2025年中考数学思想方法复习【新定义问题】数与式中的新定义问题（原卷版）

数与式中的新定义问题

知识方法精讲

1.解新定义题型的方法：

方法一：从定义知识的新情景问题入手

这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能

力，分析问题和解决问题的能力.因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的

含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手

对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法.即

前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真

阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤.

方法三：从日常生活中的实际问题入手

对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题,那么处理此类问题需要结合生活实际,

再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2.解新定义题型的步骤：

(1)理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

⑵重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解

题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

3.列代数式

(1)定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，

就是列代数式.

(2)列代数式五点注意：①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语,

仔细辩析词义.如“除”与“除以”，“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分.②

分清数量关系.要正确列代数式，只有分清数量之间的关系.③注意运算顺序.列代数式

时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低

级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来.④规范书写格式.列代数时要按要

求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；

除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加

括号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有

时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1.在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量.

2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“X”

简写作或者省略不写.

3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成

假分数.

4.含有字母的除法，一般不用“小”（除号），而是写成分数的形式.

4.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字

与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式.

（2）利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

5.取整函数

取整函数.

不超过实数X的最大整数称为X的整数部分，记作[X].

X-[x]称为X的小数部分，记作｛%｝.

（需要注意的是，对于负数，区指的并不是X小数点做右边的部分，任｝指的是X小数点右

边的部分，例如对于负数-3.7,L3.7]=-4,而不是-3,此时任｝=-3.7-（-4）=0.3,

而不是-0.7）

取整函数的图象一般都有跳跃性.

选择题（共6小题）

1.（2021秋•南沙区期末）定义新运算“〃名）6”：对于任意实数a,6,都有a=,

其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3名）2=（3--2=-1.若工③左=0（左为

实数）是关于X的方程，且x=2是这个方程的一个根，则后的值是（）

A.4B.-1或4C.0或4D.1或4

2.（2021秋•洪山区期末）定义：如果/=N（a>0,awl）,那么x叫做以.为底N的对数,

记作x=log,N.例如：因为7?=49,所以log749=2；因为5二125,所以log,125=3.则

下列说法中正确的有()个.

®log66»36；②10g381=4；③若log4(a+14)=4,贝[a=50；@log2128=log,16+log28；

A.4B.3C.2D.1

、为二阶行列式，规定它的运算法则为Iab

3.（2020秋•安新县期末）定义广\=ad-be

Ca

V+1Y—2

那么当％=1时，二阶行列式I3二I的值为（）

A.7B.-7C.1D.-1

4.（2021秋•六盘水月考）对于有理数a,b,定义aOb=2a-b,贝!][(x—y)O(x+>)]。3x

化简后得（）

A.-x+yB.-x-6yC.-x+6yD.-x+4y

5.（2021秋•瑞安市月考）格子乘法是由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法类比大全》

一书中提出，例如图1所示计算89x65,将被乘数89计入上行，乘数65计入右行.然后

以乘数65的每位数字乘被乘数89的每个数字，将结果计入相应格子中，最后斜行加起来,

即得5785.现用格子乘法进行如图2计算，问：根据该计算得到的最终结果是（）

6.（2021秋•德城区校级月考）对于正整数"，我们定义一种“运算”：①当“为奇数时，结

果为…；②当"为偶数时，结果上并且运算重复进行.例如，取“，则若12,

则第2019次运算的结果是（）

9第1次运完，w第2次运算「5第3次运生，6

A.2018B.2017C.2D.1

二.填空题（共7小题）

7.（2021秋•海曙区期末）对实数0、6规定一种新运算△，若a△6=成-6,则方程2=0

的解是―.

8.（2021秋•顺义区期末）对于任意的正数a,6,定义运算“*”如下：0*6=竹一,3），

计算（3*2）+（48*50）的结果为.

9.（2021秋•迁安市期末）对于实数产，我们规定：用｛J5｝表示不小于信的最小整数.例

如：｛4｝=2,｛百｝=2,现在对72进行如下操作：

72第一次卜历｝=9第二次卜闻=3第三次卜同=2,即对72只需进行3次操作后变为2.类

比上述操作：对36只需进行一次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有

正整数中最大的数为—.

10.（2021秋•金牛区期末）规定“①”是一种新的运算符号：a^b=a-+ab-\,已知

3①（2①x）=-l,则》=.

11.（2021秋•成都期末）对于实数x,y,定义新运算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c

是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*2=7,5*3=16,那么1*1=—.

12.（2021秋•福田区校级期末）规定：符号［幻叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数,

例如：［5］=5,［2.6］=2,［0,2］=0.现在有一列非负数%,a2,%，…，已知％=10，当

小母时，an=%+1-5（［『］一［*］），贝U«2022的值为.

13.（2021•金凤区二模）定义新运算：对于任意实数a,b,都有•㊉b=a（6+l）-6,等式

右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：3©2=3x（2+l）-2=9-2=7.

（1）2㊉（-3）=.

（2）若-2㊉x等于-5,贝Ux=.

三.解答题（共13小题）

14.（2021秋•顺德区期末）用“③”定义一种新运算：对于任何有理数x和y,规定

cl/、

2x+-y(jc^)

x®j;=J.

