2025年中考数学思想方法复习【新定义问题】圆中的新定义问题（解析版）

圆中的新定义问题

知识方法精讲

1.解新定义题型的方法：

方法一：从定义知识的新情景问题入手

这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能

力，分析问题和解决问题的能力.因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的

含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手

对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法.即

前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真

阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤.

方法三：从日常生活中的实际问题入手

对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题,那么处理此类问题需要结合生活实际,

再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2.解新定义题型的步骤：

(1)理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

⑵重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解

题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

3.垂径定理

(1)垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)垂径定理的推论

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

4.弧长的计算

(1)圆周长公式：C=2nR

(2)弧长公式：/=史曳(弧长为/,圆心角度数为小圆的半径为R)

180

①在弧长的计算公式中，〃是表示1°的圆心角的倍数，〃和180都不要带单位.

②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长.

③题设未标明精确度的，可以将弧长用7T表示.

④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的

弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.

填空题（共2小题）

1.（2021•禄劝县模拟）如图，A42C是正三角形，曲线⑦所…叫做''正三角形的渐开线”,

其中弧C。、弧。£、弧所的圆心依次按N、B、C...循环，它们依次相连接.若=1,

则曲线CDEF的长是_4万_.

【考点】等边三角形的性质；弧长的计算

【分析】曲线CDE尸的长由弧CD,弧DE,弧所组成，它们所对的圆心角都为120。，而

半径分别为1,2,3,根据弧长公式分别计算三个弧长，求它们的和即可.

【解答】解：•.・A42C是正三角形，

ACAD=NDBE=NECF=120°,

又：AB=1,

:.AC=],BD=2,CE=3,

「cnnTAAl/4120X4X12〃

/.CD弧的长度=--------=一；

1803

八厂耐钻工的120x4x24〃

DE弧的长度=---------二一；

1803

EF弧的长度=生二1=2万；

180

所以曲线CQ跖的长为红+加+21=4%.

33

故答案为：4万.

【点评】本题考查了弧长的计算公式：/=辿，其中/表示弧长，〃表示弧所对的圆心角

180

的度数.

2.(2020•成都模拟)如图，在A48C中，D,E分别是A48c两边的中点，如果(可

以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在AA8C的内部或边上，则称1定为AA8C的中内弧,

例如，图中亦是AA8C其中的某一条中内弧.若在平面直角坐标系中，已知点尸(0,4),

0(0,0),〃(4,0),在AFO〃中，M,N分别是尸。，万H的中点，AFOH的中内弧而所

在圆的圆心尸的纵坐标机的取值范围是—7ZT#或—.

【考点】坐标与图形性质；三角形中位线定理；垂径定理

【分析】先判断出点P在线段的垂直平分线上，再求出点M,N,0的坐标，再分点

P在上方和下方，即可得出得出结论.

【解答】解：如图，连接ACV,

由垂径定理可知，圆心产一定在线段的垂直平分线上，

作MN的垂直平分线QP,

-：M,N分别是尸O,EH的中点，且尸(0,4),0(0,0),1/(4,0),

W,2),N(2,2),0(1,2),

若圆心在线段上方时，

设尸(1,小)由三角形中内弧定义可知，圆心尸在线段上方射线。尸上均可，

当圆心在线段MN下方时，

•・•OF=OH,ZFOH=90°

ZFHO=45°,

MN//OH,

ZFNM=ZFHO=45°,

作NG_LF〃交直线。。于G,QG=NQ=\,

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方(含点G)的直线。尸上时也符合要求；

综上所述，小#或

故答案为“牙或m^L.

【点评】此题主要考查了新定义，垂径定理，三角形的中位线，线段的垂直平分线定理，找

出点尸在线段的垂直平分线上是解本题的关键.

二.解答题（共18小题）

3.（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为2.点尸，Q为。O

外两点，给出如下定义：若上存在点N,使得以尸，Q,M,N为顶点的四边形

为矩形，则称点P,。是。。的“成对关联点”.

（1）如图，点4B,C,。横、纵坐标都是整数.在点B,C,。中，与点/组成OO

的“成对关联点”的点是B、C；

（2）点ECt,t）在第一象限，点尸与点£关于x轴对称，若点E,尸是。。的“成对

关联点”，直接写出，的取值范围；

（3）点G在/轴上，若直线＞=4上存在点X,使得点G,X是。。的“成对关联点”，

直接写出点G的纵坐标＞G的取值范围.

