2025年新高考数学一轮复习：导数综合强化训练（45题）（解析版）

导数综合强化训练

一、单选题

1.已知函数/（工）=1+2/，（0）工+1,则/（2）的值为（）

A.-1B.-2

C.e2-lD.e2-2

【答案】D

【详解】根据题意，/（%）=，+2广（0）工+1。/（力=7+2广（0）。广（0）e°+2r（0）^

/'(O)=-10/'卜)=/-20八2)=«2-2.

故选：D.

।12023।12024I12025皿

2.已矢口。=In----+-------,67=In-------+-------c=\n----+----,贝Ub,c的大小关系是（）

202420242025202520262026

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

11—x

[详解]构造函数/（x）=lnx+l_x,/V）=--l=—,

当0<x<l时，r（x）>0,“X）单调递增，

所以力一'一a>b>c.

（2024）1,2025）（2026）

故选：A.

3.设曲线>=*在点（0,1）处的切线与直线2x-y+3=0平行，则”=（）

1

A.1B.2C.-D.—

2:

【答案】B

【详解】由函数y=e）可得y'=ae'则八=%

因为直线2%-了+1=0的斜率为2,可得”2.

故选：B.

4.若对任意的X1,x2e（1,3],当X]<x?时，再-X2>万1%-51nx2恒成立，则实数。的取值范围是（）

A.[3,+8）B.（3,+oo）C.[6,+oo）D.（6,+oo）

1

【答案】C

【详解】当王<4时，玉-々>glmi-51m^2怛成立，即当王<々时，玉-5I11X1>%2-万3^2恒成立，

设/(x)=x-/nx,xe(l,3］,则/(x)单调递减，

而/'(x)=1W0在(1,3］上恒成立，即a»2x在(L3］上恒成立，

所以。26.

故选：C.

5.己知函数/'(x)=x(e*+a),aeR有大于-1的极值点，则。的取值范围为()

A.(—:，+［B.1一00，-小C.(0,+3)D.(-»,0)

【答案】D

【详解】因为“X)的定义域为R,且/'(x)=e，+a+xe，=(x+l)e'+a,

令/''(x)=0,可得(x+l)e'=-a,

构建g(x)=(x+l)e,

由题意可知：y=g(x)与y=-a在(T,+OO)有交点,

则g'(x)=(x+2)e、＞0对任意xe(-l,+co)内恒成立,

可知了=g(x)在(一1,+8)内单调递增，则g(x)>g(-l)=0,

可得-a>0,即a<0,

所以Q的取值范围为(-8,0).

故选：D.

6.已知函数〃x)=-—⑪，xe［l,+s),/'(X)是〃x)的导函数，且/'(x)40,则a的最小值为(

x+2

2211

A.-B.—C.一D.—

3939

【答案】B

22一2"

计用牛】田犯处昂代"(。、则

12a=u,42

(x+2)(x+2)_(x+2)_max

1

注意到y=(x+2)29在［1,+»)上单调递增,y=GW在［1,+8)上单调递减.

2

222??

则:~-T=77^=6,所以0^3,即。的最小值为大.

9

L(x+2)Jmax(1+2)99

故选：B

7.如果/'(x)=G-e'在区间(-1,0)上是单调函数，那么实数a的取值范围为()

A.(-oo,-]U[l,+co)B.[-,1]C.(-<»,-]D.[1,+8)

eee

【答案】A

【详解】由已知/(x)=ax-e*/'(x)=a-e",

因为/（丁）=依--广€（-1,0）是单调函数,

所以xe(-1,0)J'(x)=a-e-0恒成立或Xe(-1,0)J'(x)="-eV0恒成立,

所以a2e”恒成立或a<ex恒成立，

所以a2e°=l或ad,

e

所以或a

e

故选：A.

