2025年中考数学专项复习：统计与概率（13类重点考向）（解析版）

主题五统计与概率

专题19统计与概率

目录一览

知识目标（新课程标准提炼）

中考命题趋势（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一总体、个体、样本、样本容量

A考向二用样本估计总体

A考向三频数（率）分布直方图

A考向四扇形统计图

A考向五条形统计图

A考向六折线统计图

A考向七中位数

A考向八众数

A考向九方差

A考向十概率公式

A考向十一几何概率

A考向十二列表法与树状图法

A考向十三利用频率估计概率

最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）

知识目标

1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解处理数据的过程；能用计算器处理较为复杂的数据；体

会抽样的必要性，通过实例了解简单的随机抽样；通过实例了解频数和频数分布的意义，能画频数分布直

方图，能利用频数分布直方图解释数据蕴涵的信息；

2.会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据.理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加

权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述；体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差；

3.体会样本与总体的关系，掌握统计量的概念和特点，会通过统计量进行计算，会分析数据.

4.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能的结

果，了解事件的概率；知道通过大量的重复试验，可以利用频率来估计概率.

叁:中考解密

该板块内容以考查基础为主，也是考查重点，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，

预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、解答中考查事件的判断、随机事件的概率、概率与几何、

频率估计概率、用树状图或列表法求概率、游戏的公平性问题等知识这部分知识是考生的得分点，应掌握

扎实。

士重点考向

A考向一总体、个体、样本、样本容量

1.（2023•聊城）4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握

情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查.这项调查中的样本是（）

A.1500名师生的国家安全知识掌握情况

B.150

C.从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况

D.从中抽取的150名师生

【思路点拨】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取

的一部分个体，据此即可判断.

【完整解答】解：样本是所抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况.

故选：C.

【考点剖析】本题考查了样本的定义，熟练掌握样本的定义是解答本题的关键.

2.（2023•宜州区模拟）今年我市有5万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，教育部门抽取

了2000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（）

A.2000名考生是总体的一个样本

B.每个考生是个体

C.这5万名学生的数学中考成绩的全体是总体

D.样本容量是2000名学生

【思路点拨】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取

的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这

四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样

本，最后再根据样本确定出样本容量.

【完整解答】解：A.2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项不合题意；

B.每个考生的数学成绩是个体，此选项不合题意；

C.这5万名学生的数学中考成绩的全体是总体，此选项符合题意；

D.样本容量是2000,此选项不合题意.

故选：C.

【考点剖析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体

与样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大

小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.

A考向二用样本估计总体

3.（2023•金昌）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的

《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图

表（部分数据）如下，下列结论错误的是（）

年龄范围（岁）人数（人）

90-9125

92-93

94-95

96-97

98-99

100-101

IOO-IOI岁

94-95岁

A.该小组共统计了100名数学家的年龄

B.统计表中机的值为5

C.长寿数学家年龄在92-93岁的人数最多

D.《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96-97岁的人数估计有110人

【思路点拨】根据统计表和扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案.

【完整解答】解：/、该小组共统计的人数为：10X0%=100（人），故不符合题意；

B、统计表中的值为100x5%=5（人），故不符合题意；

C、长寿数学家年龄在92-93岁的人数为100x35%=35,长寿数学家年龄在94-95岁的人数为

100xl4%=14（人），所以长寿数学家年龄在92-93岁的人数最多，故不符合题意；

D、《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96-97岁的人数估计有2200x100=242（人），故符

合题意.

故选：D.

【考点剖析】此题考查了统计表和用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决

问题的关键.从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系.

4.（2023•乐山）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源.某校准备组织初一年级500名学生

进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果

制成如图统计图，如图所示.估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（）

A.100B.150C.200D.400

【思路点拨】用总人数乘以样本中去“沫若故居”的学生人数所占比例即可.

20

【完整解答】解：估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为500、而=200（人）,

故选：C.

【考点剖析】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、

容量越大，这时对总体的估计也就越精确.

A考向三频数（率）分布直方图

5.（2023•宁夏）劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数x（单位：次），按劳动次数分为4组：

0<x<3,3<x<6,6<x<9,9<x<12,绘制成如图所示的频数分布直方图.从中任选一名同学，则该同

学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（）

领数（学生人数）

【思路点拨】根据频数分布直方图，求出周家庭劳动次数不足6次的学生数占总人数的几分之几即

可.

