2025年新高考数学一轮复习：利用洛必达法则解决导数问题（解析版）

利用洛必达法则解决导数问题精讲精练

000

一、入型及一型未定式

000

1、定义：如果当Xf。(或x-oo)时，两个函数/(x)与g(x)都趋于零(或都趋于无

f(x)f(x)

穷大)，那么极限lim—(或lim£4)可能存在、也可能不存在.通常把这种极限

x—>agwx—>00g(x)~

000

称为型及一型未定式.

000

2、定理1(9型)：⑴设当xfa时，lim/(x)=0及limg(x)=0

0%-a/%-a'/

(2)在a点的某个去心邻域内(点a的去心邻域(a-£,a)U(a,a+£)内)都有了'(X),g'(x)

都存在，且g'(x)wO；

f'(x)

(3)hm；(=/；

…g(x)

,/(x)f\x),

贝nU：lrim=lim=I

XT"g(x)-g'(x)

3、定理2(，型)：若函数/(x)和g(x)满足下列条件：⑴!呼/(x)=0及

㈣g(x)=0；

(2)3>0,/(x)和g(x)在(一叫/)与(4+℃)上可导，且g'(x"0；

(3)lim/；粤=/,

那么lim里=1皿坐=/.

…g(x)XT8g⑺

4、定理3(艺型)：若函数八％)和g(x)满足下列条件：(1)lim/(x)=8及

00Xia

limg(x)=oo.

x-^a\)9

(2)在点a的去心邻域(a-£,a)U(a,a+£)内，/(X)与g(x)可导且g'(x)W0；

/'(x)

那么lim半=

g(x)》-ag(%)

5、将上面公式中的x-a,xf+8,x——oo,xfa+,xf丁洛必达法则也成立.

6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止：

1加44=lim/黑=limg4,如满足条件，可继续使用洛必达法则.

fg(X)—ag(X)』g⑴

二、o.oo型s—②、o°、r、8°型

1、0-8型的转化：

10010

0-GO=>CO=—或0・CO=>0・一二一；

000000

2、8-00型的转化：

110-00

00—00=>----------------------------=——

000.00

3、0°、/00°型的转化：易指函数类

0°1fO-lnO

r>取对数_><oo-lnln0.00

oo°[0-Inoo

高频考点类型

类型一：洛必达法则的简单计算

典型例题

1.(23-24高二下•新疆伊犁•期中)我们把分子、分母同时趋近于。的分式结构称为，型，

ex-10

比如：当xf0时，的极限即为入型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在,

x0

为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限

来确定未定式值的方法.如：1沁，'-1=1而/j)=limG=1ime*=e°=1,贝！115-^；=

x->0%x->01x->0]xf0"fX-1

()

A.|B.；C.1D.2

o2

【答案】B

【分析】

根据题意利用洛必达法则求解即可

【,羊解】由口产彳曰rInx（InJI11

zix-l11/2—12xxf2x22

（xT）

故选：B

2.（23-24高二下•广东佛山•阶段练习）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在,

也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母

分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如

lim£zl=lim=则

x->01x->0]x->0]

Inx+x-1

lim)

7x+x-2

A-I-1C.1D.2

【答案】B

【分析】利用洛必达法则直接求解即可.

J2

Inx+x-1(lnx+x-1)X______乙

【详解】％一=lim--------------g=lim

x-»l

+x—2-12x+l3

故选：B.

3.（23-24高二下•重庆江北•阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为。

px-1的极限即为，型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能

型，比如：当x-0时，-~-

X

不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求

2

x-I-1x-l

导再求极限来确定未定式值的方法.如:e吧亍=1,则变

lim-------=lim3

X1xInx

()

A.0B-IC.1D.2

【答案】D

【分析】利用洛必达法则直接求解即可

22

x-lx-l2x

【详解】lim=lim---------=lim=2,

32

Xf1xInx(j?inx)Xf13x2Inx+x

故选：D

练透核心考点

1.（23-24高二下•四川成都•期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造

了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通

过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：

.皿=lime'=lim^=i,按此方法则有1血3二=____.

XfoXx-0x'x->015sinX

【答案】2

【分析】由洛必达法则，分别对分子和分母求导，代入x=0即可求得该极限值.

e+e

【详解】由题意可得：lin/e-------^-=lim=2.

iosinx53cosx

IolilaI

故答案为：2.

2.（23-24高二下•四川成都•期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造

了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通

过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：

.皿=lim（sinx）'=.任=1，按此方法则有1面。"一2=_

xf。Xx->0x'xfo11—COSX

【答案】2

【分析】根据题中所给方法也就是洛必达法则，直接计算可求得答案.

【详解】由题意可得：

ex+e-x-2@+b-2）'e'-e-'"（/一尸）'e'+e^、

lim----------=lim-------------二lim-------二lim---------=lim-------=2,

71-COS龙5（1-cosx/3sin龙5（sinx）',旬cosx

故答案为：2.