8.已知直线歹=-2X+Q与函数/（x）=——41nx的图象有两个不同的交点，则实数。的取值范围为（）

A.（3,+⑹B.[3,+S）C.D.（2,3）

【答案】A

【详解】因为/（x）=2x-"空三，所以〃x）在（0,⑹上单调递减，在（在+回上单调递增.

令广（力=-2,得x=l,所以直线k-2x+a与的图象相切时的切点为（1,1）,此时a=3,

所以当a>3时，直线y=-2x+a与/（x）的图象有两个不同的交点.

故选：A.

9.已知函数=/+肉+3办+6的图象在点（1J（D）处的切线方程为了=-12x+%.若函数“X）至少有两

个不同的零点，则实数b的取值范围是（）

A.（-5,27）B.[-5,27]

C.（-1,3]D.[-1,3]

3

【答案】B

【详解】由题意，得/'(X)=3—++3。，/./'⑴=3+5。=-12,。=一3,f(x)=x3-3x2-9x+ft

2

f\x)=3x-6x-9=0,得再=-1,x2=3.

当x<-l或x>3时，/'(x)〉0,.二/⑴在(-”,-1),(3,+8)上单调递增；

当-1<x<3时，/'(%)<0,f(x)在(-1,3)上单调递减

.•.当x=T时，/⑴有极大值/(-1)=6+5；当％=3时，/(幻有极小值〃3)=6-27.

仿+520

若要使/(')至少有两个不同的零点，只需'”,八(等号不同时成立)，解得-5<6<27.

[p-27<0

故选：B

io.已知函数/(、)的导函数是7,a),且/'(%)=丁,"=山3应=1。&]3,则下列命题正确的是()

A.八-p)<f(q)B.f(p)>fQq)

C./(-)>/(-)D./(-+1)>/(-)

pqpq

【答案】B

【详解】依题意，〃x)=，4+c(c为常数)，/(X)是偶函数，且在(0,+8)上单调递增，

4

又夕=ln3>l,0<q=logH3<1,则0<q<l<p,

对于A,=A错误;

对于B,夕-2q=ln3-21ogi]3=ln3-k)gii9〉lne—k)giill=0,

p>2q>°,f(p)>fQq),B正确；

对于c,—>—>o,/(—)>/(—),C错误；

qpqp

113e

对于D,—+1——=log3e+l-log311=log3—<log31=0,

Pq11

—+—,/(—+1)</(—),D错误.

pqpq

故选：B

11.已知函数/(x)=e""2—b有三个零点，则b的取值范围是()

A.10B.[o，3

C.mD-[°4

【答案】B

4

【详解】因为/3=口/-6有三个零点，

所以3,2_6=0有三个根，所以y=6和g(x)=e，・无2有三个交点，

而g<x)=x(x+2)e",令g，(x)<0,xe(-2,0),

令g'(x)>0,xe(-oo,-2)u(0,+co),

所以g(x)在(-»,-2),(0,+曳)上分别单调递增，在(-2,0)上单调递减,

所以g(x)极小值为g(0)=0,g(x)极大值为g(-2)=，，

当％f+oo时，g(x)f+8,时，g(x)f0,

所以故B正确.

故选：B

12.设函数/(%)=(>-a)sin〃x,若存在与使得/既是/⑸的零点，也是/(%)的极值点，贝的可能取值

为()

A.0B.yfHC.兀D.712

【答案】B

【详解】由/(x)=(x—a)sin〃x,得/'(x)=sin〃x+(〃x-Q2)cos〃x,

令f(xo)-_Q)sinaXo=0,贝lj/=Q或sinax。=0,

2

当时，f(xQ)=sinaxQ+(axQ-a)cosaxQ=0,得sin/u。，

所以。2=M(£EN),贝!JQ=左£N)