10+20

【完整解答】解：10+20+14+6=0.6,

故选：A.

【考点剖析】本题考查频数分布直方图，概率的定义，理解概率的定义是解决问题的关键.

6.（2023•荷泽）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课

的运动负荷.在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分

钟），分为如下五组：N组：50<x<75,8组：75<x<100,C组100Wx<125,。组：125Wx<150,E

组：150sx<175.其中/组数据为：73,65,74,68,74,70,66,56.

根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：

（次/分钟）

（1）/组数据的中位数是69,众数是74；在统计图中8组所对应的扇形圆心角是54

度；

（2）补全学生心率频数分布直方图；

（3）一般运动的适宜心率为100力<150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研

究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？

【思路点拨】（1）分别根据中位数、众数的定义可得/组数据的中位数和众数；用/组频数除以/

组所占百分比可得样本容量，用360。乘3组数据所占比例可得在统计图中3组所对应的扇形圆心角度

数；

（2）先求出C组频数，即可补全学生心率频数分布直方图；

（3）用2300乘样本中C组和。组所占百分比即可.

【完整解答】解：（1）把/组数据从小到大排列为：56,65,66,68,70,73,74,74,

68+70

故4组数据的中位数是：2=69,众数是74；

由题意得，样本容量为：8-8%=100,

15

在统计图中5组所对应的扇形圆心角是：360°x100=54°.

故答案为：69,74,54；

（2）C组频数为：100-8-15-45-2=30,

补全学生心率频数分布直方图如下：

4()

（3）2300x（30%+100）=1725（名）,

答：估计大约有1725名学生达到适宜心率.

【考点剖析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体，解答本题

的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

A考向四扇形统计图

7.（2023•大连）2023年5月18日，《大连日报》公布《下一站，去博物馆!》问卷调查结果.本次调查

共收回3666份有效问卷，其中将“您去博物馆最喜欢看什么？”这一问题的调查数据制成扇形统计图，

如图所示.下列说法错误的是（）

建筑风格

B.最喜欢看“文创产品”的人数占被调查人数的14.3%

C.最喜欢看“布展设计”的人数超过500人

D.统计图中“特效体验及其他”对应的圆心角是23.76。

【思路点拨】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得.

【完整解答】解：由题意得：

A.最喜欢看“文物展品”的人数最多，占58.25%,说法正确，故本选项不符合题意；

B.最喜欢看“文创产品”的人数占被调查人数的14.3%,说法正确，故本选项不符合题意；

C.最喜欢看“布展设计”的人数为：3666x9.82%~360（人），原说法错误，故本选项符合题意；

D.统计图中“特效体验及其他”对应的圆心角是：360。*6.6%=23.76。，说法正确，故本选项不符合题

•

故选：C.

【考点剖析】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示

各部分数量占总数的百分数.

8.（2023•河南）某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000

棵该品种苗进行抽测.如图是某次随机抽测该品种苗的高度x（cm）的统计图，则此时该基地高度不

低于300cm的“无絮杨”品种苗约有280棵.

A.工<200

B.200<x<250

C.250<r<300

D.300<x<350

E.x>350

【思路点拨】由统计图得到高度不低于300cm的“无絮杨''品种苗所占的百分比，再列式计算即可.

【完整解答】解：由统计图可得，该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约占10%+18%=28%,

：1000x28%=280（棵）,

该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约有280棵.

故答案为：280.

【考点剖析】本题考查扇形统计图的应用，解题的关键是能从统计图中获取有用的信息.

A考向五条形统计图

9.（2023•南充）某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到

条形统计图（如图）.根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是（）

【思路点拨】利用众数的意义得出答案.

【完整解答】解：由题意可知，销量最多的是23.5<?加，

所以建议下次进货量最多的女鞋尺码是23.5cm.

故选：D.

【考点剖析】此题主要考查了条形统计图以及众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，众数

也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量.