3.（23-24高二下•重庆万州•阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为。

x-10

型，比如：当xf0时，」e的极限即为X型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能

x0

不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求

x

导再求极限来确定未定式值的方法.如：lim£zl=iimtzi=lim—=lime=e°=r则

x—>0%x—>0£x—>0]x—>0

【答案】1/0.5

【分析】依据洛必达法则去计算即可解决.

■、4叼、1.x2］nx2xInx+x一11

【详解】吸E=lim=limInx+—=lnl+—=—

x->l2x222

故答案为：；

类型二：洛必达法则在导数中的应用

典型例题

1.(2024•浙江•二模)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具一一洛必达法则，法

则中有结论：若函数/(x),g(x)的导函数分别为尸(x),g'(x),且吧/(x)=l即g(x)=0,

则

../(x)/(X)

』g(x)—ag(x)

②设”>0,左是大于1的正整数，若函数“X)满足：对任意xe［0,4］,均有成

立，且吧〃x)=。，则称函数/(x)为区间［0,。］上的左阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题：

(1)试判断/(x)=x3-3x是否为区间［0,3］上的2阶无穷递降函数；

⑵计算:lim(l+x)x;

x->0

⑶证明：<COSX,

【答案】(1)/(X)=X、3X不是区间［0,3］上的2阶无穷递降函数；

(2)lim(l+x)x=e

x—>0

⑶证明见解析

【分析】(1)根据函数/(%)为区间［0,。］上的左阶无穷递降函数的定义即可判断；

(2)通过构造〃(x)=lng(x),再结合lim里=lim当即可得到结果；

…g(x)』g(x)

(3)通过换元令令》-无=乙则原不等式等价于tagsiR)J3,再通过构造函数

Jo,9根据题干中函数为区间上的左阶无穷递降函数的定

义证出即可证明结论.

【详解】(1)设尸(x)=〃x)-/m=门一"

Jo2

73

由于下(1)=丁尸。

o2

所以1不成立，

故/(x)=x3-3x不是区间[0,3]上的2阶无穷递降函数.

(2)设g(x)=(l+x)；，则lng(x)=[n0+x)=皿：叼,

设=

1

则「7/、1-ln(l+x)[.i+x1,

limh{x}=lim----=lim1+x=1

xf0x—>0%x—>0]

2_

所以1™Ing(x)=1,得lim(1+x)三e.

x->0

(3)令x-n=t,则原不等式等价于tandsi/f疗,/，,5

口口、十tanZ-sin2^、1(八兀)

即证一p——>1,^10,-1,

、_,j、tan/-sin2^

记/⑷:一一

/(/)tan/•f

所以胃------------=---------=--------->1,

8tan--sin2-1-tan2-1-tan4—

2222

即有对任意T。,胃，均有

所以〃，)>/[£]*••>/

因为lim----=limcosx=l,

x—>0%x—>0

所以

3

所以证毕!

【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题

干条件中相关限制条件的转化.

2.(2024高三,全国•专题练习)已知函数〃x)=-H—,如果当x＞。，且xwl时,

詈+｝求后的取值范围.

【答案】(-双0]

【分析】将题意转化为左＜Q+＞口，令g(3L+i，利用洛必达法则求出

Hfg(x),即可得出答案.

【详解】根据题目的条件，当i且E时,〃力廿+：

Inx1Inxk6“/人―，xlnx,xkvc2x]wc1

得ZI=t--+->—;+—，等价于后<--+1——-——r+i•

x+1xx-1xx+1x-ll-x2

l-x2

2(x2+l|lnx+

2xlnx,2(x?+1)lux+2(l-x,2X2+l

设g(x)=g'(x)=

22

l-x2l-x2

2(x2+l)i_„2

因为设=

(l-x2)-X2+1

2X(12+])(])x2x]4x_(1-

贝

w=g+22222

x2+1X(X+1)-X(X+1)

所以〃(x)在(0,+。)上单调递增,

因为"1)=0,所以当x«0,l)时,A(x)<0,

即g(x)在(0,1)上单调递减，当X£(l,+8)，Mx)＞0,g(X)在(1,+8)上单调递增.

当X趋近1时，2xlnx趋近0,当％趋近1时，1-必趋近0,

所以半2YITI符X合洛必达法则的条件，

1—X

即!*("T当+门+四¥="=°'

所以当x>O,x#l时，g(x)>0

所以上的取值范围是(-8叫.

练透核心考点

JT

1.(2024・浙江•模拟预测)已知函数/(x)=e*+sinx-oxcosx-l,xe0,-,

(1)当。=1时，求函数/(x)的值域；

(2)若函数/(x)20恒成立，求”的取值范围.

【答案】⑴0,3

(2)a<2

【分析】(1)求导/<X)=e"+cosx+xsinx-cosx=e"+xsinx>0卜e，易得/(%)在

0,^上单调递增求解；

rx

(2)方法一：/(x)=e+tzxsinx+(l-(7)cosx^a<0,0<«<1,1<«<2,a>2f由

〃切血了0求解；方法二：当x=o时，〃0)=0成立，当x=]时，成立，当

时，转化为“we'+simT恒成立,由。gg@)1nm求解.

