2025年新高考数学复习压轴题讲义：高等解析几何背景新定义（七大题型）

专题06高等解析几何背景新定义

【题型归纳目录】

题型一：特殊空间几何体新定义

题型二：空间斜坐标系新定义

题型三：结合解析几何距离新定义

题型四：空间直线方程

题型五：空间平面方程

题型六：立体几何与解析几何结合新定义

题型七：解析几何概念新定义

【方法技巧与总结】

空间立体几何与解析几何新定义试题呈现的结构通常为“给出图形的新定义一探索图形的新性质一运

用图形的新性质解决问题”，设问的层次通常为从简单到复杂、从特殊到一般.理解概念重要的不仅是概念

如何定义，而且是概念能够引出哪些性质(具有哪些表征)；研究图形重要的不仅是发现了什么结论，而且是

采用了怎样的思想方法.这正是数学课程性质中的抽象结构思想和数学课程目标中的核心素养导向的体现.

【典型例题】

题型一：特殊几何体新定义

【典例1-1】(2024・高三•河北•阶段练习)已知“=(尤”[/J,b=^x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:

(ax9Jc=x{y2z3+x2y3zx+x3yiz2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2zt,在平行六面体48co-4BC中，48=(1,1,0),

25=(0,2,2),Z4；=(l,-l,l).

(1)证明：平行六面体ABCD-/EGA是直四棱柱；

(2)计算|(万乂而卜五可，并求该平行六面体的体积，说明|(万x45).无可的值与平行六面体

48co-4与GO体积的关系.

【解析】⑴证明：由题意石•德=lxl+lx(_l)+0xl=0,Z4；.ZD=0xl+2x(-l)+2xl=0,

二石_L石，AA.A.AD,BPAA11AB,AAtlAD,

；AB,4D是平面4BCD内两相交直线，...441，平面/BCD,

平行六面体N3CD-4旦GA是直四棱柱；

(2)|(A8x2D)-14|=lx2xl+2xlxl+0-lx(-l)x2-0-0=6,

由题意同=拒，]囹=2后,

AB-AD=1x0+1x24-0x2=2、

ABAD

所以sin/氏4。=

AB\x[AD\72X272

SABCD=\A^\-\AE\-smZBAD=47.x272=班，画=百，

=X

•,ABCD-AXBXCXDXABCD|"41=2^/JXy[?>=6.

X

''|('B，卜^ABCD-A{B[C{DX,

故|(方义通).比"的值表示以/B,AD,/4为邻边的平行六面体的体积.

【典例1-2】(2024・高二・上海徐汇・期中)设尸为多面体〃的一个顶点，定义多面体"在点尸处的离散曲率

为1一1(/0田02+/。2P。3+…+/。1尸2+/2尸&)，其中2(，=1，2,…，k,左23)为多面体M的所有

271

与点P相邻的顶点，且平面。/Q，平面。2尸。3,…，平面。和平面&尸。为多面体”的所有以「为

公共点的面.已知在直四棱柱/BCD-/4G2中，底面/BCD为菱形，且N4=/8=l.

(1)求直四棱柱用G2在各个顶点的离散曲率之和；

(2)若直四棱柱/BCD-48C2在点/处的离散曲率为x,直四棱柱/8CD-/3C，体积为“X),求函数

了=/(到的解析式及单调区间.

【解析】⑴在直四棱柱N3CD-44G。中，幺/。=幺/8=,底面N8CD为菱形，

由离散曲率的定义知：44,c，G的离散曲率相等，氏综22的离散曲率相等，

所以A处的曲率为1——x(―+—+ZBAD)=——V,而。处的曲率为1——x(―+—+ZADC)=--,

2兀2222兀2兀2222兀

又ZBAD+N4DC=TI,

匚匚…品合力4AD1ZADC।ZBAD+ZADC1

所以A、/)两处的曲率和为---------1---------------=1----------------------=_,

22兀22兀2兀2

故直四棱柱/8CD-N8G2在各个顶点的离散曲率之和4xg=2.

