2025年中考数学专项突破：锐角三角函数解决实际问题（2易错7题型）（原卷版）

通关秘籍07锐角三角函数解决实际问题（2易错7题型）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

■（中考预测

锐角三角形函数值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识

残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

i.从考点频率看，运算和实际问题是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。

2.从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！

■（误区点拨

易错点一含锐角三角形值求值

【例1】（2024•广东深圳•一模）计算：|||一2cos45。+a-（兀+2024）°.

易错点拨

本题考查的是零次幕，负整数指数幕的含义，含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幕，代

入特殊角的三角函数值，化简二次根式，计算零次幕，再合并即可.

o0

【例2】（2024•安徽蚌埠•一模）计算:+2sin60-V12+(l-V3).

【例3】（2024・安徽滁州*一模）(-2024)°-2tan45°+|-2|+V9

【例4】（2024•湖北襄阳•一模）计算：（0『+（3_万）°_k3|+2（）0$60。.

易错点二实物情景抽象出几何图形

【例1】（2024•河南平顶山•一模）下图是某篮球架的侧而示意图，四边形/BCD为平行四边形.其中

BE,CD,G尸为长度固定的支架，支架在/,D,G处与立柱N〃连接垂直于垂足为H）,在2,

C处与篮板连接，旋转点尸处的螺栓可以调节E尸长度，使支架8E绕点/旋转，进而调节篮板的高度，已

知DH=209cm.

⑴如图1,当NGNE=60。时，测得点C离地面的高度为289cm,求CD的长度；

⑵如图2,调节伸缩臂斯，将/GNE由60。调节为54。时，请判断点C离地面的高度是升高了还是降低了？

并计算升（或降）的距离.（参考数据sin54。内0.8,cos54。仪0.6,tan54°»1.4）

易错点拔

本题考查的是平行四边形性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适

的辅助线是解本题的关键.

【例2】（2024•江西南昌•一模）图1是井冈山红旗雕塑的实物图，其正面可大致简化成图2,底座BC=20m,

N8=26。，红旗边4E=2N8,EF=AC,AC//EF,NE=52。，点、B,A,E在同一条直线上.

⑴连接CF,求证：ZBCF=90°.

⑵求雕塑顶端F到地面BC的距离.

（参考数据:sin26°«0.44,cos26°»0.90,tan26°。0.49）

【例3】（23-24九年级下•浙江湖州•阶段练习）如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高

清摄像机和其下方固定的显示屏构成.图2是其结构示意图，摄像机长"8=20cm,点。为摄像机旋转轴

心，。为的中点，显示屏的上沿CD与NB平行，CD-15cm,与8连接，杆OE_L48,O£=10cm,

CE=2ED,点。到地面的距离为60cm.若48与水平地面所成的角的度数为36。.

cB

43

C柞

|地面

图1图2

⑴求显示屏所在部分的宽度CN；

⑵求镜头/到地面的距离.

（参为数据：sin36°~0.588,cos36°~0.809,tan36°~0.727,结果保留一位小数）

<（抢分通关

题型一仰角俯角问题

典例精讲

【例1】（2024•安徽蚌埠•一模）如图，一居民楼底部3与山脚尸位于同一水平线上，小李在尸处测得居民楼

顶A的仰角为60。，然后他从P处沿坡角为45。的山坡向上走到C处，这时尸C=3（h/Im，点C与点A在同

一水平线上，A、B、P、C在同一平面内.

⑴求居民楼N3的高度；

⑵求点C、A之间的距离.（结果保留根号）

通关指导

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键.

!_________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024•江苏南京•一模）如图，山顶有一塔N3,在塔的正下方沿直线CD有一条穿山隧道E尸，从与

E点相距80加的C处测得43的仰角分别为27。，22°.从与尸点相距50〃？的。处测得/的仰角为45。.若

隧道的长为323相，求塔48的高.（参考数据：tan22°®0.40,tan27°»0.51.）

名校模拟

1.（2024•江苏宿迁•一模）某校组织九年级学生到三台山森林公园游玩，数学兴趣小组同学想利用测角仪测

量天和塔的高度.如图，塔28前有一座高为。£的斜坡，已知CZ）=12m,NDCE=30°,点£、C、/在同

一条水平直线上.某学习小组在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为45。，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为

39°.

