2025年浙江省高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年浙江省高考数学模拟试卷

一、单选题

1.(5分)已知全集U=R,集合M={x|x2-2x-3W0}ffN={x|x=2k-l,k=l,2,...}的关系的韦恩（Venn）

图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）

C.1个D.无穷多个

2.(5分)已知a=(l,0),b=(l,1),若(入a-b)，b,则实数入=()

A.-2B.2C.-1D.1

3.（5分）已知函数/（#）=sin（2x+勺，将f（x）的图象向左平移@（小〉0）个单位后，得到函数g（x）

的图象，若g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，则中的最小值等于（）

717171

A.—日-C.-D.一

12A3

4.(5分)将自然数1,2,3,4,5,­•…，按照如图排列,我们将2,4,7,11,16,……都称为“拐角

数”，则下列哪个数不是“拐角数”.（)

C.37D.46

5.（5分）已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72,78,80,81,83,86,

88,90,则这组数据的第75百分位数是（）

A.86B.87C.88D.90

6.（5分）已知直线x-y-k=0（k>0）与圆x2+月交于不同的两。、BQ是坐标原点，且有10A+OB2

由AB|,那么k的取值范围是（）

A.(#,+0)B.(d6,2Y2)C.(42,+0)D.(T2,2Y2)

7.（5分）在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2acosB=c-a,则四的最小值为（）

b

A.2B2<2C.4D.4也

8.(5分)已知f(x)的定义域为R,f(x+y)+f(x-y)=3f(x)f(y),且/(D=；则Z2925f(k)=()

12cl2

A.一之B.-Z,C.-D.-

qR•?a

二、多选题

(多选)9.(6分)欧拉公式exi=cosx+isinx(i为虚数单位，xER)是由数学家欧拉创立的，该公式建立

了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是()

A.e3的虚部为哼

B.e7ii=-1

C.|exi=|cosx|+|sinx|

D.ez的共甄复数为T

(多选)10.(6分)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼

在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(2,0),

动点P满足|PA|“PB|=5,其轨迹为一条连续的封闭曲线C,则下列结论正确的是()

A,曲线C与y轴的交点为(0,1)和(0,-1)

B.曲线C关于x轴、y轴对称，不关于原点0对称

C.点P的横坐标的范围是「3,3]

D.|OPI的取值范围为[1,2]

(多选)11.(6分)如图，正方体ABCD-AiBiGDl的棱长为1,动点P在对角线BD】上，过P作垂直

于BD的平面a,记平面a与正方体ABCD-AB3D的截面多边形(含三角形)的周长为L,面积

为S,BP=X,XG(0N3),下面关于函数L(X)和S(X)的描述正确的是()

A.S(x)最大值j-----

4

B.L(x)在％=岑时取得极大值

C.L(x)在乂0,堂)上单调递增，在乂*，通:上单调递减

D.S(x)在10,字)上单调递增，在X字，百］上单调递减

三、填空题

12.(5分)已知随机变量X〜N也,。2),若P(X<2尸0.2,P(x<3)=0.5,则P(X<4)的值为.

13.(5分)已知双曲线E:3一/=l(a>0,b>0：的左、右焦点分别为Fi,F2,离心率为2,过点Fi

的直线1交E的左支于A,B两点.O|B|=|OFi|(O为坐标原点)，记点0到直线I的距离为d,则

d

a

14.(5分)已知4ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为BC的中点，E为AD的中点，延长BE

交AC于点F,若b=2,4sinAsinC=3Y3sinB,则ZXAEF的面积为

四、解答题

15.(13分)已知数列｛an｝中，a1=1,an=2an-1+1(n>2).

(1)求｛an｝的通项公式；

⑵求和：优】

16.(15分)如图，在四棱柱ABCD-AiBGDl中，AA1_L平面ABCD,底面ABCD为梯形，AD//BC,BC

=4,AB=AD=DC=AA1=2,Q为AD的中点.

