2025年中考数学大题与几何压轴题：三角形压轴（解析版）

专题10三角形压轴

目录

题型特训・精准提分

型

题

01与三角形有关的多结论问题（选/填）

型

题

02与三角形有关的平移问题

型

题

03与三角形有关的翻折问题

型

题

04与三角形有关的旋转问题

型

题

05与三角形有关的全等/相似问题

型

题

06与三角形有关的最值问题

型

题

07与三角形有关的动点问题

型

题

08与三角形有关的新定义问题

型

题

09与三角形有关的阅读理解问题

型

题

型与三角形有关的存在性问题

题10

型

题11三角形与几何图形综合

12三角形与函数综合

中考逆袭-高效集训

（时间：60分钟）

题型特训-精准提分

题型01与三角形有关的多结论问题（选/填）

I.（2023•陕西宝鸡•一模）如图，在△48C中，分别以AC,BC为边作等边△4CD和等边△BCE.设

22

△ACD,ABCE,△ABC的面积分别是SiS，S3现有如下结论：®S1：S2=^C:BC；②连接力E,BD,则

ABCD=AECA；③若2CLBC,则弼，其中正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.①②③D.②③

【答案】C

(CD=AC

【分析】①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可证；②根据N4CE=NDCB,即可求得全等

ICE=BC

(SAS)；③设47=a,BC=b,根据面积公式分别计算出Si、S2,S3即可证.

【详解】解:①SI：S2=4C2：BC2正确，

•••△4DC与△BCE是等边三角形，

...乙ACD=4BCE=60°,^DAC=^EBC=60°,

.•.△ADCMBCE,

22

.­.S1；S2=AC：BC；

②△SCO三△£1£?正确，

•••△ADC与△BCE是等边三角形，

:.Z.ACD^Z.BCE^60°,CD^AC,CE=BC,

：.Z.ACD+Z.ACB=4BCE+Z.ACD,

即A4CE=NDCB,

在△4CE与△DC8中,

CD=AC

Z-ACE=Z.DCB,

CE=BC

△BCD=AECA（SAS）；

③若ac,BC,则Si-S2=1^正确，

设等边三角形力DC的边长为a,等边三角形8CE边长为b,

则△力DC的高为亨a,△BCE的高为孚b,

22

.■，S1=^a-^a=^a,S2-^-b=^-b,

1224z224

・•.S「S2=&2.y^2=4a2b2,

1z4416

,**S3='b,

•••S3=^d2b2,

D4

••.SiS.S*

故答案是：①②③.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等于相似

比的平方，熟知各性质是解题的关键.

2.（2023•浙江湖州•二模）如图，在RtaABC中，AACB=90°,乙B=3Q°,点、D,E分别是边4B和BC上的两

点，连结DE,将△BDE沿DE折叠，点B恰好落在AC的中点M处，BM与。E交于点F.下列三个结论：①

DF=EF；②DM1AM；③tanNCME=喏其中正确的是.（写出正确结论的序号）

【答案】③

【分析】①由折叠的性质可得ED是BM的垂直平分线，假设DF=EF,则四边形BDME为菱形，MB平分N4BC,

由乙4c8=90。，N8=30。，M是2C的中点，得出BM不是乙4BC的平分线，即可判断，

②由8M不是乙4BC的平分线，可得/LMDA=^DBM+/.DMB30°,在ZkADM中

AMAD+AMDA=60°+^MDA丰90°,即可判断，

③设CM=a,ME=x,应用勾股定理，表示出CE的长度，在RtACME中，ME2=CM2+CE2,即可求得:

%=喑，根据锐角三角函数的定义，即可判断，

本题考查了折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握折叠的性质.

【详解】解：由折叠的性质可得：EB=EM,DB=DM,

是的垂直平分线，

假设=则四边形为菱形，

...乙EBF=LDBF,即：MB平分乙4BC,

■：/.ACB=90°,ZB=30°,M是2C的中点，

.•.BM不是N4BC的平分线，

••・假设DP=EF错误，故①错误，

・••BM不是乙4BC的平分线，

；/DBM=/-DBM丰15°,

.-.AMDA=4DBM+乙DMB牛30°,

:.Z.MAD+Z.MDA=60°+/.MDA*90°,故②错误，

设CM=a,ME=x,则：AM=a,EB=x,AC=2a,AB=2AC=4a,

由勾股定理得：BC=7AB2—〃2=J(4a)2—(2a)2=2ga,

.■.CE-BC—BE=2V3a—x,

在RtzXCME中，ME2-CM2+CE2,即：x2=a2+(2V3a-整理得：久=耳等，

.-.CE=2V3a-x=2V3a-

.•.tanNCME=罟=喈，故③正确，

综上所述，只有③正确，

故答案为：③.