⑵由题设，A处的曲率1一1-x(二+&+Z8/D)=j一刍2=x,ZBAD=TI(1-2x),

2TI2222兀

所以直四棱柱底面面积为2s&ABD=2X；Xfxsin兀(1一2x)=sin兀(1一2x)=sin2TIX,

故直四棱柱NBC。-高为1,故体积为/(尤)=sin2m,

TTIT111]

令2析—<2.nx<2ATIH—,kwZ,可得上—MxMkT—,keZ,HP\k—,k—],左eZ上/(x)递增；

224444

令2EH—<2TCV<2ATIH,kwZ,可得左H—MxMkT—,keZ,即[左H—,kH—],斤eZ上/(x)递减；

224444

1113

所以/(X)增区间为区—-水+：],减区间为区+—,左+:],keZ.

4444

【变式1-1](2024•辽宁沈阳•二模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱

截去三个相等的三棱锥〃-/BC,J-CDE,K-EE4,再分别以/C,CE,瓦4为轴将“CH,KEJ,AEAK

分别向上翻转180。，使H,J,K三点重合为点S所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶

空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点

的曲率规定等于2兀减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表

7TJT

示).例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是所以正四面体在各顶点的曲率为如-3X§=TT.

4BiAiBi

图1图2

(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；

(2)若正六棱柱底面边长为1,侧棱长为2,设BH=x

⑴用x表示蜂房(图2右侧多面体)的表面积S(x)；

(ii)当峰房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.

【解析】(1)蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，

根据定义其度量值等于7x2兀减去三个菱形的内角和3x2以

再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和6x7t,

即蜂房曲顶空间的弯曲度为7x2兀-3x2兀-67t=2兀.

⑵⑴如图所示，连接NC，SH,贝。。=百，设点S在平面/CE的射影为O,

则08=1,贝U=4+4X2

菱形SAHC的面积为S二旦,1+4/,

2

侧面积6,2+（；一X）,I=3（4-X）=12-3X,

所以蜂房的表面积为S(x)=浮・4+4/—3x+12,XG(0,2).

eV、—6岛3

S(%)=,--3=

(11)V1+4%2

令S(x)=0得至晨=走,

4

(5、(再)

所以S(x)在0喋,S'(x)<0,S(x)递增;在|：2,S'(x)>0,S(x)递增.

所以S(x)在x=1处取得极小值，也即是最小值.

4

此时&4=SC=Jl+d=述,在AS/C中，令NASC=9,由余弦定理得cos6=旦±些二”=一,

42xSAxSC3

又顶点S的曲率为2兀-36,

cos(2兀-30)=cos39=cos(2。+6)=cos20cos0-sin29sin0

二(2cos2^-l)cos^-2sin2OcosO

=(2cos20-1)cos0-2(1-cos26>)cos®

=4COS36*-3COS6»=4X(-1)3-3X(-1)=||.

题型二：斜坐标系新定义

【典例2-1](2024・高二・湖北•阶段练习)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如

果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条

数轴的夹角均为60。，我们将这种坐标系称为“斜60。坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60。坐

标系”下向量的斜60。坐标：二1定分别为“斜60。坐标系”下三条数轴。轴，＞轴，z轴)正方向上的单位向量,

若向量元=+/+,则为与有序实数组[x,y,z]■对应，称向量万的斜60。坐标为[x,y,z],记作

n=[x,y,z].

⑴若）=[1,2,3]石=[-1,1,2],求方+B的斜60。坐标；

⑵在平行六面体48co-48CQ中，AB=AD=2,AA1=3,ABAD=ABAAX=ADAAX=60°,建立“空间斜60。

坐标系”如下图所示.

Bx

①若砺=函，求向量西的斜60。坐标；

②若万7=卬,0],且加_L为，求p可.

【解析】(l)v5=[1,2,3],&=[-1,1,2],

:.a+b=(i+2/+3不)+卜，+j+2k^=3j+5k=[0,3,5],

.•.3+B的斜60。坐标为[0,3,5].

(2)设分别为与赤，而，麴同方向的单位向量，

贝IJ刀=27,15=21,刀=35，

@EDl=ADi-AE=(AD+AAiy^AB+]

=一存+而+；国'=4+2]+1%=22,

②由题数=2§+通+怒=2：+2]+3不，

由M=[3j,0],知方？=31+斤，

由而_1,布，知：

AM-AC^^i+2j+3k)\3i+tj)=0,

6z~+2//2+(6+2f)i.J+9k-i+3tk•j—0,

i93/

.■.6+2f+(6+2?)--+-+y=0,解得f=-3,

贝1J画=W-3/卜J(3f)2=3.