-6-

j

A

4B

C

■'

/

f1\

)-XO(1446

VJ)

\_/

・3

D

T

【考点】圆的综合题.

【分析】（1）根据o。的“成对关联点”的定义，利用数形结合的方法判断即可；

（2）由题意可得点£Qt,t）在直线y=x上，利用点和圆的位置关系和。。的“成对关

联点”的线段的长度不大于圆的直径列出不等式，解不等式即可得出结论；

（3）利用分类讨论的思想分析得到点G的大致位置，通过计算点G,〃的最大临界值即

可求得结论.

在点5,C,。中，与点/组成。。的“成对关联点”的点是：B,C,

故答案为：B,C.

(2)，••点E(6t)在第一象限，

:•点E(/,t)在直线y=x上，

设直线y=x与。。交于点M(访Q),可知(W=2,

a2+a2=OM1=4,

解得：。=±&，

・・,点〃在第一象限，

(1=(^2.

由。。的“成对关联点”的定义可知：。。的“成对关联点”在圆外,

：.OE>OM,

.,“>加•

:点尸与点E关于x轴对称，

：.EF=2t,

由题意：EFW2X2=4,

.•⑵W4.

解得：fW2.

...若点E,歹是。。的“成对关联点”，/的取值范围：圾V/W2.

显然，直线y=4上不存在点“，使得点G,〃是。。的“成对关联点”;

当VG<4时，如图所示：

显然，直线y=4上不存在点“，使得点G,〃是。。的“成对关联点”；

当3>4时，显然，直线歹=4上存在点使得点G,H是。。的“成对关联点”,

如图所示：点G,H是。。的“成对关联点”，为。。的直径，

・•・此时，G”取得最大值，w取得最大值.

设＞G=冽，m＞4,直线＞=4与＞轴交于点K,

则。G=冽，GK=m-4.

则四边形3反\也是矩形，

:・GH=MN=4,NM=/MGH=90°.

ZMGO+ZHGK=90°,

GK1,KH,

:・/HGK+/GHK=90°.

・・・ZMGO=ZGHK.

VZM=ZGKH=90°，

/.丛MGOs丛KHG,

.MQ_GK

"OG'GE"

••2•m=--4•

m4

解得：相=2±2«.

Vw>4,

..机=2+2,^3.

二点G的纵坐标>G的取值范围：4<”?W2+2jW

【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关概念及性质，圆的直径，矩形的

性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，点的坐标的特

征，本题是新定义型题目，理解题干的新定义并熟练应用是解题的关键.

4.(2021秋•海淀区期末)在平面直角坐标系中，图形少上任意两点间的距离有最大值,

将这个最大值记为d.对点尸及图形印给出如下定义：点。为图形少上任意一点，若尸，

0两点间的距离有最大值，且最大值恰好为24.则称点尸为图形少的“倍点”.

(1)如图1,图形少是半径为1的OO.

①图形少上任意两点间的距离的最大值d为2；

②在点6(0,2),鸟(3,3),月(-3,0)中，。。的“倍点”是；

(2)如图2,图形少是中心在原点的正方形48CD,点若点£(7,3)是正方形/BCD

的“倍点”，求f的值；

(3)图形少是长为2的线段MN,T为血W的中点，若在半径为6的。。上存在线段

的“倍点”，直接写出所有满足条件的点7组成的图形的面积.

【考点】圆的综合题

【分析】(1)①根据定义解答可；②分别找出6。、6。、乙。的最大值，再根据定义判断

即可；

(2)正方形ABCD上的任意两点间的距离最大值为272,若点E是正方形ABCD的“倍点”,

则点E到ABCD上点的最大距离好为4a.结合图形即可求解；

(3)分线段在。。内部和在。O外两种情况讨论即可求解.

【解答】解：(1)①•.•图形平是半径为1的OO,

图形少上任意两点间的距离的最大值4为2.

故答案为：2；

②如图1,连接P2O并延长交OO于点E,

•••PQ=V32+32=372,

P,E=3A/2+1w2d,

二巴不是O。的“倍点”；

•.•耳到。。上各点连线中最大距离为2+1=3w2d,

二片不是OO的“倍点”；

•.•5到O。上各点连线中最大距离为3+1=4=24,

:.且是OO的“倍点”.

故答案为：P3.