3.(2023•辽宁抚顺•三模)如图，在△ABC中，ZBXC=45°,CD148于点。，力E_LBC于点E,AE与CD交

于点尸，连接BF,DE,下列结论中：①4F=BC；@2cosz£)FB=|,③AE—CE=&ED,④若N

CAE=30°,则二卢=1,正确的是.(填写序号).

c

【答案】①③④

【分析】①②只要证明△4DFmaCDB即可解决问题.③如图1中，作。MJ.4E于M,DNLBC于N,易证

△DMF三ADNB,四边形DMEN是正方形，想办法证明2E—CE=BC+EF—EC=EF+BE=2EN=V2

DE,即可.④如图2中，延长FE到H,使得FH=FB.连接HC、BH.想办法证明△BF”是等边三角形，

=即可解决问题.

【详解】解："AE1BC,CDLAB,

:.Z.AEC=Z.ADC=乙CDB=/.AEB=90°,Z.AFD+Z.DAF=90°,Z.DCB+乙CFE=90°,

*:Z-AFD=乙CFE,

=Z-DCB,

-CD1ABAC=45°f

：./.ACD=90°-45°=45°=Z.CAD,

：.AD=DC,

在△409和△COB中，

(乙DAF=LDCB

]AD=DC,

l乙ADF=4CDB

AADF=ACDB(ASA),

：.AF=BC,DF=DB,故①正确，

:"DFB=乙DBF=45°,

取BF的中点。，连接。。、0E.

c

图1

,：Z-BDF=乙BEF=90°,

•••OE=OF=OB=OD,

:・E、F、D、B四点共圆，

"DEB=乙DFB=45°,

.•.2coszDEB=2cos45°=V2,故②错误，

如图1中，作OM1/E于M,DNtBC于N,则四边形DMEN是矩形，

-Z.DEB=45°,Z.AEB=90°,

：.Z-AED=90°-45°=45°=乙DEB,

:,DM=DN,

,：DF—DB,

.-.RtADMF=RtADNB,

；.MF=BN,EM=EN,

；.EF+EB=EM-FM+EN+NB=2EM=2EN,

cos乙DEB=瞿=cosz.450=—,

DE2

...EN=&E,

2

：.AE-CE=BC+EF-EC=EF+BE=2EN=^DE,故③正确,

如图2中，延长FE到H,使得FH=FB.连接HC、BH.

c

图2

•・2C4E=30。,4G4。=45。,^ADF=90°,

•・ZO/F=15。，/-AFD=75°,

MDFB=45°,

：.Z.AFB=120°,

,"FH=60°,

,：FH=BF,

・•・△BF”是等边三角形，

；.BF=BH,

-BCLFH,

.-.FE=EH,

：.CF=CH,

.・ZCFH=(CHF=Z.AFD=75°,

=75。，

.'.^ACH=AAHC=7S°,

：.AC=AH,

-AF+FB=AF+FH=AH,

：,AF+BF=AC,

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角二角形的判定和性质、等边二角形的判定和性质，

解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中

的压轴题.

题型02与三角形有关的平移问题

4.（2023・吉林长春•模拟预测）【问题原型】如图①，在RtZ\48C中，^ACB=90°,CDLAB.若4B=5,

BC=3,贝IJCD的长为；

【操作一】如图，②，将图①中的，△4。。沿4。翻折得至1」44。后，则四边形2ECD的周长为；

【操作二】如图③，将图②中的△力CE沿射线48方向平移，使点4与点D重合，得到△DGF,点E的对应

点、为点、F.

（1）求证：四边形力DFE是菱形；

（2）直接写出四边形4DGF的周长.

【答案】问题原型：y；操作一：y;操作二：⑴见解析：⑵罢

【分析】问题原型：首先利用勾股定理解得4c的值，再利用面积法解得C。的长即可；

操作一：首先利用勾股定理解得4。的值，再根据折叠的性质可得CE=CD,AE=AD,然后计算四边形4ECD

的周长即可；

操作二：4）首先根据平移的性质可得=4EIIDF,可证明四边形4DFE为平行四边形，再结合=

即可证明四边形4DFE为菱形；（2）连接DE,交AC于点。，首先根据菱形的性质可得力F，DE,OA=OF=^

AF,利用面积法解得0E的值，再利用勾股定理解得=7AE2—。虫=弟易得4F的长度，然后利用平移

的性质确定FG,DG的值，即可获得答案.

【详解】解：问题原型：

•・•乙4cB=90。，AB=5,BC=3,

­-AC=7AB2-BC2=452-32=4,

,:CD1AB,

・'△ABC—-CD=^AC-BC,

x5xCD=1x4x3,

解得CD=£.

