2025年中考数学专项复习：圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题（8题型）（解析版）

抢分秘籍10圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题

（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

«I中考预测

圆中证切线、求弧长、求扇形面积问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有

一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，证明切线是数学的基础，也是高频考点、必考点，圆通常还会和其他几何图形及函

数结合一起考查。

2.从题型角度看，以解答题的第六题或第七题为主，分值8~10分左右，着实不少！

-G分通关

题型一证切线'求面积

典例精讲

【例1】（2024•湖北襄阳•一模）A3是。的直径，ZABT=45°,AT=AB,3T与I。相交于点C.

⑴如图1,求证：AT是:。的切线；

（2）如图2,连接AC,过点。作ODLAC分别交AT,AC于点D,E,交AC于点八若AB=2垃,求图

中阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析

⑵2一号

【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积；

（1）根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出/AR=90。，再根据切线的判定方法进行解答即可;

（2）根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可.

【详解】（1）证明：AT=AB,

.\ZATB=ZABT=45°f

ZTAB=180°-45°-45°=90°,

即

“是O的直径，

.•.AT是。的切线；

（2）解：如图，连接OC,

AB是。的直径，

.\ZACB=90°,

即AC±BT9

AC±ODf

OD//BT,

.•.AQD=N5=45。，

/.AD=AO=-AB=42,

2

BC=TC,AO=BO,

OC//AT,

/.ZCOF=90°-45°=45°,

•二S阴影部分=S梯形OATC—SAOD-S扇形。CF

1/、145万x(0)

=-x(V2+2V2)xV2——XV2XA/2----------———

2'>2360

通关指导

本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积；根据等腰三角形的性质切线的判定

方法进行解答即可；根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可.

【例2】（2024・湖北十堰•一模）如图，。是：O的直径，点8在。上，点A为。C延长线上一点，过点。

作交AB的延长线于点E,且=

⑴求证：AE是（。的切线；

（2）若线段OE与（。的交点厂是OE的中点，。的半径为6,求阴影部分的面积.

【答案】⑴证明见解析

（2）6兀一述

2

【分析】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，

扇形的面积的计算等知识点.正确地作出辅助线是解题的关键.

（1）连接根据圆周角定理得到根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到NOBE=90。,

根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）连接班■，根据直角三角形的性质得到骸=。尸，推出一尸是等边三角形，得至UNBO尸=60°,根据

扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】（1）证明：连接。3,

回。是＜。的直径，

0BC1BD,即NCBZ）=90。，

SOE//BC,

团NDGO=NCBD=90°,

^ZBGE=ZDGO=90°,N£)+NDOG=90。,

回“=/£,

⑦/DOE=/DBE,

回OE=OB,

⑦ND=NOBD,

团ZOBD+NDBE=ND+/DOG=90°,

回NO班;=90。，

回OB是f。的半径，

团4£1是(。的切线；

(2)解：连接M,

0ZOBE=9O°,尸是OE的中点，

田BF=OF,

0，。的半径为6,NDGO=90。,

B1BF=OF=OB=6,Z.BGO=180°-ZDGO=90°,

团08厂是等边三角形，

0ZBOF=60°,

0ZOBG=90°-NBOF=30°,

3OG=-OB^3,BG=dOB2-OG2=&-¥=3#),

2

团阴影部分的面积为：S扇形。/一S.BG=K轰必一gx3/x3=6兀一券，

团阴影部分的面积为6%-28.

2

名校模拟

1.（2024•广东佛山•一模）如图，点E是正方形ABCD的边8c延长线上一点，且AC=CE,连接AE交。

于点。，以点。为圆心，。。为半径作。，。交线段AO于点尸.

(2)若48=2忘+2,求阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

(2)272+2--^

【分析】(1)作OGLAC,根据正方形的性质得到/ZME=NAEC,由AC=CE,得到NE4C=NAEC,

由角平分线的性质定理，得到OD=OG,即可求解，

(2)根据正方形的性质，设8=°,根据。应0。，求出0。的长，根据NE4c=ND4E=g/D4C,

求出/OO厂的度数，根据S阴影=SABC~S扇形。Of，即可求解，

本题考查了，切线的判定，正方形的性质，角平分线的性质定理，扇形的面积，解题的关键是：熟练掌握

相关性质定理.