(1)在AiDl上是否存在点P,使直线CQ〃平面AGP,若存在，请确定点P的位置并给出证明，若

不存在，请说明理由；

(2)若(1)中点P存在，求平面AGP与平面ABBiAl所成的锐二面角的余弦值.

17.(15分)现有n枚质地不同的游戏币ai,a2,,an(n>3),向上抛出游戏币am后，落下时正面朝上

的概率为」—(帆=1,2,…，扪).甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏.

2?T7

(1)甲将游戏币az向上抛出10次，用X表示落下时正面朝上的次数，求X的期望E(X),并写出当

k为何值时，P(X=k)最大(直接写出结果，不用写过程)；

(2)甲将游戏币ai,m,a3向上抛出，用Y表示落下时正面朝上游戏币的个数，求Y的分布列；

⑶将这n枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜,

请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.

18.(17分)已知函数f(x)=Inx-x+a.

⑴若a=0,求曲线kf(x)在x=l处的切线方程；

⑵若x>0时，f(x)<09求a的取值范围；

(3)若Ovagl,证明：当xNl时，f(x)+x<(x-1)exa+1.

19.(17分)动点M(x,y)到直线h:y=43x与直线12：y=W3x的距离之积等于3，且|yl〈J3|x|.记

点M的轨迹方程为r.

(1)求F的方程；

(2)过P上的点P作圆Q:x2+(y-4)』l的切线PT,T为切点，求|PT的最小值；

⑶已知点匕(0.3,直线l：y=kx+2(k>0)交F于点A,B,F上是否存在点C满足GA+®+Gc=0?

若存在，求出点c的坐标；若不存在，说明理由.

2025年浙江省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1.(5分)已知全集11=兄集合M={x|x2-2x-3W0}^BN={x|x=2k-l,k=l,2,­••}的关系的韦恩(Venn)

图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()

D.无穷多个

【解答】解：由图知，阴影部分所示的集合为MNN,

由x2-2x-3W0,得到T〈xW3,所以M={x-lWx<3},又N={x|x=2k-1,k=l,2,…},

所以MNN={1,3},得到阴影部分所示的集合的元素共有2个.

故选：B.

2.(5分)已知a=(l,0),b=(l,1),若(入a-b)_Lb,则实数入=()

A.-2B.2C.-lD.1

【解答】解：a=(l,0),b=a,1),

.'.Xa-b=(X-l,-l),

,.,(Xa-b)±b,

/.(Xa-b)-b=X-l-l=0,

解得实数入=2.

故选：B.

3.(5分)已知函数/(乃=£加3+软将f(x)的图象向左平移6(6>0)个单位后，得到函数g(x)

的图象，若g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，则中的最小值等于()

n717171

A.—B.-C.-D.一

17643

【解答】解：g(x)=f[x+<p)=sin(2x+23+$),要g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,

则9(%)=-x)=sin(-2x+9)=sin(2x+给：

所以23+9=冬+2kn,ke乙古攵租=弓+An,kGZ,

又@>0,古牧<%nin=1

B.

4.（5分）将自然数1,2,3,4,5,……，按照如图排列，我们将2,4,7,11,16,…••都称为“拐角

数”，则下列哪个数不是“拐角数”.（）

【解答】解：根据题意，设第n个“拐角数”为an,

则ai=2=l+l,a2=4=l+l+2,a3=7=l+l+2+3,a4=l1=1+1+2+3+4,...,

归纳可得：Qn=1+1+2+3+4+。—I-71=1+

由此分析选项：ACD都符合，

对于8,1+空把=3（）无整数解，不符合题意.

故选：B.

5.（5分）已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72,78,80,81,83,86,

88,90,则这组数据的第75百分位数是（）

A.86B.87C.88D.90

【解答】解:将数据从小到大排序得72,78,80,81,83,86,88,90,

因为8X75%=6,

86+88

所以第75百分位数是电工一=87,

故选：B.