故答案为：?；

操作一：

12

-CDLAB,AC=4,CD=­f

：.AD=7AC2—CD2=142一(92=y,

ACD沿ac翻折得到△ACE,

.-.AAEC=AADC=90°,CE=CD=y,AE=AD=y,

.•.四边形4EC。的周长=AE+CE+CD+AD=Y+^+T+T=T-

故答案为：I；

操作二：

(1)•・•△4CE沿射线4B方向平移得到△DGF,

•••由平移的性质可得4E=DF,AEWDF,

二.四边形4DFE为平行四边形，

'：AE=AD,

.•・四边形4DFE为菱形；

(2)如下图，连接DE,交4c于点。，

•.•四边形4DFE为菱形，

.-.AFIDE,OA=OF=^AF,

','S/\ACE=^AE-CE=^AC-OE,

即如蓝x冷=：x4x0E,解得OE=黄，

.♦.在Rt△40E中，OA=\AE2—OE2=J©—偿丫=弟

.-.AF=2。4=爰，

・・・△4CE沿射线48方向平移得到△DGF,

12

：.FG=CE=—,DG=AC=4,

・•・四边形ZDGF的周长=”+/6+。6+4。=嘿+5+4+募=鬻.

【点睛】本题主要考查了平移的性质、折叠的性质、勾股定理、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠

的性质和平移的性质是解题关键.

5.(2023•山东青岛•三模)已知：如图①，AABC为边长为2的等边三角形，D、E、尸分别为AB、AC.BC

中点，连接DE、DF、EF.将△BDF向右平移，使点8与点C重合；将△4DE向下平移，使点/与点C重

合，如图②.

空)

(2)已知：如图③，/-AOB=/.COD=Z£OF=60°,4。=CF=BE=2,设△4B。、AFEO.△CD。的面积

分别为Si、S2、S3；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(可利用图④

进行探究)

【答案】(1)<

(2)结论成立，理由见解析

【分析】

(1)利用等边三角形的性质，ffiBlAADE-△ABC,ABDF-△ABC,AEFC-AABC,求出aaBC的面积,

即可得到△ADE、△BDF、△EFC的面积，即可得出结论；

(2)延长。8到H使8H=。&延长。4到G使AG=。。，连接HG,证明△GH。是等边三角形，且面积为遍,

再证明aMGA三△COD(SAS),AMHB=AF0E,即可得出结论.

【详解】(1)解：・；D、E、厂分别为4B、AC.BC中点，△4BC为边长为2的等边三角形，

•••DE=BF=CF=4。=4E=BD=GC=DF=EF=1,

△ADE、△BDF、AEFC都是边长为1的等边三角形，

•••△ADE-△ABC,△BDL△ABC,△EFC”△ABC,

DE_BF_CF

而一而一就一了

-1

AADE,△BDF、△EFC的高等于△ABCBi的5,

・•.AADE,ABDF.△ETC的面积都等于△ZBC面积的中

如图，设的高为

•.•Zi4BC=60W=2,

・•・h=Z8sin60。=与AB=V3,

•e•S^ABC=%•BC=V3,

•••SAADE-S^BDF=^AEFC=^AABC=手，

・•・Si+S2+S3=S+S^BDF+SAEFC=乎Vg，

AADE4,

故答案为：v;

(2)结论成立

证明：延长。B到“使8”=。号

延长。4到G使4G=0。，连接HG,

•・•0A+AG=0A+DO=AD=2

0B+BH=0B+0E=BE=2

^AOB=60°

.•・△G”。是等边三角形

•・•OG=OH=HG=2

•••S&GHO=g

在HG上取点M,使MG=OC

•••HM+MG=HG=2

0C+0F=CF=2

・•.HM=OF

(MG=CO

在AMGA和△C。。中，］zG=zCOP=60°,

(GA=OD

・•・△MGA=ACOD(SAS),

同理可证：AMHB三AFOE,

•>,S2=SAMHB，S3=S^MGA

由图形可知：S^BO++^AMGA<

・•・Si+S2+S3VS^GHO=V3

即Si+S2+S3<y/3•

【点睛】本题中综合考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大.

6.(2023•辽宁沈阳•三模)在平面直角坐标系中，△DOE是等腰直角三角形，^ODE=90°,DO=DE=3,

点。在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形48C。的顶点8(4,2),点C在x轴的正半轴上，点4在y轴的正

半轴上.将△DOE沿久轴向右平移，得到△/。石、点D,0,E的对应点分别为。，O',E'.

(1)如图1,当？。，经过点力时，求直线071的函数表达式；

(2)设。。=3△ZTOE与矩形4BC。重叠部分的面积为S；

①如图②，当△。。'£与矩形ABC。重叠部分为五边形时，DE与4B相交于点M,EO分别与AB,BC交于

点N,P,用含有t的式子表示S；直接写出t的取值范围；

②请直接写出满足s=（的所有珀勺值—.

