四川省遂宁市2024-2025学年高三数学上学期第一次考试开学考试理试题含解析

Page16四川省遂宁2024-2025学年高三上学期第一次考试（开学考试）数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知是虚数单位，若复数满意：，则复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用计算得，即可得答案【详解】解：由可得，所以，故选：A2.已知，，且，则的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案【详解】解：因为，所以因为所以，当且仅当即时，取等号，故的最小值为6，故选：C3.在集合和中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列举出全部可能的两位数，从中找出能被整除的数，依据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】在和两个集合中各取一个数字组成一个两位数的全部事务为13，31，14，41，15，51，23，32，24，42，25，52共12个，其中能被4整除的两位数是24，32，52共3个，所求概率为.故选：C.【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题.4.已知实数，，满意，，，则实数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据对数函数的性质解答.【详解】解：，，综上可得故选：【点睛】本题考查对数的运算及对数函数的性质，属于基础题.5.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】依据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.【详解】在中，，则，必有，而，满意，此时是直角三角形，不是等腰三角形，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B6.月形是一种特别的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特别的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先设半圆半径为，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.【详解】如图所示：设半圆半径为，半圆面积为，弓形面积为，概率为.故选：B【点睛】本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维实力，属于中档题.7.设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，，当时，，当时，，依据函数的单调性即可推断.【详解】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；当时，,函数单调递减；当时，,函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.8.已知，则的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，可得出，则函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数，利用数形结合思想可得解.【详解】令，可得出，则函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数，且当时，.在同始终角坐标系中作出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，两个函数共有个公共点，因此，函数的零点个数为.故选：C.【点睛】本题考查函数零点个数的求解，一般转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.9.已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于，两点，若且的周长为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设双曲线的另一个焦点为，则依据双曲线的对称性得为矩形，，由条件可得，由双曲线的定义，再由勾股定理可解得离心率.【详解】设双曲线另一个焦点为，由.依据双曲线的对称性得为矩形，如图，.又的周长为，则…………①.由双曲线的定义………………②由①，②得.在直角三角形中,.则，即，所以.故选：D【点睛】本题考查双曲线的对称性和定义，求双曲线的离心率，属于难题.10.已知抛物线焦点为，点为其准线与轴的交点，过点的直线与C相交于两点，则△ABD的面积的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设，，直线AB的方程为，将直线方程代入抛物线方程中消去，整理后利用根与系数的关系，再表示出，从而可表示出的面积，进而可求出其取值范围【详解】抛物线焦点为,所以易得,过点的直线:,设，代入整理得：，，则的面积的取值范围为.故选：B.11.已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是（）A. B.1C D.【答案】C【解析】【分析】设函数，其中，作出函数图象结合导数的几何意义即可求得答案.【详解】设函数，其中，作出函数，的图象如图，当函数，的图象始终在，的图象下方（切点除外）时符合题意，对于，，则在x=0处的切线斜率为，由图结合题意可知，即a得最大值为，故选：C12.椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点动身的光线，经过椭圆反射后，肯定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点动身，到首次回到该焦点所经过的路程不行能为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】先依据椭圆的标准方程求出,,再依据光线路径分三种状况探讨即可得出结果.【详解】解:由题意可得,,,所以,.①若光线从椭圆一个焦点沿轴方向动身到长轴端点(较近的)再反射,则所经过的路程为,②若光线从椭圆一个焦点沿轴方向动身到长轴端点(较远的)再反射,则所经过的路程为.③若光线从椭圆一个焦点沿非轴方向动身,则所经过的路程为故选:B【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【详解】,,切线方程为,即.故答案为：14.已知圆：与直线：相交于、两点，且，则实数______.【答案】-7或-1【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程,结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦的距离,再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦的距离.