6.（5分）已知直线x-y-k=o（k>o）与圆K+yM交于不同的两点A、B,提坐标原点,且有10A+0BIN

由AB,那么k的取值范围是（）

A.（A/6,+0）B,（^6,2^2）C.（d2,+0）D.（也,2也）

【解答】解：设AB中点为D,则OD_LAB,

,/10A+OBI>^3IAB|,

/,.120D^IABI,

♦而F+(京F=4,

.10DP经，

・•,直线x-y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B,

AIODM,

.,.4>10DF>3,

.”6#2也.

故选：B.

7.(5分)在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2acosB=c-a,则］士口勺最小值为()

h

A.2B.2^2C.4D.442

【解答】解：由余弦定理得出cosB='壕代入2acosB=c-a,

坦1a2+c2-h2a2+c2-b2

得2a•—而「=---=c-a,

整理得a2+c2-b2=c2-ac,即b2=a2+ac,

2

训l/C+342_c2+6ac+9a2_c24-6ac+9a2_(5)+6*+9

==。2+一=-i+1

令i+£=t,»i,

a

则g(t)=(I)2*I)+9=+=t+"422口+4=8

当且仅=:时,t=2,即a=c时等号成立，

止匕a=c,cosB=0,即=弓

2牛

故当AABC为等腰直角三角形时，上任取到最小值2J2

h

故选：B.

8.(5分)已知我x)的定义域为R,f(x+y)+f(x-y)=3f(x)f(y),且/(D=?则Z2925f(k)=(

A.-JB.-3C.-D.-

【解答】解：由题意知，函数f(x)的定义域为R,

f(x+y)+f(x-y)=3f(x)f(y),且/(I)=g

令x=l,y=O,得f(l+0)+f(l-0)=3f(l)f(0),

所以/⑼4；

令x=0,得f(O+y)+f(0-y尸3货0)耳y),

所以f(-y)=f(y),

所以f(x)是偶函数，

令y=1,得f(x+l)+f(x-l)=3f(x)f(l)=f(x)©,

所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②，

由①②知负x+2)+f(x-l)=0,

所以f(x+3)+f(x)=0,f(x+3)=-f(x),

所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),

所以f(x)的一个周期是6,

由②得f(2)+f(0)=f(l),

所以f(2)=T

同理f(3)+f(l)=f(2),

所以/(3)=-东

又由周期性和偶函数可得：/(4)=/(-2)=/(2)=-y/(5)=f(-l)=/(I)=<./(6)=/(0)=|

所以f(1)+f(2)+f⑶+-+f(6)=0,

□

所以22025f(k)=337Zk=lf(k)+f(1)+/(2)+/(3)=-彳

故选：B.

二、多选题

(多选)9.(6分)欧拉公式ei=cosx+isinx(i为虚数单位，xER)是由数学家欧拉创立的，该公式建立

了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是()

A.e3的虚部感

7

B.e7ri=-1

C.|exi=|cosx|+|sinx

IF

D.eN的共胡复数为-i

j

【解答】解：对于A中，feJ=COs|+isin|=1+fi其虚部为当所以A正确；

对于B中，由e兀i=cos7i+isin7r=-1,所以B正确；

对于C中，由ei=cosx+isinx,贝lj|exij=^cos2x+sin2x=l,所以C错误；

对于D中，由言=c吗+isin/，故ez'的共朝复数为"i,所以D正确

故选：ABD.

