2025年新高考数学一轮复习模拟预测卷（新高考卷）（解析版）

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2025年新高考数学一轮复习模拟预测卷01

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将

准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位

置上.

1.设集合4={x|x<3},3={x|—2<x<4},则4UB=()

A.{x\x<4}B.3x<3}c.{x|x>-2}D.{x\-2<x<3}

【答案】A

【分析】直接由并集的概念即可求解.

【详解】由/={x|x<3},5={x|-2<x<4},得/U3={x|x<4}.

故选：A.

1—z

2.若复数z满足一r=l+i,i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于()

Z-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】先求出复数z,可得出复数在复平面内对应的点，从而可得答案

【详解】因为匕1T+i,所以l-z=(z-i)-(l+i),即(2+i)z=i,

z—1

ii(2-i)12.

所以z=^}二,一^=a+不，

2+i(2+i)(2-i)55

所以Z对应的点的坐标为I)位于第一象限.

故选：A

3.已知函数/(x)=2cos2Gx-(sins-cosox)?(g>0)的图象关于直线》=展轴对称，且/(%)

在，3上没有最小值，则。的值为()

3_

B.1c.D.2

2

【答案】C

【分析】先由三角恒等变换化简解析式，再由对称轴方程解得外=6左+,#wZ,再由/（x）

在上没有最小值得。范围，建立不等式求解可得.

［详角星］f(x)=2cos2Gx-(sin2cox-2sincoxcoscox+cos2Gx

=2cos2Gx+sin2Gx-1=cos2。％+sin269x

=V^sin12Gx+；],

因为/（%）的图象关于直线X=联轴对称，

所以/图=缶於+3=±五，

,,am,71,兀[〜刖3,

故---1—=kitH—，左eZ,即。=6kH—,k£Z,

6422

r_7t7C_

当2cox+—=----F2加兀,mGZ,。>0,

42

即当X=-1^+处，加ez时，函数/（X）取得最小值，

QCDG）

571

当刃=1时，工=二为夕轴右侧第1条对称轴.

因为“X）在（0马上没有最小值,所以会士1,即。麦,

I"8。38

故由0<6后+[<=，解得一!<左43，kwZ

28416

3

故左=0,得。=2.

故选：C.

4.已知Q=303,GO],c=bgo33,则a,b,。的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.

【详解】4=3°3>3°=1,0<6=0.33<1=0.3°,

c=log033<log031=0,：.a>b>c.

故选：A.

5.如图，圆M为△ABC的外接圆，48=4,AC=6,N为边5C的中点，则行.而=

A

B

M

A.10B.13C.18D.26

【答案】B

【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得而•存与

AM-AC^再根据平面向量的运算可得出结论.

【详解】〔十是3c边的中点，可得而=g（标+就），

M是△ABC的外接圆的圆心，

AM-AB=\AM\\AB\cosZBAM=^\AB^=^x42=?,,

同理可得五乙就=，就「=18,

AN-AM=-（AB+AC）-AM=-AM-AB+-AM-AC=-x8+-xl8=13.

22222

故选：B.

6.如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然

后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球

（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（）

32

C.9兀D.——71

3

【答案】B

【分析】根据题意可得正四棱锥的斜高为5,底面正方形的边长为6,从而可得正四棱锥的

3

高，设这个正四棱锥的内切球的半径为「，高线与斜高的夹角为8,则易得sin6=5,

4=r+^-=1r,从而可得厂，再代入球的体积公式，即可求解.

sing3

【详解】作出四棱锥如图：

根据题意可得正四棱锥的斜高为尸M=5,底面正方形/BCD的边长为6,

正四棱锥的高为。尸=752-32=4，

设这个正四棱锥的内切球的球心为。，半径为『，与侧面相切于N,

则高线与斜高的夹角为6,则sin9=^=1,

PM5

则OP=OQ+总，

sm"

,r83

4=r+---=-r,/.r=—,

sin夕32

这个正四棱锥的内切球的体积为］，=gx兀xg)3=|3r.

故选：B.

7.设椭圆「1+'=1e>6>0）的弦43与工轴

，了轴分别交于c,。两点,

邳=1:2:2,若直线2B的斜率左,则左的取值范围是（）

A.

【答案】C

【分析】设/区,必）,8（程%）。%,0）,。（0,3），由|/C|-.\CD\:|网=1:2:2得

4手,得）,3（-%,2%）,根据48在椭圆上，代入相减得g=工，则直线他的斜率为

%=一%，然后由。>6>0即可求解.