10.（2023•赤峰）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑.某校

对全校1500名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为B,C,。四个等级

（/：非常了解；5：比较了解；C：了解；D-.不了解）.随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两

幅不完整的统计图.根据统计图信息，下列结论不正确的是（

0―A――D学级

A.样本容量是200

B.样本中C等级所占百分比是10%

C.。等级所在扇形的圆心角为15。

D.估计全校学生/等级大约有900人

【思路点拨】用8等级的人数除以8等级的百分比可得样本容量；用C等级人数除以总人数可得样本

中。等级所占百分比；用360。乘。等级的百分比可得。等级所在扇形的圆心角度数；用全校学生人数

乘A等级的百分比可得全校学生A等级人数.

【完整解答】解：A.50-25%=200,即样本容量为200,故本选项不符合题意；

会100K

B.样本中c等级所占百分比是200=10%,故本选项不符合题意；

C.。等级所在扇形的圆心角为：360。><（1-60%-25%-10%）=18。，故本选项符合题意；

。.估计全校学生Z等级大约有：1500X60%=900（人）,故本选项不符合题意.

故选：C.

【考点剖析】本题考查了条形统计图和扇形统计图等知识点，用样本估计总体，看懂图表是解决本题

的关键.

A考向六折线统计图

11.（2023•大连）某射击队进行射击训练，甲、乙、丙三名射击运动员分别射击10次，射击队记录他们

的成绩（单位：环），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：

I.甲运动员的射击成绩是：79878999810；

□.乙运动员的射击成绩是：

成绩/环678910

次数12223

m.丙运动员射击成绩的折线统计图为:

成，粼坏

平均数众数中位数方差

甲8.4a8.50.84

乙方10c1.84

丙8.2d81.56

根据以上信息，回答下列问题：

(1)表格中的。=9，b=8.4,c—8.5,d=8和9

（2）射击队准备从甲、乙、丙三名运动员中选取一名参加比赛，你认为应该选择哪名运动员参赛？为

什么？

【思路点拨】（1）分别根据众数、算术平均数以及中位数的定义解答即可；

（2）根据方差和平均数的意义解答即可.

【完整解答】解：（1）甲10次射击中，9环出现的次数最多，故众数a=9,

1

乙的平均数b=10x（6x1+7x2+8x2+9x2+10x3）=8.4,

8+9

把乙10次射击的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是8和9,故中位数‘=1废=8.5,

丙10次射击中，8环和9环出现的次数最多，故众数d=8和9,

故答案为：9,8.4,8.5,8和9；

（2）应该选择甲参赛，理由如下：

因为甲和乙的平均数相同，且比丙的高，所以在甲和乙中选其中一个参赛；又因为甲的方差比乙小，

所以甲比乙稳定，故该选择甲参赛.

【考点剖析】此题主要考查了折线统计图、中位数、众数、算术平均数和方差，关键是掌握相关统计

量的定义与计算方法.

12.（2023•吉林）为了解2018-2022年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资

料，整理数据并绘制了如下统计图:

匚二I赖食总产*—.—比上年增长

本年粮食总.量一去至粮食息产量

注：增长速度=去年粮食总产量X100%.

根据此统计图，回答下列问题：

（1）2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多161.5万吨.

（2）2018-2022年全省粮食总产量的中位数是3877.9.

（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出2017年吉林省粮食总产量约为4154.0万吨.结合所得数据

及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“才‘，错误的画“x”.

①2018-2022年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，因此这5年中，2019年全省粮食总

产量最高.x

②如果将2018-2022年全省粮食总产量的中位数记为。万吨，2017-2022年全省粮食总产量的中位数

记为6万吨，那么q

【思路点拨】（1）根据统计图数据计算可得答案；

（2）根据中位数的定义解答即可；

（3）①根据统计图数据判断即可；②根据中位数的定义判断即可.

【完整解答】解：（1）2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多：4039.2-3877.9=161.3

（万吨）,

故答案为：161.3；

（2）由题意可知,2018-2022年全省粮食总产量的中位数是3877.9,

故答案为：3877.9；

（3）①由题意可知，2018-2022年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，但这5年中，

2022年全省粮食总产量最高.

故答案为：x；

②由（2）可知，2018-2022年全省粮食总产量的中位数是3877.9,而2017-2022年全省粮食总产量

3877.9+4039.2

的中位数记为2=3958.55,

所以a<b.

故答案为：7.