2

当sin。%=0时，由/，(工0)=sinax。+(ax。―/)cosax。=0,(axQ-a)cosaxQ=0,

由COSQ/WO,得a=0或%=Q,

5

当。=0时，/(x)=0不存在极值点，

当％=。时，得.=痴(左eN),

综上，a='fht(keN),

所以当人=1时，a=&

故选:B

13.设a=e°a_i,fe=2(e001-l),c=sin0.01+tan0.01,则()

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>a>c

【答案】B

【详解】依题意，a-Z)=e002-2e001+l=(e001-l)2>0,则。>6,

rr

b-c=2(e001-1)-sin0.01-tan0.01,令/(x)=2ex-sinx-tanx-2,xe(0,—),

6

11兀

求导得/r(x)=2e%-cosx-------,令〃(％)=2e“—cosx-------,XG(0,—),

cosxcosx6

求导得〃(无)=21+而》-变竽，而2e'+sinx>2,0<2sinx<l,1<—〈巡，

COSXcos3x9

于是空里<递<2,即〃(x)>0,函数/'(x)在(0,少上单调递增，

cosx96

则/(x)>/'(0)=0,因此函数/(x)在(0,刍上单调递增，有“0.01)>"0)=0,即八c,

所以Q〉b〉c.

故选：B

14.已知/⑺是定义在(0,+。)上的非负可导函数，且满足矿(x)+/(x)40,对任意的正数Q,b,若

a<b,则必有()

A.bf(b)<af(a)B.bf(a)<af[b}C.af(a)<bf(b)D,af(b)<bf(a)

【答案】A

【详解】令g(无)=犷(无)，%G(0,+00),则g，(x)=V(x)+/(x)vo,

所以g(x)在久e(0,+8)上单调递减，

若。<a<b,则g(b)="0)Wg(a)=如⑷,故A正确，C错误;

因为矿(x)+〃x)W0,且“X)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，

6

所以才(x)M-/(x)40,

令力=xe(0,+00),则“3=对(x)；〃x)40,

XX

所以九(%)在第6(0,+8)上单调递减,

若0<a<b,则〃(a)=/(")>h(b)='仅)

ab

即炉⑷＞叭6),故BD错误.

故选：A.

15.若正实数。，b,。满足/=6c,ab\na=c,则()

A.a>bB.a>cC.b>cD.c>b

【答案】B

bb

【详解】a=beia\na=c,贝！Jbclna=c,则61nq=1,贝!Cl—V

则ab=(e%y=e，则d=(e%)'=e=bcf则。=g

先比较a,b：作差［一台二&一”设/(%)=铲-x(x>0)，

i1i

求导广(x)=—7e、—l<0,(x>0),则〃x)=5_x(x>0)在®+◎单调递减.

/(l)=e-l>0,/(2)=血—2=血—/<0,故/(%)=/—x(x〉0)有正负还有零，

即。-b值有正负还有零，故不能比较。力大小.故A错误.

1e1e11p11

再比较a,c：作差a-c=e*——，设/(x)=e*——(x>0),求导/<x)=——-ex+—=—(e-ex)=0,则

bxxxx

x=1

i1

由于0<%<1n->1ne-e%<0nf\x)<0,则/W在(0,1)单调递减.

x

i1—

x>ln—vine—ex〉0n/(x)〉0,则/W在(1,+co)单调递增.

且〃1)=0,则/(x)N0,即a-c=3-±20,即aNc.故B正确.

b

最后比较6,c,由于c=5,假设b=c=点满足题意，

b

假设6>c,即b>：,即〃>e，即6>在也满足题意，

b

假设6<c,即b<。，即^<e,即0<6〈孤也满足题意.

b

则仇c无法比较大小，故CD错误.

7

故选：B.

