2025年中考数学思想方法复习【整体思想】解方程中的整体思想（原卷版）

解方程中的整体思想

知识方法精讲

1.整体思想

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征,

善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目

的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证

等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何

中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

用整体思想解方程，就是先考虑方程中的某一个代数式整体去代入，然后再解出方程中的未

知数的值就可以。

2.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针

对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化.

（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号.

（3）在解类似于“ax+6x=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）

x=c.使方程逐渐转化为G=6的最简形式体现化归思想.将G=6系数化为1时，要准确

计算，一弄清求x时，方程两边除以的是。还是从尤其。为分数时；二要准确判断符号，

。、6同号x为正，a、6异号x为负.

3.二元一次方程的解

（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程

的解.

（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确

定的值，所以二元一次方程有无数解.

（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出

其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值.

4.二元一次方程组的解

（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的.数学概念是数学的基础与出发点，当遇到

有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程

组，这种方法主要用在求方程中的字母系数.

5.解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，

将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式

代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求

出M或y）的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.⑤

把求得的X、》的值用“{”联立起来，就是方程组的解.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数

的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相

等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元

一次方程.③解这个一元一次方程，求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程

组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，

就得到原方程组的解，用［x=a的形式表示.

ly=b

6.二元一次方程组的应用

（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

（二）设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

7.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这XI,X2是一元二次方程a^+bx+c

=030)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

axi2+bxi+c=0(aWO),ax22+bx2+c=0(aWO).

8.换元法解一元二次方程

1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，

这叫换元法.

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将

问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得

容易处理.

2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母

来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元

的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.

9.分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解.

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范

围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

10.解分式方程

(1)解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

(2)解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分

式方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分

式方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

选择题(共3小题)

1.(2021秋•沙坪坝区校级期中)关于x、y的二元一次方程组的解一外=《满足

[2x-y=2k+3

x-3y=10+左，贝！U的值是（）

A.2B.-2C.-3D.3

2.（2020秋•岳西县期末）若方程组产一3尸7的解为尸=6.5,则方程组

\7x-5y=3[y=8.5

5(13)_3(y+l)=7

的解为（)

7(x-13)-5(j+l)=3

=19.5x=19.5

B.

=9.5b=7.5

C-\x=5-6.5\x=-6.5

D.

[y=7.5

2ax+3y=18

3.（2021•越秀区校级一模）关于x,y的方程组（其中a,6是常数）的解

-x+5by=17

为工,则方程组的解为（

）

二.填空题（共5小题）

4.（2021秋•黄骅市期末）已知x,y满足Cx-y）2-2Cx-y）+1=0.

（1）x-y的值为；

（2）若/+/=6,则刈的值为.

5.（2021秋•芜湖期末）观察下列方程：①X+2=3；②X+$=5；③X+U=7,可以发

XXX

现它们的解分别是①x=l或2；②x=2或3；③x=3或4.利用上述材料所反映出来的规

2

律，可知关于X的方程X+上三=2〃+4（〃为正整数）的解x=____.

x—3

6.（2021春•常熟市期中）在解决以下问题：“已知关于x,y的方程组/x+=J的

[a2x+b2y=c2

解是尸=上求关于aV的方程组产N+3y=4q的解”的过程中，甲、乙两位同学

r

[y=9\2a2x+3b2y'=4c2

分别提出了各自的想法.甲说：“两个方程组外表很相似，且它们的系数有一定的规律，可

以试试.“乙说：”能不能把第二个方程组中的两个方程利用等式性质加以变形，再利用整

体思想通过换元的方法来解决.”参考他们俩的讨论内容，你认为该方程组的解是£=—,

y'=-

7.（2021秋•花都区期末）已知x=2是一元二次方程/+加x+"=0的一个解，贝！|4加+2九

的值是—.

1117?