【典例2-2](2024・高二・四川绵阳•阶段练习)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标

系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任

意两条数轴的夹角均为60。，我们将这种坐标系称为“斜60。坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间

斜60。坐标系”下向量的斜60。坐标：分别为“斜60。坐标系”下三条数轴（无轴、了轴、z轴）正方向的单位

向量，若向量万=x『+苏+zE,则万与有序实数组相对应，称向量力的斜60。坐标为[x,y,z],记作

力=[x,%z].

(1)若方=[1,2,3],K=[-1,1,2],求a+B的斜60。坐标；

(2)在平行六面体ABCD-ABCR中，AB=AD=2,AA1=3,ABAD=ABAAX=ZDAAt=60°,N为线段D©

的中点.如图，以｛函而，麴｝为基底建立“空间斜60。坐标系”.

①求丽的斜60。坐标；

②若4W=[2,-2,0],求/必与丽夹角的余弦值.

【解析】(1)由)=[1,2,3],6-[-1,1,2],

知。=i+2/+3左，b=-i+j+2k>

所以3+B=(i+2/+)+z+j+2k)=3/+5兄，所以N+B=[0,3,5]；

(2)设f,j,1分别为与焉，AD<您同方向的单位向量，

则方=2;，AD=2j,~AAx=?)k,

@w=sc+cq+Qv=25+Z^-|28=2j-+3^-7=-7+2j-+3^,

BN=[-1,2,32.

②因为为7=[2,-2,0],所以而=2f-2],

则|肉|=\21-2j\=^(27-2J)2=74?+47-87-j=V4+4-4=1，

'-"IBN|=J(2)+3-12=jy,

**•BN-AM=(-z+2j+3i)•(2i-2力=4>j+6i-k-2i~-6k-j+2i-j=-3>

-"BN-AM-3

cos<BN,AM>—■——..-—-j=—

\BN\-\AM\715x210

所以而与丽的夹角的余弦值为-辿

10

【变式2-1]（2024・高二・山东潍坊・期中）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，

如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两

条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60。坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60。

坐标系”下向量的斜60。坐标：『二》分别为“斜60。坐标系”下三条数轴（X轴、》轴、z轴）正方向的单位向量，

若向量元=6+W+z不，则万与有序实数组（x,y,z）相对应,称向量力的斜60°坐标为[x,y,z],记作行=[x,y,z].

(1)若1=[1,2,3],jj=[-1,1,2],求d+B的斜60°坐标；

(2)在平行六面体/BCD-/BCQi中，AB=AD=1,AAi='3,ABAD=ZBAA}=ZDAAt=60°,如图，以

{函而，石}为基底建立“空间斜60。坐标系”.若而=[2/0],且而J.为，求|无可

【解析】⑴由)=[1,2,3],i=[-1,1,2],^a=i+2j+3k,b=-i+j+2k,

所以NB=(i+2/+3定)+口+/+水)=3/+5斤，

所以@+*=[0,3,5]；

(2)设f,7，斤分别为与冠，AD，方;同方向的单位向量，

则存=2『，AD=2j,而'=3月，

由题为=方+屈+石=21+2]+3不，

因为1位=[2,1,0],所以商=2『+斤，

由AM_LACl知AM-AC)=(2i+2j+3k}+tjj=0

n4产+2"，+(4+2。f./+6讥孑+3tk-y=0

=>4+2/+(4+2。・；+3+,=0=/=-2

贝l|丽=|27-2j\=J(21_2力2=74?+47-87-7=V4+4-4=1

【变式2-2]（2024・高二・江苏常州・期中）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，

如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两

条数轴的夹角均为60%我们将这种坐标系称为“斜60。坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°

坐标系”下向量的斜60。坐标：i,j,k分别为“斜60。坐标系”下三条数轴（％轴、y轴、z轴）正方向的单位向量,

若向量元=xi+yj+zk,则n与有序实数组(x,y,z)相对应，称向量力的斜60。坐标为[x,y,z],记作万=[x,y,z].

(1)若)=[1,2,3],ft=[-1,1,2],求&+B的斜60。坐标；

(2)在平行六面体ABCD—ABC}DX,AB=AD=2,AAi=3,Z.BAD=Z.BAAl=Z.DAAX=60°,如图，以^AB,AD,AA^

为基底建立“空间斜60。坐标系”.

