安徽省合肥市2024-2025学年高二年级上册数学统一作业7（含答案）

安徽省合肥市2024-2025学年高二上学期数学统一作业7

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一、单选题

直线岳-偈+1=°的倾斜角为（

1.）

冗24715%

A.§B.3C.6D.6

2.与直线3xD4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（)

A.3x+4y+5=0B.3x+4yD5=0C.3xD4y+5=0D.3xD4yD5=0

经过原点和点G，T）且圆心在直线3x+V-5=°上的圆的方程为

3.

A.(X-5)2+(J+10)2=125B.(X+1)2+(^-2)2=5

(x-l)2+(y-2)2=5x-|

cD.i+T

若直线依一y一2=°与曲线/一3一1）2二无一1有两个不同的交点，则实数上的取值范围

4.

是)

A.AB.*

。心42

一2,一卜8

C.3D.

若椭圆焦点在x轴上且经过点（一4，0）,焦距为6,则该椭圆的标准方程为（）

5.

22

1上+匕=1

A.168B.167

222,2

X

%J-1—+匕=1

C.916D.716

若圆（龙一3）一+3+5）2=/上至少有三个点到直线4》_3k2=0的距离为］,则半径『的

6.

取值范围是（）

卜+

A.(d+8)B.8）c.(4,6]D.[4,6]

22y-i

7.实数x,N满足x2-4x+/-6y+9=°,则7TI的取值范围是（）

「51」12）[12[「n5]

5

A.L12JB.LJC.I5」D.L12」

8.在等腰直角三角形/8C中，/8=NC=4,点P是边上异于43的一点，光线从

点产出发，经2C,G4发射后又回到原点P（如图）.若光线0R经过8c的重心，则

/尸等于

B.1

4

D.§

二、多选题

9.以下四个命题表述正确的是（）

A.直线（3+Mx+4y-3+3m=0（加e©恒过点y,-3）

B.圆/+丁=4上有且仅有3个点到直线/：X7+亚=°的距离都等于1

C.圆G：/+r+2》=0与圆。2：/+产一以_8了+加=0恰有三条公切线，则片彳

D.已知圆0d+/=4,过点9（3,4）向圆C引两条切线P/、P2,4、B为切点,

贝U直线方程为3X+4'-4=°

22

工+工=1

10.若方程3-ft-1所表示的曲线为c,则下面四个说法中正确的是（）

A.曲线C可能是圆

B.若1<"3,则C为椭圆

C.若C为椭圆，且焦点在x轴上，贝"2</<3

D.若C为椭圆，且焦点在y轴上，贝口7<3

11.如图，在棱长为2的正方体中，E,F,G,H分别是D，，4A,

CD,2C的中点，则下列说法正确的有（）

A.E,F,G,〃四点共面

71

B.8。与斯所成角的大小为H

C.在线段3。上存在点M,使得■平面EFG

D.在线段48上任取一点N,三棱锥N-EFG的体积为定值

三、填空题

12.圆G：x2+「+2xT2=0与圆6：/+/+4工一4k0的交点为/,以则弦的长为

13.已知网一1，°）,8是圆C：（x-l）'V=16上的任意一点，线段86的垂直平分线交

BC于点P.则动点P的轨迹方程为.

14.已知直线/与圆°：/+产=4交于/（再,必），2伍,％）两点，且|力司=2百，则

国+4必-10|+|3%+4%-10|的最大值为.

四、解答题

15已知直线4："+4ay-2=0（〃>0）,/2：2x+y+2=0.

⑴当。=1时，直线/过4与/2的交点，且垂直于直线x-2y-i=o,求直线/的方程；

（2）求点3，到直线4的距离d的最大值.

16.已知点4L2),圆c：x2+y2+2mx+2y+2=0

(1)若过点./可以作两条圆的切线，求m的取值范围;

(2)当加=-2时，过直线2%->+3=°上一点9作圆的两条切线求四边形尸MCN

面积的最小值.

17.在四棱锥尸-/BCD中，力，平面底面是正方形，E,尸分别在棱尸

PE=-PDCF=-BC

BC上且33

⑴证明：成||平面为尸；

(2)若尸，求直线。与平面及尸所成角的正弦值.

18.已知圆力：x2+3一中=3,过点尸(°，一1)的直线/与圆。相交于M,N两点，且

\MN\=2,圆。是以线段"N为直径的圆.

⑴求圆。的方程；

⑵设'(°，，+6)(-5W/V-2),圆。是△场：的内切圆，试求me面积的取值范

围.