8.（2020秋•自贡期末）关于％的方程x+—=〃+—的两个角牟为石=〃，/=—；x+—=a+—

xaaxa

的两个解为%=a,x2=-,则关于x的方程x+-=a+」一的两个解为—.

ax-2a-2

三.解答题（共11小题）

9.（2021春•娄底期中）已知关于x、y的二元一次方程组「X一叼=5,的解是卜=1,求

[2x+ny=6[»=2

乂十,,一、二、wr13(〃+6)一冽(〃-6)=5,"g

关于。、6的二兀一次万程组''''的解.

[2(a+/?)+n(a-b)=6

10.（2021秋•昌江区校级期中）解方程组:

43

-----------1-----------=10

3x-2>2x-5y

(1)

52

=1

3x-2y2x-5y

3x+my=5

(2)

x+2y=n

2%+x2+x3+x4+x5=6

再+2X2+X3+X4+X5=12

(3)Xj+x2+2X3+x4+x5=24,求2匕+3%的值.

项+%++2%4+x5=48

Xj+x2+x3+x4+2X5=96

11.（2021春•济源期末）题目：满足方程组[力+5y="+1，上的x与的值的和是2,求

[2x+3y=3-2冗②

」的值.

按照常规方法，顺着题目思路解关于x、y的二元一次方程组，分别求出x、y的值（含有

字母k）,再由x+y=2,构造关于左的方程求解，从而得出左值.

（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究，利用整体思想，对于方程组中每个方程

变形得到“x+y”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形，得到“x+y”整体

值，从而求出左值.

请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程.

（2）小勇同学的解答是：观察方程①，令3x=左，5y=1.

解得：了=（，又x+y=2,

9

..X=­•

5

7c927

•.4=3又———•

55

才巴工=2,■代入方程②，得左二一3

555

所以左的值为名或-3.

55

请诊断分析并评价“小勇同学的解答”.

—春・福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组上:;此时，采用

了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2（2x+5y）+y=5③,

把方程①代入③得：2x3+y=5,

y=-1f

把>=一1代入①得x=4,

方程组的解为F=4.

[y=T

请你解决以下问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组I--2）=5?；

[9x-4y=19@

（2）已知x,y满足方程组尸X/2X/+172=4XD,求小4/与的值；

12/+砂+8/=36②-

（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解.

13.（2019秋•吉州区期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组产+"=3<^时，采

用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y=5,即2（2x+5y）+y=5③

把方程①代入③得：2x3+y=5,，y=-l,

所以y=T代入①得x=4,.•.方程组的解为"，

b=-i

请你解决以下问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组2y=5?,

[9x-4y=19@

（2）已知无，y满足方程组+求才2十42的值和土Z的值.

14.善于思考的小军在解方程组「x+5y=3旧时，采用了一种“整体代换”的解法：

[4x+lly=5②

解：将方程②变形：4x+10y+y=5,

即2（2x+5y）+y=5,③

把方程①代入③，得2x3+y=5..•.y=-l.

把》=一1代入①，得x=4.

.•.原方程组的解为F=4.

U=T

请你解决以下问题：

（1）模仿小军的“整体代换法”解方程组：（3x_2y=5®

（2）已知x,y满足方程组卜了孙+?2=及①，求f+4/的值.

[2x2+盯+8/=36（2）

15.（2021春•饶平县校级期末）已知方程组【◎一"=由于甲看错了方程①中的。得

14尤-勿=-2②

到方程组的解为尸=-3；乙看错了方程②中的6得到方程组的解为尸=5,若按正确的

3=-1[y=4

6计算，请你求原方程组的解.

:W；=27②’下列给出的两种方法

16.（2020春•南关区月考）感知：解方程组

中，方法简单的是.

（A）由①，得x=Z券，代入②，先消去x,求出y,再代入求解.

（B）将①代入②，得4x7-尸27,解得y=l,再代入求解.

x+y=2018

探究：解方程组％+y.

=1094

3x—2y=l+2a

应用：若关于x,y的二元一次方程组3x-2y的解中的x是正数，则a的取值范围

------------2x=3

13

为—.

17.（2021春•江都区校级期中）阅读感悟：

有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值.

如以下问题：

已知实数x、y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答

案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可

以通过