②若花=[2/,0],且加工而，求|屈

【解析】⑴由3=[1,2,3],*=[-1,1,2],知方=『+2，+35,b=-i+j+2k,

所以2+B=(/+2j+3元)+(-z+j+25)=3j+5k,

所以布=[0,3,5]；

⑵设7分别为与五§,而,戴同方向的单位向量，

则方=27,石=2j,AAt=3k,

=—2z+2jH—k

(2)由题ACy—AB+AD+AA,^=2i+2/+3k,

因为翔=[2,f,0],所以而=2:+),

由AM_LACt知AM-AC1=(2i+27+3左)•(2i+))=0

n412+2z/2+(4+2。i-j+6k'i+3tk-j=0

i3/

=^>4+2/+(4+2z)«-+3+y=0

=>t=—2

则可卜团一2m=“2>2/2

=A/4+4—4=2-

题型三：结合解析几何距离新定义

【典例3-1](2024・高二•北京・期中)“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼・闵可夫斯基提出

来的.如图是抽象的城市路网，其中线段H同是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们

只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用"(43)表示，又称“曼哈

顿距离”，即d(48)=|/C|+|C同，因此“曼哈顿两点间距离公式"：若/(%,为)，B(x2,y2),则

d(43)=「f|+|%一必|

⑴①点/(3,5),5(2-1),求“48)的值.

②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程.

⑵已知点8(1,0),直线2x-y+2=0,求2点到直线的“曼哈顿距离”最小值；

⑶设三维空间4个点为4=(x”％zJ,i=l,2,3,4,且%,%,4©{0,1}.设其中所有两点“曼哈顿距离”的

平均值即2,求2最大值，并列举最值成立时的一组坐标.

【解析】⑴①d(4B)=|3-2|+|5+1卜7；

②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为(xj),则卜-0|+卜-0|=1,即N+3=L

(2)设直线2x-y+2=0上任意一点坐标为C(x1,2x1+2),则d(C,B)=|^-1|+12再+2|,

当不<-1时，d{C,B^=——1,此时d(C,3)>2；

当一14尤1<1时，d(C,B)=X1+3,止匕时1(0,8)22；

当王>1时，d(C,B)=3尤]+1,此时d(C,B)>4,

综上所述，"(C,8)的最小值为2.

如图，A'B'C'D'-E'F'G'H'为正方体，边长为1,则4对应正方体的八个顶点,

当四个点在同一个面上时，

⑴例如：A,B,C,D,此时d=---------------------=—；

(ii)例如：A',E',G',C'，此时乙=2；

6

当四个点不在同一个平面时，

(iii)例如：4：C：H：D'，此时7=2+2+2：2+2+2=2；

(iiii)例如：/,B；E；D'，此时八2+2+1：1+1+2二；

63

..,,....,,―：1+1+2+2+3+15

(11111)例如：A；B；E',H'，此时d=---------------------=-;

63

......,.,,,,.,1+2+2+3+1+211

(uim)例如：A,B,E,G-止匕时〃=---------------=—

66

综上所述，7的最大值为2,例如:4(0,0,0),4(1,0/)，4(U，o)，A(04,1).

【典例3-2](2024•高三•上海青浦・开学考试)我们称点P到图形C上任意一点距离的最小值为点P到图形C

的距离，记作"(RC).

⑴求点网3,0)到抛物线C:y2=4x的距离d(P,C)；

(2)设/是长为2的线段，求点集。={P\d(尸,/)<1}所表示图形的面积.

【解析】(1)设年,%J是抛物线C：/=4x上任意一点，则

%|=13T'(Orj=ef；+9=4丫+8，

因为为eR,所以当为=±2时，归4nhi=2后.

点网3,0)到抛物线C:y2=4x的距离d(P,C)=2V2.

(2)设线段/的端点分别为/,B,以直线为x轴，的中点为原点建立直角坐标系，

则N(-l,0),3(1,0),点集。由如下曲线围成:

4：^=1,(|x|<l),(|x|<l),

22

G:(x+l/+y2=],(X<-1),C2:(x-1)+v=1,(x>l),

集合。=｛尸|d(P,/)41｝所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，.•.其面积为

22

【变式3-1](2024•江苏南通•二模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆「：\+看=1(。>6>0)的离心率为

ab

S,直线/与加目切，与圆。：工2+y=3°2相交于/,8两点.当/垂直于X轴时，|/3|=2而.