(多选)10.(6分)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼

在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(2,0),

动点P满足|PA|•|PB|=5,其轨迹为一条连续的封闭曲线C,则下列结论正确的是()

A.曲线C与y轴的交点为(0,1)和(0,-1)

B.曲线C关于x轴、y轴对称，不关于原点O对称

C.点P的横坐标的范围是［-3,3］

D.|OPI的取值范围为［1,2］

【解答】解：已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(2,0),

设点P(x,y),

又P满足P|A|•|PB|=5,

则［&+2y+『］-t(x-2)2+y2］=25,

整理得：x2+产d16x2+25-4,

对于A中,当x=0时，

解得产土1,

即曲线C与y轴的交点为(0,T),(0,1),

所以A正确；

对于B中，因为乂2+尸="16x2+25-4,

用-y替换y,方程不变，

则曲线C关于x轴对称，

用-X替换X,方程不变，

则曲线C关于y轴对称，

同时用-X替换x,用-y替换y,方程不变,

可得曲线C关于原点对称，

所以B错误；

对于C中，因为x4y*16x2+25-4,

即可得尸=V16^+25-4^220,

即V16x2+25^4+x2,

即x4-8x2-9<0,

解得0^x2<9,

即-3WxW3,

所以点P的横坐标的取值范围是[-3,3],

所以C正确；

对于D中，因为0忸|2=*2+/=J16x2+25-4,

由C项知-3Cx<3,

贝(IVI6x2+25e[5,13],

所以IOPFe[1,9],

故|OPI<3,

所以D错误.

故选：AC.

（多选）11.（6分）如图，正方体ABCD-AiBiGDl的棱长为1,动点P在对角线BD1上，过P作垂直

于BDi的平面a,记平面a与正方体ABCD-AIBCIDI的截面多边形（含三角形）的周长为L,面积

为S,BP=x,x6(0,43),下面关于函数L（x）和S（x）的描述正确的是（）

B.L(x)在k=母时取得极大值

C.L(x)在：(o,享)上单调递增，在停，何)上单调递减

D.S(x)在乂0,卓)上单调递增，在乂亭,百))上单调递减

【解答】解：当Xu,。时，截面为等边三角形，如图：

”0,—

因为BP=x,所以EF=/6x,

所以：L(x尸346x,5(*)=孥f；xG(0,当

此时L(x),S(x)在：(0,身上单调递增，且L(x)W342,S(x)<

当xW(字，竽))时截面为六边形，如图：

翊£=/,则AE=AF=CG=CH=BN=BiM=t,

所以六边形EFGHMN的周长为：3V2t+3^2(l-t)=3^2为定值;

做NN」平面ABCD于Ni,MM」平面ABCD于M/.

设平面EFGHMN与平面ABCD所成的角为a,则易求cosa=空.

所以SEFDHMN-cosa=SFAN】MiCG

所以SEFDHMN=V3[l-1(1-t)2-1t2]=V3(1+1-12)»

在tC(O,3上递增，在1〕上递减，

所以截面面积的最大值为百&+；—3=苧，此时t=;,即*=率

所以S(x)在(*，冬上递增，在昌，竽)上递减.”=判即)最大，为呼.

当(孚，,)时,易得：

L(x尸3<6(<3-x),S(x)=^2-(百—X1

此时L(x),S(x)在：(绰，何)上单调递减，L(x)<3〈2,S(*)V坐

综上可知：AD是正确的，BC错误.

故选：AD.

三、填空题

12.(5分)已知随机变量X〜N(NQ2),若P(X<2)=0.2,P(X<3)=0.5,贝UP(X<4)的值为0.8.

【解答】解：因为随机变量X〜N(u,4)，若P(X<2)=0.2,P(X<3尸0.5,

则对称轴为U=3,

则P(2<X<3尸0.5-0.2=0.3,

则P(X<4)=0.5+0.3=0.8.

故答案为：0.8.

