新教材2024-2025学年高中数学第6章计数原理综合训练新人教A版选择性必修第三册

第六章综合训练一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2024北京房山一模]在x-2x4的绽开式中,x2的系数是()A.-8 B.8 C.-4 D.42.如图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位、…,上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)代表1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠,且往上拨2粒下珠,则算盘可表示的数的个数为()A.9 B.18 C.27 D.363.从4名男同学和3名女同学中选出3名参与某项活动,则男女生都有的不同的选法种数是()A.18 B.24 C.30 D.364.已知(1+ax)6=1+12x+bx2+…+a6x6,则实数b的值为()A.15 B.20 C.40 D.605.[2024甘肃武威月考]若对∀x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,则a+b=()A.-1 B.0 C.2 D.36.(x+2y)5(x-2y)7的绽开式中x9y3的系数为()A.-160 B.-80 C.160 D.807.如图所示,要给①②③④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色运用多次,但相邻区域必需涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为()A.320 B.160 C.96 D.608.[2024江西南昌模拟]假设空间站要支配甲、乙等6名航天员开展试验,三个舱中每个舱至少一人至多三人,则不同的支配方法有()A.450种 B.72种 C.90种 D.360种二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.某学生想在物理、化学、生物、思想政治、历史、地理、信息技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是()A.若随意选择三门课程,选法种数为AB.若物理和化学至少选一门,选法种数为CC.若物理和历史不能同时选,选法种数为CD.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法种数为C10.如图,用4种不同的颜色,对四边形中的四个区域进行着色,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色,则不同的着色方法数可以表示为()A.A43C.A42×(A21)2 D.C11.[2024江苏苏州期中]在x-12x9的绽开式中 (A.常数项为212 B.x3项的系数为-C.系数最大项为第3项 D.有理项共有5项12.[2024江苏宿迁期中]若x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则()A.a0=1B.a1+a2+…+a5=1C.a1+a3+a5=-16D.a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-1三、填空题(本题共4小题)13.某群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不同的红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,则甲、乙两人都抢到红包的状况有种.

14.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的安排方案有种.

15.(1+2x)4绽开式的各项系数的和为.

16.已知(x-2)(x+m)5=a6x6+a5x5+…+a1x+a0,m为常数,若a5=-7,则m=,a6+a5+…+a1=.

四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.[2024黑龙江尖山月考]已知(2x-1)2023=a0+a1x+a2x2+…+a2023x2023.(1)求a0;(2)求a1+a2+a3+…+a2023;(3)求a1+2a2+3a3+…+2023a2023.18.从分别印有数字0,3,5,7,9的5张卡片中,随意抽出3张组成三位数.(1)求可以组成多少个大于500的三位数;(2)求可以组成多少个三位数;(3)若印有9的卡片,既可以当9用,也可以当6用,求可以组成多少个三位数.19.在3x-123(1)求绽开式的第四项;(2)求绽开式的常数项;(3)求绽开式中各项的系数和.20.有7本不同的书:(1)全部分给6个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?(2)全部分给5个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?21.[2024安徽合肥期中](1)高二(10)班元旦晚会有2个唱歌节目a和b,2个相声节目c和d.要求排出一个节目单,满意第一个节目和最终一个节目都是唱歌节目,列出全部可能的排列.(2)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7个人排成一排拍照片,若要求甲、乙、丙3人必需相邻,并且丁和戊不相邻,有多少种不同排法?(结果用数字表示)(3)从4名男老师和5名女老师中选出4名老师参与新教材培训,要求有男有女且至少有2名男老师参与,有多少种不同的选法?(结果用数字表示)22.[2024湖南长沙期中]设f(x)=(1+x2)m-(1+x)2n(m∈N*,n∈N*).(1)当m=4,n=3时,记f(x)的绽开式中xi的系数为ai(i=0,1,2,3,4,5,6,8),求a3+a4的值;(2)若f(x)的绽开式中x2的系数为20,求mn的最小值