【答案】（l）y=—尤+2

（2）®S=-1t2+4t-4,4<t<6；②t的值为9或5

【分析】（1）根据平移的性质可得△4。。'是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得。。'=。4=2,从而得

到力（0,2）,。（2,0）,最后用待定系数法即可求得答案；

（2）①根据S=S矩形BCD，M—S^BPN，即可求得5=—京2+曲一4,再结合题意列不等式组即可求得

4<t<6；②分五种情况讨论：当0<tW2时，△。。成与矩形4BC。重叠部分为三角形；当2<t<3时，

△0OE与矩形4BC。重叠部分为四边形（梯形）；当3sts4时，重叠部分为梯形；当4<t<6时，

斤与矩形4BC。重叠部分为五边形；当6Wt<7时，重叠部分为矩形BCOF,分别画出图形，结合图形建立

方程求解即可.

【详解】（1）解：如图①，当EO经过点4时，

图①

••・矩形4BC0的顶点B（4,2）,

:.OA=BC=2,

由平移的性质可得：△。。'尻为等腰直角三角形,

z£,,O,Z）,=45°,

•­•Z.AOO'=90°,

••.△a。。，是等腰直角三角形，

•1-00'=OA=2,

••.4（0,2）,0,（2,0）,

设直线。2的解析式为y=kx+b,

将4（0,2）,O'（2,0）代入得：L储）、0,

解得:[fc1，

••・直线。%的解析式为：y=—%+2；

(2)解：①如图②，当△。。缶，与矩形/BC。重叠部分为五边形时,

图②

•.,矩形2BC0中，AB=0C=4,BC=OA=2,乙B=ABCO=90°,

■■四边形BCZTM是矩形，

设。。，=3则CP=CO，=t—4,

•*.CD'=O'D'—CO'=3—(t—4)=7—t,BP=BC—CP=2—(t—4)=6—t,

•••Z-O'PC=ABPN=/.E'O'D'=45°,

△BPN是等腰直角三角形，

BN=BP=6—t,

：•S=S矩形3CD，M—SMPN—BC,CD1—=2(7—t)—1(6—t)2=—+4t—4,

ft>4

•It-4<2J

・•・4<t<6；

图③

22

重叠部分的面积为：5-SAO,OF=|o'O=|t,

•••|t2=I，解得：t=±V7,

•­•o<t<2,

・••t=±V7不符合题意，此时重叠部分面积不可能为：；

当2<t<3时，△0OE与矩形4BC。重叠部分为四边形（梯形），如图④,

图④

则。。=3—t,00'^t,AL^AG^t-2,

2

S=s△OLO._SAALG=1t--2）2=2t-2,

7

・・・2t—2-

解得：t=

2<t<3,

符合题意；

当3WY4时，重叠部分为梯形，$="33—"12=4为定值，不能等于1；

当4<t<6时，△ZTOE与矩形4BC0重叠部分为五边形，

由①知：S=-1t2+4t-4,

■,­—9t之+4t-4=

解得：h=3（舍去），询=5；

当6Wt<7时，重叠部分为矩形BCZZF,如图⑤,

图⑤

CD'=7-t,

S=S矩形BCDF=BC,CD,=2(7—t),

771__

当2(7—t)=5时，t=—<6,不符合题意；

综上所述，满足s=9的所有t的值为弓或5.

【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角

形、梯形、矩形面积，代定系数法求一次函数的解析式等知识，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论

思想.

题型03与三角形有关的翻折问题

7.(2023•江苏盐城•模拟预测)如图，RtaABC中，zC=90°,Nd=60。，力B=4,点E、F分别在直线AC、

边BC上，连接EF,将△(?即沿着EF翻折，点C落在边力B上的点。处.过点D作交直线4C于M.

(l)i4C=_,BC=_；

(2)当CF=CE时，求证：AEMD34FBD；

(3)当径=9时，求4。的值；

(4)连接CD交E尸于点P,当4P+8P取最小值=_时，EF的值为

【答案】⑴2；2V3

(2)见解析

⑶4。=3-遥或让卓

(4)719,手.

【分析】本题考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，

(1)解直角三角形力BC求得结果；

(2)可推出乙4MD=NB,DE=CE=CF=DF,乙EDM=KBDF,从而得出结论；

(3)分为两种情形：当点M在CE上时，作FG14B于G,可证得△EMDFBD,从而黑=嚣=2,进而

DrCIVl

求得DF,BF,解三角形求得BG和DG,进而求得结果；当点M在EC的延长线上时，作于H,同

样方法得出结果；

(4)由CP=DP得出点P在△ABC的一条中位线所在的直线Z上运动，作点4关于直线/的对称点X,连接BX,

交，于点P',当点P在P'处时，D在P处，4P+PB最小为BX的值，在Rt2\4CX中求得4X的值，进而求得8X,

连接CX,作VS±8C于S,可得△CXP，三△VBP，，从而求得BV=CX=1,依次求出VS,BS,CS,CV,CP',

根据"S得出言=?进而求得CF,根据△CSVsZXEC尸得出言=,，进一步得出结果.