(2)如图2,在正方形N8CD中，

正方形ABCD上任意两点之间距离的最大距离d=V22+22=2V2,

Id=4V2,

由图可知当点E在如图所示的位置时，E是正方形/BCD的“倍点“，

OE=372,

.,/的值为：3或-3.

(3)MN<d=2,2d=4,

当线段跖V在OO内部时，T组成的图形为半径为4的圆，$=万/=16万；

当线段MV在G)O外部时，7组成的图形为半径为8的圆，5="/=64万，

故点7所构成的图形的面积为16万或64万.

【点评】此题考查考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊

位置解决数学问题，属于中考压轴题.

5.(2021秋•丰台区期末)对于平面直角坐标系xQy中的图形M,N,给出如下定义：若

图形〃和图形N有且只有一个公共点尸，则称点P是图形〃和图形N的“关联点”.

已知点4(2,0),8(0,2),C(2,2),DQ#).

(1)直线/经过点/,02的半径为2,在点N,C,。中直线/和C2的“关联点”是点

C一；

(2)G为线段GM中点，。为线段。G上一点(不与点。，G重合)，若。。和AO4D有

“关联点”，求。。半径r的取值范围；

(3)07的圆心为点T(0,。0>0)，半径为，，直线切过点/且不与x轴重合.若和

直线加的“关联点”在直线y=x+6上，请直接写出6的取值范围.

【考点】圆的综合题

【分析】(1)利用“关联点”的定义进行判断即可;

(2)由题意判定出A4。。为等边三角形，过点。作。尸，CD于点尸，交。G于点E,依

据“关联点”的定义判定出圆心。的位置，利用。E<DQ<OG即可得出结论；

(3)由题意判定出07和直线加的“关联点”G的轨迹是以。〃=4为直径的半圆(O,H

除外)，根据题意求得直线y=x+b的两个临界值即可得出结论.

【解答】解：(1)•••/(2,0),2(0,2),C(2,2),

:.ACLBC,BC=2,

.•.点B到/C的距离为2.

OB的半径为2,

是03的切线.

直线/与08有且只有一个公共点C,

•.■直线/D与02相交，而过点/的直线有无数条，

，在点/,C,。中直线/和03的“关联点”是点C.

故答案为：点C;

(2)由题意画出图形如下，过点。作CE_LCD于点尸，交。G于点£,

G(l,0).

OG=1.

D(1,V3),

:.DG=BDGVOA.

DG为OA的垂直平分线.

DO-DA.

•・•tanZDOG=—=V3,

OG

/DOG=60°.

为等边三角形.

•••OF1AD,

DF=AF,

:.OF是AD的垂直平分线.

.,.点E是A40D的夕卜心.

/.EO=EA=ED.

・•,Q为线段DG上一点（不与点。，G重合），。。和ACM。有“关联点”,

.♦.点。在线段GE上（。与£,G不重合），。。半径厂=QD.

OF平分NDOA,

:.ZFOA=-ZDOA=30°.

2

EG

tanNFOA=---，

OG

EG

•.丁―

..\J£J-.

3

.八万八心心"百2百

..DE=DG—EG=73----=----,

33

由题意：DE<DQ<DG,

---</.

3

。。半径r的取值范围为：空＜7；

则点G为直线机与的“关联点

•••TO1AO,TO=t,07的半径为/,

二/O是07的切线.

由切线长定理可得：AG=A0=2.

.•.07和直线机的“关联点”G的轨迹是：以点4为圆心，/。=2为半径的半圆（与x轴

的交点。，〃除外），

即点G的轨迹是以。〃=4为直径的半圆（。，〃除外）.

由题意：77（4,0）.

•.•07和直线”的“关联点”在直线y=x+6上，

当直线经过点77时，4+6=0,

解得：b=-4.

设直线y=x+b与x轴交于点与y轴交于点N,

则可（-瓦0）,N（0,b）.

:.OM=|-b|=||.ON=\b\.

OM=ON.

ZNMO=MNO=45°.

•.•07和直线”的“关联点”在直线y=x+6上，

当直线机与以08=4为直径的半圆相切时，b取得最大值，

设切点为G,此时NGJ_加于点G,

ZNM0=45°,

:.ZMAG=ZGMA=45°.

MG=AG=2.

MA=2V2.

OM=AM-OA=2V2-2.

ON=OM=242-2,

6的取值范围为：啦-2.