(1)求「的方程；

(2)对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，

则记此最大值为d(M,N).

3)若“，N分别为线段与圆。上任意一点，尸为圆。上一点，当的面积最大时，求d(M,N)；

(ii)若d(M,N),d(N,M)均存在，记两者中的较大者为"(MN).已知"(X,Y),H(Y,Z),〃(X,Z)均存在,

证明：〃(x,z)+〃(y,zB〃(x,y).

【解析】⑴

因为当/垂直于x轴时，|/为=2指,而直线/:x=±。与「相切，则243/-/=2#),解得a=6，

又椭圆「的离心率为g,则椭圆「的半焦距c=0,b7a2-c。=1，

所以:T的方程为:+/=l.

(2)(i)当/的斜率存在时，设/的方程为：y=kx+m,

由"2-1fcx消去V得：(3A:2+l)x2+6kmx+3m2-3=0,

x+3y=3

由直线/与椭圆「相切，得A=(6加了-4(3左2+1)(3/-3)=0,整理得加=3r+1,

于是圆心。到直线/的距离d=曾L=\=h工e[1,3)，

yjk2+lNk~+lyk2+l

则APAB的面积为S^PAB——(^+3)'|AB|=—(<7+3)-2,9-/=1(3-d)(d+3)，,

设f(d)=(3-d)(d+3)\1<<V3,求导得_f(d)=2(d+3)2(3-2d),

当1V4<|时，/V)>0,函数〃")单调递增，当|<4<6时，/V)<0,函数/①)单调递减,

因此当时，/■(4)取得最大值，此时(S.B)max=28，

当/的斜率不存在时，由⑴知，S<|x(V3+3)x2V6=372+376,

由(蛀)2一(立+峋2="一4®>7-4正>0，得^^>30+3&，则

41642

对于线段上任意点E,连接OE并延长与圆。交于点尸，则尸是圆上与E最近的点，

当£为线段的中点时，E尸取得最大值3],所以火M,N)=3j.

P

(ii)因为“(X,r),H(Y,Z),H(X,Z)均存在，

设点泻,EwKZiZeZ,且H(X,Z)=因4|,〃(匕2)=昭2|田(X,7)臼蔼引,

设八是集合y中到乙的最近点，根据对称性，不妨设〃(工丫)=4工丫)="讣

令点X]到集合Z的最近点为Zj，点z3到集合Y的最近点为X,

因为因蜀是集合X中所有点到集合Z最近点距离的最大值，则因勾>|^2Z3|,

因为％Z?|是集合y中所有点到集合z最近点距离的最大值，则IXZ2I>|v3|，

因此H(X,Z)+H(Y,Z)=因勾+|了2闫X2Z31+区Zj,

而在坐标平面中，IX2Z3I+IXZ3以乙耳，又点丹是集合y中到点「2的最近点，则氏胃2区引,

所以H(X,Z)+H(Y,Z)NH(X,y).

【变式3-2](2024・高二・山东青岛・期中)中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统

装饰的审美观念，广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字

结''对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在xQy平面上，我们把与定点片(-40),心(。,0)(。>0)距离之积等

于/的动点的轨迹称为伯努利双纽线，耳，芭为该曲线的两个焦点.数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为

椭圆的一种类比开展研究.已知曲线C:（x2+/）2=9（X2-/）是一条伯努利双纽线.

⑴求曲线C的焦点耳，鸟的坐标；

（2）试判断曲线。上是否存在两个不同的点8（异于坐标原点。），使得以为直径的圆过坐标原点O.如

果存在，求出力,3坐标；如果不存在，请说明理由.

