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文档简介

云南省泸水五中2025届高三第二次联考数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数(,,)的部分图象如图所示,则的值分别为()A.2,0 B.2, C.2, D.2,2.记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间,设函数,则不等式的解集为()A.2阶区间 B.3阶区间 C.4阶区间 D.5阶区间3.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.4.展开式中x2的系数为()A.-1280 B.4864 C.-4864 D.12805.已知角的终边与单位圆交于点,则等于()A. B. C. D.6.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则()A. B. C. D.7.已知双曲线(,),以点()为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于,两点,若,则的离心率为()A. B. C. D.8.曲线在点处的切线方程为()A. B. C. D.9.若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,若函数在区间上单调递增,则的最大值为().A. B. C. D.10.在四边形中,,,,,,点在线段的延长线上,且,点在边所在直线上,则的最大值为()A. B. C. D.11.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是()A. B.(1,2), C. D.12.如图网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的所有棱中最长棱的长度为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数,满足,则目标函数的最小值为__________.14.已知半径为4的球面上有两点A,B,AB=42,球心为O,若球面上的动点C满足二面角C-AB-O的大小为60°15.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入袋中的概率为__________.16.已知单位向量的夹角为,则=_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)设直线与曲线交于,两点,求;(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,求的取值范围.18.(12分)对于很多人来说,提前消费的认识首先是源于信用卡,在那个工资不高的年代,信用卡绝对是神器,稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买,甚至于分期买,然后慢慢还!现在银行贷款也是很风靡的,从房贷到车贷到一般的现金贷.信用卡“忽如一夜春风来”,遍布了各大小城市的大街小巷.为了解信用卡在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析,得到如下列联表(单位:人)经常使用信用卡偶尔或不用信用卡合计40岁及以下15355040岁以上203050合计3565100(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关?(2)①现从所抽取的40岁及以下的网民中,按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人,然后,再从这10人中随机选出4人赠送积分,求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率;②将频率视为概率,从市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品,记其中经常使用信用卡的人数为,求随机变量的分布列、数学期望和方差.参考公式:,其中.参考数据:0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519.(12分)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.20.(12分)如图,三棱柱的侧棱垂直于底面,且,,,,是棱的中点.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且曲线的左焦点在直线上.(Ⅰ)求的极坐标方程和曲线的参数方程;(Ⅱ)求曲线的内接矩形的周长的最大值.22.(10分)已知曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).(1)求和的普通方程;(2)过坐标原点作直线交曲线于点(异于),交曲线于点,求的最小值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由题意结合函数的图象,求出周期,根据周期公式求出,求出,根据函数的图象过点,求出,即可求得答案【详解】由函数图象可知:,函数的图象过点,,则故选【点睛】本题主要考查的是的图像的运用,在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件,计算三角函数的周期、最值,代入已知点坐标求出结果2、D【解析】

可判断函数为奇函数,先讨论当且时的导数情况,再画出函数大致图形,将所求区间端点值分别看作对应常函数,再由图形确定具体自变量范围即可求解【详解】当且时,.令得.可得和的变化情况如下表:令,则原不等式变为,由图像知的解集为,再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成,所以解集为5阶区间.故选:D【点睛】本题考查由函数的奇偶性,单调性求解对应自变量范围,导数法研究函数增减性,数形结合思想,转化与化归思想,属于难题3、B【解析】

根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等式.【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.4、A【解析】

根据二项式展开式的公式得到具体为:化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项,第二个括号里出项,或者第一个括号里出,第二个括号里出,具体为:化简得到-1280x2故得到答案为:A.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略:(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.5、B【解析】

先由三角函数的定义求出,再由二倍角公式可求.【详解】解:角的终边与单位圆交于点,,故选:B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式,是基础题.6、B【解析】

设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、,并设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,由韦达定理得,,,,,,,,可得,,抛物线的准线与轴交于,的面积为,解得,则抛物线的方程为,所以,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.7、A【解析】

求出双曲线的一条渐近线方程,利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点,且,则可根据圆心到渐近线距离为列出方程,求解离心率.【详解】不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于,因为,所以圆心到的距离为:,即,因为,所以解得.故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查了转化思想以及计算能力,属于中档题.对于离心率求解问题,关键是建立关于的齐次方程,主要有两个思考方向,一方面,可以从几何的角度,结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程;另一方面,可以从代数的角度,结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.8、A【解析】

将点代入解析式确定参数值,结合导数的几何意义求得切线斜率,即可由点斜式求的切线方程.【详解】曲线,即,当时,代入可得,所以切点坐标为,求得导函数可得,由导数几何意义可知,由点斜式可得切线方程为,即,故选:A.【点睛】本题考查了导数的几何意义,在曲线上一点的切线方程求法,属于基础题.9、C【解析】