16.已知不恒为0的函数/(x)的定义域为RJ(x+j)=e"(x)+e"(y),则不正确的()

A./(0)=0B.翌是奇函数

e

C.x=0是/'(x)的极值点D./(3)--3e4/(-l)

【答案】C

(详解)函数解》)的定义域为R,/(x+j)=eV(x)+e"(力,

对于A,令x=y=O,则〃0)=2〃0),解得/(0)=0,A正确；

对于B,x&R,取片一个则〃O)=e-"(x)+e"(-x),

因此△?=-止口，令g(x)=/学，即有g(-x)=-g(x),

eee

因此函数g(x)是奇函数，即£包是奇函数，B正确；

e*

对于C,选项B中，令g(x)=x,则丁尤)=疣*,求导得/G)=(x+l)e"

因为八0)=1片0,因此x=0不是〃x)的极值点，C错误；

对于D,43)=e2/(l)+叭2)=e2/(l)+e[ef(l)+ef(l)]=3e2/(l),

由用=-2,得幽=-勺，即/⑴一人-1),

eeee

因此〃3)=-3//(一1),D正确.

故选：C

【点睛】关键点点睛：对于选项C：直接判断不容易说明时，可以通过举反例的方式说明，简化分析推理过

程.

二、多选题

17.已知函数/。)=夫3+；/-1,若函数/(x)在(2a,2。+3)上存在最小值，则。的可能取值为()

11

A.——B.-C.-1D.0

22

【答案】AD

【详解】/(x)=jx3+；­-2x+l,f\x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),

当-2<xvl时，/r(x)<0,故/(x)在(-2,1)上单调递减；

当-2或%>1时,Ax)>0,故/(、)在(-02),(1,+8)上单调递增,

8

・.・函数/(x)在x=1处取得极小值，在x=-2处取得极大值.

7

令=解得了=1或x=、，

•••函数/(x)在(2a,2a+3)上存在最小值,且(2a,2。+3)为开区间,

71

/.—-<2Q<1<2Q+3,角牟得—1<Q<5.

故选：AD.

18.已知函数〃x)=hu-(x-a『(aeR)在区间［1,+s)上单调递减，则实数。可以是()

]_

A.0B.V2-1C.1D.

2

【答案】ABD

【详解】)'(月=：-2(-)40在区间［1,+8)上恒成立，即在区间［1,+⑹上恒成立,

令无一则+《

g(x)=g[x)=l>0,所以g(x)在区间［1,+⑹上单调递增,

所以g(x)的最小值为g⑴=；,所以。的取值范围是awg,

对比选项可知，只有ABD符合题意.

故选：ABD.

19.设函数/0)=/一/+"_］,则()

A.当Q=-1时，/(x)有三个零点

B.当azg时，f(x)无极值点

C.3aeR,使/'(x)在R上是减函数

D.VaeRJ(x)图象对称中心的横坐标不变

【答案】BD

【详解】对于A,当。=一1时，f(x)=x3-x2-x-l,求导得/'(x)=3x2-2x-l,

令"x)=0得x=-；或x=l,由/V)>。，得或x>l,由((x)<0,

得一<x<l,于是〃x)在(-叱-；)，(1,+⑹上单调递增，在上单调递减，

〃x)在x=-g处取得极大值-1<0,因此/'(x)最多有一个零点，A错误;

对于B,f(x)=3x2-2x+a,当时，A=4-12a<0,即/'(x)N0恒成立，

函数〃x)在R上单调递增，无极值点，B正确;

9

对于C,要使/(X)在R上是减函数，则于。=3工2_2工+建0恒成立,

而不等式3/一2x+aV0的解集不可能为R,C错误；

4丁cy/2、//、，2、3,2度，2、，32,258

对'D,由/-x)+f(x)—(――X)-(—―X)+6Z(--x)-1+X-X+CLX_1——4Z_,

得〃X)图象对称中心坐标为捐-11),D正确.

