第03讲 三角形的内切圆（6类题型）-2023-2024学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）（解析版）

第03讲三角形的内切圆（6类题型）课程标准学习目标1.三角形的内切圆；2.三角形的内心相关概念；1.掌握三角形的内切圆及内心的概念；知识点01、三角形的内切圆（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。点拨：（1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径；（2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等；（3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。【即学即练1】1．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，点是的内切圆的圆心，若，则度数等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案．【详解】解：∵O是的内心，∴，，∵，∴，∴，∴．故选：D．【即学即练2】2．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在中，，则内切圆的半径是（

）

A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】此题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，直角三角形内切圆的性质，以及切线长定理．设、、与的切点分别为D、E、F；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出r的长．【详解】解：如图，

在中，，根据勾股定理.四边形中，，，∴四边形是正方形，由切线长定理，得：，，；∴；∴．故选：C．考查题型一直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系1．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，则阴影部分面积是（

）A．2 B．π C． D．【答案】C【分析】先利用勾股定理求出，设与分别相切于，连接，利用切线的性质和等面积法求出，再证明四边形是正方形，得到，最后根据进行求解即可．【详解】解：∵在中，，∴，如图所示，设与分别相切于，连接，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四边形是正方形，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了直角三角形内切圆半径与直角三角形三边的关系，勾股定理，正方形的性质与判定，求不规则图形面积，正确求出圆O的半径长是解题的关键．2．（2022上·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（

）

A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，利用勾股定理可得，设，则，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解．【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，

根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，，，，，设，则，，，，，，，设，，，，，．故选：C．3．（2022上·甘肃平凉·九年级校考期末）如图，已知为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，求的半径．

【答案】的半径为2．【分析】连接，由勾股定理可计算出AC的长，根据面积关系，即可求得半径．【详解】解：如图，连接，

∵为的内切圆，切点分别为D、E、F∴，且，在中，由勾股定理得，∴，∵∴即∴，即的半径为2．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理，图形的面积等知识，利用面积关系解答是关键．考查题型二圆外切四边形模型1．（2021·九年级课时练习）下面图形中，一定有内切圆的是（

）A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形【答案】C【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案．【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角，所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆，选项中只有菱形，对角线平分对角．故选C【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键．2．（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；【详解】解：∵是四边形的内切圆，∴，，，，∵，∴，∵，，，∴，故选：A；【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到．3．（2021上·江苏南京·九年级统考期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝．【答案】62°【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．故答案为：62°．【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．考查题型三三角形内心有关应用1．（2023上·山东济宁·九年级校考期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再利用正方形的判定确定四边形是正方形，进而利用圆的切线性质可知线段的关系，进而求出阴影部分的面积．【详解】解：∵，，，∴，∴为直角三角形，，∵与分别相切于点、，∴，，，∴四边形是正方形，设，则，∵的内切圆与、、分别相切于点、、，∴，，∴，∴，∴阴影部分的面积是：，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心到顶点的连线平分这个内角；勾股定理的逆定理和切线性质等相关知识点．熟练运用知识点是解决问题的关键．2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．【详解】解：如图，连接．∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，∴，∴，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．3．（2023上·九年级课时练习）如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于．

【答案】/104度【分析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案；【详解】解：∵是的内切圆，∴，，∵，∴，∴；【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形内切圆的定义，解题的关键是根据内切圆得到，．考查题型四一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系1．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题．【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，

，，，的长为，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键．2．（2022上·湖北襄阳·九年级襄阳四中校联考自主招生）圆内切于正三角形，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（

）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，求出，根据三角形内切圆的性质可得，，且点在一条直线上，从而可得，由此即可得．【详解】解：如图，设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，

∵圆与圆相切，圆的半径为，圆的半径为，，圆内切于正三角形，，，，平分，，，∵圆与，均相切，，，是的角平分线，，且点在一条直线上，，即，解得，则，故选：C．【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、角平分线的判定定理、等边三角形的性质、圆与圆的位置关系，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．3．（2022上·江苏扬州·九年级统考阶段练习）如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径．【答案】【分析】利用勾股定理求出，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出,即可求解．【详解】解：如图，连接，，，，，、与分别相切于点、，，，四边形为正方形，设，则，的内切圆与、、分别相切于点、、，，，，，即．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心．考查题型五三角形内切圆与外接圆综合1．（2023下·河北承德·九年级校联考阶段练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先根据题意画出图形，的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，求出，根据面积法求出，进而得出，可得，根据勾股定理即可得出答案．【详解】解：如图所示：的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，