1

y--x(zx>y)

(1)求2便)(一3)的值；

(2)若(-/)便)2=冽，求冽的最大整数；

(3)若关于〃的方程满足：1笆)〃=-3〃-2,求〃的值；

2

(4)若一」/=」：一号产一2/2,-B=--t3+2t2+3t+\,且/③3=-2,求5+12/—2/的

33322

值.

15.(2021秋•门头沟区期末)对于任意两个非零实数a,b,定义运算⑤如下:

a®b=-K(a>0).

Q+b(4<0)

如：2(8)3=g,(-2)03=-2+3=l.

根据上述定义，解决下列问题：

(1)V60V3=,(-亚)®后=；

(2)$n^(x2+l)®(x2-x)=l,那么x=；

(3)如果(/-3)区x=(-2)(8)x,求x的值.

16.(2021秋•通州区期末)现有四个正整数分布在正方形上，规定一次操作为；将相邻的

两个数作差再取绝对值.图1是小欢两次操作的示意图：

(1)图2是两次操作的过程，请将空缺的数补全；

图2

(2)在经过若干次操作后，如果这4个整数最终都变为0,我们就称其进入了“稳定状态”.请

将1,2,3,4以某种顺序排列在图3所示的正方形上，通过若干次操作，使其进入“稳定

状态”，请画图呈现操作次数最少的过程；

(3)1,3,6,加这4个正整数以如图4的方式排列在正方形上.如果通过三次操作进入

图1

17.(2021秋•鲁甸县期末)用“△”定义一种新运算：对于任意有理数.、b,规定：

b=ab2-2ab+a,例如：1A2=1X22—2xlx2+l=l.

(1)求(-2)43的值；

(2)求q43的值；

2

(3)若(1必5=4,求x的值.

18.(2021秋•武昌区期末)知识背景：已知。，6为有理数，规定：f(a)=|a-2|,g(b)

=|6+3|,例如：/(-3)=|-3-21=5,g(-2)=|-2+3|=l.

知识应用：

(1)若/(a)+g(b)=0,求3a-56的值；

(2)求/'(a-l)+g(a-l)的最值；

知识迁移：若有理数a,b,c满足|。-6+。+3卜。+6+。-3,且关于x的方程

ax-2c=2a-ex有无数解，f(2b-4)0,求|a+26+c+5|-1a+6+c+7|-1-3-b|的值.

19.(2021秋•北京期末)我们规定：使得a-6=成成立的一对数a,6为“积差等数对”,

记为(a,6).例如，因为L5-0.6=1.5x0.6,(-2)-2=(-2)x2,所以数对(1.5,0.6),(-2,2)

都是“积差等数对”.

(1)下列数对中，是“积差等数对”的是一；

①(2,§)；©(1.5,3)；③(一5，-1).

(2)若伏，-3)是“积差等数对“，求后的值；

(3)若(加,〃)是“积差等数对“，求代数式4[3〃2"-7"-2(〃"2-1)]-2(37"2-2")+6〃22的值.

20.(2021秋•工业园区期末)对于任意有理数°、b,如果满足@+2那么称它们

232+3

为“伴侣数对”，记为(。,6).

(1)若(x,2)是“伴侣数对”，求x的值;

(2)若(根,〃)是“伴侣数对"，求3〃+；[5(3m+2)-2(3加+〃)]的值.

21.(2021•九龙坡区校级模拟)对于一个四位自然数N,如果N满足各数位上的数字不全

相同且均不为0,它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称

这个数N为“差同数”.对于一个“差同数”N,将它的千位和个位构成的两位数减去百

位和十位构成的两位数所得差记为s,将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成

的两位数所得差记为规定：P(N)=匕空.例如：#=7513,因为7-3=5-1,故：7513

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是一个“差同数”.所以：s=73-51=22/=71-53=18,则：F(7513)=22^36=2.

(1)请判断2586、8734是否是“差同数”.如果是，请求出尸(N)的值；

(2)若自然数尸,。都是"差同数",其中尸=1000x+10y+616,0=100加+〃+3042(1^9,

1加啰，(ME，x,y,m,"都是整数)，规定：k=当3尸(尸)一尸(。)

能被11整除时，求发的最小值.

22.(2021•宁波模拟)规定一种新运算0派6=片-2，.

(1)求(-1)X2的值；

(2)这种新运算满足交换律吗？若不满足请举反例，若满足请说明理由.

23.(2020•河北一模)有一种用定义的新运算，对于任意实数a,b,都有

b=b2+2a+\.例如7^4=4?+2x7+l=31.

(1)已知-m+3的结果是-4,则加=.

(2)将两个实数2〃和〃-2用这种新定义加以运算，结果为9,则〃的值是多少？

24.(2021秋•海淀区校级期末)在数轴上，。为原点，点、A,2对应的数分别是a,

b(a#b,ab丰0),“为线段的中点.

给出如下定义：若。4+。8=4,则称/是2的“正比点”；若。4x03=4,则称/是2的

“反比点”.例如a=2,6时，/是B的“正比点”；a=2,6=-2时，/是3的''反