四川省宜宾市叙州区2024-2025学年高二数学上学期期中理试题含解析

Page21四川省宜宾市叙州区2024-2025学年高二数学上学期期中（理）试题考试时间：120分钟满分：150分第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不等式的解集是（）A. B.C D.【答案】C【解析】分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】解：解得：.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解分式不等式，再依据充分条件、必要条件的定义推断即可.【详解】解：因为，所以，，，或，当时，或肯定成立，所以“”是“”的充分条件；当或时，不肯定成立，所以“”是“”的不必要条件.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.执行如图所示的程序框图，若输入t的取值范围为，则输出s的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由程序图可得，，再分段求解函数的值域，即可求解．【详解】由程序图可得，当时，，，当时，，，综上所述，的取值范围为，．故选：A．4.点关于直线的对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.5.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于点在圆的外部，所以，从而可求出的取值范围【详解】解：由题意得，解得，故选：C．6.在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D7.已知，，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知等式可得，依据，利用基本不等式可求得结果.【详解】由，，得：，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.故选：C.8.直线被圆所截得的弦长为（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知，依据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最终利用垂径定理可干脆求解弦长.【详解】由已知，圆，圆心坐标为，半径为，所以点到直线的距离为，所以，直线被圆截得的弦长为.故选：A.9.已知命题关于的方程没有实根；命题，.若和都是假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】计算出当命题为真命题时实数的取值范围，以及当命题为真命题时实数的取值范围，由题意可知真假，进而可求得实数的取值范围.【详解】若命题为真命题，则，解得；若命题为真命题，，，则.由于和都是假命题，则真假，所以，可得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数，考查计算实力，属于中等题.10.关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分类探讨一元二次不等式的解，依据解集中只有一个整数，即可求解.【详解】由得，若，则不等式无解．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．综上，满意条件的的取值范围是故选：C．11.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.【详解】，为等腰直角三角形，，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，明显有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，依据离心率的定义求解离心率；②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特别值法：通过取特别值或特别位置，求出离心率.第II卷非选择题（90分）二、填空题（5分每题，共20分）13.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上全部产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件．【答案】【解析】【分析】依据分层抽样的方法，即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件，用分层抽样的方法从以上全部产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取个数为件.故答案为：.14.若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．【答案】【解析】【分析】先依据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】∵直线与平行，∴，解得，∴直线：，直线：，∴直线与之间的距离．故答案为：15.已知实数满意，则目标函数的最大值为______．【答案】-4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面区域，如阴影部分所示；平移直线，由图像可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大．，解得，即，所以的最大值为-4．故答案为-4．【点睛】本题考查了简洁的线性规划，也考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．16.已知过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB经过抛物线C的焦点F，则___________．【答案】【解析】【分析】设出点的坐标，与抛物线方程联立，结合题意和韦达定理，求得抛物线的方程为，直线AB的方程为，进而求得的值.【详解】设，在抛物线，过切点A与抛物线相切的直线的斜率为，则以为切点的切线方程为，联立方程组，整理得，则，整理得，所以，解得，所以以为切点的切线方程为，即，同理，设，在抛物线，过切点B与抛物线相切的直线，又因为在切线和，所以，所以直线AB的方程为，又直线AB过抛物线的焦点，所以令，可得，即，所以抛物线的方程为，直线AB的方程为，联立方程组，整理得或，所以，所以.故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答17.已知点，直线，直线.（1）求点A关于直线的对称点B的坐标；（2）求直线关于直线的对称直线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程【小问1详解】设点，则由题意可得，解得，所以点B的坐标为，【小问2详解】由，得，所以两直线交于点，在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，所以直线为，即，所以直线关于直线的对称直线方程为18.已知圆C：．（1）若过点的直线l与圆C相交所得的弦长为，求直线l的方程；（2）若P是直线：上的动点，PA，PB是圆C的两条切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．【答案】（1）或.（2）8【解析】【分析】（1）先推断当斜率不存在时,不满意条件；再推断当斜率存在时,设利用垂径定理列方程求出k，即可求出直线方程；（2）过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，得到.推断出当时,最小，四边形PACB面积取得最小值.利用点到直线的距离公式求出，，即可求出四边形PACB面积的最小值.【小问1详解】圆C：化为标准方程为：，所以圆心为，半径为r=4.（1）当斜率不存在时,x=1代入圆方程得,弦长为,不满意条件；（2）当斜率存在时,设即.圆心C到直线l距离，解得:或k=0,所以直线方程为或.【小问2详解】过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，则.因为,所以所以.所以当时,最小，四边形PACB面积取得最小值.所以，所以，即四边形PACB面积的最小值为8.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对运用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①运用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，依据三角形相像知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于困难图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的相识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个美丽的公式，在许多题目的解析中敏捷运用三面角公式可以使得问题更加简洁、直观、快速.20.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满意，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【解析】【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面对量的学问可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线斜率的最大值为.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为．设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为．设直线的斜率为k，则．令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设．因为，所以．于是，所以则直线的斜率为．当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．【整体点评】方法一依据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类探讨，结合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合运用基本不等式，求得直线斜率的最大值.21.已知双曲线C：的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为．（1）求双曲线C的方程；（2）直线（）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用双曲线的离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组，进而求出双曲线的标准方程；（2）联立直线和双曲线的方程，得到关于的一元二次方程，利用