设，，∴，∵的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，∴，，根据三角形的面积可得：，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴内心与外心的距离为，故选：D．【点睛】本题考查三角形的内心与外心，勾股定理，得出三角形的内心与外心的位置是解题的关键．2．（2022上·黑龙江绥化·九年级校考期末）正三角形的边长为，那么该正三角形的内切圆半径为（

）A．2 B．1 C． D．3【答案】B【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质和三角形的内切圆性质求解即可．【详解】解：如图，是等边三角形，，，

由题意，平分，平分，∴，，，∴为内切圆的半径，∴，故选：B．【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的内切圆性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质和三角形内切圆性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．3．（2022上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；（2）连接，证出即可得证；（3）连接，，，证出即可得证．【详解】（1）证明：点I是的内心，平分，，，，．（2）证明：如图，连接，点I是的内心，平分，平分，，又，，，，，．（3）证明：如图，连接，，，，．，∴点D是的外心．【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.考查题型六圆的综合问题1．（2022上·河北邯郸·九年级校考期末）如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图所示，作点关于的对称点，连接，交于于点，此时的值最小，即，连接，根据点在上，，为弧的中点，可得，根据圆周角定理可得，可得是等腰直角三角形，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，交于于点，此时的值最小，即，连接，∵点在上，，为弧的中点，∴，，∴，∴，∵是的半径，即，∴是等腰直角三角形，∴，∴的最小值为，故选：．【点睛】本题主要考查圆的基础知识，对称图形求对短路径，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．2．（2022上·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为．

【答案】【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，∴，由圆周角定理得，，故答案为：．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．3．（2022上·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图，中，，，，以上的一点O为圆心为半径作，若与边始终有交点（包括B、C两点），则线段的取值范围是．【答案】【分析】分情况讨论，当经过点C时，则是直径，根据锐角三角形函数即可得，当圆O经过B点时，作于点D，根据和直角三角形的性质得，根据锐角三角形函数得，即与边始终有交点（包括B、C两点），即可得线段的取值范围．【详解】解：如图所示，当经过点C时，则是直径，∵中，，，，∴，∴，当圆O经过B点时，如图所示，作于点D，∵，∴，∴，∴，∴与边始终有交点（包括B、C两点），则线段的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，圆的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，分情况的讨论．A夯实基础1．（2023上·江苏南京·九年级南京民办实验学校校考阶段练习）三角形的内心是三角形的（

）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点【答案】A【分析】根据三角形的内心的概念进行判断即可．【详解】根据定义得：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．故选：．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角是解题的关键．2．（2023下·甘肃张掖·九年级校考期中）下列说法错误的是(

)A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与有两个交点C．如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等【答案】A【分析】根据正方形的判定定理、圆与直线位置关系的判定方法、三角形外心的定义、三角形内心的定义逐项判断即可．【详解】A、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，说法错误，该选项符合题意；B、圆心到直线的距离为，小于的半径长度，所以直线和相交，有两个交点，说法正确，该选项不符合题意；C、三角形的外心是三角形外接圆的圆心，若外心在三角形的外部，则三角形内必有一角所对应的外接圆上的弧为优弧，则该角为钝角，该三角形为钝角三角形，说法正确，该选项不符合题意；D、三角形的内心是三角形的内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离都等于三角形内切圆的半径，说法正确，该选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查正方形的判定定理、圆与直线位置关系的判定方法、三角形外心的定义、三角形内心的定义，牢记正方形的判定定理、圆与直线位置关系的判定方法、三角形外心的定义、三角形内心的定义是解题的关键．3．（2021上·河北唐山·九年级唐山市第九中学校考阶段练习）如图，，是的直径，弦与交于点F，下列三角形，，，中，外心不是点O的是．

【答案】【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．【详解】解：只有的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了三角形外心的定义，正确掌握外心的定义是解题关键．4．（2023下·江苏南京·九年级统考期中）如图，点I是的内心．若，，则的度数是°．