13.(5分)已知双曲线E:，一5=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,过点Fi

的直线I交E的左支于A,B两点.|OBI=|OFi|(O为坐标原点)，记点O到直线1的距离为d,则=

n

1+夕

7—,

【解答】解：令双曲线E的半焦距为c,由离心率为2,得c=2a,

取RB的中点D,连接OD,由|OB|=QR|,得OD_LRB,则|ODI=d,

连接RB,由。为F1F2的中点，得BF2〃OD,|BF2l=2d,BF2LBFM|FiB|=2d-2a,

因此IBFZP+IBFJWIFBF,即(2d)2+(2d-2a)2=(4a)2,整理得吗尸一争一,=0,

_d1+\/7

而一〉0,历以一=——.

nCl2

1+夕

故答案为:

7

B/

DL

F)x

14.（5分）已知AABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为BC的中点，E为AD的中点，延长BE

V3

交4c于点F,若b=2,4sinAsinC=3«3sinB,JJUJAAEF的面积为—

【解答】解：连接DF,：4sinAsinC=3Y3sinB,；.4asinC=3Y3b=6Y3,，

SAABC=^absinC=苧，：'D为BC中点,/.SAABD=SAADC,

——-f)-----1

XE为AD中点,/.SAAEF=SAEFD,SAABE=SABDE,SABFD=SADCF,

,△DC尸=聂.=攀SAAEF=N苧一学）邛

故答案为:

四、解答题

15.（13分）已知数列｛an｝中,al=l,an=2an-l+l（n^2）.

（1）求｛an｝的通项公式;

⑵求和：邛二】储

【解答】解：⑴因为an=2an-l+l（吟2）,

所以an+l=2（anT+l）（nN2）,又ai+l=2,

所以数列｛an+1｝为首项为2,公比为2的等比数列,

所以an+l=2n,

所以｛an｝的通项公式为an=2nT.

⑵设%=名」,Sn=Zn=l空^则Sn=bi+b2+b3+...+bn,

1+QnL~rQ.j

由（1）可得八

所以S1=去+*+*+...+爷士,

所以权k今+*+*+…+^^

相减可得亭4+;+a+...+今一第

11

,11丁/2n-l

所CC1以-Sn=一+---T—

2n21-12n+1

7

所以Sn=1+4（；-3i）一

所以&=3.竽.

所以2i-la2九+3

所以%=1不为-3-R

16.(15分)如图，在四棱柱ABCD-A】B1cM中，AA】J_平面ABCD,底面ABCD为梯形，AD//BC,BC

=4,AB=AD=DC=AA1=2,Q为AD的中点.

(1)在A1DI上是否存在点P,使直线CQ〃平面AGP,若存在，请确定点P的位置并给出证明，若

不存在，请说明理由；

(2)若⑴中点P存在，求平面AGP与平面ABBiAi所成的锐二面角的余弦值.

2

【解答】解：(1)存在，证明如下：

在四棱柱ABCD-A】B£D中，因为平面ABCD〃平面AiBiCR,

所以可在平面A必GDI内作GP〃CQ,

由平面几何知识可证△GDP丝ZXCDQ,所以》P=DQ,可知P是AQ1中点,

因为CiPc平面AGP,所以CQ〃平面AGP.

即存在线段AQ1的中点，满足题设条件.

满足条件的点只有一个，证明如下：

当CQ〃平面AGP时，因为CQ〃平面AiBiC.Dl,

所以过C1作平行于CQ的直线既在平面ACF内，也在平面A1B1GD1内，

而在平面AIBIGD1内过Cl只能作一条直线CF//CQ,

故满足条件的点P只有唯一一个.

所以，有且只有4D1的中点为满足条件的点P,使直线CQ〃平面AGP,

(2)过点D作DFLBC,垂足为F,又因为DD」平面ABCD,

B

所以DA,DF,DDi两两互相垂直,

以D为坐标原点,分别比A,DF,DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系D-

贝1JA(2,0,0),P(l,0,2),C1(-l,^3,2),Al(2,0,2),B(3j3,0),

PA=(1,0,-2),PCI=(-2,^3,0),AB=(1,^3,0),AAI=(0,0,2),

设平面PAG的法向量为n=(x5yz),

则有『巧](n-PA=Of

n1PC.[n-PCr=0

艮#"2z=0，

I—2x+V3v=0.