【详解】(1)解：过点。作OG_LAC,交AC于点G,

13正方形ABCD,

^DA//CB,ODLAD,

SZDAE=ZAEC,

团AC-CE,

^ZEAC=ZAEC,

⑦ZEAC=NDAE,

回OD=OG,

回点G在。上，

团43是(。的切线，

(2)解：回正方形ABCD,

ElZOCG=ZDAC=45°,0c=43=20+2,

0OD=OG,

设OD=a,贝！)OC=0Q,

团+码Q=20+2,解得：a=2,

回。D=a=2

团ZEAC=/DAE=-ADAC=工x45。=22.5°,

22

团ZDOA=90°-22.5°=67.5°,

cc_167.5兀Of）?_i/67.5兀x2?_63

S阴影=SMC—S扇形。。F=-xDnAnOrDi---=^x（2.2+2）x2o—--=2V2+2--TI,

2JOU2'/JOU4

故答案为：2立+2-卜.

4

2.（2024•辽宁沈阳一模）如图，直线/与：＞。相切于点M,点尸为直线/上'点，直线尸。交：。于点48,

点C在线段PM上，连接BC,且CM=3C.

⑴判断直线BC与。的位置关系，并说明理由；

（2）若=。的半径为6cm,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）直线BC是：。的切线，理由见解析

⑵（12万-9A卜n?

【分析】（1）首先证明OBC%OMC（SSS）,得出NC8O=NawO=90。，即可得出直线BC是。的切线；

（2）利用切线的性质定理以及勾股定理和锐角三角函数关系得出NPOM=60。，则NMQ4=120。，以及All

的长，再利用三角形面积公式以及扇形面积公式得出答案即可.

【详解】（1）解：直线86是（。的切线，

理由：连接MO,CO,

回直线/与。相切于点M,

BlZPMO^90°,

在AOBCWQMC中

BC=MC

COCO,

B0=M0

003C咨。wc(sss),

0ZCBO=Z.CMO=90°,

AB为直径，

回直线5c是：。的切线；

(2)过点。作于点N,

PCV/

国AB=2BP,

^\PB=BO=MOf

即MO二^PO,

2

又团ZPMO=90。，贝lJsinNOPM=^=g,

团NMPO=30。，

0ZPOM=6O°,贝！JZMCM=120。，

rc120^x621C/2\

团S扇形A0M=一标—=12万(cm),

回NMOA=120。，ON.LAM,

^\ZMON=ZAON=^)°,

团NO二;x6=3(cm),

MTV=CO•sin60。=Ix6=3同cm),

2

团AM=6^cm,则SA0M=xNOxAM=；X3*66=9在(cm),

2

回图中阴影部分的面积为：S扇形aw-SAOM=(12^-9V3)cm.

【点睛】此题主要考查了扇形面积公式以及切线的性质和判定和锐角三角函数关系应用以及全等三角形的

判定及性质等知识，熟练应用切线的性质和判定定理是解题关键.

题型二证切线、求线段或半径

典例精讲J

【例1】(新考法，拓视野)(2024•广东深圳•一模)如图，已知是:。的直径.点尸在B4的延长线上，

点。是1。上一点.连接尸£),过点8作3E垂直于PD,交PD的延长线于点。、连接A£)并延长，交BE于

点、E,S.AB=BE

⑴求证：PZ）是1。的切线；

4

⑵若PA=2,tanB=-,求O半径的长.

【答案】⑴见详解

（2）3

【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出再根据垂线、平行线的性质得出

ODVCD,由切线的判定方法即可得出结论；

（2）在直角三角形OD尸中由锐角三角函数的定义以及勾股定理列方程求解即可.

【详解】（1）证明：如图，连接

OA=OD，

：.ZOAD=ZODA,

AB=BE,

:.ZBAE=ZBEA,

.\ZODA=ZBEA,

回OD〃BE,

BCLCD,

:.OD±CD,

OD是。的半径，

.•.如是＜。的切线；

(2)解：由(1)可知，OD//BE,

:.ZB=ZPOD,

4PD4

在RtPOD中，tan/POD=tanB=—,即---=—,

3OD3

设尸。=4%,则QD=3x,

:.OP=yJPD2+OD2=5x，

PA=2=5x-3x,

解得X=l,

OD=3x=3,

即半径为3.

通关指导

本题考查切线的判定，圆周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，

圆周角定理以及切线的判定方法是正确解答的关键.

【例2】(2024•辽宁沈阳•模拟预测)如图，在ABC中，ZACB=90°,点。是AB上一点，且=

2

点。在3C上，以点。为圆心的圆经过C,。两点.

⑴求证：A3是:。的切线；

3

(2)若sinB=《，。的半径为3,求AC的长.

【答案】⑴见解析

(2)6

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出

辅助线是解题的关键.

(1)连接根据等腰三角形的性质得到NOCD=NOZ)C,求得"OB=NOCD+NODC=2ZBCD,等量代

换得到4OD=NA,求得ZBDO=90°,根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)根据三角函数的定义得到03=5,求得3c=O3+OC=8,设AC=3x,AB=5x,根据勾股定理得到

BC=8,于是得到结论.