%

【详解】如图所示，设/（西,弘）,8（工2，%）,。（％,0）,。（0,%）,

y/

直线48:y=履+6,

因为|/。|:|。必:|。同=1:2:2,所以2就=①，丽=丽,

所以2(玉一巧,一%)=%(-x0,y0)=(x2,y2-y0),

%=—

即’2,<°,所以/(当■,-9,2(-Xo,2%).

一了。1%=2%22

P=-T

因为48在椭圆上，所以缉+耳=1,区■+萼>=1,

4/4/a2b2

两式相减得当=粤，即4=2.

4。24/石3a-

所以0＜与＜1,即0〈与＜1,

a13a23

所以0＜配＜~■

AB3

故选：C.

8.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,若/(》-1)为偶函数，g(x)为奇函数，且

g(x)=/(x-1),则()

A./(1)=1B.〃x)=/(x+l)C./(x+；)为奇函数D.g(x+；)为奇函数

【答案】C

【分析】方法一：利用抽象函数的奇偶性和相关条件推导出函数的周期性、对称性等基本性

质，逐一对选项进行分析判断；方法二：依题意构造函数法.依题意，可设/(x)=cos方，则

g(x)=sinjrx,-----对选项进行计算、验证即得.

【详解】方法一：(函数性质判断法)由f(x—1)为偶函数，得〃x-l)=/(-x-1)①.

由g(x)为奇函数，得g(x)=-g(-x).

又g(X)=/(X-；)，贝f(x-1)=g(x)=-g(-x)=-f(-X-1)@.

则由①，/(x-2)=/(x-l-l)=/[-(x-l)-l]=/(-%)(*),

由②，/(x=-，=_/[_(x_；)_；]=_/(一%),

故得了。-2)=-/。-1).把X取成X+1,得/(x-l)=-/(x)③,

于是，/(x-2)=-/(x-l)=/(x),即函数〃x)的周期为2,故B错误；

又因g(x)为R上的奇函数，贝Ug(O)=O,/(x)的周期为2,则/[X£|=g(O)=O,

故A错误；

由③得，/(%+1-1)=-/(^+1).即/(x-g)=-/(x+g),

故/(x+g)=-〃x-g)=-g(x).因g(x)为奇函数，故/(x+；)为奇函数，故C正确；

由(*),/(x-2)=/(-x)J(r-2)=f(x),得/(x)=/(-x),即/(x)为偶函数，

又g[x+£|=〃x),所以g1+g]为偶函数，故D错误.

方法二：(构造函数法)依题意，可设/(X)=COS7CV,贝(!/(x-l)=C0S7t(x-l)=-COS"为偶

函数，

由g(x)=/(X-；)=cos7T(x-；)=sinJUC为奇函数，且函数f(x),g(x)的定义域均为R,

对于A,/(1)=cos|^=0^1,排除A；

对于B,显然〃x)=cosa的最小正周期是2,排除B；

对于C,/(x+g)=C0S7t(尤+；)=-sinxr是奇函数，故C正确；

对于D,gCx+；)=sin7r(x+；)=cos7tx,显然是偶函数，排除D.

故选：C.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分,

有选错的得0分.

9.某人在〃次射击中击中目标的次数为X,X~8(〃,p),其中〃eN*,0<p<l,设击中偶数

次为事件A,则（）

A.当p=g时，。（丫）取得最大值B.当P=；时，O（X）取得最小值

C.当J<p<l,P（/）随"的增大而减小D.当0<p<g,尸（⑷随"的增大而减小

【答案】AD

【分析】对于AB,直接由二项分布的方差公式即可求解；对于CD,可以根据二项式定理

得出（⑷=1+（12”,进一步通过。的范围即可判断尸（⑷的单调性.

［详角军】对于AB：D（X）=np（l-p）=n+；eN*,0<p<1）,

当p=g时，D（X）取得最大值，故A正确，B错误；

k

对于CD：尸（X=左）=C：x/x（1—Py-（k=0,1,2,­­•,«）,

：.P（A）=C［xp°x（l-。广。+C"/+篮x/x（l-p广4+…，

1-尸（2）=C：x/x（l一p）a+C：x/x（l一犷+C；xp5x（l-p）T+…，

.p（Ax=［（10+切"+［（1）川”=l+（「2p）',

当g<p<l时，一1<1一20<0,｛（l-2。）"｝为正负交替的摆动数例j,

所以尸（⑷不会随着〃的增大而减小，故C错误；

当0<p<；时，0<1-2/7<为正项且单调递减的数列,

所以「（/）随着〃的增大而减小，故D正确.

故选：AD.