故选：BD

20.已知。，“c,dwR,满足Q>b>c>d>0,则()

A.a-c>b-dB.a-sina>b-sinb

ab7777

C.—>—D.aa+bc>ab+cd

dc

【答案】BC

【详解】对于A,若。=6,b=5,c=4,d=l,则。一。=2<b—d=4,故A错误；

对于B,令/(x)=x-sinx(x>0),贝！J—(x)=1—cosx20,

所以/(x)在xw(O,+°°)上单调递增，因为。>6>0,

所以/(。)>/(b),即〃-sina>b-sinb,故B正确;

对于C,因为。>6>c>d>0,所以：〉—>0,所以：>—,故C正确；

acac

对于D,因为a>b>c>d>0,

所以ad+bc-ab-cd=(Q-c)(d-b)<0,可得ad+加<ab+cd,

故D错误.

故选：BC.

21.己知定义在R上的函数y=〃x)满足3d为偶函数，〃2x+l)为奇函数，当xe0,1时，/(x)>0,

则下列说法正确的是()

A./(0)=0B.函数y=〃x)为周期函数

C.函数y=/(x)为R上的偶函数D.

【答案】AB

【详解】因为/^一3力为偶函数，/■［一3"=/1+3力0(；-，=/\+^

o/(x)=/(l-x),故函数图象关于直线x=；对称，

10

-2%+1)为奇函数，/(-2x+l)=-〃2x+l)=/(-x+l)=-〃x+l),函数图象关于(1,0)对称,

对于B,〃x)=〃l-x)=-/(l+x)J(x+2)=-/(x+l)=/a),故2是函数的周期，函数为周期函数，故

B正确；

对于A,/(-2X+1)=-/(2X+1),令x=0J(l)=_/⑴,故/⑴=0,

又/⑼=〃1-1)=〃1)=0,故A正确；

对于C,/(一£|=(3=一„，当xe10，£|时，/'(%)>0,即函数在/J上递增，

函数图象关于(1,0)对称，故函数在上递减，故函数在-;1上递增，

所以了,£[N/[£|,故函数不是偶函数，故C错误；

对于D，唔卜4卜佃，故口错误，

故选：AB.

【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；

22.已知函数/(x)=(x-2)e\g(x)=xlnx+左，(4eR),则下列说法中正确的是()

A.函数〃x)只有1个零点，当左〉工时，函数g(x)只有1个零点.

e

B.若关于x的方程/'(x)=a有两个不相等的实数根，则实数ae(-e,0).

C.Vxj,x2efo,-^,且X1*X2，都有g/)>0.

Iejxi-x2

D.Vx,eR,3x,e(0,+oo),使得了(xj>g(%2)成立，则实数&e.

e

【答案】BD

【详解】由题意/'(x)=e，+(x-2)e，=(x-l)e，,

故当x>l时，r(x)>0,当x<l时，/，(x)<0,

所以/(x)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；

g(x)=xlnx+后定义域为(0,+s),g,(x)=ln.x+l,

故当x〉"1■时，g'(x)>0,当0cx<1时，g'(x)<0,

ee

所以g(x)在上单调递减，在上单调递增.

11

对于A,令/(x)=Onx=2,故函数/(x)只有1个零点;

当上〉工时，g(x)>g|-L--+^>0,故g(x)没有零点，故A错误；

对于B,/(x)>/(l)=-e,x<l时，/(x)<0,x>2时，/(x)>0,

故〃x)=a有两个不相等的实数根，则实数ae(-e,O),故B正确；

对于C,g(x)在(0,［上单调递减，故C错误；

对于D,V为eR,3x2e(0,+oo),>g(z)成立，则/(x)=)g(x)1nhi,

所以即一e>一1■+后=故D正确.

yeyee

故选：BD.

【点睛】思路点睛：恒成立和有解问题通常转化成最值问题来求解，解决本题可先利用导数求出函数的单

调性，从而可求出函数值正负分布情况和最值，进而可依次求解各选项.

三、填空题

23.若曲线V=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=/+(〃+2)x+l(aw0)相切，贝1］。=.