【答案】【分析】根据三角形内心的性质求出和的度数，再由三角形的内角和求出的度数，即可得出结论．【详解】∵点I是的内心，，，∴，∴，∴，故答案是【点睛】本题主要考查了三角形的内心的性质和三角形的内角和，正确掌握三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键．5．（2022上·江苏泰州·九年级统考期末）已知，为的弦，且．(1)如图1，若，求阴影部分的面积；(2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的的切线．【答案】(1)(2)作图见详解【分析】（1）阴影部分的面积是圆的面积减去三角形的面积，由此即可求解；（2），点在圆上，连接并延长交于点，连接，并延长交于点，由此即可求解．【详解】（1）解：半径，，∴，，∴阴影部分的面积为：．（2）解：如图所示，连接并延长交于点，连接，并延长交于点，作直线，则为所求作的切线．【点睛】本题主要考查圆的几何变换，切线的尺规作图，掌握圆的基本知识，切线的性质是解题的关键．6．（2023上·河北廊坊·九年级校联考期末）如图，以为直径作半圆，过点作的切线，连接，交于点，点是边的中点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)的长为【分析】（1）以为直径作半圆，过点作的切线，可明是直角三角形，，点是边的中点，可知是等腰三角形，根据三角形的外角性质即可求解；（2）在中，，可求出，如图所示（见详解），连接，在中，可求出的长度，根据即可求解．【详解】（1）证明：∵以为直径作半圆，过点作的切线，∴，垂足为点，即是直角三角形，，∵点是边的中点，∴，∴是等腰三角形，则，∴．（2）解：在中，，∴，即，∴，则，∵，∴，如图所示，连接，∵是直径，点在上，∴，在中，，即，∴，则，∴，∴的长为．【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的切线，直角三角形的性质，三角形函数的计算方法是解题的关键．B能力提升1．（2023上·福建厦门·九年级厦门双十中学思明分校校联考阶段练习）已知：如图，点是的内心，连接并延长交于点，则下列命题中正确的（

）A．是的平分线 B．是边上的高C．是边上的中线 D．是边上的中垂线【答案】A【分析】本题考查了三角形的内心的定义，根据三角形内心的定义直接判断即可；解答此题的关键是掌握内心的定义．【详解】解：∵点是的内心，连接并延长交于点，是的角平分线．故选：．2．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（

）

A．19 B．17 C．22 D．20【答案】D【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，∴四边形是正方形，

由切线长定理可知，∵是的切线，∴，，∵，，，∴，∵是的内切圆，∴内切圆的半径，∴，∴，∴，∴的周长为：．故选：D．3．（2023上·广东珠海·九年级珠海市文园中学校考期中）如图，中，，，点是的内心，则的度数为．【答案】【分析】此题考查了三角形内心的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．由点是的内心，，，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得与的度数，又由三角形内角和定理，即可求得的度数．【详解】解：点是的内心，，，，，．故答案为：4．（2023上·福建福州·九年级校考期中）如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为．【答案】【分析】作于点D，作于点F，连接和，可得平分，且垂直平分，及和，点A、点P、点Q、和点共线，进一步求得、和，由，得，利用勾股定理求得即可求得答案．【详解】解：作于点D，作于点F，连接和，如图，则，∵，∴平分，且垂直平分，∵，∴，∴，∵、分别是的内心和外心，∴点P、点Q、线段都在线段上，则，，，在中，，得，解得，在和中∴，∴，则，∵，∴，解得，则．故答案为∶．【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的内心、三角形的外心和全等三角形的判定和性质，结合性质作出所需要的辅助线是解题的关键．5．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，过的顶点O作，与，边分别交于点C，D，与边交于M，N两点，且，已知，．

(1)求的长；(2)若，求的长．【答案】(1)(2)MN＝【分析】（1）根据得，根据得，，可得，即可得；（2）过点O作于点E，连接，根据得，在中，根据勾股定理得，即可得．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，，∴，∴；（2）解：如图所示，过点O作于点E，连接，

∵，∴，∴在中，，∴．【点睛】本题考查了等边对等角，平行线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．6．（2021·广东广州·二模）如图，是的弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)与相切，理由见解析(2)【分析】（1）连接，根据得，根据得，根据得，在中，根据得，即，，根据是半径，即可得；（2）根据得，则，根据得是等边三角形，则，，可得，则，即可得，根据勾股定理得，用三角形的面积减去扇形的面积即可得．【详解】（1）与相切，理由：解：如图所示，连接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴在中，∵，∴，即，∴又∵是半径，∴与相切，；（2）解：如图所示，连接，

∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴图中阴影部分的面积：．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积．C综合素养1．（2023上·江苏常州·九年级常州实验初中校考期中）如图，在中，，，以斜边上的一点O为圆心所作的圆分别与、相切于点D、E，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，得正方形，利用三角形相似计算即可，本题考查了切线长定理，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】连接，∵，，以斜边上的一点O为圆心所作的圆分别与、相切于点D、E，∴正方形，∴，∴，∴，∴，解得，∴，故选C．2．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（）A．48 B． C．24 D．【答案】C【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质．设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由的周长内切圆半径，即可求出的周长．熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键．【详解】解：如图