参考答案:

题号12345678910

答案CBDABBCDBCDAD

题号11

答案AD

1.C

【分析】将直线方程转化为斜截式，进而可得倾斜角.

_V|

【详解】由直线后x-V^+l=O,即36,

./1

所以倾斜角a满足皿。一=23,々小㈤，

71

a=—

所以6,

故选：C.

2.B

【分析】分别求出直线孔-4了+5=°与坐标轴的交点，分别求得关于夕轴的对称点，即可

求解直线的方程.

y=。（0—）

【详解】令x=。，则-4,可得直线3x-4y+5=°与y轴的交点为54,

X二（二0）

令片0,则3,可得直线/--+5=°与％轴的交点为'3',

此时关于y轴的对称点为10,

所以与直线版一47+5=°关于y轴对称的直线经过两点N3',

室=1

55

其直线的方程为34，化为3x+4y-5=0,故选乩

【点睛】本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记

点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与

运算能力，属于基础题.

3.D

【分析】令圆心为（友5-3尤），由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可

写出圆的方程.

【详解】由题设，令圆心为（x，5-3x）,又圆经过原点和点（3，T）,

22255

所以/=/+（5_3》）~=（尤-3）-+（6-3》）一,整理可得》-],故圆心为£

225/5。225

丫2=一x--+y=—

所以半径平方9,则圆的方程为I3J9.

故选：D

4.A

【分析】根据题意，化简曲线为（X-1）2+”T）2=1（XN1）,再由直线恒过定点PQ-2）,结

合图象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.

【详解】由曲线]一3-1）2=X_1,可得（x-l）2+"-1）2=1（x21）,

又由直线履-y-2=°,可化为了=丘-2,直线恒过定点尸（°，-2）,

作出半圆与直线的图象，如图所示，

ML-1,4

方—；tk=一

当直线与半圆相切时，可得必+1，解得3,

（-,2]

所以实数上的取值范围为3」.

故选：A.

5.B

【分析】由平方关系结合已知即可求出区4C,由此即可得解.

【详解】由题意得椭圆焦点在X轴上且经过点G4'。），焦距为6,

22

土+匕

所以a=4,2c=6,贝ijc=3,b2=a2-c2=l,椭圆的标准方程为167

故选：B.

6.B

【分析】先求出圆心（3，一5）到直线4x-3y-2=°的距离为5,由此可知当圆的半径为

“5+1=6时，圆上恰有三点到直线4x-3y-2=°的距离为1,当圆的半径厂＞5+1=6

时，圆上恰有四个点到直线4》-3了-2=0的距离为1,故半径『的取值范围是「25+1=6,

即可求出答案.

【详解】由已知条件得G-3）一+&+ST=/的圆心坐标为8—5）,

^__|4x3-3x（-5）-2|：5

圆心（3，一5）到直线4x-3y-2=0为^42+32,

...圆（x-3）2+&+5）2=r2上至少有三个点到直线©-3y-2=0的距离为1,

二圆的半径的取值范围是-25+1,即『26,即半径r的取值范围是I6,+00）.

故选：B.

7.C

【详解】判断出点（X/）的轨迹，根据斜率、直线与圆的位置关系等知识求得正确答案.

【分析】方程-6了+9=0,即（x-2）~+（y-3）2=4,

所以（XJ）是以（2,3）,半径为2的圆上的点，

y-1

^+1表示点（XJ）与点（T1）连线的斜率，

设直线yT=M'+l）也-V+1+X与圆（、一2）2+&-3）2=4相切,

|2"3+1+1_|3._2|_2

（2,3）到直线区-y+l+左=0的距离Jr+1VF+1,

解得人=0或5,

Zzl0,—

所以x+1的取值范围是L5」.

故选：C

【详解】建立如图所示的坐标系，可得B（4,0）,C（0,4）,

故直线的方程为x+y=4,

（0+0+40+4+0）

的重心为（3'3

设尸（。,0）,其中0<a<4,

则点P关于直线BC的对称点,

a+xy+0,

------+-——=4

f22

解得y=4-a>即月(4,4-°),

易得P关于V轴的对称点£（一凡°）,

由光的反射原理可知0C凡？四点共线,

b7-—_4_-_a__-_0_—_4_-_tz_

直线跳的斜率为4-（-。）4+a,

故直线QA的方程为+

44

由于直线QR过A43c的重心（§'?）,

代入化简可得3/-4a=0,

_4

解得"3,或«=°（舍去），

44

尸（一，0）AP=-

故3，故3.