令x=2Y3,得y=4,z=d3,

所吹(2J3,4V3),

设平面ABB1A的法向量为mfy⑵，

AB-m=0

—♦

AAX-m=0,

艮肝+V5y=o,

=0.

令x=<3,得y=-l,z=0,

所以m=(J3,-1,0),

7m_6-4+0_VJI

所以cos<h,m>=

Inllml273131

故平面AGP与平面ABBiAl所成的锐二面角的余弦值为?乌.

17.(15分)现有n枚质地不同的游戏币al,a2,...,an(n>3),向上抛出游戏币am后，落下时正面朝上

的概率为—(m=1/2，…，兀).甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏.

7m

(1)甲将游戏币a2向上抛出10次，用X表示落下时正面朝上的次数，求X的期望E(X),并写出当

k为何值时，P(X=k)最大(直接写出结果，不用写过程)；

(2)甲将游戏币al,a2,a3向上抛出，用Y表示落下时正面朝上游戏币的个数，求Y的分布列；

(3)将这n枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜,

请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.

【解答】解：(1)由题意可知，X〜B&,10),

E(X)另xlO=2

当k=2时,P(X=k)最大；

(2)记事件Ak为“第ak枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，

则P(4)=/，k=l,2,3,Y可取0,1,2,3,

则P(y=0)=P(石石而=P(而P④P⑥=(1-1)(1-3(1一3=焉

P(Y—1)—P(A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3)—P(AiA2A3)+P(A1A2A3)+P(AiA2A3)

135,115,13123

=2X4X6+2X4X6+2X4X6=48,

P(Y=2)=P(AiA2A3)+P(AiA2A3)+P(AIA2A3尸2x1x(l-l)+2x(l-4)x1+(l-2)x4x

1

A

1513,113

=RX6+i7X4+2X24=ifi,

x

p(r=3)=p(M2/i3)=5z4=^

故Y的分布列为：

Y023

52331

P

1a48774A

(3)不妨假设按照ai,a2,…,an的顺序抛这n枚游戏币,

记抛第ak枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为Pk,k=l,2,…题

11

于是Pk=Pfc-l-(1-^)+(1-Pfc-i)-=pk-l-■知+4一■知=(1-加-1+4,

111

即Pk=号£-1+龙，BPfcPk=(fe-l)Pk-1+^k>2,

记bk=kPk,麴尻一既t=^k>2,

故数列｛bn｝为首项是1x匕=I公差为U的等差数列，

1k

故

瓦X-=-

22

贝iJkPk=»

故/=关=1,2,3,…用，

则匕=7'因此公平.

18.(17分)已知函数f(x)=Inx-x+a.

⑴若a=0,求曲线y=f(x)在x=l处的切线方程；

⑵若xX)时，f(x)〈O,求a的取值范围；

⑶若Ovagl,证明：当xNl时，f(x)+x<(x-l)ea+l.

【解答】解：⑴当a=O时，f(x尸Inx-x,则厅(x)=<T所以k=f⑴=0,

又f⑴=-1,所以切线方程为y+l=O.

⑵f(x)=i-l=^,

当0<x<l时，f(x)>O,f(x)单调递增；

当x>l时，f(x)<O,f(x)单调递减，

所以f(x)Wf(l)=T+a,又f(x)<0,

所以-l+a〈O,即

所以a的取值范围为(-0,1).

(3)证明：由f(x)+x<(x-1)exa+l可得(x-1)exa-Inx+l-a>0,

即证当O〈aWl,xNl时,(x-1)exa-Inx+1-a>0,

令g(a尸(x-1)ex-a-Inx+1-a,

则g*(a)=(x-1)ex-a-(-1)-1=(1-x)ex-a-1,

由xNl可知，g(a)<0,故g(a)在(0,1)上单调