【详解】(1)解：Rt△力BC中，zC=90°,NA=60°,AB=4,

•­•AC=4•cos60°=2,BC=4•sin60°=2V3,

故答案为：2,2V3；

(2)证明："DMLAB,44cB=90°,

•••^LADM=90°,N4+ZB=90°,

・•・乙4+/.AMD=90°,

・•・/,AMD=乙B,

由折叠得：NEO尸=90。，DF=CF,DE=CE,

工乙EDF=^BDM=90。,DE=DF,

・••乙EDM=(BDF,

・•.△EMD=AFBZ)(AAS)；

(3)解：如图1,

当点M在CE上时，作FG1ZB于G,

由上知：乙AMD=^B,乙EDM=^BDF,

••△EMD~AFBD,

.DF_DE

**BF-FM,

CLCLCM1

•・,DE=CE,—

CE2

DF「

:.—=2,

BF'

■：CF^DF,BC=2小

...BF=竽，DF=竽，

BG=^-sinB=^x^=1,FG匚BF=叵,

33223

...DG=7DF2—FG2=J（竽）2-（空）2=V5,

■■■AD=AB-BG-DG=4-1-=3-V5,

如图2,

图2

当点M在EC的延长线上时，作FH14B于",

DF_DE_CE2

同理上可知:

~BF~~EM~~EM3J

CF=DF,CF+BF=2通,

•••FF-1x2V3=1V3,。?=誓,

...F"=竽，BH=l，

•,。=«竽）2_（¥）2=尊

...40=4--等=气空

综上所述：4。=3—遥或工书；

.'•点P在△ABC的一条中位线所在的直线/上运动,

作点/关于直线，的对称点X,连接BX,交，于点P,当点P在P'处时，。在P处，”+尸8最小为BX的值,

AX=AC-cosZ-XAC=2cos30°=V3,

•1•BX=7AX2+旃=J（V3）2+42=V19,

连接CX,作VS_LBC于S,

■.■CP'=P'V,^CP'X=Z.VP'B

又CXIIAB,贝此CXP，=NPW,

△CXP'=△VBP',

：.BV=CX=AC-sinzCXX=2sin30°=1,

：.VS=^BV=\,BS=^-BV=

CS=BC-BS=2行一空=竽，

•1.cv=7Vs2+CS2=J（1）2+（竽）2=V7,

・・“-2一2'

vLBCA=90°,VSIBC

•••VSWEC

・•・△CFP'CVS,

.CF_CP_

•・cv~~csf

CF,

,———ti_

,,«一坦

2

・..CF=竿，

•••VSWEC

・•・ACSV-AECF,

EF_CF

••'CV~~VS9

EF型

-----------------9

•・V7-p

；.EF=¥，

故答案为：V19,”争.

8.（2023・重庆•模拟预测）在Rt△力BC中，AABC=90°,过3点作BE1AC于点E,点。为线段4C的中点,

连接BD.

(1)如图1,AB=2,AC=6,求ED的长度；

(2)如图2,将线段OB绕着点。逆时针旋转45。得到线段OG,此时DG1AC,连接BG,点尸为BG的中点，连

接EF,求证：BC=2EF-,

(3)如图3,乙4。8=30。，28=3,点尸是线段8。上一点，连接4P,将△2PB沿4P翻折到同一平面内得到

△APB，,连接CB-将线段绕点CB，顺时针旋转60。得线段CQ,连接BQ,当8Q最小时，直接写出aBCQ的

面积.

7

【答案】(l)ED=w

(2)见解析

(3)9V3

77

【分析】(1)证明△ABEs/XACB,利用相似三角形的性质求出=$则DE=AD—4E=g

(2)过点。作DH1BC于点打，过点尸作F/14C于点/连接尸D,则BE||»||GD,先证明FE=DF,进

一步证明BD=4。=DC,再证明==22.5。，即可证明△BFD三△DHB,得至l」DF=BF,贝ij

BH=EF,再证明BH=HC,即可证明BC=2EF；

(3)如图3中，以AC为边向上作等边三角形4CK,连接8K,证明△4C夕三aKCQ,得到4夕=QK,则

QK=3,求出BK=3V7,则BQ的最小值为3V7—3,此时反Q.K共线，作C/1BK于点J,利用等面积法

求出夕=5佚，则此时△BCQ的面积=：x(3夕一3)*蜉=96一苧.

【详解】⑴解：--BE1AC,

.-.^AEB=/.CEB=90°,

.・N4=44,/.AEB=Z.ABC=90°f

AABE〜AACB,

ABAC26

•,下=而，即Rn罚=5

2

ME,

・・・点。为线段/C的中点，

.,.AD=DC=^AC=3,

7

：.DE=AD-AE=-^

(2)证明：过点。作O”1BC于点X,过点/作F/14C于点/连接尸D.