【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，圆的切线的判定与性质，

点的坐标与图形，等边三角形的判定与性质，点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的

特征，用点的坐标表示出相应线段的长度，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解

题的关键.

6.（2021秋•大兴区期末）在平面直角坐标系x切中，点M在x轴上，以点”为圆心的圆

与X轴交于/(1,0),5(4,0)两点，对于点P和。”,给出如下定义：若抛物线

了="2+云+°(°w0)经过/,8两点且顶点为尸，则称点尸为的''图象关联点”.

(1)已知E(5,2),F(j,-4),G(3,l),77(1,3),在点E,F,G,X中，OM的”

图象关联点”是_F_H_；

(2)已知的“图象关联点"尸在第一象限，若OP=，PM,判断OP与的位置

3

关系，并证明；

(3)已知C(4,2),£>(1,2),当0M的“图象关联点”尸在0M外且在四边形/BCD内时,

直接写出抛物线y="2+bx+c中。的取值范围.

【考点】二次函数综合题

【分析】(1)由抛物线及圆的对称性可知，0M的”图象关联点”在线段的垂直平分线

上，由此可判断；

(2)连接尸过点M作7W_L。尸于点N,证明=即可；

(3)求出点P纵坐标为1.5或2时的函数解析式，再判断°的取值范围即可.

【解答】解：(1)•.•抛物线了=亦2+6%+。心0)经过4(1,0),8(4,0)两点且顶点为尸,

则顶点P的横坐标为之,

2

在点E,F,G,〃中，点尸和点X的横坐标为：-,

2

，在点£,F,G,〃中，O"■的”图象关联点”是尸，H；

故答案为：F,H.

(2)。尸与0M的位置关系是：相切.

•；4B为OM的直径，

:.M为AB的中点.

5(4,0),

AM=-.

2

OM=~.

2

连接尸M.

・.•尸为OM的“图象关联点”,

.•.点尸为抛物线的顶点.

二点P在抛物线的对称轴上.

PM是AB的垂直平分线.

PMLAB.

过点“作MNJ_OP于N.

S.=-OMPM=-OP-MN.

ISnvJMJVPir22

■.■OP=-PM

3

:.MN=OMPM=-=AM.

OP2

:.OP与OM相切.

(3)由(1)知，顶点P的横坐标为之，由(2)知。”的半径为1.5,

2

已知C(4,2),£>(1,2),当。/的“图象关联点”尸在外且在四边形/BCD内时,

顶点P的坐标范围大于1.5且小于2,

当抛物线顶点坐标为(2.5,2)时，设抛物线的解析式为：y=a(x-2.5y+2,把点/(1,0)代入

得，a=--；

9

当抛物线顶点坐标为(2.5,2)时，设抛物线的解析式为：>=Q(X-2.5)2+1.5,把点4(1,0)代

入得，a=—；

3

:.a的取值范围为：~-<a<--.

93

【点评】本题考查圆的综合问题，解题关键是根据图象关联点的定义，得出点尸的横坐标;

涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，综合程度较高，需要学生认真理解题

十.

7.(2021秋•海淀区校级期末)平面内的。。和OO外一点过点/的直线/与。。交于2,

C两点(8在N,C之间)，点。为平面内一点.若以为边的正方形的面积等于

分别以N8,4C为一组邻边的矩形的面积，则称正方形斯为点/关于OO的“原本正

方形”，该正方形的中心称为点/关于。。的“原本点”.

如图所示，正方形4DEF的面积等于矩形的面积，其中/"=称正方形/DEF

为点/关于。。的“原本正方形”，该正方形中心点G称为点/关于。。的“原本点”.特

别的，当点D恰好在O。上时，称此时正方形的中心G为点/关于。。的“单纯原本点”.

(1)在平面直角坐标系x切中，。。的半径为4,/(-6,0).

①过点/的直线/与x轴重合，则点/关于00的“原本正方形”的边长为_2石_；

②过点/的直线/与x轴夹角为30。，则点/关于O。的“原本点”中，横纵坐标均为整数

的点有个.

(2)0M的圆心为半径为1.点/为坐标平面上一点，且M4=石，过点/的

直线/与0M交于3,C两点.直线y=r+5与x,»轴分别交于点。和点E,若线段OE

上存在点/关于的“原本点”，求他的取值范围.

(3)ON的圆心为N(",0)(«>0),半径为.点〃为坐标平面内一点，过点〃的

直线/与ON有两个交点，且ON=NH.若直线y=怎+6上存在点尸，使得点P为点H关

于ON的“单纯原本点”，直接写出"的最小值.