【解析】⑴方法一：设焦点6（->0）,耳（。,0）（。>0）,

曲线C:（x2+必）2=9（x2一/）与x轴正半轴交于点网3,0）,

由题意知|期|忸¥|=（3+°）（3-°）=9"2=。2,

不曰293后

于是。=-,a=---，

22

方法二:设焦点4(-40),耳(a,0)(。＞0),

由题意知[(工+好+必口卜:-4+必卜/,

即[(/+/+y~)+2ax][(/+q-+y")-2ax]=a",

9Q

整理得■、/)=2a2(x2-J2)，于是『=5，a

（2）假设曲线C上存在两点Z,B,使得以为直径的圆过坐标原点。，即。4,05,

由题意知直线CM,。5斜率均存在，

不妨设直线。/的方程为y=kxx,直线OB的方程为y=k2x,

将直线OA的方程与曲线C联立，得（1+k；）2x4=9x2（1-好》

解得一1</<1,同理一1<&<1，

因此先住=-1不可能成立，于是假设不成立，

即曲线C上不存在两点HB,使得以为直径的圆过坐标原点。.

【变式3-3]（2024•高三・全国・专题练习）在平面直角坐标系xQy中，对于直线/:ax+勿+c=0和点耳（国,必），

△（乙,%）,记〃=（g+加+c）（做+6%+c）,若〃<0,则称点耳，鸟被直线/分离，若曲线c与直线/没

有公共点，且曲线c上存在点4，鸟被直线/分隔，则称直线/为曲线c的一条分隔线.

⑴求证：点4（1,2）,8（-1,0）被直线x+y-l=0分隔；

⑵若直线〉=丘是曲线/-4/=1的分隔线，求实数k的取值范围；

⑶动点"到点。（0,2）的距离与到了轴的距离之积为1,设点M的轨迹为曲线E,求证：通过原点的直线中，

有且仅有一条直线是£的分隔线.

【解析】（1）证明：由题得〃=（1+2-1）（-1-0-1）=-4<0

••.点N,5被直线x+y-1=0分隔.

（2）直线*="与曲线--4/=1有公共点的充要条件是方程组彳242=]有解，即H<1.

•••'=日是曲线/一4丁=1的分隔线，故它们没有公共点，即网

当用时，对于直线y=",曲线/_4/=1上的点（-1,0）和（1,0）满足〃=_左2<0,即点（7,0）和（i,o）被

y=分隔.

故实数上的取值范围是:仁-:

（3）证明：设”的坐标为（龙/）,则曲线E的方程为M+（y-2）2.国=1,即F+5-2/卜2=1.

对任意的外,（0,%）不是上述方程的解，即了轴与曲线E没有公共点.

又曲线£上的点卜1,2）和（1,2）对于了轴满足〃<0,

即点卜1,2）和（1,2）被y轴分隔.轴为曲线£的分隔线.

'y=h,「

若过原点的直线不是y轴，设其为y=依，由：[/+（了_2）2卜2=1得产+（依一2）2卜2-1=0,令

f（x）=[x?+（履

•.•/（0）-/（2）=（-l）.[16（A:-l）2+15]<0,

二方程/（x）=0有实数解.

即直线、=丘与曲线E有公共点，故直线y=丘不是曲线E的分隔线.

综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.

题型四：空间直线方程

____.UUUI

【典例4-1](2024・高二咛夏银川•期中)在空间直角坐标系中，三棱锥尸-A8C,^5=(2,-1,3),AC=(-2,1,0)>

制=(3,7,4).

⑴求三棱锥P-43C的体积

(2)用求轨迹方程的思想方法，试求在空间直角坐标系中，以益=(2,-1,3)为方向向量，过点M(W)的直

线方程

【解析】(1)设平面48c的一个法向量为

AB-n=2a-b+3c=0一/、

则有《一.，令6=2,则a=1,c=0,所以〃=(1,2,0),

AC-n=-2a+b=0

万•/尸

点尸到平面的距离，即棱锥的高〃=

\n\V5

,ABAC-4-1V5/------3

又c°pf^=7F^7=一访‘所以一cos八赤，

所以S»BC=；|益11%卜inN=gxJ?xJiZx\j=竽，

137511

所以三棱锥的体积/TBC-33・〃=—X---------X

"BC3245~2

(2)取该直线上任意一点0(x,%z)(异于初点)，则甄=

依题意可得由〃君，

所以存在实数，，使得由=以5,BP(l-x,l-y,l-z)=z(2,-l,3),

\-x=2t

即T-y=V,消去参数t可得—=1=F，

\-z=3t

将M(1,1,1)代入上式，适合此方程，

所以该直线方程为：lz£=lzZ=lz£

2-13

【典例4-2](2024・高二・浙江台州・期末)我们知道，在平面中，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.如

点/(1,2)在直线/上，7=(1,3)为直线/的一个方向向量，则直线/上任意一点3(x,y)满足：ABHa,化简可

得3x-y-l=0,即为直线/的方程.类似地，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个

平面.