⑴求。E的长；

⑵求塔48的高度.（tan39。取0.8,省取1.7,收取1.4,结果取整数）

2.（2024,河南濮阳•一模）洛阳老君山风景区位于河南省洛阳市栾川县境内，在景区内有一座老子铜像（图

1）.某数学兴趣小组开展了测量老子铜像高度的实践活动，具体过程如下.

【制定方案】

如图2,在老子铜像左右两侧的地面上选取C,。两处，分别测量老子铜像的仰角.且点5C,。在同一水平

直线上，图上所有点均在同一平面内.

【实地测量】

小颖同学用测角仪在点C处测量点A的仰角a为45。，小亮同学用测角仪在点D处测量点A的仰角P为53。,

测得C,D两点间的距离约为63.7m.

【解决问题】

已知测角仪的高度为1.6m,求老子铜像高的值.（结果精确到1m.参考数据：

434

sin53°®—,cos53°®-tan530»—）

553

3.（2024•浙江嘉兴•一模）综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度.

【背景】如图1,某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度.

图1图2

【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2,从测量杆到校门所在位置DE在斜坡上有

15块地砖.

【素材2】在点/处测得仰角tan4=g,俯角tanN2=安；在点3处直立一面镜子，光线BD反射至斜坡CE

的点N处，测得点2的仰角tan/3=（；测量杆上/B：8C=5:8,斜坡CE上点N所在位置恰好是第9块地砖

右边线.

【讨论】只需要在NLN2,N3中选择两个角，再通过计算，可得CE的坡度.

选择两个测量角的正切值：_和_.（填"N1","N2"或"N3和

任务1分析规划

求的值.

任务2推理计算求坡度tan/ECM的值.

题型二方位角问题

典例精讲j

【例1】（2024•重庆•一模）为了缓解学习压力，就读于育才成功学校的小育和就读于育才本部的哥哥每周都

会从各自学校出发前往奥体中心公交站汇合一同前往奥体中心打羽毛球.经勘测，大公馆公交站点C在育

才成功学校点A的正北方200米处，育才中学本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，

点。在点C的正东方，奥体公交站点E在点。的正北方，点E在点C的北偏东60。方向.（参考数据：

V2»1.414,石a1.732）

E

L

⑴求的长度；（结果精确到1米）

⑵周五放学，小育和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点£汇合.小育的路线为C—E,他从点/

步行至点C再乘坐公交车前往点E,假设小育匀速步行且步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶且速度

为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时2分钟（小育上车和下车时间忽略不计）.哥

哥的路线为8—。一£,全程步行，他从点B经过点D买水（买水时间忽略不计）再前往点E,假设哥哥匀速

步行且速度为100米每分钟.请问小育和哥哥谁先到达点E呢?说明理由.

通关指导

本题考查了方位，等腰直角三角形，含30。的直角三角形，解直角三角形，勾股定理，解题的关：

键是熟练掌握特殊的直角三角形的性质，以及勾股定理。

I

I_____________________________________________________________________________________________________J

【例2】（2024•湖北襄阳•一模）如图，港口/在观测站。的正东方向，CM=4km,某船从港口/出发，沿

北偏东15。方向航行一段距离后到达8处，此时从观测站。处测得该船位于北偏东60。的方向，求该船航行

的距离（即的长）.

名校模拟

1.（2024•重庆•一模）如图，车站/在车站3的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车站3

的正东方向.现有一辆客车从车站8出发，沿北偏东45。方向行驶到达。处，已知。在/的北偏东60。方

向，。在C的北偏西30。方向.

北

西一一

南

⑴求车站B到目的地。的距离（结果保留根号）

⑵客车在D处准备返回时发生了故障，司机在。处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C

出发以35千米每小时的速度沿CD方向前往救援，同时一辆应急车从车站/以60千米每小时的速度沿

方向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到。处.（参考数据:

V2工1.41,73~1.73,而~2.45)

2.（2024・重庆开州•二模）如图，货船在港口/装货，要运至其正北方向300海里处的港口3,由于环境因

素影响，其航行路线有两条：①由港口/出发，经港口C、。休整，最后驶向港口2；②由港口/出发，

经港口E休整，最后驶向港口2（休整时间忽略不计）.经勘测，港口C在港口/西北方向.港口。在港口C

正北方向60海里处，在港口8西南方向.港口E在港口5南偏东70。方向，在港口/北偏东20。方向.

