC和BCi所成的角为去故C错误.

连接DH,易知BD=DCi,所以DHLBCi,

又CHLBCi,所以NCHD为二面角C-BCi-D的平面角，

易求得DH零

XCD=1,CH=—,

2

所以由余弦定理的推论可得COS/CHD=D5：:"：产=£故D错误.

2DH,CH3

故选AB.

11.ABD对于A,因为平面ADFE，平面BCFE,平面ADFEC平面BCFE=EF,BEu平面

BCFE,BE，EF,所以BE,平面A'D'FE,

又因为ADu平面ADFE,所以BELAD,故A正确.

对于B,因为A旧〃DRAEC平面DFC,DFu平面DFC,所以AE〃平面DFC,

因为BE〃CF,BEC平面DFC,CFu平面DFC,所以BE〃平面D'FC,

又因为A'EnBE=E,A'E,BEu平面A'EB,

所以平面AEB〃平面DFC,故B正确.

对于C,因为器弓若=衿，则骼唱，所以多面体A'EBCD'F不是三棱台，故C错误.

AE3EB42AEEB

对于D,延长AD；EF,相交于点G,

因为平面ADFE,平面BCFE,平面ADFEA平面BCFE=EF,AEu平面ADFE.AELEF,

所以A旧，平面BCFE,则NACE为直线ATT与平面BCFE所成的角.

解得GF=1,贝I]GE=3,则tanNA'GE="=l,

GE

则NACE=：故D正确.

4

故选ABD.

12.答案蜉

解析设正方形ABCD的中心为O,BC的中点为E,如图所示.

易知EO=1,高P0=3,所以斜高PE=V32+l2=V10,

易知点A到侧面PCD的距离与点A到侧面PBC的距离相等,

易知SAPDC=SAPBC=1X2XV10=VT0,

正四棱锥P-ABCD的体积V=g四边形ABCD-PC)qx2x2x3=4,

设点A到侧面PBC的距离为d,

贝(JV=VA-PDC+VA-PBC=|SApoc-d+|SAPBC-d=|dx2V10=4,

故答案为粤.

13.答案

解析过点A作ADLCP于点D,连接BD,

设NACP=a(0<a<贝UNPCB吟a,

所以A*D=2sina,CD=2cosa,

在aBCD中，由余弦定理可得

BD2=CD2+BC2-2CDBCCOS^-aj=4cos2a+25-1Osin2a,

因为A*-CP-B为直二面角，所以ADJ_平面BCP,所以ADJ_BD,

贝！JA,B2=A,D2+BD2=4sin2a+4cos2a+25-10sin2a=29-10sin2a,

当AR2最小时,AB最短,2a=q所以a=：,此时CP平分NACB,

24

由角平分线定理可得行4即答

BPBC5BP5

V145

14.答案

解析对题图1中各点进行标记洞时将题图2置于长方体中如下，其中A,B,C三点重合.

........\E

ADR

设EP=xcm,ER=ycm,SE=zcm,

xz+yz=36,

2V7,

则1久2+22=36,解得二]，

(y+z2=16,(y=z=2V2,

...四面体ADEF的体积为|v长方体=[xyz=^4cm3),

2

四面体ADEF的表面积S=4SADEF=4x|x4x4V2=32V2(cm).

当蛋黄与四面体各个面相切时，蛋黄的半径最大,

设此时蛋黄（近似于球）的半径为rcm,

长方体16V7V14

贝Uv长方体=[sr,...r=-

s32V24"

设SQnDF=O,取DQ的中点M,连接OM,

则OQ=3cm,MQ=V2cm,

在RtAOMQ中,sinNQOM=篝=?,

c4A

cosZDOQ=cos(2NQOM)=l-2sin2NQ0M=1--=-,

故长为6cm的两组对棱所成的角都为锐角,余弦值都是票

易知长为4cm的两条棱所成的角为直角.