故选D.

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程.

【思路点睛】建立坐标系，设点尸的坐标，可得P关于直线8C的对称点4的坐标，和尸关

于〉轴的对称点鸟的坐标，由62尺名四点共线可得直线的方程，由于过的重心，

代入可得关于。的方程，解之可得尸的坐标，进而可得/尸的值.本题考查直线与点的对称

问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题.

9.BCD

【分析】根据直线过定点、点到直线距离、圆与圆的位置关系，相交弦所在直线方程等知

识对选项进行分析，由此确定正确选项.

［详解］A选项，（3+机）x+4y-3+3机=0n〃7（x+3）+3x+4y-3=0,

卜+3=0卜=-3

13x+4T-3=0^V=3,所以定点为（T3）,人错误.

叵=1

B选项，圆一+/=4的圆心为原点，半径为2,圆心到直线/的距离为加,

所以圆一+丁=4上有且仅有3个点到直线l-X-y+42=0的距离都等于J,B选项正确.

C选项，圆G的圆心为（一1，°）,半径为1.圆C?的圆心为（2,4）,半径为

（6+64一.=病7

2,

由于J、G有三条公切线，所以两个圆外切，所以1+420-加=］（-1-2）2+（0-4）2,

加=4,C选项正确.

D选项，圆U/+必=4的圆心为原点°,半径为2」°尸1=5,以OP为直径的圆的方程为

（3?/八225

4,即/+/一3、-4y=0,则所在直线方程为

/+/W_3xf）=4一0,3x+4广4=0刀选项正确.

故选：BCD

10.AD

【分析】根据方程为圆列式求解判断A,排除B,根据椭圆标准方程的特征列不等式求解

范围即可判断CD.

22

U12-

【详解】当3一="1>0即f=2时，方程3-，/-I为x+N=1,

表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误；

若C为椭圆，且焦点在x轴上，则3-7>/1>0,解得1</<2,故选项C错误；

若C为椭圆，且焦点在y轴上，则解得2<1<3,故选项D正确.

故选：AD.

11.AD

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直

线夹角可直接判断B选项，假设在线段8。上存在点新，设蓟'=2而，条1,利用

坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明AMG与43上的所有点到平面EFG的距

离为定值，即可判断D选项.

【详解】以A为原点，以油,AD,44所在直线分别为x轴、V轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则4（0,0,0）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,。（0,2,0）,旦（2,0,2）,々（0,2,2）,E（0,2,l）,

尸（1,0,2）,"（2,1,0）,G（l,2,0）,

设AH=xAE+yAF+z/G,

则(2,1,0)=x(0,2,1)+y(1,0,2)+z(1,2,0)

x=-1

y+z=2

v2x+2z=13

所以［x+2歹=0z=—

，解得〔2

故x+〉+z=l,即石，F,G,"四点共面，故A正确;

因为丽=(-2,2,0),EF=(1,-2,1)

叵•司63

\cos(BD,EF

函.同78x762

所以

n

所以与所所成角的大小为不，故B错误;

假设在线段8。上存在点符合题意，

设两=2而（0W条1）,则西=苑-前=画々丽=3,2-242）,

若MCJ平面EFG,则MQE产=。，MCJEG=0

因为而=（1，一2，1）,.=（1,。,-1）,

j22-4+42+2=0

所以122-2=°,此方程组无解，

所以在线段8。上不存在点“，使得MCiJ■平面EFG,故C错误;

因为4®=（2,0,-2）=2EG,所以&B//EG,

又42a平面EFG,£6<=平面£尸6,所以48〃平面EFG,

故"田上的所有点到平面MG的距离即为B到平面EFG的距离，是定值，

又AMG的面积是定值，

所以在线段/田上任取一点N,三棱锥N-EFG的体积为定值，故D正确；

故选：AD.

12.40

【分析】先求出两圆的公共弦方程，观察发现。2d+/+41-4），=°的圆心在公共弦上,

从而得到弦N2的长为圆G的直径，求出公共弦长.

【详解】圆£、+/+2工-12=°与圆。2：/+/+4X-4了=°联立可得:

公共弦的方程为"27+6=0,

2222

C2:x+y+4x-4j=0^^C2:(x+2)+(>>-2)=8,

故G：Y+/+4x-4y=0的圆心为。2(-2,2),半径为272,

而J(一2,2)满足x-2y+6=0,故弦AB的长为圆G的直径，

故弦N2的长为40.

故答案为：，收.

【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案.