【详解】(1)证明：连接

OC=OD,

:./OCD=/ODC,

ZDOB=NOCD+NODC=2ZBCD,

.\ZBCD=-ZBOD,

2

ZBCD=-ZA,

2

:.ZBOD=ZA,

ZACB=90°,

:.ZA+ZB=90°,

.-.ZBOr>+ZB=90°,

NBDO=90。,

OD是。的半径，

••・直线A3与：。相切；

(2)sin8=g=3，。。=3,

OB5

:.OB=5,

BC-OB+OC—8,

AC3

在Rtz\ACB中，sinB=-----=—,

AB5

.,设AC=3x,AB=5x,

BC=y]AB--AC2=4x=8>

..x=2,

/.AC=3x=6.

名校模拟

1.（2024•广东珠海•一模）如图，A2是的直径，AC^BC,E是。3的中点，连结CE并延长到点死

使EF=CE.连结AF交于点。，连结3。，BF.

⑴求证：直线M是。的切线.

(2)若AF=5,求的长.

【答案】⑴见解析

(2)BD=2

【分析】(1)证明—OCE一班E(SAS),可得NOB/=NCOE=90。，可得结论;

(2)由勾股定理求得和即，再根据等面积法即可求得3D.

【详解】(1)证明：连接0C,如图所示：

团42是〈。的直径，

0ZACB=90°,

SAC^BC,OA^OB,

0OC1AB,

0ZBOC=90°,

EIE是QB的中点，

0OE=BE,

在△OCE和△BFE中,

OE=BE

<ZOEC=ZBEF,

CE=EF

0OCEgBFE(SAS),

0ZOBF=ZCOE=90°,

回直线3尸是。的切线;

(2)由(1)知8尸=OC=；AB,ZABF=90°,

设。。的半径为厂，则AB=2r,BF=r,

在AAB尸中，由勾股定理得482+3尸2=诙2,

BP(2r)2+r2=52,解得r=有，

即AB=2«,BF=亚,

EIAB为直径，

0ZAZ)B=9O°,

0s..RF=—ABxBF--AFxBD,

MBF22

KP-x2V5xV5=-x5xBZ),

22

解得BD=2.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形

的性质等，正确的作出辅助线是解题的关键.

2.(2024•湖北随州•一模)如图，四边形ABC。是.。的内接四边形，是直径，C是8。的中点，过点C

作CELAD交AD的延长线于点E.

⑴求证：CE是。的切线；

(2)若3c=6,AC=8,求CE,DE的长.

【答案】⑴见解析

(2)Z)E=y,£C=y

【分析】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握

相关性质与判定是解题的关键.

(1)根据“连半径，证垂直”即可，

(2)先由“直径所对的圆周角是直角"，证ABC是直角三角形，用勾股定理求出A3长，再通过三角形相似

即可求解.

【详解】(1)证明：连接OC

E

a

回C为8。的中点,

0CD=BC，

0Z1=Z2,

又田OA=OC,

*2=/3,

0Z1=Z3,

^\AE//OC,

又EICE_LAE,

0CE±OC,OC为半径,

回CE为〈O的切线，

(2)回A3为。直径，

0ZACB=90°,

0BC=6,AC=8,

0AB=1O,

X0Z1=Z2,ZAEC=ZACB=90°,

团，ACQs,AC6,

团一EC=

CBAB610

24

团EC=——

5

©CD=CB，

团CD=BC=6,

在RtADEC中，由勾股定理得：

DE=S)CD2-CE2=/一样J=y.

题型三圆与（特殊）平行四边形综合问题

典例精讲

【例1】(新考法，拓视野)(2024•广东江门•一模)如图，矩形ABCD中，AB=16,AD^6.E是。的中

点，以AE为直径的。与交于凡过尸作尸GL3E于G.

⑴求证：FG是t。的切线.

(2)求cosNEBA的值.

【答案】⑴见解析

【分析】(1)连接。尸交AE于点。，由圆周角定理推论得到ZAFE=90°,根据矩形ABCD，得到四边形ADEF

是矩形，得到A尸=DE,点。是的圆心，根据DE=CE,证明”=族，根据AO=OE,得到OF//BE,

推出尸G1.0尸，即得FG是〈Q的切线；

4

(2)证明昉=8,EF=6,NBFE=90。,根据勾股定理得到3E=10,根据余弦定义即得cos/EA4=y.