【分析】(1)①根据新定义设点4关于。。的“原本正方形”的边长为。，得出8、。的坐

标，即可求得答案;

②根据圆内接四边形的性质可证得AzlBPsg。。，得出/G=J历，再由横纵坐标均为整数

的点即可得出答案；

(2)根据“原本正方形”的定义，分别求出力的最小值和最大值，即可得出答案；

(3)如图4,过点N作NE_L48于7,交ON于。，连接DH,以。H为边长作正方形瓦阳D,

连接。月、EH交于点、P,过点尸作于。，先求出/(-2百，0),5(0,6),利用

三角函数得出ZBAO=60°,根据直线AB上点P为点H关于ON的“单纯原本点”,求出NN、

NT,再根据三角函数定义建立方程求解即可.

【解答】解：(1)①设点/关于OO的“原本正方形”的边长为a,如图1,

•••OO的半径为4,

.­.5(-4,0),C(4,0),

/(-6,0),

,45=-4-(-6)=2,/C=4-(-6)=10,

a~=2x10,

丁a>0，

a—,

故答案为：2石.

②如图2,ZCAQ=30°,直线/与O。交于P、Q,连接AP、CQ,

•.•四边形BCQP是圆内接四边形，

:.AACQ+ABPQ=\^°,

■：ZAPB+ZBPQ=1SQ°,

AACQ=NAPB,

\ABP^\AQC,

AP_AB

,,就一而‘

APAQ=ABAC,

2

/.AD=APAQ=ABACf

由①知：AD=2

•・•四边形ADEF是正方形，

:.AG=—AD=—x2乒M,

22

根据F+32=1()2,可知I%-盯1=1或3,从-”1=1或3,

xG——5或—7或-3或—9，yG-il或±3,

横纵坐标均为整数的点有8个，

故答案为：8.

(2)如图3,•.•人优=石，的圆心为“(加,0),半径为1，

(V5+1)(75-1)=4,即点4关于0〃■的“原本正方形”的面积为4,

.•.点/关于。〃的“原本正方形”的边长为2,

先求机的最小值，过点初作于点G,点/在线段MG上，

则=5AG=42,

:.MG=45+y/2,

•.,直线y=-x+5与x,y轴分别交于点。和点E,

，D(5,0),£(0,5),

OD=OE=5,

•・•/DOE=90°,

/EDO=45°,

MGy/5+r~r

DM=--------------=-------=V10+2,

sinZGDMsin45°

加最小值=5-(M+2)=3-,

再求加的最大值，DM'=MG=y/5+42,

加最大值=5+4+"'

,加的取值范围为3-^^6氏5+石+也.

(3)如图4,过点N作NE_L48于T,交ON于。，连接。X,以ZW为边长作正方形£口辽),

连接。尸、EH交于点P,过点尸作于。，

•.,直线y=J5x+6与x轴、y轴分别交于点N、B,

A(-2y/3,0),8(0,6),

一;N(n,0)(〃>0),半径为goN,

AN=n—(—2^3)=n+2色,

■：tanZ.BAO==班,

OA2百

ZBAO=60°,

•.•直线AB上点P为点〃关于ON的“单纯原本点”,

.♦.点P为正方形EFHD的中心,

:.PQ=^DH,

•：DN=在ON,HN=ON,ZHDN=90°,

5

DH=SIHN2-DN2=J/一咚4=竽〃，

pQ=DQ=^Ln,

NEDH=ZPQD=NDTP=90°,

二四边形。QPT是正方形,

DT=PQ=fn=DN,

:.NT=—n,

5

NT

,/=sinZBAO,

AN

R

NT=AN-sinZBAO,BP-2^-n=(n+2^/3)-sin60°,

解得：〃=24«+306,

n的最小值为2475+3073.

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，圆内接四边形的性质，三角

函数，相似三角形的判定和性质，一次函数图象和性质等，解题关键是理解并正确运用新定

义.

8.(2021秋•门头沟区期末)如图，在平面直角坐标系xpy中，C(0,2),的半径为1.如

果将线段AB绕原点。逆时针旋转a(0°<a<180°)后的对应线段A'B'所在的直线与OC相

切，且切点在线段4夕上，那么线段就是OC的“关联线段”，其中满足题意的最小。就

是线段与。。的“关联角”.