由题意利用函数的图象变换规律,正弦函数的单调性,求出的最大值.【详解】解:把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,若函数在区间,上单调递增,在区间,上,,,则当最大时,,求得,故选:C.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,正弦函数的单调性,属于基础题.10、A【解析】

依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,根据求出的坐标,求出边所在直线的方程,设,利用坐标表示,根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解:依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,由,,,,,,,因为点在线段的延长线上,设,解得,所在直线的方程为因为点在边所在直线上,故设当时故选:【点睛】本题考查向量的数量积,关键是建立平面直角坐标系,属于中档题.11、A【解析】

若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.【详解】已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,,离心率,,故选:.【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.12、C【解析】

利用正方体将三视图还原,观察可得最长棱为AD,算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示,易得最长的棱长为故选:C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题,其中利用正方体作衬托是关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-1【解析】

作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【详解】作出实数x,y满足对应的平面区域如图阴影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直线yx,由图象可知当直线yx经过点A时,直线yx的纵截距最小,此时z最小.由,得A(﹣1,﹣1),此时z的最小值为z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案为﹣1.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,是基础题14、4【解析】

设△ABC所在截面圆的圆心为O1,AB中点为D,连接OD,易知∠ODO1即为二面角C-AB-O的平面角,可求出OD, O1D及OO1,然后可判断出四面体OABC外接球的球心E在直线OO1上,在【详解】设△ABC所在截面圆的圆心为O1,AB中点为D,连接OD,OA=OB,所以,OD⊥AB,同理O1D⊥AB,所以,∠ODO1即为二面角∠ODO因为OA=OB=4, AB=42,所以△OAB在Rt△ODO1中,由cos60º=O1D因为O1到A、B、C三的距离相等,所以,四面体OABC外接球的球心E在直线OO设四面体OABC外接球半径为R,在Rt△O1由勾股定理可得:O1B2+O【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力,属于中档题.15、【解析】记小球落入袋中的概率,则,又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入袋,所以有,则.故本题应填.16、【解析】

因为单位向量的夹角为,所以,所以==.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)6(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)化简得到直线的普通方程化为,,是以点为圆心,为半径的圆,利用垂径定理计算得到答案.(Ⅱ)设,则,得到范围.【详解】(Ⅰ)由题意可知,直线的普通方程化为,曲线的极坐标方程变形为,所以的普通方程分别为,是以点为圆心,为半径的圆,设点到直线的距离为,则,所以.(Ⅱ)的标准方程为,所以参数方程为(为参数),设,,因为,所以,所以.【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.18、(1)不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关;(2)①;②分布列见解析,,【解析】

(1)计算再对照表格分析即可.(2)①根据分层抽样的方法可得经常使用信用卡的有人,偶尔或不用信用卡的有人,再根据超几何分布的方法计算3人或4人偶尔或不用信用卡的概率即可.②利用二项分布的特点求解变量的分布列、数学期望和方差即可.【详解】(1)由列联表可知,,因为,所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关.(2)①依题意,可知所抽取的10名40岁及以下网民中,经常使用信用卡的有(人),偶尔或不用信用卡的有(人).则选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率.②由列联表,可知40岁以上的网民中,抽到经常使用信用卡的频率为,将频率视为概率,即从市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用信用卡的市民的概率为.由题意得,则,,,.故随机变量的分布列为:0123故随机变量的数学期望为,方差为.【点睛】本题主要考查了独立性检验以及超几何分布与二项分布的知识点,包括分类讨论以及二项分布的数学期望与方差公式等.属于中档题.19、(1)见解析(2)见解析【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连结NE.则N,E(0,0,1),A(,,0),M.∴=,=.∴=且NE与AM不共线.∴NE∥AM.∵NE平面BDE,AM平面BDE,∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知=,∵D(,0,0),F(,,1),∴=(0,,1),∴·=0,∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.20、(1)详见解析;(2).【解析】

(1)根据平面,四边形是矩形,由为中点,且,利用平面几何知识,可得,又平面,所以,根据线面垂直的判定定理可有平面,从而得证.(2)分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,得到,,,,分别求得平和平面的法向量,代入二面角向量公式求解.【详解】(1)证明:∵平面,∴四边形是矩形,∵为中点,且,∴,∵,,,∴.∴,∵,∴与相似,∴,∴,∴,∵,∴平面,∴平面,∵平面,∴,∴平面,∴.(2)如图,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,设平面的法向量为,则,,解得:,同理,平面的法向量,设二面角的大小为,则.即二面角的余弦值为.【点

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