【详解】(1)连接。尸交AE于点。，

。的直径，

0ZAFE=9O°,

回四边形ABCD是矩形，

0ZS/1D=ZADC=90°,

团四边形ADEF是矩形，

SiAF=DE,OF=OA=OD=OE,

回点。是的圆心，

ae是co的中点，

团DE=CE,

^\DC=AB,

⑦AF=BF,

团AO=OE,

©OF〃BE,

©FG工BE,

⑦FGLOF,

BBF=-AB=8,

2

团EF=AD=6,ZBFE=180°-ZAFE=90°,

回BE=dEF?+BF2=]0，

BF4

0cosZEBA==—.

BE5

通关指导

本题主要考查了圆，矩形，三角形综合.熟练掌握圆的基本性质和圆周角定理推论，矩形的判

定和性质，三角形中位线的判定和性质，切线的判定，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数等知识,

是解题的关键.

【例2】（2024•安徽马鞍山•一模）如图，四边形488是（O的内接四边形，直径OE平分NMC.

（2）过点A向圆外作皿3=NACB,且AF=CD,求证：四边形ABD尸为平行四边形.

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】本题考查的是圆的相关性质-圆周角定理推论、同圆中弧弦间的关系，平行四边形的判定,

（1）先证明BE=CE及£BD=EC£＞，证出BD=CD即可证出结论；

（2）先证明”〃班＞,再证明AF=3D即可证出结论.

【详解】（1）证明：DE为:一。直径，

\EBD=ECD-

V直径DE平分N3DC,

.,.NBDE=NCDE,

...BE=CE，

\EBD-BE=ECD-CE，

BD=CD，

BD=CD；

(2)证明：1DAF彳页CB,ACB=?ADB

.\ZADB=ZDAF

:.AF//BD

AF=CD,BD=CD

：.AF=BD

.••四边形ABD尸为平行四边形.

名校模拟

1.(2024・云南•模拟预测)如图，线段A3与，1。相切于点40交(。于点其延长线交I。于点C,

连接BC,NABC=120。，D为。上一点且弧的中点为连接AD,CD.

⑴求/ACB的度数；

⑵四边形A5CD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由;

(3)若AC=6,求弧CD的长.

【答案】⑴30。

⑵四边形ABCD是菱形，理由见解析

⑶¥

【分析】(1)根据切线的性质及角的和差求出/OBC=30。，再根据等腰三角形的性质求解即可；

(2)根据圆的有关性质得出/。。0=/3。0=30。,£)〃=2河，根据三角形内角和定理求出

NC4B=30。=ZACB=/DCM,进而推出AB=BC,AB\\CD,根据圆周角定理得NCDM=NCBW=90。，利用

证明RtQM/RtCBM,根据全等三角形的性质推出CD=AB,结合ABiCD,推出四边形ABCD是

平行四边形，再结合钻=3C,进而判定四边形是菱形；

(3)根据菱形的性质及等腰三角形的性质推出ND4c=30。,NOZ)C=3()。,根据三角形内角和定理及角的和差

推出NADC=120。,ZADO=90。,NCOD=120。，根据含30。角的直角三角形的性质求出OC=2,再根据弧长

计算公式求解即可.

【详解】（1）如图，连接05,

团线段与「。相切于点5,

.\OB.LAB,

:.ZABO=90°,

Zz4BC=120°,

/.ZOBC=ZABC-ZABO=30°,

OB=OC,

:.ZACB=ZOBC=30°；

(2)四边形ABCD是菱形，理由如下:

连接,

团弧。B的中点为M,

团ZDCM=ZBCM=30°,DM=BM,

团NG4B+ZABC+ZACB=180。，

^ZCAB=30°=ZACB=ZDCM9

团AB=BC,ABCD,

团MC为CO的直径，

⑦NCDM=NCBM=90。,

在RtCDM和RtCBM中,

(CM=CM

[DM=BM'

团RtCDM^RtCBM(HL),

团CD=CB,

国CD=AB,

又ABCD,

团四边形ABCD是平行四边形，

^AB=BC,

团四边形ABCD是菱形;

(3)如图,连接。如,

团四边形ABCD是菱形，

团AD=CD,

团NZMC=NOC4=30。，

团ZADC=180。—ZDAC-ZDCA=120°,

回OD=OC,

团NQDC=NOCD=30。，

团ZADO=ZADC-ZODC=90°,ZCOD=180。—ZOCD-ZODC=120°,

团OA=2OD=2OC,

0AC=Q4+OC=6,

团OC=2,

."120»x24

国弧CD的长=———=-n.

lol)J

【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的

判定与性质、菱形的判定与性质、弧长计算公式等知识，熟练运用切线的性质、圆周角定理、等腰三角形

的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、弧长计算公式并作出合理的辅助线是解题

的关键.