【考点剖析】本题考查折线统计图，解题的关键是读懂题意，能从统计图中获取有用的信息.

A考向七中位数

13.（2023•娄底）一个小组7名同学的身高（单位：cm）分别为：175,160,158,155,168,151,

170.这组数据的中位数是（）

A.151B.155C.158D.160

【思路点拨】根据中位数的定义求解可得.

【完整解答】解：把这些数从小到大排列为：151、155、158、160、168、170、175,

排在中间的数为160,故中位数为160.

故选：D.

【考点剖析】本题主要考查中位数，掌握中位数的计算方法是关键.

14.（2023•德阳）在一次数学测试中，张老师发现第一小组6位学生的成绩（单位：分）分别为：85,

78,90,72,・，75,其中有一位同学的成绩被墨水污染，但知道该小组的平均分为80分，则该小组

成绩的中位数是79.

【思路点拨】首先利用平均数求得被墨水污染的数，然后利用中位数的定义确定答案即可.

【完整解答】解：根据题意得：・=80'6-（85+78+90+72+75）=80,

排序为：72,75,78,80,85,90,

78+80

所以中位数为2=79,

故答案为：79.

【考点剖析】本题考查了统计的知识，解题的关键是根据题意确定被污染的数，难度中等.

A考向八众数

15.（2023•甘孜州）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示.

成绩/米

这些运动员成绩的众数和中位数分别为（

A.1.65米，1.65米1.65米，1.70米

C.1.75米，1.65米D.1.50米，1.60米

【思路点拨】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可.

【完整解答】解：由表可知1.65机出现次数最多，有5次，所以众数为1.65加，

这15个数据最中间的数据是第8个，即1.65"，所以中位数为1.65〃?，

故选：A.

【考点剖析】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后,

最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不

好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数.

16.（2023•衡阳）2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自

我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动.现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成

绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60<x

<70；B-.70<x<80；C：80<x<90；D-.90<x<100）,并给出下面部分信息：

八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84,84,88

九年级抽取的学生竞赛成绩为：68,77,75,100,80,100,82,86,95,91,100,86,84,94,

87.

八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级平均数中位数众数优秀率

八87a9860%

九8786bC

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a=84,b=100,c=80%；

（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩

达到90分及以上的学生人数.

Afl级抽取的学生竞赛成绩期11分布H方图

【思路点拨】（1）根据中位数、众数的意义，分别求出八年级的中位数，和九年级的众数；

（2）利用样本估计总体即可.

【完整解答】解：（1）八年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84,因此中位

数是84,即a=84；

九年级的竞赛成绩出现次数最多的是100,共出现3次，因此众数是100,即6=100；

12

九年级的竞赛成绩中80分及以上的共有12人，因此优秀率为15X100%=80%,即C=80%；

故答案为：84,100,80%；

6+6

（2）500x15+15=200（人），

答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约200人.

【考点剖析】本题考查了方差、平均数、中位数、众数的意义和计算方法，掌握各个统计量的计算方

法是正确计算的前提.

A考向九方差

17.(2023•丹东)某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比

赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表:

甲乙丙T

平均数/”?169168169168

方差6.017.35.019.5

根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是

()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【思路点拨】先比较平均数得到甲和丙成绩较好，然后比较方差得到丙的状态稳定，于是可决定选丙

运动员去参赛.

【完整解答】解：•••甲、丙的平均数比乙、丁大，

，应从甲和丙中选，

:甲的方差比丙的大，

，丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙；

故选：C.

【考点剖析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数

据的方差.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性

也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

18.(2023•北京)某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：c%),数据整理如

下：

小16名学生的身高：

161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175；

6.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：

平均数中位数众数

166.75mn

(1)写出表中加，”的值；

(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推

断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是甲组(填“甲组”或“乙组”)；

甲组学生的身高162165165166166

乙组学生的身高161162164165175

(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168,168,172,他

32

们的身高的方差为9.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的

32

五名学生的身高的方差小于飞~,其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身

高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为170cm和172cm.

【思路点拨】(1)根据众数和中位数的定义进行计算；

(2)根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；

(3)根据方差进行比较.