⑴求港口/和港口C之间的距离（结果精确到个位）；

⑵由于时间关系，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②？（参考数据:

42»1,414,sin20°®0.342,cos20°»0.940,tan20°®0.364）

3.（2024•内蒙古乌海•一模）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到

指挥部通知，在他们东北方向距离6海里的5处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75。方向以每小时5海里的速

度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时7海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船.

⑴图中/ABC=_；

⑵求图中点A到捕鱼船航线BC的距离；

⑶求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.

题型三坡度坡比问题

典例精讲

II............7-•一

【例1X2024•广东江门•一模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚3处出发，已知西面山坡的坡度z；=1:6

（坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，即tanB=l：K）.同时，乙从东边山脚C处出发，东面山坡的

坡度Z=3:4,坡面NC=1000米.

A

⑴求甲、乙两人出发时的水平距离8C.

⑵已知甲每分钟比乙多走10米.两人同时出发，并同时达到山顶4求：甲、乙两人的登山速度.

通关指导

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是

解题的关键.

【例2】（2024・四川达州・模拟预测）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，在司机开车经过坡面即

将进入车库时，在车库入口的上方3c处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中3c高度为0.5m,AB

⑴根据图1求出入口处顶点C到坡面的铅直高度C。；

⑵图2中，线段CE为顶点C到坡面4。的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该

车库停车？

名校模拟］

1.（2024•辽宁鞍山•三模）图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧

面示意图.小明站在扶梯起点/处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37。，此时他的眼睛。与地面的距

离/O=1.8m,之后他沿一楼扶梯到达顶端3后又沿瓦：（BL//MN）向正前方走了2m,发现日光灯C刚

好在他的正上方.已知自动扶梯的坡度为1:2.4,NB的长度是13m.

（参考数据：sin37°«0.6,cos37°~0.8,tan37°~0.75）

地面

图⑴图⑵

⑴求图（2）中点3到一楼地面的距离；

⑵求日光灯。到一楼地面的距离.（结果保留整数）

2.（2024•吉林•模拟预测）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面斜坡的

坡比为i=且48=26米.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造.经地质人

员勘测，当坡角不超过53。时，可确保山体不滑坡.

（参考数据：sin53°«0.8,cos53°»0.6,tan53°"33,cot53°»0.75）.

⑴求改造前坡顶与地面的距离BE的长.

⑵为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成4/（如图所示），那么8尸至少是多少米？（结果精确到1

米）

题型四实物情景中转动求距离问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•辽宁沈阳•模拟预测）如图1,某款线上教学设备由底座，支撑臂连

杆8C,悬臂和安装在。处的摄像头组成.如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图.已知支撑臂

ABU,Z3=18cm,SC=40cm,CD=44cm,固定443c=148。，可通过调试悬臂CD与连杆3C的夹角

提高拍摄效果.

⑴当悬臂与桌面/平行时，ZBCD=。；

⑵问悬臂端点C到桌面/的距离约为多少？

（参考数据:sin58°x0.85,cos58°«0.53,tan580~1.60）

通关指导

此题考查了解直角三角形的应用，读懂题意，添加合适的辅助线是解题的关键.

I__________________________________________________________________________________________

【例2】（2024•浙江•一模）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1）,将其放置

在水平桌面上的侧面示意图（如图2）,测得底座48高为2cm,Z^5C=150°,支架8C为18cm,面板长DE

为24cm,C£＞为6cm.（厚度忽略不计）

图1图2

⑴求支点C离桌面/的高度；（计算结果保留根号）

⑵小吉通过查阅资料，当面板。E绕点C转动时，面板与桌面的夹角a满足30。Wa（70。时，问面板上端£

离桌面/的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm,参考数据：

sin70°~0.94,cos70°»0.34,tan70°»2.75）

名校模拟

1.（2024•浙江宁波•模拟预测）如图1为放置在水平桌面/上的台灯，底座的高为5cm,长度均为20cm

的连杆BC,C3与48始终在同一平面上.