【详解】解：圆0：(无一1)2+.=16,圆心为(1,0),半径为%

因为线段B尸的垂直平分线交BC于p点，所以|尸8|=|尸尸

所以|PC|+|P"|=|尸。1+1尸切=|5。|=4>|/。］=2.

W

所以由椭圆定义知，尸的轨迹是以C,尸为焦点的椭圆，方程为43.

W

故答案为：43.

14.30

13石+4%一101|3X2+4%-101

【分析】5'5的几何意义为点48到直线3x+4y-10=0的距离

之和，根据梯形中位线知其最大值是的中点初到直线3》+4k10=0的距离的2倍.由

题意依赫卜1,所以42的中点M的轨迹是以原点°为圆心，1为半径的圆，利用圆的性质

即可得解.

13X1+4%—10113%2+4%—101

【详解】5’5的几何意义为点"，8到直线3x+4y-10=°的距离

之和，

根据梯形中位线知其最大值是的中点“到直线3x+4."T0=°的距离的2倍，

由题可知，圆。：/+/=4的圆心。(0,0),半径为2,囱=26,

则"痔）』

所以的中点〃的轨迹是以原点°为圆心，1为半径的圆,

10

+1=3

故点M到直线3x+4y-10=0的最大距离732+42

13再+4凹-10113%+4%-101

所以55的最大值为2*3=6,

则|3%+4^-10|+|3X2+4J2-10|的最大值为30.

故答案为：30.

⑵行

【分析】（1）计算两直线的交点，根据垂直得到直线斜率，得到直线方程.

（2）确定直线过定点，点到定点的距离即最大距离，计算即可.

（3x+4y-2=0

【详解】⑴当。=1时，直线L3x+4y-2=0,£2x+y+2=0,则12x+y+2=°,

解得交点（-2,2），

k=-

又由直线/垂直于直线x-2y-l=0,而直线》-2"1=0的斜率32,

两直线垂直得斜率乘积为T,得到方=<•

又因为直线/过4与4的交点（々2）,直线/的方程为V-2=-2（X+2）,即2x+y+2=0.

（2）直线4：3x+4ay-2=0（°>0）过定点N（§，0）,又叫1），

,l^|=.（---）2+（1-0）2=V2.

点M到直线人的距离d的最大值为'33

11,

---<m<-\

16.（1）2或%>1

z而

（2）5

【分析】（1）利用点在圆外代入得到不等式，结合曲线方程表示圆即可解答；

（2）首先得到,四边形由w=6•小PCt-3,再根据点到直线的距离公式求出依尸|的最小值,

最后得到四边形面积的最小值.

_11

【详解】⑴由题意得川’2）在圆外，则1+4+2根+6>0,即机>一万

又4m2+4—8>0,艮|］冽>1或加<一1

111

---<m<-\

所以2或冽>1.

（2）机=-2时，圆方程为（x-2）2+（y+l）2=3,则圆的半径圆心。0一），

S四边形,N=|尸M•r=G1PM=^\PC\2-r2=-3.

直线方程为2x_y+3=0,设圆心（2，T）到直线2x_y+3=0的距离为d,

8

17.（1）证明见解析

2匹

⑵13

PG=LpA

【分析】（1）在棱尸/上取点G,使得3,连接EG,FG,即可证明四边形

FGEC为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明；

（2）以A为原点，AB,AD,/P所在的直线分别为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标

系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）

E

PG=-PA

证明：如图，在棱4上取点G,使得3,连接EG,FG,

PEPG11

-----=-GE=—AD

因为尸DPA3,所以GE///D且3,

CF=-BCCF=-AD

由正方形”88,3,得CF//4D且3,

所以GE〃叱且GE=CF,

所以四边形FGEC为平行四边形，所以CE〃GF,

又CE①平面尸/尸，G尸u平面尸/尸，所以CE〃平面尸/尸.

（2）

若=则可设AD=/P=3,所以工3=8。=3.

以A为原点，AB,AD,/尸所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，

则点/（0,0,0）,C（3,3,o）,0（0,3,0）,尸（0,0,3）,尸（3,2,0）

则丽=（一3,0,0）,万=（0,0,3）,方=（3,2,0）,

设平面P/尸的法向量为或=（x，％z）,则

丽•/P=（x,y,2）（O,O,3）=3z=OI

由丽•/尸=（羽％2）（3,2,0）=3》+2y=0得x=

令＞=3,得平面尸/尸的一个法向是为所=（-2,3,0）,

设直线CD与平面PAF所成角的大小为9,

\m-CD\