【答案】8

【详解】由y=x+lnx,所以y=x+』，则川z=2,

所以曲线>=x+lnx在点(1,1)处的切线为〉-l=2(x-l),即了=2x-l；

又y=2%_l与曲线y=〃%2+(a+2)x+1(〃w0)相切，

由〈,可得办?+办+2=0(。00),

［y=2x-\

贝lj△=〃-8。=0,角军得a=8或a=0(舍去)，

故答案为：8

24.设函数/(、)="3_3X+1(〃〉1),若对于任意的都有/(x)20成立，则实数。的值为.

【答案】4

【详解】由题意得，f(x)=3ax2-3(a>l),令广(无)=3"?-3=0,解得尤=±五，士正©1」］.

aa

①当TWx<_正时，r(x)>0,“X)单调递增；

a

②当-近<x<四时，r(x)<o,单调递减；

aa

12

③当正<X41时，r(x)>0,/(X)单调递增.

a

(r\

所以只需/—>0,且“-1)20即可，

1a

由72^=-2^-+1>0,可得让4,

Ia)a

由/(-I)=-a+420,可得a<4,

综上可得，a=4.

故答案为：4.

25.函数/(x)=x(x-a)2的极小值点为2,则实数。的值为.

【答案】2

【详解】因为/(x)=x(x-a)2,得至11-(力=3/-4姓+/=(3苫-耳(》一0),

由题知/'(2)=(6-a)(2-a)=0,解得a=6或a=2,

当Q=6时，/'(x)=(3x-6)(x—6)=3(x—2)(x—6),

由/'(x)>0,得到x<2或。>6,由/'(x)<0,得到2<%<6,

则/(x)在(-j2),(6,+8)上单调递增，在(2,6)上单调递减，

此时％=2是极大值点，不合题意，

当a=2时，r(x)=(3x-2)(x-2),由八幻>0,得至隈<彳或a>2,由_f(x)<0,9x<2,

则f(x)在H，(2,+⑹上单调递增，在(I，2)上单调递减，

此时x=2是极小值点，符合题意，

故答案为：2.

26.已知函数/(x)=〃e-l),对任意、£(0,+8),总有/(x)N2x成立，则实数。的取值范围为

【答案】［2,+8)

【详角军】依题意，VGXG(0,+oo),f(x)>2x<^>a(ex-1)>2x«a(ex-1)-2x>0,

2

显然e“—1〉0,则有。>0,于是。(e'—1)—2x20oe*—1—x>0,

a

22

令g(x)=e"—l——x,x>0,求导得g1x)=ex-一,

aa

13

2

■>2,即一VI时，g'(x)>0,函数g(x)在(0,+s)上单调递增,

g(x)>g(0)=0,即f(x)>2x.

22

当0<。<2,即一>1时，当0<x<ln—时,

2

g'(x)<0,函数g(x)在(01n—)上单调递减,

2

xe(O,ln-),g(x)<g(O)=O,此时/(x)<2x,不符合题意,

所以实数。的取值范围为［2,+8).

故答案为：［2,+口)

27.设函数/卜)=1"?)。>0)的零点为%,则当。的取值为时，/的最大值为,

【答案】e-

e

【详解】由题意/(x°)=ln［型］=0,所以吧=1,即y。=°,

\aJa

所以"o=lna,即/=色色,(4>0),

4g(a)=—,(a>0)'贝1Jg®)=匕坐，

Qa

因为当0<a<e时，g'(〃)>0,当a>e时，g，(〃)<0,

所以当0<Q<e时，g(“)单调递增，当Q>e时，g(〃)单调递减，

所以当a=e时，/有最大值g(e)=:.

故答案为：e,—.

e

【点睛】关键点点睛：关键在于得出尤0=等,(。>0),从而构造函数即可顺利得解.

28.定义在(0,+功上的函数/(x)满足//(%)+1<0,/(2)=|,则关于x的不等式〃lnx)>J+2的解集

2Inx

为.