G

图2

-BELAC,F]LAC,DGLAC,

・•.BE||FJ\\GD,

-BF=FG,

:.EJ=JD,

・・.FE=DF,

•・2BDG=45。,4ZOG=90。,

；/EDB=45°,

vzXBC=90°,AD=DC,

；.BD=AD=DC,

^^ADB=(DBC+乙DCB=45°,

：,LDBC=LDCB=225。，

•・・DB=DG,DFLBG,

・•・乙BDF=4GDF=225。,

DBH=(BDF=22.5°,

•；BD=DB,乙BFD=LBHD=9。。,

・•・△BFD=△OHB(AAS),

；,DF=BH,

；,BH=EF,

•；DB=DC,DHIBC,

；,BH=HC,

：.BC=2EF-

(3)解：如图3中，以ZC为边向上作等边三角形ZCK,连接BK.

-Z.B'CQ=AACK=60°f

：.Z-ACB'=NKCQ,

-CA=CK,CB'=CQf

△i4C^,=AArCQ(SAS),

-.AB'=QK,

'：AB=AB'—3,

・・.QK=3,

vZ^BC=90°,Z.ACB=^°,

.-.AC=CK=2AB=6,BC=^AB=3®NBCK=90°,

■■-BK=TOG+BC2=3V7,

■.■BQ>BK-QK=3V7-3,

•・.BQ的最小值为3b一3,此时反Q.K共线，

作。1BK于点J,

■：YCB-CK=BK-C],

3V3X6_6V21

，。rT一一〒，

此时△8CQ的面积=：x(3V7—3)x5篝=9旧一早.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直

角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键.

9.(2023・重庆渝北•二模)等边△力BC中，点。为直线上一动点，连接。C.

F

(1)如图1,在平面内将线段DC绕点C顺时针旋转60。得到线段CE,连接BE,若。点在4B边上，且DC=通,

tanzXCD=|,求BE的长度.

(2)如图2,若点。在AB延长线上，点G为线段DC上一点，点尸在CB延长线上，连接FG、AG.在点。的运动

过程中，若NGAF+N4BF=180。，且FB—BD=4C,猜想线段CG与线段DG之间的数量关系，并证明你的

猜想.

(3)如图3,将△BDC沿直线BC翻折至△2BC所在的平面内得到△BD£,M点在A8边上，且将

MA绕点4逆时针旋转120。得到线段AN,点H是直线4C上一动点，将△MNH沿直线翻折至△MNH所在

平面内得到△MVH,在点£»、“运动过程中，当N7Z最小时，若4B=4,请直接写出△DNH的面积.

【答案】(1瞥，

⑵DG=CG,证明见解析

(3喈

【分析】

1

(1)作DFLAC,在RtaOFC中，由tanN4CD=5，求出DF长度，结合NB4C=60。，求出4。的长度，由旋

转的性质可得△4C0三△BCE(SAS),即可求解，

(2)作CHIMB,与2G延长线交于点H,连接DH,由CHII4B,可得乙4BF=N4CH=120。，结合

NGAF+N4BF=180°,可得NF4B=N/MC,由△F4B三△HAC(ASA),得到F8=CH,结合

FB-BD=AC,可得CH=4D,可证D4CH为平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，即可求

解，

(3)根据折叠的性质，找到。的轨迹，根据垂线段最短，确定MV的位置，进而求出B。、BD、AN、NH

的长度，作DEWH,得到SADN，H=SAEMH，CD=BD,依次求出HE、HF的长度即可求解.

【详解】⑴解：过点。，作。尸14C,于点£

■■■DC=V5,tanZ-ACD=p

设4F=a,则FC=2a,

在RtzXDFC中，DF2+FC2=DC2,即：a2+(2a)2=(V5)2,解得：a=l,

：-DF=a=1,FC=2a=2,

・・・△ZBC是等边三角形，

：.ABAC=Z.ACB=60°,CA=CB,

•••DC绕点C顺时针旋转60。得到线段CE,

/.ZDCE=6O°,CD=CE,

工乙ACB—乙DCB=^DCE—乙DCB,BP：Z.ACD=Z.BCE,

A?1C£)=A^CE(SAS),

：.AD=BE=竽

故答案为：BE的长度是孚，

(2)解：过点C作CHII48,与4G延长线交于点H,连接

AC

•.^ABC=^BAC=60°,CH\\AB,

.-.Z^F=120°,^.BAC+AACH=180°,即：Z.ABF=Z.ACH120°,

-/.GAF+^ABF=180°,

.-.zGi4F=60°,

：,Z.GAF-^BAG=2LBAC-Z.BAG,即：4FAB=4HAC,

又・.・ZB=/C,

△FAB=△/MC(ASA),

.-.FB=CH,

♦：FB-BD=AC,即：FB=AC+BD,

；,CH=FB=AC+BD=AB+BD=AD,

.,・四边形D4CH为平行四边形,

；.DG=CG,

(3)解：过点B作G/IIAC,连接M。、N'D,过点。作OE||MH,交AC延长线于点E,过点H作HF1DE,交DE

于点尸，

//_7/__A__X.