【完整解答】解：(1)数据按由小到大的顺序排序：161,162,162,164,165,165,165,166,

166,167,168,168,170,172,172,175,

166+166

则舞蹈队16名学生身高的中位数为机=2=166(cm),众数为“=165(cm),

故答案为：166,165：

162+165+165+166+166

(2)甲组学生身高的平均值是：5=164.8(cm),

I

甲组学生身高的方差是：5x[(164.8-162)2+(164.8-165)2+(164.8-165)2+(164.8-166)2+

(164.8-166)2]=2.16,

161+162+164+165+175

乙组学生身高的平均值是：5=165.4(cm),

工

乙组学生身高的方差是：5x[(165.4-161)2+(165.4-162)2+(165.4-164)2+(165.4-165)2+

(165.4-175)2]=25.04,

V25.04>2.16,

•••甲组舞台呈现效果更好.

故答案为：甲组；

11

(3)V168,168,172的平均数为3(168+168+172)=1693(cm),

32

且所选的两名学生与己确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于-

数据的差别较小，

可供选择的有170cm,172cm,

1

平均数为：5(168+168+170+172+172)=170(cm),

方差为：5[(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(172-170)2+(172-170)2]=3.2<

32

~9,

工选出的另外两名学生的身高分别为170c冽和172cm.

故答案为：170cm,172cm.

【考点剖析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题

的关键.

A考向十概率公式

19.（2023•丹东）在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从

_1

袋中任意摸出一个球是红球的概率为4,则袋中黑球的个数为（）

A.IB.3C.6D.9

J.

【思路点拨】根据题意和题目中的数据，可以列出算式”1-3,然后计算即可.

【完整解答】解：由题意可得，

J,

黑球的个数为：3-4-3

=3x4-3

=12-3

=9,

故选：D.

【考点剖析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答.

20.（2023•长沙）“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”.春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃

符”

的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商

家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼

品中免费领取一件.礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有

“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼

品，现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是（）

2221

A.9B.6c.3D.2

【思路点拨】画出树状图，利用概率公式求解即可.

【完整解答】解：画树状图如下：

开始

一共有9种等可能得情况，他们恰好领取同一类礼品的情况有3种，

3_1

.••他们恰好领取同一类礼品的概率是：V=3,

故选：c.

【考点剖析】此题考查求概率，熟记概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.

A考向十一几何概率

21.（2023•烟台）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长

的一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的

某一点上.若小球停在阴影部分的概率为停在空白部分的概率为P2,则P与尸2的大小关系为

（）

A.尸1<尸2B.尸产P2C.Pi>P2D.无法判断

【思路点拨】令正方形的边长为2a,分别求出空白部分的面积与阴影部分的面积，继而可得答案.

【完整解答】解：如图，令正方形的边长为2a,

————冗a

则空白部分的面积为2x4xjfa2+2（a2-=2na2+2a2-2=2a2,

则阴影部分的面积为（2a）2-2a2=4层一2/=2疗，

所以小球停在阴影部分的概率马=停在空白部分的概率尸2,

故选：B.

【考点剖析】本题考查几何概率的计算，涉及圆的面积在求面积中的应用，关键是正确计算出空白部

分和阴影部分的面积.

22.（2023•常州）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等.任意投掷飞镖1次且击中游戏板，

5.

则击中阴影部分的概率是

【思路点拨】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.

【完整解答】解：总面积为3x3=9,

其中阴影部分面积为5x1=5,

皂

.•・任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是5,

1

故答案为：9.

【考点剖析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域

表示所求事件U）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概

率.

A考向十二列表法与树状图法

23.（2023•安徽）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,则称该三位数为“平稳

数”.用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）

5.122

A.9B.2C.3D.9

【思路点拨】先罗列出所有等可能结果，从中找到“平稳数”的结果，再根据概率公式求解即可.

【完整解答】解：用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有：

123、132、213、231、312、321,

其中恰好是'平稳数”的有123、321,

21

所以恰好是“平稳数”的概率为6=3,

故选：C.

【考点剖析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出力，再

从中选出符合事件Z或2的结果数目m,然后根据概率公式计算事件/或事件8的概率.

24.（2023•大庆）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物

理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科.某同学从4

1

门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为_弓_.

【思路点拨】画树状图得出所有等可能结果，从中找到恰好选中地理和化学两科的结果数，再利用概

率公式计算可得.