(1)若在空间直角坐标系中，P(l,3,-l),M(2,l,0),2V(3,2,-l),请利用平面丽的法向量求出平面丽的方程;

⑵试写出平面及+向，+G+P=O（N,B,C不同时为0）的一个法向量（无需证明），并证明点（%,%,z。）到平

I^XQ+8yo+Cz0+Z)|

面/x+为+Cz=Q的距离为

y/A2+B2+C2

【解析】⑴平面PAW中，PM=(1,-2,1),PN=(2,-1,0).

设平面RW的法向量为拓=（x,y,z）,

PM^n=0x-2y+z=0

所以一即

PN•万二02x-y=0

令x=l,则j=2,z=3,所以元=(1,2,3).

设平面尸MV任意一点。（x,y,z）,

当。不同于P,有闻_L拓；当。与P重合，则有①=6；...画•方=0.

/.(x—1,y—3,z+1),(1,2,3)=0,化简得x+2y+3z—4—0.

所以平面2MV的方程为x+2y+3z-4=0.

(2)平面Ax+By+Cz+D=0的法向量可取而=(A,B,C).

证明如下:

设1（%,必，4）,鸟（乙,%/2）为平面/x+玫+Cz+D=0的任意两个点,

则Axx+Byx+Czx+。=0,AX2+By2+Cz2+Z)=0

两式相减得，(％2-再)+8(%—%)+。仁—zj=0即“耳鸟=0,即加J_PXP2,

所以平面4^+为+。2+。=0的法向量可取比=（4民。）.

记〃（Xu，%/。），因为4,B,C不同时为0,所以不妨令CwO,

平面小+砂+0+。=0上可取点G[O,O,-《J,

GH=1%,y0,z0

则点〃到平面/x+坊+Cz+。=0的距离"=\GH-m\=+

\m\y/A2+B2+C2

题型五：空间平面方程

【典例5-1】（2024・高二・上海杨浦・期中）在平面直角坐标系内，我们知道ax+力+c=0（a、6不全为0）是直

线的一般式方程.而在空间直角坐标系内，我们称办+制+cz+d=O（a、b、c不全为0）为平面的一般式方

程.

⑴求由点1（2,0,0）,5（0,3,0）,C（0,0,4）确定的平面的一般式方程；

（2）证明："=4c）为平面ax+6y+cz+d=0（a、b、c不全为0）的一个法向量；

（3）若平面a的一般式方程为ax+6y+cz+d=0（a、6、c不全为0）,尸（%,%,z。）为平面a外一点，求点尸到

平面£的距离.

【解析】⑴将点4(2,0,0),5(0,3,0),C(0,0,4)代入后得:

2a+d=0

，36+1=0,不妨令d=-L,则0=工,6=，,。=工,

234

4c+d=0

故平面的一般方程为：|+|+|-1=0,即6x+4y+3z—12=0；

(2)记平面a的方程为"+勿+cz+d=0,在平面a上任取一条直线,该直线上任取两个不同的点河(项,乂臼)

ax+by+cz+d=0

和N（X2，%,Z2）,则Mwa,Nea故有xll

ax2+by2+cz2+d=0

因为祢”（X2-玉/2-必,22-4）,〃=（Q,Z?,C）,

所以〃.MN=a（%一西）+6（%—必）+0匕2—zj=（a/+by2+cz2^-（＜axi+by1+cz^=-d+d=0f

1LlUUL

故""LACV

所以［垂直于平面a上的任意一条直线,

所以】是平面a的一个法向量.