N/4HCE

■.-GIWAC,△48C是等边三角形，

：.Z.IBC=乙BCA=乙ABC=60°,

••・直线ZB与直线G/关于直线BC对称，即：。的运动轨迹为直线G/,

■:N'D'>MD'-MN',MM为定值，

当MZT1G/,点M在线段上时，取得最小值，V。取得最小值，

•.•将M4绕点4逆时针旋转120。得到线段4V,AM^AB,4B=4,

.-.ANAM=120°,AN=AM=^AB=^x4=1,BM=AB-AM=4-1=3,

.-.MN=MN'=V3,BD=BD'=3MB=1x3=|,

由折叠的性质可知，4NMH=^N'MH,

..ZN'MB=30°=4NMA,

;/NMH-4NMA=4N，MH-/.N'MB,即：Z.AMH=乙BMH=90°,

:.乙NMH=乙AMN+^AMH=300+90°=120°,

N'H=NH=yj3MN=73XV3=3,/.MHN=30°,

•••NNHN'=2乙MHN=2x30°=60°,

■■DEWN'H,

:.S&DN，H=S&EN，H，乙HEF=4VHM=60。，△是等边三角形,

：.AD-AB=AE-AC,即BD=CE=],

37

:・HE=AC-AH+CE=AC—(NH—AN)+CE=4—(3—1)

.-.HF=争E=孚x[=竽，

・'SADN,H=S^EMH=-HF=-x3x竽=当用

故答案为：等.

O

【点睛】本题考查了，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，折叠的性质，

旋转的性质，解题的关键是：(1)证明△力CD三△BCE(SAS),解△0/!(?；(2)找到AFAB三△/MC

(ASA)；(3)找到。的运动轨迹，ND取得最小值时，点。的位置.

题型04与三角形有关的旋转问题

10.(2023•重庆九龙坡•模拟预测)在等腰△ABC中，乙48c=90。，AB=BC,将斜边AC绕点/逆时针旋转

一定角度得到线段力D,4。交BC于点G,过点C作CF14D于点尸.

(1)如图1,当旋转22.5。时,若BG=1,求力C的长；

(2)如图2,当旋转30。时，连接BD,CD,延长CF交BO于点£,连接EG,求证：AG=CE+EG；

(3)如图3,点M是4C边上一动点，在线段8M上存在一点N,使NB+N2+NC的值最小时，若M4=2,请

直接写出aCNM的面积.

【答案】⑴2+或

(2)见解析

(3存

【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三

角形等知识，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会转化的思想思考问题

(1)过点G作GH14C于点X,得到HG=BG=1,即可求得CG=VL再由BC=4B=BG+CG,勾股定

理求得4C；

(2)延长CF交AB于点7,连接BT,求得Rt△4GBmRt△CTB,可得AG=CT,BT=BG,由BD||4C,得至【J

△TBEmAGBE,即可得至ijAG=CE+EG

(3)将△BCN绕点8逆时针旋转60。，得到△BPQ,连接NQ、AP,当点尸、。、N、/四点共线时,

NB+N2+NC的值最小，此时是等腰直角三角形2BC的一条中线，即可求得aCNM的面积

【详解】(1)解：如图1,当旋转22.5。时，则4G=NG4B=22.5。，

过点G作GH1AC于点77,贝UGH=BG=1,

在等腰RtZkCGH中，/-BCA=45°,

则CG--42GH—V2,

则BC=8G+CG=&+1,

在等腰RtaABC中，

AC=y/2BC=2+y[2；

(2)证明：如图2,过点。作DMJ.AC于点过点8作BN1AC于点N,

■：^DAM=30°,

.-.DM=

・/80=90°,AB=AC,

.-.BN=|4C

而ZC=AD,

：.DM=BN

5LDMLAC,BN1AC,

・•・四边形BDMN是矩形

：.BD\\AC

延长CE交84的延长线于点T,

-CFLAD,

/.ZCFG=Z^C=9O°,

,：Z-AGB=Z-CGF,

：.Z.TCG=Z.GAB,

图2

•・・4ABG=4CBT=90。,BA=BC,

AABG^△CBT(ASA),

；,AG=CT,BG=BT,

-BDWAC,

：ZEBG=乙ACB=45°,

则NEBT=90°-Z,EBG=45°=乙EBG,

•：BT=BG,BE=BE,

・•・△BEG三△BET(SAS),

・・.ET=EG,

,'.AG=CT=CE+ET=CE+EG；

(3)解：如图3,将△CBN绕点8逆时针旋转60。得到△PBQ,

连接QN,AP.