10.已知数列｛0｝,下列结论正确的有（）

A.若为=2,Q〃+i=an+n+1,则出。=211

B.若〃1=1,。7=2%+1,则4=2〃—1

C.若s“=3"+g,则数列｛%｝是等比数列

D.若S,为等差数列｛氏｝的前〃项和，则数列1?1为等差数列

【答案】ABD

【分析】A.利用累加法求和，即可判断；B.利用构造法，构造口+4为等比数列，求通项公

[S,,n=l

式，即可判断;C.利用公式%=二c、°,即可求解通项公式，判断选项；D.根据等差

数列前〃项和公式，结合等差数列的定义，即可判断选项.

【详解】对于选项A,由a“+i=。“+〃+1,得a0"-%="+1,

则a20=(。20-69)+(%9-)+(。18-47)+...+(&-%)+%

=20+19+18+…+2+2=19x(20+2)+2=211,故A项正确；

2

对于选项B,由an+l=2%+1,得(an+1+1)=2(。*+1),

所以｛%+1｝为等比数列，首项为q+1=2,公比为2,

所以《+1=2x2"—=2",所以a“=2”一1,故B项正确；

对于选项C,因为S“=3〃+g,

17

当”=1时，«1=3+—=—,

22

当〃22时，an=Sn-Sn_.=3"-3-=2x3"、

7

将〃=1代入%=2x3"、得q=2W],

工〃=1

所以4=2'，所以数列｛%｝不是等比数列，故C项错误.

2x3-22

对于选项D,设等差数列的公差为d,

n(n-l)

由等差数列前〃项和公式可得S“"4+不一a(〃-1)dd,

—二--------------------------------二qH------a=—n+a,--

nn222

所以,一&=g(〃+l)_g〃=:与n无关，

所以数列｛号4为等差数列，故D项正确.

n

故选：ABD

11.已知定义在R上的函数〃x)的图象连续不间断，当xNO,/(e+x)-ef(e-x)=0,且当

乂>0时，/'(e+x)+/'(e-x)>0,则下列说法正确的是()

A./(e)=0

B.〃x)在上单调递增，在(e,+⑹上单调递减

C.若再<%,/(再)>/(工2),则X[+X2<2e

D.若X],Z是g(x)=/(x)+(x-e]-2在(O,2e)内的两个零点，且再<马，则

1<—7―6<e

〃玉)

【答案】ACD

【分析】A选项，令x=0,可求/(e)；B选项，对/(e+x)-^(e-x)=O两边求导，结合

//(e+x)+//(e-x)>0^r(e-x)<0,〃e+x)>0,可判断了(x)单调性；C选项，西，Z，e

的大小关系进行分类讨论，利用函数单调性，证明不等式；D选项，证明%+马<2e,利用

函数单调性，证明〃再)</®)且/(马)〈歹(不)，可得结论.

【详解】A选项,令x=0,则有/(e)-虫e)=(l-e)/(e)=O,所以〃e)=0,故A正确.

B选项,对/(e+x)-V(e-x)=O两边求导，得八e+x)+二(e-x)=O,

所以尸(e+x)=-歹(e-x),代入/'(e+x)+/'(e-x)>0,

得当x>0时,(l-e)/-(e-x)>0,所以尸(e-x)<0.

又因为/'(e+x)+/'(e-x)>0,所以，r(e+x)>0.

因此，当x<e时，r(x)<0,/(力在(-*6)上单调递减；

当X>e时，r(x)>0,/(x)在(e,+8)上单调递增.

故B错误.

C选项，对占,々，e的大小关系进行分类讨论：

①当再<X24e时，/(x)在(-8,e)上单调递减，所以/(占)>〃工2),显然有X]+X2<2e；

②当eV%。?时，/(x)在(e,+co)上单调递增，不符合题意；

③当再<6<%时，当x鬓0时,/(e+x)=e/"(e-x).

令，=e+xe(e,+e),/«)=贝2e-f),/(xj>/(x2)=ef(2e-x2),

又因为〃x)2〃e)=0,所以〃2e-X2)>0,

因此/(石)>/(Z)=叭2e-X2)>/(2e-X2).

因为Xi<e,2e-Xz<e,由/(x)的单调性得，xi+x2<2e.

故C正确.

D选项,因为g(0)=/(0)+e2-2>0,g(2e)=/(2e)+e2-2>0,g(e)=/(e)-2=-2<0,

所以0<再<e<%2<2e.

先证Xi+%2<2e,即证2©-玉>%2，即g(2e-xJ>0,

只需证/(20_再)+(20_再_©)2—2>0,即证歹(芭)+(e_玉)2—2〉0.