(1)如图1,如果/(2,0),线段。/是OC的“关联线段”，那么它的“关联角”为60

(2)如图2,如果4(-3,3)、4(-2,3),4(1,1)、B2(3,2),4⑶。)、53(3,-2).

那么0c的“关联线段”有—(填序号，可多选).

①线段4月

②线段42

③线段42

(3)如图3,如果3(1,0)、D&0),线段3。是OC的“关联线段”,那么/的取值范围是.

(4)如图4,如果点M的横坐标为加，且存在以“为端点，长度为G的线段是0C的“关

图3图4

【考点】圆的综合题

【分析】(1)画图确定相切位置确定关联角即可；

(2)连接OA2,OB2,OB3,根据线段扫过的位置判断即可；

(3)根据。点的运动轨迹判断，的最小值即可得出取值范围；

(4)结合题意作图得出他的最大值和最小值即可得出他的取值范围.

【解答】解：（1）如图1,作OQ与。。相切于点。,

/.CDLOD,

.—CD1

smZCOD=-----=—，

OC2

/COD=30°,

ZAOD=60°,OD=V3<2,

.•.ON的“关联角”为60。，

故答案为：60；

(2)如图2,连接。屈，OA2,OB2,OB3,

OB[=3^3>3,

44绕o旋转无法与oc相切，

故4⑸不是oc的“关联线段”，

04=V2,。叫=而，V2<3<V13,

.••4当是。C的“关联线段”，

,.1OA3=3，

・•・44是。c的“关联线段”，

故答案为：②③；

(3)如图3,

图3

,2点旋转路线在半径为1的OO上，

当。〃与OC相切时，

由（1）知，OD=。,

，当心。时，线段是OC的“关联线段”,

故答案为：心Q；

M点运动最小半径是。到过（加,0）的直线/的距禺是“2,

CD=1,M'D=V3,

M'C=2，

:.OM'=4,

的最大值为4,

开始时存在ME与OC相切，

CE=1,ME=6

MC=2,

•：0°<a<180°,

m>-2,

综上，加的取值为-2cm<4,

故答案为：-2<m<4.

【点评】本题主要考查圆的综合题型，准确理解关联线段与关联角的定义是解题的关键.

9.(2021秋•海淀区校级期末)新定义：在平面直角坐标系xQy中，若几何图形G与04有

公共点，则称几何图形G的叫O/的关联图形，特别地，若04的关联图形G为直线，则称

该直线为。/的关联直线.如图，为。/的关联图形，直线/为。/的关联直线.

(1)已知。。是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：

①直线y=2x+2；②直线y=-x+3；③双曲线y=工，是OO的关联图形的是①③(请

X

直接写出正确的序号).

(2)如图1,OT的圆心为7(1,0),半径为1,直线/:y=-x+6与x轴交于点N,若直线/

是07的关联直线，求点N的横坐标的取值范围.

(3)如图2,已知点8(0,2),C(2,0),。(0,-2),O/经过点C,O/的关联直线期经过

点、B,与。/的一个交点为产；。/的关联直线上㈤经过点。，与。/的一个交点为。；直

线HB,HD交于点、H,若线段P0在直线

【考点】圆的综合题

【分析】(1)根据ON的关联图形的定义判断即可.

(2)直线/的临界状态是和07相切的两条直线人和乙，求出两种特殊情形的点N的横坐标

即可解决问题.

(3)分两种情形：如图3-1中，当点。在点P是上方时，连接3。，PD交于点H,当圆

心/在x轴上时，点8与点C重合，此时8(2,0),得到力的最大值为2.如图3-2中，当

点尸在点0是上方时，直线30,PD交于点、H,当圆心/在x轴上时，点”(-6,0)得到〃的

最小值为-6,由此即可解决问题.

【解答】解：(1)由题意①③是。。的关联图形,

故答案为①③.

(2)如图1中

图1

•.■直线/j=-x+6是。7的关联直线，

二直线/的临界状态是和相切的两条直线1、和12,

当临界状态为4时，连接力为切点)，

:.TM=1,TMYMB,且NTWO=45°,

△力IW是等腰直角三角形，

:.TN=41,OT=1,

N(l+y/2,0),

把N(l+应，0)代入y=-x+6中，得到6=1+四,

同法可得当直线是临界状态时，b=-41+\,

.•.点N的横坐标的取值范围为-亚+1』反+1.