2.(2024•河南平顶山•一模)如图，AB为。的直径，点C是AO的中点，过点C作，。的切线CE,与BD

的延长线交于点E,连接8C.

⑴求证：NCEB=90。

⑵连接CO，当CD〃钻时：

①连接OC,判断四边形O3DC的形状，并说明理由.

②若BE=3,图中阴影部分的面积为------（用含有兀的式子表示）.

【答案】⑴见解析

⑵①菱形，理由见解析；②（万

【分析】（1）连接OC,证明OC〃BE,即可得到结论.

（2）①根据（1）的结论和已知条件先证明四边形03DC是平行四边形，根据平行线的性质以及点C是AO

的中点，可得ZDCB=ZDBC从而证明邻边相等，即可得出结论；

②连接0。，如图所示，设0D,BC交于点/，证明AC=DC=BC得ZAOC=60°，从而可求出Z.CBE=30°,

解直角三角形得出03=2,根据CD〃钿，从而可得SAC”=SASS，求出扇形COD的面积即可得到阴影

部分的面积.

【详解】（1）证明：如图所示，连接OC,

E

回点C是AD的中点，

团AC=Z）C，

国ZABC=NEBC,

回OB=OC,

⑦ZABC=NOCB,

⑦NEBC=NOCB,

^\OC//BE,

团CE是，：。的切线.

团OC_LCE,

团5£_LC£,即：NCEB=90。；

（2）①如图所示，

E

由（1）可得OC〃BE

^CD//AB

团NDCB=NABC,四边形。是平行四边形,

又田ZABC=/EBC

©NDCB=NEBC

团DC=DB,

回四边形03。。是菱形，

②连接0。，如图所示，设。。3c交于点下

E

团CD-BD,

^CD=BD,

^CD=BD,AC=DC

国AC=DC=BC，

0ZAOC=ZCOD=ZBOD=60°,

团ZABC=ZCBE=-ZAOC=30°,

2

BE

^\cosZCBE=----,BE=3,

BC

团BC=--------=2^3；贝|BF=6

cos30°

2

^\CD//AB,

团S^COD=S&BCD，

回S阴影=S扇形COD-

同qq_60^-x22_2"

口,阴影一＞扇形cc®一-痛6——飞•

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，弧弦圆心角的关系，平行线的判定与性质，等腰三角形的

性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积等知识，熟练掌握切线的判断定理以及扇形

面积的求法是解题的关键.

3.(2024•江苏南京•一模)如图，四边形ABCQ是平行四边形，AB=AC；

(2)如图②，当8与,：。相交于点E时.

(0)若AD=6,CE=5,求,。的半径.

(0)连接8E,交AC于点R若EF-AB=CE?,则一£＞的度数是，

【答案】⑴见解析

⑵(回)空也；(回)72

8

【分析】(1)连接CO并延长，交::。于点连接AM,证明ZABC=ZBAC,得出AC=BC,WAB=AC,

得出=即可证明结论；

(2)(0)证明得出四=匹，即_£=组二求出.=9(负值舍去)，设

ABBCAB6

OA=OB^OC=r,则。尸=6&-r，根据勾股定理得出/=(60-rf+32,求出结果即可；

(0)证明aACES;ECF,得出NCEF=NC4E,证明NBAC=NC3E=NABE,根据AB=AC,得出

ZABC=ZACB,设ZABC=ZACB=x，则/BAC=/CBE=ZABE=』无，根据ZABC+ZACB+ABAC=180°,

2

得出x+x+gx=180。，求出x的值即可.

【详解】(1)解：连接CO并延长，交C。于点“，连接A"，如图所示:

^\ZMAC=90°,

^\ZAMC+ZACM=90°,

团CD与t。相切，

团MC_LCD,

国NMCD=90。,

^\ZMCA+ZACD=90°,

^\ZAMC=ZACDf

团AC=AU

^\ZAMC=ZABC,

团NABC=NACD,

回四边形ABC。为平行四边形，

团A3CD,

^ZBAC=ZACDf

团/ABC=NBAC,

回AC=BC,

回AB=AC,

回AB=BC,

团四边形ABCD为菱形.

(2)解：(团)连接A0并延长，交3C于点尸，连接03、0C,AE,如图所示:

团A0垂直平分3C,

[3/APC=NAPB=90°,BP=CP=-BC=3,

回四边形ABCD为平行四边形,

团Z.ABC=ND,AB=CD,AD=BC=6,

团四边形ABCS内接于O,

团N5+ZAEC=180。，

0ZA£C+ZAED=180°,

回NAED=NABC,

回AB=AC,

^\ZABC=ZACBf

田NABC=NACB=ND=NAED,

0AABCSAADE1,

ADDE

团---=---

ABBC

©DE=CD—CE=AB—CE,

「6AB-5

团——=------

AB6

解得：AB=9(负值舍去),

0AP=VAS2-BP2=JA-32=6V2，

设OA=OB=OC=r,则OP=6^2-r，

SOB2=OP2+BP2,

艮fl户=（60—r）"+32,

270

解得：r

8

即圆的半径为之也.