22

事实上，ef(x1)+(e-xl)-2>/(xl)+(e-x1)-2=g(xl)=0,因此再+x?<2e得证.

此时有0<巧<e<x2<2e-xi<2e.

因为/(Xi)=-(Xi-e)2+2=-(2e-Xi-e『+2<-(X2-e)2+2=/(X2),又/'(西)*。，所以

1<〃々)

f(x)

因为/优)</(26-不)=歹(为)，又〃XJHO,所以分\<e.

综上，以<e,故D正确.

“xj

故选：ACD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知方=(T,3),b=(t,2),若R—则t的值为.

【答案】-2或1

【分析】由卜不)丁可得(d-B)Z=O,展开代入数据计算即可.

【详解】由题意可得=

因为鼠所以卜-孙3=0,

所以(一1一8+2=0,

解得，=-2或，=1.

故答案为：-2或1

13.已知函数〃x）是定义域为R的偶函数，且/（x+1）为奇函数，写出函数/（x）的一个解

析式为了（可=.

【答案】COSy（答案不唯一）

【分析】由/（X+1）为奇函数可得/（X）的图象关于点（1,0）中心对称，结合偶函数的性质可

构造/'（x）=cos,符合题意.

【详解】由/（X）为偶函数，知/（X）的图象关于了轴对称；

由/（X+1）为奇函数，知/（X）的图象关于点（1,0）中心对称,

据此构造函数〃x）=cos：,则/（X）是偶函数；

/（x+l）=cosC+|"j=-si吟为奇函数，符合题意.

故答案为：COSy（答案不唯一）.

bc

14.在ZUBC中，角/,B,C的对边分别为。，"c,cosC=—+丁,NA4c的平分线/。交2C

a2a

于点。.若4D=1,则△48。周长的最小值为.

【答案】4+273/273+4

【分析】根据正弦定理边角化可得2sin/cosC=2sin2+sinC,即可利用正弦和差角公式求

解4=半，利用等面积法可得b+c=6c,进而根据基本不等式即可求解.

bc

【详解】vcosC=—+——2acosC=26+。,

a2a

2sinAcosC=2sinB+sinC,

即2sin4cosc=2sin(Z+C)+sinC,

2sincosC=2sin74cosC+2cossinC+sinC,

2cosZsinC=-sinC,***sinCw0,

/1//\.A2兀

cosA———A.G(0,兀),A—3.

,/S“BD+S“CD=SAABC，：,lxsin60°+xsin60°=；6csinl20°,得b+c=6。，

由6c=6+cN2版，得仪?24,当且仅当b=c=2时，等号成立.

2兀_________

22222

又〃2="+c-2bccos—=b+c+bc,:.a=y/b+c+bc,:.^ABC的周长

a+b+c=-\lb2+c2+be+bc>\/3bc+6c>4+2^/3»当且仅当b=c=2时，等号成乂.

故答案为：4+2A/3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

415

15.（13分）记S〃为正项等比数列｛aj的前〃项和，已知$2==，54=—,〃cN*.

416

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵设3=2"-1,1为数列｛2｝的前"项和，证明：^<7；,<3.

【答案】（1）%=（；］（2）证明见解析

【分析】（1）设等比数列｛4｝的公比为式4>0），结合等比数列求和公式可得外,4,即可得

结果；

（2）由⑴得，"=?，利用错位相减法可得7；=3-（2〃+3）｛gj,进而分析证明.

【详解】（1）设等比数列｛%｝的公比为式4>0）,由邑=4=，邑=315可知，#1，

416

451

，得1+/=：,解得0=彳（负值舍去），

1542

16

将/代入也出=3,解得％=1，

2\-q42

所以数列应｝的通项公式为。“=%广'（£|.

（2）由（1）得，2=召2/7-1，

13277-1132„-1

，

贝K=2+2T+'"+^~可信=/+尹+…+^-，

两式相减可得=g+g+g+…+白一^^

12

=—+

1—

2

可得(=3-(2〃+3)-

因为“=筝>0,可知数列口,｝为递增数列，则7；27]=；；

综上可得;<3.

16.（15分）如图，在四棱锥P-/8CZ）中，平面/BCD,ADLCD,ADIIBC,

PF1

PA=AD=CD=2,8c=3.E为尸。的中点，点厂在PC上，且拓="

G/-一一…/比

1一N

（1）求证：4E_L平面尸CD；

⑵求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值.

（3）设点G在网上，且黑=与判断直线NG是否在平面/£/内，说明理由.

PB4

【答案】⑴证明见解析⑵"（3）不在，理由见解析

3

【分析】（1）应用线面垂直判定定理证明即可；

（2）结合线面垂直建系，空间向量法求出二面角余弦值；

（3）先判断关系，再求出向量坐标，最后空间向量法证明结论.

