人教版九年级数学上册圆《探究四点共圆的条件》示范公开课教学设计

数学活动2——探究四点共圆的条件一、教材分析《探究四点共圆的条件》是人教版九年级上册第二十四章的内容，本章节的主要内容是在学生学习了在平面内经过一个点作圆、经过两个点作圆、经过不共线的三点作圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对在平面内经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件进行探究。二、学情分析本节课为九年级上册数学活动课的内容，学生在进行探究时缺乏相关的活动经验，作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小，找半径和圆心是学生的困难之处。在探究四点共圆的条件过程中，通过引导学生从熟悉的正方形、矩形、等腰梯形等特殊的四边形进行探究，从而得到各种猜想，让学生进行大胆猜想，并对自己的猜想进行求证，体现了特殊到一般的思想，在这过程中学生对于反证法的运用比较陌生，学生遗忘较多，教师在复习的过程应对学生所具有的概念心理表征给予展现的机会，这既有利于学生提高对相关定理性质的理解和运用，也有利于教师确定再创造的常识起点，在教学过程中注意引导学生发现问题、分析问题、解决问题。学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论得感知，实现对知识意义的主动建构。运用类比探究的方法，让学生在经历“猜想”和“验证”探究过程中进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力.三、教学目标1.理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件.2.通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会从特殊到一般、分类讨论、类比探究、转化思想、正反论证法等思想.3.培养学生灵活运用知识的能力,通过从特殊的四边形进行探究四边形的四个顶点共圆的条件,提高学生数学活动经验,进一步提高学生的逻辑思维能力和推理能力.四、教学重难点：重点：四点共圆的条件的探究.难点：如何对四点共圆的条件的展开探究.五、教学方法：引导发现法、讲练结合法.六、教学手段：数学活动、多媒体辅助教学.七、教学过程：（一）【知识回顾】1.到定点的距离等于定长的点在同一个圆上.2.作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小.（设计意图：通过复习圆的定义及作圆的关键，让学生初步感知作圆的条件有哪些.）（二）【提出问题】A•问题1：在平面内过一点A作圆.A•AA•B•问题2：在平面内过两点A,B作圆问题3：在平面内过三点A,B,C作圆.①当三点不在同一直线上时.②当三点在同一直线上时.知识链接：反证法的基本思路：假设命题的结论不成立;②经过推理得出矛盾;③得出原命题成立.问题4：在平面内过A,B,C,D四点作圆.当四点在同一条直线上时.当四点中任意三点在同一条直线上时.当四点中任意三点不在同一直线上时.（设计意图：通过在平面内经过一点，两点，不共线的三点，及四点中任意三点不在同一直线作圆等四个问题的形式，让学生探究满足什么条件下可以作圆，为后面探究四点共圆的条件作铺垫.）（三）【活动探究】A引例：过下列四边形中的四个顶点能作一个圆吗？A正方形DDAAD正方形DDAAD矩形矩形CCCBBBCCCBBB等腰梯形等腰梯形AADAADDAADDBDBCCBCBCCBCB特殊的筝形一般的平行四边形特殊的筝形一般的平行四边形【思考】1.正方形、矩形、等腰梯形、特殊的筝形有哪些共同特征?2.具有这些特征的其他四边形,经过它的四个顶点是否一定能作一个圆?【探究的思路】:四边形边【探究的思路】:四边形【猜想】：.【猜想验证】验证：.已知：在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°.求证：四边形ABCD的四个顶点共圆.备用图2备用图2备用图1（设计意图：让学生通过作正方形、矩形、等腰梯形、平行四边形、特殊的筝形等特殊的四边形的四个顶点作圆，来探究任意的一般的四边形的四个顶点共圆的条件，从四边形的基本元素边、角、对角线等方面出发，得到很多猜想，并让学生来验证自己的猜想是否正确，让学生在大胆猜想、求证的过程中得到正确的结论:对角互补的四边形的四个顶点共圆.）（四）【归纳总结】四点共圆的条件：方法1：.方法2：.例题：如图在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.求证:AD=CD.备用备用图（设计意图：通过例题，让学生能够运用对角互补的四边形四个顶点共圆的结论解决几何问题，并感受在某些题中这种解题方法的简洁、优越性.）（五）【基础巩固】1.如图1，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=∠A，那么同时经过点A，B，C，D（填“能”或“不能”）作一个圆.图3图2图3图2图12.如图2，Rt△ABC和Rt△ADC中,∠ADC=∠ABC=90°,∠CAD=20°,则∠DBA=.3.（2019德州）如图3,点O是线段BC的中点,点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°,则∠ADC=.（设计意图：通过课堂的基础练习，让学生能够加深对本节课内容的理解，更好的运用判定四点共圆的条件的方法，解决相关的几何问题.）（六）【拓展提升】4.如图4,在正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD边的中点，连接AE,BF交于点P,连接PD,求tan∠APD的值.图4图4（设计意图：通过拓展提升的练习，让学生能够运用转化思想或构造基本图形的思想，运用类比探究的方法解决一类特殊几何综合题的基本思想，培养学生的逻辑思维和推理能力.）（七）【课堂小结】1.本节课我们学习了哪些知识？2.本节课运用了哪些数学思想方法？（八）【课后巩固】1．如图5，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠ADC=85°，在探究“四点共圆的条件”的活动中，知道∠ADC与∠ABC互补，若∠EBC是四边形ABCD的一个外角，则∠EBC=.图5图7图6图5图7图6如图6，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=136°，则它的一个外角∠DCE等于.如图7，在△ABC中，AB=AC，点D在BA延长线上，点E在BC边上，∠CAE=2∠ACD，∠BAE=60°.（1）求证：A，E，C，D四点共圆．（2）若AD=3，△ABE的面积为10，求CE的长．4.如图8,在四边形ABCD中AB=AC，∠BAC+∠BDC=180°,CE∥DB交AD于E,求证：EC=DC.图8八、板书设计图8探究四点共圆的条件（例题：解题过程）探究四点共圆的条件（例题：解题过程）证明：∵∠A+∠C=180°∴A,B,C,D四点共圆∵BD平分∠ABC