【答案】(l,e2)

【详解】因xe(0,+s)时，x2f'(x)+\<0,BP/V)+4<O,也即(7(x)-L)'<0,

XX

14

取g(x)=〃x)-L贝!jg'(x)<0,即g(x)在(0,+◎上单调递减，

X

又八2)=1,则g(2)="2)_；=g_；=2,

由---F2可得g(lnx)>g(2),故得，0<lnx<2,解得，xG(l,e2).

mx

故答案为：(1,，).

29.已知函数〃x)的定义域为R,且〃x)>/(x)+l,/(0)=3,则不等式〃x)>2e，+l的解集为

【答案】(一%。)

【详解】设8(刈=笑口，则g，(x)」(xf，(x)—l,

e''e

vf(x)>f'(x)+l,：.f(x)-f'(x)-l>0,.•.g'(x)<0,.1g(x)在R上单调递减，

f(x)>2e*+1,g(x)=/⑸7>2,

e

Xg(0)=^1^=2,Ag(x)>g(0),.-.x<0,

e

/(x)>2ex+1的解集为(-00,0).

故答案为：(一叫0).

30.已知函数〃x)=4，+(a-2)x-2、-2a/有4个不同的零点，则口的取值范围为.

【答案】(一8,_2)u(-2,-eln2)

【详解】解：由题意可得方程(2、+应(2,-2x)=0有4个不同的根，

方程2*—2x=0的2个根为X]=1,%=2,

则方程2工+办=0有2个不同的根，且。*-2,

即函数了=2工与函数V=的图象有两个交点.

当直线>=与函数>=2”的图象相切时，

设切点为(x。,28)，因为;/=2，ln2,所以一2，

[―办。=2。，

解得％=工=log2e,a=-eln2.

m2

要使函数y=2*与函数V=一办的图象有两个交点，

只需直线V=~ax的斜率大于eln2,

15

故。的取值范围为(-s,-2)u(-2,-eln2).

故答案为：(-8,-2)D(-2,-eln2)

四、解答题

31.已知函数/'(X)=X，-6X2+9X+1.

⑴求函数/(x)在x=0处的切线方程；

(2)当xe[0,5]时,求函数/(x)的最大值.

【答案】⑴了=9x+l

(2)21

【详解】(1)因为〃x)=x3-6x2+9x+l,所以/<X)=3X2-12x+9.

八0)=9,〃0)=1

所以切线方程为y-i=9(x-o),即了=9x+l.

(2)令/''(X)=3x?-12x+9=0,玉=1,x2=3,

因为xe[0,5],所以在[0,1],[3,5]单调递增，(1,3)单调递减，

所以/max(x)=max{/(l),/(5)}=max{5,21}=21.

32.已知函数/(x)=21nx-3x+gx2.

⑴求函数/(x)的极值；

(2)解不等式：/(x)>61n2+8.

【答案】(1)极大值为-g,极小值为21n2-4

(2)(8,+oo)

【详解】(1)函数/(x)的定义域为全体正实数，

由f(x\=21nx-3x+—x2==--3+x=———,

,2xx

令/'(%)=0n西=1，%=2,于是有

X(0,1)1(1,2)2(2,+oo)

16

+0-0+

_5

“X)单调递增单调递减单调递增

~221n2-4

因此，当X=1时，/(X)有极大值，并且极大值为了⑴=-坐，

x=2时，“X)有极小值，并且极小值为〃2)=21n2-4；

(2)由(1)可知:

函数“X)在xe(O,l)时单调递增，M/(l)=-1<0,所以此时有

在xe(l,2)时单调递减，所以有〃x)<0,

因此要想/(x)>61n2+8,有则必有x>2,

当xe(2,+s)时，函数单调递增，而/⑻=21n8-3x8+gx82=61n2+8,

所以由〃x)>61n2+8=>〃x)>〃8)=>x>8,

因此不等式〃x)>61n2+8的解集为(8,+8).