(3)由(2)知：3=(。,A0)为平面办+力+02+1=0(0、b、c不全为0)的一个法向量,

任取平面a上一点。(国,zj,则axA+byx+czl+d=0,

点P到平面a的距离d是向量丐在1的方向上的投影的模，于是

d="尸耳=」(西一无o)+b(%-%)+c(Zi-Zo)|=|ax0+奶+cz0+4,

1同yja2+b2+c2\la2+b2+c2

所以点P到平面a的距离为画曹。［cz°}|.

yla2+b2+c2

【典例5-2］(2024・高二・湖南•课时练习)阅读“多知道一点：平面方程”，并解答下列问题：

⑴建立空间直角坐标系，已知40,0,0),5(0,1,0),C(0,0,l)三点,而尸(x),z)是空间任意一点，求/,B,

C,尸四点共面的充要条件.

(2)试求过点0,0),8(0,仇0),C(0,0,c)的平面/3C的方程，其中a,b,c都不等于0.

⑶已知平面a有法向量3=(1,1,1),并且经过点20,0,0),求平面a的方程.

(4)已知平面a的方程为小+为+。2+。=0,证明：)=(4民。)是平面7的法向量.

(5)①求点(1,L1)到平面x+y+z=l的距离；

②求证：点3再,％zj到平面/x+平+Cz+D=0的距离d"/,,,I，并将这个公式与“平面解

yjA2+B2+C2

析几何初步”中介绍的点到直线的距离公式进行比较.

【解析】⑴由N(I,O,O),5(0,1,0),c(o,o,i),可得2§=(-1,1,0),就=(-i,o,i),

fi•AR——X+u—Q

设平面NBC的法向量为3=(%，九zj,则_1外一八，

n-AC=-1i+Zi=0

取再=1,可得%=4=1,即〃=(1,1,1),

若尸£平面45C,即/尸u平面力BC,设尸(x,y,z),

则AP-n==x-l+y+z=0f所以x+y+z=l,

即4SG尸四点共面的充要条件为％+y+z=l.

⑵过点0,0),3(0,40),C(0,0,c)的平面的方程±+4+三=1.

abc

(3)设点尸(x,%2)时平面a内的任意一点,

因为平面a有法向量”=(1,1,1),所以〃_!_/尸，即"•/尸=x-l+y+z=0,

即平面a的方程为x+y+z=l.

(4)设空间中平面a内的任意两点尸(士,为，4)线区,为/2),

由题意可得耳心=(x2-xl,y2-yl,z2-zl),

贝！|〃.4鸟-A(X2-^)+5(1；2-j1)+C(z2-Z；)=Ax2+By1+Cz1-(Axl+Byl4-Cz；)=0,

所以:，片A,所以EK/1,。)是平面a的法向量.

⑸①点(1,1,1)到平面x+y+z=l的距离为d=尸"IT=挛；

Vl2+12+123

②如图所示，设平面c的方程为4x+gv+Cz+Z)=0,

向量】为a的法向量，平面外一点耳(演,必4),在平面内取一点

则点月到平面a的距离为d=|皈同cosa,其中&为向量［与向量应汨的夹角,

MP-n

贝ijcosa=F4QXR所以“=

而M0Pt-n=|/(w)+B(yl-y0)+C(4,

由于点(x(),%,Zo)在平面a上，因此有Ax0+By0+Cz0+D=0,

即Ax0+By。+CZQ=—D,

,,---►।।\Ax.+By,+Cz,+D\

由此可得=出+期+CZJ+。，所以d,।

y]A2+B2+C2

空间中点平面距离公式可看成平面内点到直线的距离公式的推广.

题型六：立体几何与解析几何结合新定义

22

，方=1("0,

【典例6-1]（2024・高三・浙江宁波・期末）已知椭圆C：6＞0）的左、右焦点分别为耳、F2,

离心率为经过点£且倾斜角为。（O＜。＜力的直线/与椭圆交于A2两点（其中点/在x轴上方），△九心

，2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面”三）与7轴负半轴和x轴所

确定的半平面（平面工）互相垂直.

①若6=1,求三棱锥8片乙的体积,

②若8=]，异面直线和5乙所成角的余弦值；

■7T

③是否存在8（0＜。＜三），使得匕折叠后的周长为与折叠前的周长之比为£1S?若存在，求tan。的值;

216

若不存在，请说明理由.

【解析】⑴

由椭圆的定义知：|/4|+卜回=2°,忸周+忸阊=2°,

所以△45名的周长£=4〃=8,所以Q=2,

1r1

又椭圆离心率为所以一=;,所以C=l,b2=a2-c2=3,

由题意，椭圆的焦点在x轴上，