【详解】（1）因为川，平面48。，又CDu平面Z8CD,则尸N1CD,

又4D_LCD,且尸Nc4D=/,PA,4Du平面尸故CD_L平面尸

又NEu面P/D,

CDLAE,

■：PA=AD,E为PD中点,

AE1PD,

■：CD^PD=D,CD,PDu面PCD,

AEL^PCD-,

（2）过点A作AD的垂线交8C于点

因为P/_L平面48cD,且4W,4Du平面48cD,所以PALAD,

故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则A（0,0,0）,5（2,-1,0）,C（2,2,0）,£＞（0,2,0）,P（0,0,2）,

因为E为尸£＞的中点,则£（0,1,1）,所以近=（0』,1）,斤=（2,2,-2）,万=（0,0,2）,

224

,故万=AP+PF=

\n-AE=Q＞+z=i

设平面/跖的法向量为ii=（x,y,z）,则〈一，即〈224

n-AF=Q++w

i〔333

令z=l,则y=—1,x=—1,故万=

又因为平面尸4。的法向量为万=。,0,0）,

所以cos。=|cos（H,力|=匕f,

所以平面4E尸与平面P4D的夹角余弦值为"

3

3

G/一」

/

ry

（3）直线/G不在平面4既内，

PG3-、——►3—►

因为点G在形上，且诟="又PB=（2,T-2）,故PG=z尸5=

贝|」就=方+同（）3_3_33_3£

=0,0,2+，，

2-4-2242

由（2）可知，平面/Eb的法向量为k=（-LT/）,

—•331

所以/G・亢=--+-+-#0,

242

所以直线NG不在平面AEF内.

17.（15分）某记忆力测试软件的规则如下：在标号为1、2、3、4的四个位置上分别放置

四张相似的图片，观看15秒，收起图片并打乱，1分钟后，测试者根据记忆还原四张卡片

的位置，把四张卡片分别放到四个位置上之后完成一次测试，四张卡片中与原来位置相同1

张加2分，不同1张则扣1分.

(1)规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者

在每次测试得8分的概率均为&(0<«<1),求他连续三次测试结果为良好的概率的最大

值；

(2)假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X,求随机变量X

的分布列及数学期望.

4

【答案】(1)§(2)分布列见解析，-1

【分析】(1)将/(a)表示出来，利用导数求最值；

(2)卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张0张，对应的X的所有可能取值

为8,2,-1,-4,由此可得分布列及数学期望.

【详解】(1)设连续三次测试结果为良好的概率为/(a),

依题意得/(a)=C^a2(l-a)=3a2-3a3,(0<a<1),

2

f\a)=6a-9a2=3a(2-3a),令f\cc)=0得a=§,

22

当时，当时，广(1)<0；

所以/⑷在(0,21)上单调递增,在(2右1)上单调递减，

224

所以当a时，/(戊)取最大值为

。Jy

(2)某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，

卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张0张，

对应的X的所有可能取值为8,2,-1,-4.

则尸(X=8)T4,尸

尸(…人管j"7=答=|,

……八1I6893、

(或P(X=-4)=I----------=—=—),

242424248

所以X的分布列为:

X82-I-4

Ij_j_3

P

24438

1113

数学期望为E(X)=8-+2X1+(T)XW+(-4)XL1.

2443o

18.(17分)已知函数/(x)=.

(1)若曲线y=y(x)在点(2,/(2))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,求。的值;

(2)若4=一1,证明：/(x)<x+l；

⑶若/(X)在(2,+8)上有且仅有一个极值点，求正实数a的取值范围.

【答案】(D-；或|"(2)证明见详解(3)[o,；J

【分析】(1)求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而结合面积列式求解即可;

(2)分析可知原不等式等价于x-ln(x-l)>0,构建g(x)=x-ln(xT)，x>l，利用导数分

析证明；

(3)构建尸(X)=)+("T)1；(XT),X>2,分析可知原题意等价于了=尸(力与歹=。在

XX

(2,+8)内有且仅有一个交点，利用导数分析求解.

【详解】(1)由题意可知:y=f(x)的定义域为(1,+8),且/'(x)=-：In(尤-1)+

则42)=0,r(2)=1-a,

即切点坐标为(2,0),切线斜率后=；-a，则切线方程为了=]；-4(x-2),

令X=0,可得y=2q_l,

113

可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为]义2*|2"1|=|2°-1|=2,解得°=-5或4=5,

所以a的值为-]1或3

(2)若0=-1,则/3=11+1