参考答案第六章综合训练1.Ax-2x4的绽开式通项为Tk+1=C4k·x4-k·-2xk=C4k·(-2)k·x4-2取4-2k=2,则k=1,系数为C41×(-2)=-8.2.B依据算盘的运算法则以及题干中描述的操作,从个位、十位、百位的上珠中选1粒往下拨,则有C31种,下珠往上拨分两种状况,全部来自个位、十位、百位,即C31种,或者来自个位、十位、百位中的两个,即C32种,故算盘表示的数的个数为C313.C由于选出的3名学生男女生都有,所以可分成两类:第1类,3人中是1男2女,共有C41×C第2类,3人中是2男1女,共有C42×C3所以男女生都有的不同的选法种数是12+18=30.4.D(1+ax)6的绽开式的通项为Tk+1=C6kakxk,令k=1,则C61a=12,解得a=2,则b=C65.C对∀x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,令x=0,可得b5=32-80+80-40+10-1=1,∴b=1.令x=-2,可得(1-2a)5=-1,∴a=1.则a+b=2.故选C.6.D原式可以化为[(x+2y)(x-2y)]5(x-2y)2=(x2-4xy+4y2)(x2-4y2)5,则二项式的绽开式中含x9y3的项为-4xy×C51(x2)4(-4y2)1=80x9y3,所以x9y37.A依据分步乘法计数原理,区域①有5种颜色可供选择,区域③有4种颜色可供选择,区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可,故各有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5×4×4×4=320种.8.A由题知,6名航天员支配三个舱,三个舱中每个舱至少一人至多三人,可分两类状况考虑:第一类,分人数为1-2-3的三组,共有C61其次类,分人数为2-2-2的三组,共有C62×所以不同的支配方法共有360+90=450种.故选A.9.ABD若随意选择三门课程,选法种数为C7若物理和化学至少选一门,选法种数为C2若物理和历史不能同时选,选法种数为C7若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法种数为C21×C10.ACD选项A:表示先着色中间两格和下面一格.从4种颜色中取3种,有A43种方法,上面一格,从与中间两格不同的颜色中取出一个,有A21选项B:A42选项C:表示先对中间两格涂颜色.从4种颜色中取2种,共有A42种方法,上下两格都是从与中间两格不同的颜色中取出一个,各有A21种方法,故共有A42选项D:表示两种状况:①上下两格颜色相同,中间两格从3个剩下的颜色中取2种,共有C41×A32种不同方法;②上下两格颜色不同,中间两格从2个剩下的颜色中取2种,共有C42×A22×A211.BCD在x-12x9的绽开式中,通项为Tk+1=C9k·-12k·x9-3k2,令9-3k2=0,得k=3,可得绽开式中常数项为令9-3k2=3,得k=1,可得绽开式中x3要使第k+1项的系数C9k-12k最大,需k为偶数,检验可得,当k=2时,系数C9k-12令9-3k212.BD因为x5=[-1+(x+1)]5=C50(-1)5(x+1)0+C51(-1)4(x+1)1+C52(-1)3(x+1)2+C53(-1)2(x+1)3+C54(-1)1(x+1)4+C55(-1)0(x+1)5=(-1)+5(x+1)-10(x+1)2+10(x+1)3-5(x+1)4+(x+1)5,所以a0=-1,a1=5,a2=-10,a故选项A错误;a1+a2+…+a5=5-10+10-5+1=1,故选项B正确;a1+a3+a5=5+10+1=16,故选项C不正确;a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-1+5+2×(-10)+3×10+4×(-5)+5×1=-1,故选项D正确.13.72第1步,甲、乙抢到红包,有A42=4×3=12种,第2步,其余三人抢剩下的两个红包,有A32=3×2=14.90先分组C52C3215.81令x=1,则二项绽开式的各项的系数和为(1+2)4=81.16.-1-2由已知可得a5为x5的系数,则绽开式中含x5的项为x×C51x4·m-2×C50x5=(5m-2)x5,所以5m-2=-7,解得m=-1,令x=0,则a0=-2×(-1)5=2,令x=1,则a0+a1+…+a6=(1-2)(1-1)5=0,所以a6+a5+…+a17.解(1)令x=0,则a0=(-1)2024=-1.(2)令x=1,则a0+a1+a2+…+a2024=(2-1)2024=1,所以a1+a2+…+a2024=1-a0=2.(3)等式两边同时求导可得4046(2x-1)2024=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2024x2024,令x=1,则a1+2a2+…+2024a2024=4046×(2-1)2024=4046.18.解(1)首位是5,7,9的三位数都大于500,故大于500的三位数有3×A42=(2)可以组成三位数的个数是4×A42=(3)分两类:第一类,没抽印有9的卡片,则有A31×A32个三位数.其次类,抽取印有9的卡片,若没抽印有0的卡片,则有2×3A33个三位数;若抽取印有0的卡片,则有2×3A21×19.解通项为Tk+1=(-由已知,(-12)得2×12Cn1=1+故Tk+1=(-(1)令k=3,得T4=(-12)(2)令8-2k=0,得k=4,故T5=358(3)令x=1,得各项的系数和为128=1256.20.解(1)依据题意,将7本书分给6个人,且每人至少1本,则必需是其中1个人2本,其他人每人1本,则分两步:第1步,将7本书,分为6组,其中1组2本,其他组每组1本,有C72第2步,将分好的6组对应6人,将6组进行全排列即可,有A66=一共有21×720=15120种不同的分法.(2)分两类:第1类,1人得3本,其余4人各得一本,方法数为C73第2类,2人各得2本,其余3人各得1本,方法数为12C7所以所求分法种数为4200+12600=16800.21.解(1)歌颂节目记为a,b,相声节目记为c,d,满意第一个节目和最终一个节目都是唱歌节目的排列为acdb,adcb,bcda,bdca,共4种.(2)甲、乙、丙3人必需相邻,把他们捆绑看作一个元素与除甲、乙、丙、丁、戊外的两个元素排列,共有A3在3个元素形成的4个空中插入丁和戊,共有A42故满意题意的不同排法的种数为A33×(3)第一类,选2名男老师与2名女老师,共有C42其次类,选3名男老师与1名女老师,共有C43×所以共有60+20=80种不同的选法.22.解(1)当m=4,n=3时,f(x)=(1+x2)4-(1+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6.(1+x2)4的绽开式通项为Tr+1=C4r(x2)r=C4r·x2r,令r=2,则C42·x(1+x)6的绽开式通项为Tk+1=C6kxk,当k=3时,C63·x3=当k=4时,C64x4=15x∴a3=-20,a4=6-15=-9,∴a3+a4=-20-9=-29.(2)f(x)=(1+x2)m-(1+x)