【详解】(1)因为/(X)=e"+sinx-xcosx—l,

所以/'(x)=e"+cosx+xsinx-cosx=e*+xsinx>o]xe0,^-

.•./⑺在相og上单调递增又•.•〃o)=(v[3=「，

的值域是0,一.

(2)方法一：①当时，

x

/(x)=e+sinx-axcosx-1>sinx-axcosx>G0,—上恒成立，

②当0<〃《1时，

xx

/'(x)=e+cosx+axsiwc-acosx=e+tzxsiiu+(l-«)cosx>(l-^z)cosx>0xG0,—,

在xe0弓上单调递增，，/(x)”(0)=0成立.

③当。>2时，

令g(x)=/'(x)=e"+cosx+axsiwc-acosx,

贝Ig'(1)=e"+(Q-1)sinx+a(sinx+xcosx)>0,

所以g(x)在xe0,：上单调递增，即/''(》)在XC0,j上单调递增，

..力0)=2一时,“3=£+“。，

e/小使得当xe(0,x0)时/'(x)<0,故在xe(0,x0)上单调递减,

则/■(/)</(0)=。,不成立，

④当l<aW2时，

令g(%)=/'(%)=e"+cosx+axsiwc-acosx,

贝!Js'(%)=e"+(Q—1)sinx+a(sinx+xcosx)>0,

jrjr

所以g(x)在xe0,-上单调递增，即/'(X)在0,-上单调递增，

7T

rr

.-.f(x)>f(0)=2-a>0,即/(x)在0,-上递增，则/(x"/(0)=0成立.

综上所述，若函数/(x)20恒成立，则aW2.

方法二

当x=0时，〃0)=0成立，当x=］时，(3=』"成立,

当时，与/+5加-1恒成立,

\2Jxcosx

令g(x)=e、+s如T,则aWgWi

XCOSX

ex+sinx-1x+sinx

又「ex-l>xg(x)>------

xcosxxcosx

x+sinx,z、(1+cosx)•xcosx-(x+situ)(cosx-xsinx)

令/z(x)=,/z(x)=22

XCOSXXCOSX

_x+x2si•nx-s,inxcosx

=22，

XCOSX

•.,当x£[0,时，x>sinx,

,,/、sinx+x2sinx-sinxcosxsinx(1-cosx)+x2sinx

•-h%〉-----------X2-cos2-X-----='-X2-cost-X------->°,

在]。马上单调递增.

「x+sinx-1+cosx3

lim-------=lim--------；——=2,

xf°xcosxa°cosx-xsinx

,故人(x)>2,

/、ex+sinx-1「ex+sinx-1「ex+cosx

g(x)=--------->2,Xvlim----------=lim--------；——=2,

xcosx3xcosxcosx-xsinx

；•g(x)minf2，故

【点睛】方法点睛：对于/(x"o,xe。恒成立问题，法一：由求解；法

二：转化为g(x)2。(g(无)Va),xe。由g(x)mm»a(g(x)mmVa),xe。求解.

2.(23-24高三上•四川成都•期中)已知函数〃x)=lnx-"一1(。>0).

⑴当。=0时，求过原点且与/(x)的图象相切的直线方程；

m

(2)若g(x)=不+W(°>0)有两个不同的零点再，％(0<x,<x2),不等式国考>e恒成立,

求实数机的取值范围.

【答案】⑴y=

e

⑵(-8,4].

【分析】(1)利用导数的几何意义计算即可；

(2)函数g(x)有两个零点等价于6瓜2+(111工-k)-1=0有两个不同根，构造函数

"(x)=e，+x-1判定其单调性与零点得方程lnx-ax=0有两个不等实根，利用换元法得

InXj+31nx2=^^lnZ,构造="；lnx(x>1),法一、将恒成立问题转化为

—lnx>m^lnx-m^~^>0,利用对勾函数的单调性，分类讨论计算即可；法二、利

x-13x+l

用导数求〃(x)的单调性结合洛必达法则最小值即可.

【详解】(1)易知〃X)的定义域为(O,+s)/(x)=J

设切点坐标(为,In%-1),则切线方程为：^-(lnx0-1)=—(x-x0),

*0

2

把点(o,o)带入切线得:Xo=e,

所以，/(x)的切线方程为：y=^x；

e

(2)西•考>e"oln(%i•考)=In%]+31nx2>机，

又8口)=b"+。〉0)有两个不同零点,

则/+(lnx-ax)-l=elniK+(lnx-ax)-l=O有两个不同零点,

构造函数〃(x)=Qx+x—1=>/(x)=ex+1>0,

则〃(x)为(-00,+00)增函数，且"0)=0,

ax=InX]

即方程Inx-6=0有两个不等实根x

ax2

In9xInt〔tint

令^=—2=t>l贝=-7Jn%=-r

In%1%1