8

(0)连接AE,如图所示:

AD

团四边形ABCD为平行四边形,

0ABCD,

^\ZACE=ZBAC,

⑦BC=BC，

⑦NCEB=NBAC,

◎NCEB=NACE,

^AE=BC，EF=CF

⑦EF•AB=CE?,AB=AC,

CEAC

回-------,

CFCE

⑦/ECF=ZACE,

回ACEs,ECF,

^\ZCEF=ZCAE,

⑦CE=CE，

@/CAE=NCBE,

⑦NCEF=NCBE,

^AE=BC，

©ZABE=/CEF,

回ZABE=/CBE,

回NBAC=ZCBE=ZABE,

回AB=AC,

⑦/ABC=ZACB,

瞰NABC=NACB=x,则N3AC=NC3E=NA3E=,

2

团ZABC+ZACB+ZBAC=180。，

团x+—x=180°,

2

解得：x=72。，

0Z£>=ZABC=72°.

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质,

平行四边形的性质，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键熟练掌握相关的性质和判定，作出辅助线.

题型四圆内接三角形和四边形

典例精讲

【例1】（2024・湖南•模拟预测）如图，Rt^ABC内接于eO,NACB=90。，过点C作CF1AB交A3于点E,

交，:，。于点。，连接AF交。于点G,连接CG,OG,/⑦，设tan"GP=〃z（%为常数）.

A

B

⑴求证：ZAGC=ZDGF；

(2)设ZGDC-ZGCD=a,ZF=0,求证：a=2/3-,

（3）求笔手的值（用含机的代数式表示）.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

AGAF1+m2

（5）---；­=-----

CD24

【分析】（1）连接BG.根据圆周角定理得到A3是的直径，由CF1AB,得到C2=r>2，即可得出结

论;

（2）设AB,CG相交于点连接MD.由（1）可知NAGC="GF,得到NAGD=/FGC,再根据

/GAD=NDCG.推出NADG=/F=£,由NADM=NACG=NADG即可得出结论;

（3）证明△ACGS/'ARS,得到AG-AF=AC2,解直角三角形得到/石=机位，代入计算即可得出结果.

【详解】（1）证明：ZACB=9Q°,

.:/归是（。的直径.

如图，连接BG.

:.ZAGB=90°,

又*CF±AB,即Afi_LCD,

CB=DB，

:.ZCGB=ZDGB,

:.ZAGC=90°-ACGB,NDGF=90。一NDGB,

:.ZAGC=ZDGF■,

(2)证明；如图，设AB,CG相交于点M,连接

B

由(1)可知NAGC=NOG/,

•・ZAGC+/CGD=/DGF+/CGD,BPZAGD=ZFGC.

又Q/GAD=/DCG.

/.ZADG=ZF=/3,

又Q/ADM=ZACG=ZADG,

.:.ZMDG=ZADM+ZADG=2/3.

QZMDG=ZGDC-ZMDC=Z.GDC-Z.GCD=a,

cc=2(3；

(3)解：QZACD=ZAT>C=NAGC,NCAb=NGAC,

.•.AACGsAAFC,

ACAF

即AGAF=AC2.

AG-AC

又Q/DGF=ZACD,

tanZDGF=tanZACD=m,

AE

----=m,即AE二机CE,

CE

AGAbAC?。石2+4七2。石2+加2。石21+根2

CD2-CT57--4CE2--4C£2-4

通关指导

本题主要考查圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，垂

径定理等，熟练掌握圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【例2】（2024•天津滨海新•一模）如图，A3是的直径，弦C。与相交于点P,若NADC=24。.

图①图②

⑴如图①，求—C钻的度数；

(2)如图②，过点C作。的切线，与54的延长线交于点E,若EP=EC,求NZMP的度数.

【答案】⑴66。

(2)45°

【分析】(1)连接8C,根据圆周角定理得出NABC=NADC=24。，根据直径所对的圆周角为直角得出

ZACB=90°,求出结果即可；

(2)连接OC,根据圆周角定理得出NAOC=2NADC=48。，根据切线的性质得出NOCE=90。，根据等

1800-42°

腰三角形的性质求出ZEPC=ZECP=-------------=69。，最后求出ZDAP=ZEPC-ZADC=45°即可.

