2024学年广西大学附中高二数学上学期期中考试卷附答案解析

学年广西大学附中高二数学上学期期中考试卷2024年11月一、单选题（本大题共8小题）1．若直线与直线垂直，则（）A．8 B．8 C． D．2．已知数列满足：，则（

）A．3 B．2 C． D．233．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．4．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和Sn为（

）A． B．C． D．6．已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（

）A． B． C． D．27．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（

）

A． B．C． D．8．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知等差数列10，7，4，…，则（）A．该数列的通项公式为B．是该数列的第13项C．该数列的前5项和最大D．设该数列为，则数列为等差数列10．已知直线和圆，则（

）A．直线l恒过定点B．存在k使得直线l与直线垂直C．直线l与圆O相交D．若，直线l被圆O截得的弦长为411．已知双曲线C经过点，且与椭圆有公共的焦点，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（

）A．双曲线C的离心率为 B．C．当P为C与的交点时， D．的最小值为1三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，若与垂直，则.13．若圆与圆内切，则实数的值为.14．《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆C经过，，且圆心C在直线上．(1)求圆C的标准方程；(2)求圆C经过点的切线方程．16．（1）已知等比数列中，，，求数列的通项公式；（2）已知数列的通项公式为，求数列的前n项和.17．在六面体中，平面，，且底面为菱形.(1)证明：平面.(2)若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值.18．设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合.分别是椭圆的左、右焦点，离心率过椭圆右焦点的直线l与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程：(2)已知直线斜率存在，若AB是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值.19．已知数列满足：，.(1)若，求证：为等差数列.(2)求数列的前n项和.(3)若，求数列的前n项和.

参考答案1．【答案】A【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得，故选：A2．【答案】A【详解】由，，则，解得，由，解得.故选：A.3．【答案】D【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为，所以.故选：D4．【答案】C【详解】在长方体中,以点为原点,分别为,,轴建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，可得,则，则直线与所成角的余弦值为.故选：C.5．【答案】B【详解】因为，所以.故选：B.6．【答案】A【详解】椭圆得，，，设，，则，，，，，，即．故选：A．7．【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算可得结果.【详解】因为，即为的中点，所以，因为，所以，.故选：C8．【答案】B【详解】设抛物线的准线为，过作于，过作于点，过作于，设，因为，所以，所以，所以，在中，，所以，因为，所以，又，所以，又由，可得，所以，所以，所以，所以.故选B.9．【答案】ABD【详解】依题意，所以，故A正确；由，得，故B正确；由，得，由，得，所以该数列的前4项和最大，故C不正确；而，则，所以，所以数列为等差数列，故D正确.故选：ABD.10．【答案】BC【详解】【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：BC.11．【答案】ACD【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.【详解】A：由题意，，设双曲线的标准方程为，将点代入得，所以双曲线方程为，得其离心率为，故A正确；B：由A选项的分析知，双曲线的渐近线方程为，如图，，所以，得，故B错误；C：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，，解得，又，在中，由余弦定理得，故C正确；D：设，则，所以，当时，，故D正确.故选：ACD.12．【答案】【详解】由题意与垂直，则，解得，所以，则.故答案为：.13．【答案】【详解】，故圆心为，半径为3，的圆心为，半径为1，因为两圆内切，故，即，解得.故答案为：14．【答案】/【详解】由题可得，，从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的，故每个正三角形的面积可构成一个以为首项，为公比的等比数列，则.故答案为：.15．【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）线段的中点，直线的斜率，则线段的中垂线方程为，即，由，解得，因此圆C的圆心，半径，所以圆C的标准方程为.（2）点到直线的距离为2，即直线与圆C相切；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，由，解得，因此方程为，所以圆C经过点的切线方程为或.16．【答案】（1）；（2）【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意得，，解得，，所以.（2）因为，则，所以，则数列为等差数列，首项为23，公差为，设数列的前n项和为，则，即，因为当时，，当时，，所以时，，当时，.所以.17．【答案】(1)证明见解析(2).【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以.又平面ABCD，平面ABCD，所以.因为，平面，所以平面.（2）由题意得，.以菱形的中心为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，.所以，.设平面的法向量为，则，令，得.易知平面的一个法向量为，则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.18．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点为，则，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）由（1）知，，因为直线的斜率存在，设，即，设，由，得，则，所以.因为，所以，由