解方程即可求得的值.【详解】将圆的方程化为标准方程可得圆心为,半径圆C与直线相交于、两点,且由垂径定理和勾股定理可求得圆心到直线的距离为由点到直线距离公式可知所以,化简可得解得或故答案为:或【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,直线与圆相交时的弦长问题,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.15.若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】由题意，当时，单调递增，当时，单调递增，则等价于或，求解即可．【详解】由题意，当时，单调递增，当时，单调递增，则等价于或即或或解得或．故不等式的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查不等式求解，函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间，考查运算化简的实力，属于中档题．16.已知x，，满意，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中肯定成立的结论是______（写出全部成立结论的编号）．【答案】①④【解析】【分析】依据基本不等式，结合特别值法逐一推断即可.【详解】①：因为，所以有，故本结论肯定成立；②：当时，明显成立，但是不成立，故本结论不肯定成立；③：当时，明显成立，但是不成立，故本结论不肯定成立；④：因为，所以，由①可知：，所以，因此本结论肯定成立，故答案为：①④三、解答题：本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设命题：函数在区间上单调递减；命题：对恒成立．假如命题“且”为假命题，求的取值范围．【答案】【解析】【分析】分别求出为真命题，为真命题时，的范围，再依据“且”为假命题，可得，至少有一假，即可求出答案【详解】解：因为命题：函数在区间上单调递减，所以当为真，对称轴，因为命题：对恒成立，所以当为真，，解得，因为命题“且”为假命题，所以，至少有一假，若假假，则，解得或，若真假，则，解得，若假真，则，解得，综上所述，故的取值范围为18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，其中.（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）设曲线和曲线交于两点，求.【答案】（1）是以为圆心，5为半径的圆；；（2）.【解析】【分析】（1）消去参数得到的一般方程，再利用极坐标公式得到答案.（2）依据韦达定理得到，，依据计算得到答案.【详解】（1）消去参数得到的一般方程为，是以为圆心，5为半径的圆，将，代人的一般方程中，得到，化简整理得到：.（2）设两点所对应的极径分别为，，将曲线的极坐标方程代人曲线的极坐标方程，得.于是，，.由，得，两边平方整理得，所以.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，求弦长，意在考查学生的计算实力和转化实力.19.已知函数．（1）若是的一个极值点，求值及的单调区间；（2）当时，求在区间上的最值．【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）对函数求导，由极值点导数值为求出值，进一步得出的单调区间；（2）当代入，得函数并求导，得出其单调性，利用单调性可求出其最值．【小问1详解】由题设，且定义域，由是的一个极值点得，解得，此时．所以，当时；当时，即在单调递增；在单调递减．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】因为，所以，则．所以，当或时；当时．所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为，又，所以在递减，在递增，所以的最小值，又，及，所以的最大值为.20.“生命重于泰山，疫情就是吩咐，防控就是责任”.面对疫情，为切实做好防控，落实“停课不停学”，某校高三年级启动线上公益学习活动，助“战”高考.为了解学生的学习效果，李华老师在任教的甲、乙两个班中各随机抽取20名学生进行一次检测，依据他们取得的成果（单位：分，满分100分）绘制了如下茎叶图，记成果不低于70分者为“成果优良”.（1）分别估计甲、乙两个班“成果优良”的概率；（2）依据茎叶图推断哪个班的学习效果更好？并从两个角度来说明理由.【答案】（1）甲班“成果优良”的概率为，乙班“成果优良”的概率为（2）乙班学习的效果更好，理由见解析【解析】【分析】（1）通过茎叶图的数据分析可得甲班“成果优良”的概率为，乙两个班“成果优良”的概率为.（2）乙班学习的效果更好，可以从三个不现角度回答.【详解】（1）从茎叶图中，知甲班学生成果不低于70分的人数共有10人，乙班学生成果不低于70分的人数共有16人，且成果不低于70分者为“成果优良”.因此可估计甲班“成果优良”的概率为，乙两个班“成果优良”的概率为.（2）乙班学习的效果更好.理由l：乙班样本成果大多在70分以上，甲班样本成果70分以下的明显更多.理由2：甲班样本成果的平均分为70.2；乙班样本成果的平均分为79.05.理由3：甲班样本成果的中位数为，班样本成果的中位数为.【点睛】本题考查统计中的茎叶图及其数据特征分析，考查数据处理实力，属于基础题.21.已知函数．（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；（2）求证：．【答案】（1）.（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）把问题转化为函数恒成立问题，再利用分别参数法、导数进行处理.（2）利用（1）中结论、累加法、裂项相消法以及对数的运算性质证明不等式．【详解】（1）函数的定义域为．由题有：在区间上恒成立，所以，，又在区间上递减，所以，即实数a的取值范围为．（2）取，由(1)有区间上递增，所以，当时，即，因为，所以，即，所以，，，，…，，，所以，，即，得证．请考生在第22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．22.已知平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（其中为参数，），直线的参数方程为（为参数，为锐角）；以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，．（1）求曲线的极坐标方程以及直线的一般方程；（2）记直线与、轴的交点分别为，，点在曲线上，直线AP的倾斜角为，若，求的值．【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）将直线的参数方程整理为，用比值消去参数t化简可得一般方程；曲线的参数方程为（其中为参数，）化为一般方程后，再化为极坐标方程，留意取值范围.（2）将点到直线MN的距离为与的长度都用表示出来，然后利用求解得出.【小问1详解】解：依题意，直