2

【详解】(1)解：如图①，连接3C,

图①

团AC=AC'

O

^\ZABC=ZADC=24f

团43为《。的直径，

国/ACB=90。,

团ZCAB=90°-ZABC=90°-24°=66°.

BZAOC=2ZADC=48°,

团石C是O切线，

团NOCE=90。，

团ZOEC=900-ZAOC=90°-48°=42°,

团PE=CE,

1800-42°

0ZEPC=NECP=--------=69°,

2

0ZDAP=ZEPC-ZADC=45°.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，三角

形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质.

名校模拟

1.（2024•安徽芜湖•一模）四边形内接于O,AB^AC.

（1汝口图1,若NB4c=1,求—ADC的度数；

⑵如图2.连接3。交AC于点E.

①求证：AE2=AEAB-BEDE;

②若NE4c=2NZMC,AB=5,BC=6,求CO的长.

【答案】⑴90。+夕

⑵①见详解②，

【分析】（1）根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可；

（2）①先证明△ADEsaBCE,得AE-CE=BE-DE,再根据AEYAC-A6MAEAC-AEZUBE-DE即

可得出结论；（2）^ZBAC=2ZDAC=2a,则4MC=NDBC=。，先证明AC13O,再根据勾股定理求出

AE,BE,CE的长，由①知=求出DE的长，再根据勾股定理即可.

【详解】（1）解：AB=AC,若4AC=CK.

・四边形A2CD内接于。，

1QAO_41

.ZADC=180。-=180°---------=90。+—a；

22

(2)证明①,ZADB=ZACB/CAD=NCBD,

心ADEs}BCE,

AEDE

~BE~~CE'

:.AECE=BEDE,

AE-(AC-AE)=AE-AC-AE2=BE-DE,

AB=AC,

:.AEAB-AE2^BEDE，

AE1=AEAB-BEDE-,

@^ZBAC=2ZDAC=2a,贝I」ND4c=ND3C=a,

AB=AC=5,

•♦~W290。一a,

ZABE=ZABC-ZDBC=90°-a-a=90°-2a,

在AAEB中ZAEB=180°-ZCAB-ZABD=180。一2a—(90。-la)=90°,

:.AC±BD,

BE2=BC2-CE2=AB2-AE2,

2222

/.6-(5-AE)=5-AEf

;.AE=*,CE卷,

/.BE=ylAB2-AE2=y,

718

-2]

5

由①知=£>£=^I-=—,

20

y

:.CD=y/DE2+CE2=J(—)2+(—)2=—

V2054

【点睛】本题考查了圆的有关性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练

掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键.

2.(2024•黑龙江哈尔滨•一模)如图1,在。中，直径4B垂直弦。于点G,连接A。，过点C作C尸，AD

于R交A3于点X,交。。于点E,连接OE.

⑴如图1,求证：NE=2NC；

（2）如图2,求证：DE=CH；

（3）如图3,连接BE,分别交AD、CD于点M、N,当OH=2OG,HF=M,求线段EN的长.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶12

【分析】（1）连接AC,根据垂径定理和等弧所对的圆周角相等，结合等角的余角相等即可证明结论；

（2）连接BC,运用同弧（等弧）所对的圆周角相等，结合同角的余角相等和等量代换即可证明；先证明

BC=CH,再证明=

（3）根据已知设出0G和OH,结合（2）表示8G,进而用x表示半径、直径，结合勾股定理表示Ca,3E,

结合BGNs,BEA,即可求解.

【详解】（1）证明：连接AC,

团42是(。的直径，ABVCD,

^BC=BD^BAD+ZADG=90°

团ZCAB=ZBAD=-ACAD=-NCED,

22

团AF_LCE,

团/ECD+/ADG=90。,

⑦NECD=NBAD,

⑦NE=2NDCE；

(2)连接BC,

B

图2

0AB±CD,CE±AZ),

团/ECD+NCHG=/ECD+/CDF=90°,

©NCHG=ZADC,

又团ZADC=NB,

@NCHG=NB,

⑦CH=CB,

由(1)知：/E=2NECD,

@CD=2DE，

团CD=25。，

国DE=BC，

⑦DE=BC=CH；

(3)连接0cAE,则：ZAEB=90°,

团OH=2OG,

团设OG=x,则O"=2x,

@HG=OH+OG=3x,

由（2）知，BC=CH,

团AB_LCD,

团BG=GH=3x,

⑦OB=BG+OG=4x,

团OC-4x,AB=8x,AH=2x,

0ZCHB=ZAHE,ZCBH=ZCEA,且NCHB=NCBH,

国ZAHE=/CEA,

团AE=A/7=2x,

EIRtAABE中，BE=JAB2-AE=2岳x，

RtAOGC中，CG=4OC。-OG2=Ax，

Rt_"GC中，CH=jCG?+GH?=2如，

0DE=BC=BD，

SZBAD^ZDCE,

HFHG

0sinZBAD=sinZDCE,即:

AHCH

3%

0--=-=-,

2x2\/6x

回.独1

3

团8石=2/尤=20,BG=3x=2岳,AB=8x=骁后,

3

团ZABE=/GBN,ZBGN=ZAEB=90°,

团BGNsBEA,

BNBG

团---=---，

ABBE

2而x16岳

回师-妙43一“W一8,

BE20

0EN=BE-BN=12.