则PQ=CN,△BQN是等边三角形，

：.BN=NQ,乙BNQ=^BQN=60。，

•.・CN+AN+BN=PQ+QN+NANAP,

・•・当尸，Q,N,Z共线时，NC+BN+ZN的值最小.

止匕时4/82=90。+60。=150。，PB=AB,/BAN=15。，

并且aBQN是等边三角形，乙BNQ=60。,

.•・乙48~=60。-15。=45。，

图3

vzXBC=90°,

...乙ABN=LCBN=45°,

­,■BA=BC,

：.BM1AC,且CM=AM

又乙MAN=45°-15°=30°,

；.NM=%N=1,AM=WMN=W,

：.CM=AM=43,

△CNM的面积="CM.MN=三乂曲X\=当.

11.2023・贵州贵阳•二模)在△ABC中，4(748=90。,在44。£1中，4瓦4。=90°,已知Rt△ABC和Rt△4DE

有公共顶点/,连接BD和CE.

位置关系是;

(2)如图②，^AD-.AE=AB-.AC^l-.y/3,当Rt△ABC绕点/旋转a(0。<a<360。)，(1)中BD和CE的数量关

系与位置关系是否依然成立，判断并说明理由；

(3)在(2)的条件下，若AD=2W，AB=曲,在旋转过程中，当C,B,。三点共线时，请直接写出CE的

长度.

【答案】(1)BD=CE,BDLCE

(2)CE=V3B£),CE1BD,理由见解析

^^3(713-1)^3(713+1)

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识：

(1)根据SAS证明△BAD=△CAE^BD=CE,再证明=4EHO=90°,可得BD1CE-,

(2)延长DB交CE于8,与4E交于O,证明△BADC4E可得结论；

(3)分两种情况讨论：运用相似三角形的性质求出AC,AE,由勾股定理求出DE,在Rt^ECD中，运用勾

股定理求出8。，从而可求出CE.

【详解】（1）证明：如图，延长DB交CE于〃，与4E交于O

E

•・•△4DE和△4BC是等腰直角三角形，

.'.AB=AC,AD—AE,

又NC/E+Z.EAB=^DAB+AEAB=90°,

：.Z-BAD=Z.CAE,

ABi4D=ACi4F(SAS),

,-.BD=CE,Z-BDA=Z-CEA,

-2LDOA=乙HOE,

：^OAD=乙EHO=90°,

：,CE1BD,

故答案为：BD=CE,BD1CE；

(2)解：CE=WBD,CE1BD,理由如下:

延长。B交CE于〃，与AE交于。，

E

△BADCAE,

Dn1

Z-ADB=Z-AEC,

.,.CE=6BD,

•・•乙BOA=^EOH,

・・・4。/0=Z.EHO=90°,

：.BD±CE

综上BOLCE,CE=WBD

(3)解：①如图：

由(2)△BAD--ACAE,笑=*=喋=%且801CE,

CEACAEV3

'-'AB=V3,

：.AC=3,

在Rt^ZBC中，由勾股定理得BC=VAB2+4c2=2同

'-'AD=2V3,

.,.AE—6

在RtZk/EO中，由勾股定理得DE='AE2+=4亚

•・・C,B,。三点共线，且NECO=90。

・•.在RtZkECO中，由勾股定理得DE?=CE2+。。2

227

即(4旧)=(V3BD)+(BD+2V3)

1.FDzz739^73

2

..”=途-1);

②如图:

E

DnAp1

由（2）知—Cc=—AC.=^y/3,且BD1CE,

-■AB=V3,

.'.AC=3,

由勾股定理得BC=AMB2+/C2=2V3,

VTID=2V3,

：.AE=6,

在Rt△力ED中，DE=y/AE2+AD2=4V3,

•••C,B,。三点共线，且NEC。=90°,

.♦.在Rt△ECD中，由勾股定理得DE?=CE2+CD2,

277

即（4丹=（V3FD）+（BD-2V3）,

2

综上，当C,B,。三点共线时，CE的长度为空萼或空野.

12.（2023•广东云浮•三模）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,在RtzXABC中，NB4C=90。，AB=AC,点。、E在边8c上，

^DAE=45°.若BD=3,CE=1,求DE的长.

小明发现，将△ABD绕点N按逆时针方向旋转90。，得到△4CF,连接EF（如图2）,由图形旋转的性质和

等腰直角三角形的性质以及4口4£=45。，可证三△D2E,得FE=DE.解△FCE,可求得FE（即

DE）的长.

AD

(2)参考小明思考问题的方法，解决下列问题：

①已知：如图3,正方形4BCD,BM,DN分别平分正方形的两个外角，且满足NM4V=4