⑴转动连杆BC,CD,使/BCD成平角，ZABC=150°,如图2,求连杆端点。离桌面/的高度.

⑵将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使N8CD=165。，此时连杆端点。离桌面/的高度是增加还

是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm,参考数据：V2»1.41，G"73）

2.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上,

托板长4B=115mm,支撑板长CD=10mm，且CB=35mm,托板可绕点C转动.

⑴当/CDE=60。时，

①求点C到直线DE的距离；（计算结果保留根号）

②若NDCS=70。时，求点/到直线。E的距离（计算结果精确到个位）；

⑵为了观看舒适，把（1）中NDCB=70。调整为90。，再将CD绕点。逆时针旋转，使点2落在上，则

旋转的角度为.（直接写出结果）（参考数据：sin50°«0.8,co550°®0.6,tan5O0»1.2,s山26.6。Q0.4,

cos26.6°~0.9,tan26.6°~0.5,73«1.7）

题型五实际问题和其他学科综合

|典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•辽宁沈阳•模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发

cina

生折射现象（如图1）,我们把〃=一力称为折射率（其中a代表入射角，乃代表折射角）.

sinp

观察实验

为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔儿W发射一束红光，容器中不装水时，光斑

恰好落在3处，加水至口处，光斑左移至C处.图3是实验的示意图，四边形/2FE为矩形，G”为法线,

434

测得3尸=36cm,。产=48cm,（参考数据：sin53°«—,cos53°«—,tan53°«—）

553

4

⑵若光线从空气射入水中的折射率n=~,求光斑移动的距离BC.

通关指导

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及"折射率"的定义是正确解答的前提.

名校模拟

1.（23-24九年级上♦浙江•期末）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学

实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管=24c%,

=试管倾斜角0为10。.

⑴求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度（结果精确到0.1c加）；

⑵实验时，当导气管紧贴水槽延长四交CN的延长线于点尸，且儿WLC尸（点C,D,N,尸在一

条直线上），经测得：DE=2736cm,MN=8cm,N/BM=145。，求线段DN的长度（结果精确到0.1c加.（参

考数据：sinl0°«0.17,cosl0°«0.98,tanl0°»0.18）

题型六生活中常见实物问题

典例精讲」

【例1】（新考法，拓视野）（2024•江苏常州•模拟预测）一酒精消毒瓶如图1,N5为喷嘴，△BCD为按压

柄，BE和E尸为导管，其示意图如图2,ZDBE=ABEF=108°,BD=6cm,BE=4cm.当按压柄△BCD按压

到底时，此时（如图3）.

⑴求点D转动到点D的路径长；

⑵求点D到直线EF的距离(结果精确到0.1cm).(参考数据：sin36°«0.59,

cos36°»0.81,tan36°«0.73,sin72°®0.95,cos72°®0.31,tan72°n3.08)

通关指导

本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，三角函数的定义，解题的

关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数定义.

L________________________________________________________________________________________________

【例2】（2024•辽宁鞍山•一模）图1是某越野车的侧面示意图，折线段N3C表示车后盖，已知

AB=Q.9m,BC=0.5m,=127°,该车的高度NO=1.7m,如图2,打开后备箱，车后盖43C落在/5'C'

处，与水平面的夹角N3'4D=37。.

⑴求打开后备箱后，车后盖最高点9到地面/的距离；

⑵图3,若停车位后是一面墙MV,距离是50cm,与48,的夹角为30。司机打开后备箱至最高

3

点取货，车后盖有没有刮到墙的危险？请说明理由.（结果精确到0.01m,参考数据：sin37°«

cos37°--,tan37o~-,V10-3.162）

54

名校模拟

1.（2024•江苏苏州•模拟预测）如图1,图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获

得了如下信息：滑竿DE、箱长8C、拉杆的长度都相等，即。E=8C=/8=50cm,点3、下在线段/C

上，点C在DE上,支杆。尸=30cm.

图1图2

⑴若EC=36cm时，B,。相距48cm,试判定AD与DE的位置关系，并说明理由;

⑵当/DCF=45。，=：/C时，求CD的长.

2.（2024•广西柳州•一模）已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架ZC=80cm,

BC=60cm,均与地面平行，支架/C与3C之间的夹角乙4。8=90。.

图1图