33.已知函数〃x)=e*,x：l).

⑴求/(x)的单调递增区间；

(2)求出方程/(x)=“aeR)的解的个数.

【答案】(1)(—,0),［产］

(2)答案见解析

【详解】⑴函数的定义域为1)3(1,+功.

/'(x)=e,1J).令/'(x)=0解得x=0或x=g.

则x、尸(无)、的关系列表如下：

3

X(-0,0)0(0,1)

02(rd

r(x)+0--0+

17

/(X)单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增

.•.八%)的单调递增区间为(-。,0)[j+°].

(2)方程〃x)="aeR)的解的个数为函数y=/(x)的图象与直线的交点个数.

在⑴中可知：在区间上单调递增，在野上单调递减,

在x=0处取得极大值/(O)=1,在x=,处取得极小值/(g)=,

令k0,得x=g

当x<0时，>>>0/的图像过点(0,1)[；,0].

当x--8时，y-0,但始终在x轴上方；

当X从1的左侧无限近于1时，>--8；当X从1的右侧无限近于1时，yf+s；

33

当x=彳时，_2;当X-+8时，y-+00.

2yv-v4e

根据以上性质，作出函数的大致图象如图所示，

‘当1<”41时，V="%)与”"没有交点，则方程/3=°的解为°个；

当。<0或。=1或a=4e=时，丫=/0)与>有1个交点，则方程/⑴=”的解为1个;

当0<a<l或a>41时，y=/⑶与>=“有2个交点，则方程〃x)=a的解为2个.

34.设函数v=/(x),其中/(尤)=a五一lnx(a>0),

⑴求以x)；

(2)若V=/(x)在[1,+8)是严格增函数，求实数a的取值范围;

18

(3)若V=/(x)在24］上存在单调递减区间,求实数a的取值范围.

【答案】;

(2)［2,+oo)；

⑶(0,0).

【详解】(1)由f^=ay[x-}nx=ax^-\nx(<a>0)»

1_11

得广(x)=a-—x2—,

所以广(X)二华工

(2)由题意得，/'(》”0在［1,+«))上恒成立,

、2

即。2—j=在［L+8)恒成立，

7x

222

因为〉=正在［1,+8)上递减，所以〉=式的最大值为方=2,

所以。22,即实数。的取值范围为［2,+W)；

2

(3)由题意得，/'(%)<0在［2,4］上有解,即。<一尸在［2,4］上有解,

7x

2

因为V=-尸在［2,4］上递减，

y/x

所以后，

y/X

所以0<a<a,

即实数0的取值范围为(0,⑹.

35.已知函数了=/(X),其中/'(x)=x3+ax2+(a+6)x+b(a,6eR).

(1)若函数V=/(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3,求ab的值;

(2)若>=/(x)在R上是严格增函数，求实数。的取值范围.

【答案】(1)。=-3,6=0；

⑵ae［-3,6］.

【详解】(1)由/(x)=》3+OX、+(a+6)x+6(a,6eR),

得/'(x)=3x2+2ax+a+6,

19

由题意得,苗［/(0。))==03b=0

即

(2+6=3

解得a=—3,b=0；

(2)f[x)—3x2+2ax+a+6,由题意得，/'(%)20在R上恒成立,

则A=4a2-12(a+6)W0,

化简得/一3〃一18W0,解得aw[-3,6].

36.已知/(%)=-;Q/+%-]n(l+x),其中Q>0.

⑴若函数/(x)在x=3处的切线与1轴平行，求。的值;

(2)求/(%)的极值点;

(3)若/(%)在［。,+8)上的最大值是0,求。的取值范围.

【答案】⑴a=J；

4

(2)答案见解析;

(3)口，+⑹.

【详解】(1)函数f(x)的定义域为(T,+8),

/，(x)——ax+\--^--,

因为函数在x=3处的切线与x轴平行，

所以广⑶=一30+1-工=0,解得。=J.