(3)如图3-1中，当点。在点尸是上方时，连接2。，PD交于点、H,当圆心/在x轴上

时，点H与点C重合，此时〃(2,0),得到〃的最大值为2,

图3-1

如图3-2中，当点P在点。是上方时，直线尸3,QD交于点、H,当圆心/在x轴上时，点

H(-6,0)得到h的最小值为-6,

综上所述，-8+<0,0<h-^S..

【点评】本题属于圆综合题，考查了的关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识，

解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题.

10.(2021秋•工业园区校级期中)在平面直角坐标系内，过OT(半径为r)外一点P引它

的一条切线，切点为。,若则称点P是。T的''沙湖点”.

(1)当O。的半径为1时，

①在点N(4,0),B(0,5,C(1,G)中，0。的“沙湖点”是_C_；

②点。在直线y=x+3上，且点。是。。的“沙湖点”，求点。的横坐标d的取值范围；

(2)的圆心为“(私0),半径为2,直线y=2x-2与x轴，y轴分别交于点£,F.若

直线跖上的所有点都是OM的“沙湖点”，求机的取值范围.

4-

3-

2~

1-

IlliIlli

-4-3-2-1O1234

-1-

-2-

-3-

—4一

【考点】圆的综合题

【分析】(1)①画出图形，求出切线长，根据。。的“沙湖点”的定义判断即可.

②如图2中，设点。的坐标为(4,4+3),构建方程求出两种特殊位置时点。的坐标即可解

决问题.

(2)求出几种特殊位置时"的值即可判断.①如图3-1中，设£7是的切线，当FT=4

时，线段M上的所有点都是GW的沙湖点.②如图3-2中，设ET是GW的切线，连接,

则NM7E=90。.③如图3-3中，当OM在直线所的左侧与E尸相切时，设切点为7,连

接分别求出的值，结合图形即可得出结论.

【解答】解：(1)①如图1中，

图1

•.•/(4,0),2(0,6),CQ,5,

切线AG的长=V42-12=后＞2,

切线BN的长=V?=1=2,

切线CM的长=6<2,

:.点、B,C是，OO的沙湖点,

故答案为：B,C.

②如图2中，设点。的坐标为(4,1+3),

图2

当过点。的切线长为2r=2时，

.­.c>r)=Vi2+22=V5,

d2+(d+3)2=5,

解得&=-2,d2=—1.

结合图象可知，点。的横坐标d的取值范围是-2姆-1.

(2)由题意£(1,0),F(0,-2).

①如图3-1中，设ET是OM的切线，当下7=4时，线段£尸上的所有点都是O"的沙湖

点，此时加=4.

观察图象可知：当3<,火4时，线段昉上的所有点都是。”的沙湖点.

②如图3-2中，设£7是的切线，连接MT,则4Vf7E=90。，

当ET=4时，EM+ET?=正+4?=2出,止匕时机=1一2行，

③如图3-3中，当OM在直线跖的左侧与所相切时，设切点为T,连接MT.

图3-3

V£(1,0),/(0,-2),

:.OE=1,OF=2,

EF=V22+12=V5,

・•・M是切线,

:.EFLMT，

AMTE=AEOF=90°,

•••/MET=ZFEO,

\MTE^\FOE,

,EMMT

"~EF~~OF'

EM_2

■-7T=2'

EM=M

此时m=l-y/5,

结合图象可知，当1-2/5<1-石时，线段所上的所有点都是0M的沙湖点，

综上所述，机的取值范围是1-2氐初<1-君或3<2.

【点评】本题属于圆综合题，考查了圆的沙湖点的定义，切线的性质，解直角三角形等知识，

解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题.

11.(2021秋•涕阳市期中)概念认识：

平面内，”为图形T上任意一点，N为。。上任意一点，将“、N两点间距离的最小值称

为图形T到00的“最近距离”，记作d(T-O。).例：如图1,在直线/上有/、C、。三

点，以/C为对角线作正方形N8CD,以点。为圆心作圆，与/交于£、尸两点，若将正方

形/BCD记为图形T,则C、E两点间的距离称为图形T到。的“最近距离”.

数学理解：

(1)在平面内有/、B两点，以点/为圆心，5为半径作ON,将点2记为图形T,若

d(T-OA)=2,贝1JAB=3或7.

(2)如图2,在平面直角坐标系中，以。(0,0)为圆心，半径为2作圆.