【完整解答】解：设思想政治、地理、化学、生物学4门科目分别为4B,C,D,

画树状图如图所示，

由图可知，共有12种等可能结果，其中该同学恰好选中地理和化学两科的有2种结果，

21

所以该同学恰好选择地理和化学两科的概率为五=8.

故答案为：

【考点剖析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从

中选出符合事件/或8的结果数目m,然后利用概率公式求事件/或3的概率.

A考向十三利用频率估计概率

25.（2023•恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活

的相关数据如下表所示:

移植的棵数。1003006001000700015000

成活的棵数684279505847633713581

b0.840.930.8420.8470.9050.905

成活的频率a

根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（）

A.0.905B.0.90C.0.9D.0.8

【思路点拨】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

【完整解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9左

右，

故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9.

故选：C.

【考点剖析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.

26.（2023•鞍山）在L个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的

球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200

次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有3个.

1

【思路点拨】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为彳，根据概率公式即可求出答案.

【完整解答】解：由题意可得，

50

口袋中红球的个数约为：12x200=3（个）.

故答案为：3.

【考点剖析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数.

最新真题至奉

1.（2023•武汉）某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动

时间:（单位：A）作为样本，将收集的数据整理后分为4B,C,D,£五个组别，其中N组的数据分

别为：0.5,0.4,0,4,0,4,0.3,绘制成如下不完整的统计图表.

各组劳动时间的频数分布表

组别时间〃力频数

A0<^<0.55

B0.5<Z<la

C20

D1.5</<215

Et>28

请根据以上信息解答下列问题.

（1）/组数据的众数是0.4；

（2）本次调查的样本容量是60,8组所在扇形的圆心角的大小是72。

（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1/7的人数.

Ml劳就H间的扇形统计图

【思路点拨】（1）利用众数的定义即可得出答案；

（2）由。组的人数及其所占百分比可得样本容量，用360。乘以2组所占百分比即可;

（3）用总人数乘以样本中学生劳动时间超过lh的人数所占百分比即可.

【完整解答】解：（1）组的数据分别为：0.5,0.4,0.4,0.4,0.3,

组数据的众数是0.4；

故答案为：0.4；

（2）本次调查的样本容量是15+25%=60,

■=60-5-20-15-8=12,

12

...2组所在扇形的圆心角的大小是360°x60=72。,

故答案为：60,72°；

2Q+15+8

(3)1200x60=860(人)，

答：估计该校学生劳动时间超过lh的大约有860人.

【考点剖析】本题考查频数（率）分布表，扇形图和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信

息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

2.（2023•泰州）如图是我国2019〜2022年汽车销售情况统计图.

刈9年〜吗耀耀A向耐

刘9年~储揩那能源汽车第华B

销仅总联（万辆）他替最（万辆）

根据图中信息，解答下列问题:

（I）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的26%（精确到1%）；这4年

中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年;

（2）小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长

率

比2021年高.你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由.

【思路点拨】（1）将图中数据分别计算2019〜2022年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占

比即可求解；

（2）求出2021、2022年新能源汽车销售量的增长率即可求解.

【完整解答】解：（1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：

688.7

2686.4xioo%=26%,

352

2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：2627.5XIOO%R3%,

136.7

2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：2531X1OO%=5%,

120.6

2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：2577X1OO%«5%,

这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年.

故答案为:26,2022年;

（2）不同意.理由如下：

688.7-352

2022年新能源汽车销售量的增长率为：352X1OO%~96%,

352-136.7

2021年新能源汽车销售量的增长率为：136.7X100%=157%,

/.2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年低.

【考点剖析】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键.

3.（2023•绥化）绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分

钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图.则下列说法正确的是

绩

A70<x<80

B80<x<90

C90<x<

100

D100<x<

110

E110<x<

120

A.该组数据的样本容量是50人

B.该组数据的中位数落在90〜100这一组

C.90〜100这组数据的组中值是96

D.110〜120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51。

【思路点拨】用C中的频数除以24%可得样本容量；根据中位数的定义可得该组数据的中位数落在

90〜100这一组；90〜100这组数据的组中值是95；用360。乘90〜100这组数据的组中值是所占比例

可知这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数.