广东省四校2024-2025学年高三数学上学期第一次联考试题

第第广东省四校2024-2025学年高三数学上学期第一次联考试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A={x|xx-2A.{x|-2≤x≤1}C.{x|0≤x≤2.设(1-i)3z=-2i，则A.22 B.2 C.1 D.3.已知向量a，b为单位向量，则|a+λb|=|λa-A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知(ax-13x)5(a为常数)A.-90 B.-10 C.10 D.905.已知随机变量X∼B6,p，Y∼Nμ,σ2，且PY≥A.12 B.13 C.146.德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的答案是：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.人们称这一命题为米勒定理.已知点D、E的坐标分别是(0,1)，(0,3)，F是x轴正半轴上的一动点，当∠DFE最大时，点F的横坐标为(

)A.1 B.2 C.3 D.27.设函数，则满意的的取值范围是(

)A. B. C.D.8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过A.23 B.5 C.52 二．选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对两个变量y和x进行回来分析，得到一组样本数据(x1,y1)，(x2,A.若其阅历回来方程为y=0.8x+1，当说明变量

x

每增加

1个单位，预报变量

y肯定增加

0.8个单位

B.若其阅历回来方程y=bx+a必过点(3，2.25)，则x1+x2+10.为了得到函数y=ln(ex)的图象，可将函数A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍B.向上平移一个单位长度C.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1e11.已知点O为坐标原点，直线y=x-1与抛物线y2=4x相交于A.|AB|=8BC.∆AOB的面积为22D.线段AB的中点到y12.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心，FA.PE∙PFB.若BP=2PD1C.若D1N与AB所成的角为π4D.若正方体绕BD1旋转θ角度后与其自身重合，则θ填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f(x)=xlnx-x，14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bAaDaBaCaFaE15.Sn是公差为2的等差数列{an}AaDaBaCaFaE16.在Rt∆ABC则∆ABC的内接正∆四．解答题:本题共6小题，共70分．17.（10分）已知数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的（2）保持数列an中各项先后依次不变，在ak与ak+1之间插入k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn，记bn18.（12分）在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b（1）证明：AD平分∠BAC（2）若∆ABC为锐角三角形，AB=7，AC=8，∠C=π319.（12分）每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标记之一就是有良好的睡眠，某机构为了调查参与体育熬炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参与体育熬炼和不常参与体育熬炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图．频率组距频率组距常参与频率频率常参与体育熬炼人员不常参与体育熬炼人员（1）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请依据已知条件完成下列列联表，并依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析“睡眠足”与“常参与体育熬炼”是否有关?睡眠足睡眠不足总计常参与体育熬炼人员不常参与体育熬炼人员总计（2）现从常参与体育熬炼的样本人群中按睡眠是否足够来采纳分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为X，求X的分布列及数学期望;（3）用此样本的频率估计总体的概率，从该辖区随机调查常参与体育熬炼的3名人员，设调查的3人中睡眠足的人数为Y，求Y的方差．参考公式：，其中．0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82820.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=2CD=2，（1）求证：平面PBC平面ABCD；（2）在棱PD上是否存在点Q，使得二面角A-BC-Q的大小为21.（12分）已知椭圆x24+y2=1的左右顶点为A、B，直线l:x=1.已知O为坐标原点，圆G（1）记直线AM,AN的斜率分别为k1、k（2）证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.22.（12分）已知f(（1）求f(（2）当a=e时（e为自然对数的底数），若对于∀x∈(0,+∞)，不等式f(x)≥t2024届广东省四校高三第一次联考数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案DACABCAD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.BC10.BC11.AC12.BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.114.-1415.-1四、解答题：本题共6小题，共70分17.(10分）（1）当时，即1分当，3分明显不符合上式，所以数列的通项公式为5分（2）因为在与之间插入个1，所以在中对应的项数为当时，，当时，所以，且，8分10分18.（12分）解：（1）在三角形ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB在三角形ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=DC因为∠ADB与∠ADC互补，所以sin∠ADB=由题意得ABAC=DBDC，所以所以AD平分∠BAC.得证；5分（2）∆ABC中，由余弦定理cosC解得a=3或a=5若a=3,则有：a2+c2若a=5,则有：a2+c由（1）知：ABAC=DBDC=在∆ACD中，由余弦定理得：解得：AD=所以AD=8319.（12分）解：（1）常参与体育熬炼人员“睡眠足”的人数为：，则“睡眠不足”的人数为25；不常参与体育熬炼人员“睡眠足”的人数为：,则“睡眠不足”的人数为45；列联表如下：睡眠足睡眠不足总计常参与体育熬炼人员7525100不常参与体育熬炼人员5545100总计130702002分零假设：睡眠足与常参与体育熬炼无关因为χ2=200×依据小概率值α=0.01的独立性检验，推断不成立，所以认为“睡眠足”与“常参与体育熬炼”有关.5分（2）由题意知，常参与体育熬炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为75:25=3:1，用分层抽样法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不足的有2人6分从这8人随机抽取2人，则的全部取值为0，1，2.，，；所以分布列为0129分（说明：全对给3分，不全对时求出两个概率给2分）数学期望10分（3）由题意，该辖区常参与体育熬炼的人群中睡眠足的概率为75100由题意知：Y~B(3D(Y)=3×320.（12分）解：（1）取BC中点E，连接AE、PE，连接∆PCB为等边三角形，∴PEBCADC=90°，AD=3，DC=1

∴AC=2

又AB//CD，∴∴∆ACBBC=2，AEBC且AE=PE=3PAE中PA2PEA=90°，PEAE，又AE面ABC，BC面ABCD，且AEBC=EPE面ABCD，4分

又PE面PCB，面PCB面ABCD.5分

（2）由（1），以点E为坐标原点，建系如图，则E(0,0,0)，A(3,0,0），B(0,1,0)，C(0,-1,0)则PD=(32,-32,-PQ=λPD=(3则Q(明显面ABC的一个法向量为n1=(0,0,1)又∵CB=(0,2,0)，设面BCQ的一个法向量为n2=(x,y,z)，则即y=0解得n2由题|cos<n1解得λ=23则PQPD(12分）(1)由已知可得MN为圆G的直径，则记M(1,mkAM(2)kAM由已知直线PQ存在斜率，记其方程为代入有记，则当时有7分，代入（1）式化简有当过定点（10当时，，过定点A（-2综上有，直线