①将点C(4,3)记为图形7,贝1］或7-。。)=.

②将一次函数>=丘+2行的图记为图形T,若d(T-O)>0,求左的取值范围.

推广运用：

(3)在平面直角坐标系中，尸的坐标为90),OP的半径为2,£两点的坐标分别为(5,5)、

(5,-5),将ADOE记为图形T,若d(T-OP)=l,则/=.

D

A

【考点】圆的综合题

【分析】(1)根据图形T到。。的“最近距离”的定义即可解决问题.

(2)①如图2中，连接OC交OO于E.求出EC的长即可.

②如图，设直线y=fcc+2血与。0相切于E,K.连接。K,OE.求出直线DE,直线。K

的解析式即可解决问题.

(3)分两种情形：①如图3-1中，当点尸在/DOE内部时，作于交。尸于

K.②如图3-2中，当点尸在ZDOE的外侧时，分别求解即可.

【解答】解：(1)如图1中，

图1

d(T-QA)=2,

CB=CB，=2,

-AC=5,

；.AB，=5—2=3,AB=5+2=1.

故答案为：3或7.

(2)①如图2中，连接。C交。。于E.

图2

・・•C(4,3),

/.OC=A/42+32=5,

OE=2,

EC=3,

d(T—OO)—3.

故答案为：3.

②如图，设直线y=fcc+2也与0。相切于£,K.连接OK,OE.

■：OEYDE,OKVDK,OD=2及，OE=OK=2,

DK=yjoD21OK1=7(2V2)2-22=2,DE=y/OD21OE1=7(2A/2)2-22=2,

DE=OE=DK=OK,

二.四边形DEOK是菱形，

ZDKO=NDEO=90°,

四边形。石0K是正方形，

/ODE=ZODK=45°,

直线DE的解析式为y=-x+2亚,直线DK的解析式为y=x+2后,

*.*d(T—O。)>0,

/.观察图象可知满足条件的k的值为-1〈左<1且左。0.

(3)如图3-1中，当点尸在QE的右边时.

ZDOP=45°,

=5+1+2=8

「.，=8.

如图3-2中，当点尸在ZDOE的外侧时，由题意可知OW=1,OP=1+2=3,t=-3.

图3-2

综上所述，满足条件的/的值为8或-3.

【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形T到。。的“最近距离”的

定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属

于中考压轴题.

12.(2021•常州一模)在平面直角坐标系xpy中，OO的半径是M，A,8为G>O外两

点，AB=2^2.给出如下定义：平移线段AB,使平移后的线段4夕成为。。的弦(点H,

2,分别为点/,B的对应点)，线段44,长度的最小值成为线段到。。的“优距离”.

图1图2

(1)如图1,。。中的弦［巴、8心是由线段48平移而得，这两条弦的位置关系是，£

行；在点P2,P3,舄中，连接点/与点的线段长度等于线段到。。的“优

距离”；

(2)若点/(0,7),2(2,5),线段44,的长度是线段到。。的“优距离”，则点4的坐标

为;

(3)如图2,若4,8是直线y=-x+6上两个动点，记线段到。。的“优距离”为d,

则d的最小值是；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母.

【考点】圆的综合题

【分析】(1)根据平移的性质，可以得到5//月舄，由图可以得到的长度等于线

段到。。的“优距离”；

(2)根据定义和(1)提示，可以知道,平移AB,使对应点落在圆上，即在圆上满足AB//A'B',

AB=A'B',这样的4夕只有两条，别切位于圆心两侧，根据题意画出草图，可以得到如图

1的位置，线段44,是线段到。。的优距离，利用/和2坐标，求出直线22解析式，从

而得到直线49的比例系数左=-1,同时可以得到A/IOM为等腰直角三角形，因为

A'B'=2V2,过。作08_L4夕，利用垂径定理和勾股定理，求出。〃=20,利用

AAMO=45,得到△。力W为等腰直角三角形，过〃作/7E_Lx轴于£点，从而可以求得

77(2,2),得到直线4夕解析式为y=-x+4,设4(°,-a+4),过4作4尸_Lx轴于尸,在Rt

△40户中，利用勾股定理，列出方程即可求解；

(3)由(2)可知，经过平移，对应点落在圆上，AB//A'B',AB=A'B',符合条件的

49只有两条，并且位于。点两侧，如图2,根据垂线段最短，当时，d最小，

过。作。分别交于交43于7,用(2)中方法求解0