【点睛】此题主要考查圆的综合问题，涉及到垂径定理，圆周角定理，弧、弦、角之间的关系，解直角三

角形，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，熟悉圆的相关性质，会结合题意灵活运用勾股定

理和方程思想，会借助相似三角形构建等量关系是解题的关键.

3.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）如图1,在。中，BD为直径,和BC为弦，AB=3C且AB人3c.

⑴求4BD的度数；

(2汝口图2,E为0D上一点、,连接AE,作EFLAE于E交BC于凡连接EC,求证：EF=EC；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接OC交所于G,过P作RVL砂于R交EC延长线于N,若EG=1,CN=2,

求CP的长.

【答案】⑴45。

(2)见详解

⑶5=竿

【分析】(1)利用HL证明泾RJCBD,即可得出NABD=NCBD,又NABC=/90。，故可得出

ZABD=45°

(2)先求四边形ABEE内角和，进而可得出/EEB+NA=180。，等量代换可得出NA=N£FC,证明

„ABE^CBE(SAS),由全等得性质可得出NA=NC,等量代换得出/EFC=/C,由等角对等边得出

EF=EC.

(3)在EF=EC的条件下，作,一£FMq.ECG,可得出EG=EM=1,设FG=MC=x，可得NM=NF=2+x,

利用勾股定理解出x,得出WV=4,NE=5,CN=2,EF=3,过C作CK_LFN于K,得出三=里=些,

CNENNF

进一步利用勾股定理得出CF的值.

【详解】(1)解：连接AT),CD,

团BD是直径，

国NBAD=NBCD=90。,

在RJABD和RtACBD中,

jBD=BD

[AB=CB'

团RtABD^RtCB£）（HL）,

田NABD=NCBD,

国AB/BC,

0ZABC=Z9O°,

^ZABD=ZCBD=45°.

（2）四边形AB/芯内角和为：（4—2）x180。=360。,

由AB/BC,EFLAE,

团/ABF=90°,ZAEF=90°

团NEFB+NA=360。—NABF—NAEF=180。,

0/EFC+/EFB=180。,

^\ZA=ZEFC,

在石和△CB石中，

AB=CB

<ZABE=ZCBE

BE=BE

ABEPCBE(SAS)

团NA=NC,

团NEFC=NC,

©EF=EC.

(3)在£F=EC的条件下，作-EFMmdECG,如下图,

图3*N

EIEG=£M=1,

设尸G=MC=尤，

贝i]NM=NF=2+x,

SFN±EF

0ZA7^=9O°

在心EFN中:

EF2+NF2=NE2,

即(x+l)2+(%+2)2=(%+3)2,

解得x=±2,

[Ex>0

回x=2,

团EV=4,NE=5,CN=2,EF=3,

过C作CK_L~V于K,

又EIRV_LEF

SCK//FE,

CKNCNK

团---=---

EFEN~NF

团CK=—,KN=-

55

Q12

©FK=FN—KN=4一一=—

55

可解得CF=?L

【点睛】本题主要考查了全等的判定以及性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，四边形内角

和问题等知识，作出辅助线是解题的关键.

4.(2024•河北沧州•一模)如图，珍珍利用一张直径A3为8c机的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片

沿弦AP折叠.

⑴如图1,PQ为C。的切线，当NPAB=45。时，求证：PQ//AB.

(2)如图2,当/上钻=30。时，通过计算比较小与弧3尸哪个长度更长.(万取3.14,岔。1.73)

(3)如图3,M为AP的中点，为点〃关于弦AP的对称点，当/848=15。时，直接写出点与点"之

间的距离约为cm.(结果保留两位小数，参考数据：sinl5°«0.26,tanl5°«0.27)

【答案】⑴见解析

(2)AP>BP

(3)5.92

【分析】(1)连接。尸，根据切线的性质，圆周角定理，得到NOPQ+/BOP=180。，即可得证；

(2)连接3P,圆周角定理，得到NA/B=90。，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，

进行比较即可；

(3)连接31交AP于点N,根据轴对称的性质，垂径定理，得到