•••所求最小的角的余弦值为李

15.解析（l）VPOi=2m,正四棱柱的高010是正四棱锥的高POi的4^,.*.010=8m.（2分）

仓库的容积为1x62x2+62x8=312(11?).(5分)

(2)连接AiOi,设POi=xm,0<x<6,

则OiO=4xm,AiOi=A/36—/m,AiBi=V72—2x2m.(7分)

二・正四棱柱的侧面积S=4-4x-V72—2x2=16V2x-V36—x2（m2）,（9分）

166736—久2g]6/y2+«；6一支2y二288近,

当且仅当x=”36—久2,即*=3四时，等号成立，

ASmax=28872.（12分）

所以当P0i=3V^m时，正四棱柱的侧面积最大,最大为288am2.（13分）

16.证明⑴连接BD,交AC于点0,连接0E,则0为BD的中点，又E为PD的中点，所以

0E〃PB,（3分）

又OEu平面ACE,PBC平面ACE,所以PB〃平面ACE.（6分）

（2）因为AF=：AC,所以F为A0的中点，

因为EFLAO,所以△AEO为等腰三角形，

-1-1

则AE=OE,又AE=|PD,OE=-PB,

所以PB=PD,连接0P,则P0±BD,（9分）

因为四边形ABCD为菱形，所以AC±BD,XPOnAC=O,PO,ACu平面PAC,

所以BD，平面PAC,

又PAu平面PAC,所以BD±PA.（11分）

因为AE=|PD,E为PD的中点，所以NPAD=90。,即PA±AD,（13分）

又ADABD=D,AD,BDu平面ABCD,

所以PA,平面ABCD.（15分）

17.解析⑴证明:：AC2+BC2=AB2,AC±BC.

XVCiC±AC,CiCnBC=C,AAC±BCCiBi.（3分）

,.•BCiu平面BCCIBI,/.AC±BCI.（5分）

⑵证明:设CBi与CiB的交点为E,则E是BCi的中点，连接DE,

是AB的中点，

.,.DE〃ACi.（8分）

：DEu平面CDBi,ACi，平面CDBi,

.•.ACi〃平面CDBi.（10分）

（3）：DE〃ACi,...NCED（或其补角）为ACi与BiC所成的角.

在RtAAA1C1中,ACi=J四+4iC）=5,

1c.

・・・ED*ACI=2,

22

易得CDWAB=|,CEWCBI=2&,（13分）

.,.cosZCED=^-=—.

35

2

.•.异面直线ACi与BiC所成角的余弦值为手.（15分）

18.解析⑴假设存在满足条件的点P.

如图，过点P作PM〃FD,交AF于点M,连接ME,

A

•.♦CE〃FD,...MP〃EC,，M,P,C,E四点共面.（2分）

：CP〃平面ABEF,CPu平面CEMP,平面ABEFC平面CEMP=ME,

...CP〃ME,・..四边形CEMP为平行四边形,（4分）

.*.MP=CE=4-BE=1,

易得FD=6-3=3,

由MP〃FD可得M警告.•.黑.（7分）

故存在点P,使得CP〃平面ABEF,止匕时/三.（8分）

（2）由题意得BELEF,又BE，EC,ECnEF=E,EC,EFu平面CEFD,

.•.BE,平面CEFD,

又AF〃:BE,；.AF，平面CEFD.设BE=x（0<xg4）,则AF=x,FD=6-x,

故VA-CDF=|X|X2X（6-X）-X=-|（X-3）2+3,

...当x=3时,VA-CDF取得最大值，最大值为3,（10分）

此时EC=1,AF=3,FD=3,DC=2V2,

AD=VAF2+F£）2=3V2,AC=V£T2+EC2+AF2=V14,（12分）

在^ACD中,由余弦定理的推论得c°sNADC=薄造与

.•.sinZADC^,

/.SAACD=|DC-AD-sinZADC=3V3.（15分）

设F到平面ACD的距离为h,

由VF-ACD=VA-CDF,得|SAACD-1I=3,解得h=V3.

综上,三棱锥A-CDF的体积的最大值为3,此时点F到平面ACD的距离为次.（17分）

19.解析⑴证明:连接ABi,

在三棱台ABC-AiBiCi中,AB〃AiBi,

VAB=2AAi=2AiBi=2BBi,.\四边形ABBjAi为等腰梯形且NABBi=NBAAi=60°,（l分）

设AB=2x,则BBi=x.

由余弦定理得ABl=AB2+BB^-2ABBBicos60°=3x2,

AB2=ABf+BB^,ABi±BBi,（2分）

•.•平面ABBiAi，平面BCCiBi,平面ABBiAiC平面BCCiB尸BBi,ABiu平面ABBiAi,

...ABi