《离散数学之图论》课件

离散数学之图论图论是数学的一个分支，它研究图，图是用于表示物体之间关系的数学结构。图论在计算机科学、物理学、化学、生物学、社会科学等领域都有广泛应用。图的基本概念1顶点图中的基本元素，表示图中的对象或实体。2边连接两个顶点的线段，表示两个顶点之间存在的某种关系或联系。3无向图边没有方向性，表示两个顶点之间是双向的。4有向图边有方向性，表示两个顶点之间是单向的。图的表示方法1邻接矩阵邻接矩阵使用一个二维数组来表示图，数组元素表示顶点之间的连接关系，0表示无连接，1表示有连接。2邻接表邻接表使用链表来表示图，每个顶点对应一个链表，链表存储与其相邻的顶点。3边列表边列表直接列出图中的所有边，每个边包含两个端点的信息，以及边权信息。图的基本性质度一个顶点的度是指与它相连的边的数量。度数可以帮助我们了解图的结构。路径路径是由一系列顶点和边组成的序列，其中每个顶点最多出现一次。环环是起点和终点相同的路径，它构成图中的一个闭合循环。连通性连通性是指图中顶点之间的连接关系，一个图是连通的，意味着任意两个顶点之间都存在路径。图的遍历图的遍历是指从图中的一个顶点出发，沿着图的边访问所有顶点，并且每个顶点只访问一次。1深度优先搜索沿一条路径尽可能深入地访问顶点，直到不能再深入，然后回溯到上一个顶点继续访问其他路径2广度优先搜索从起点出发，访问所有与起点相邻的顶点，然后依次访问这些顶点的相邻顶点，直到访问完所有顶点3拓扑排序将有向无环图的顶点按照拓扑顺序排序，使得所有从顶点u到顶点v的边都满足u在排序中排在v前面图的连通性连通图图中任意两个顶点之间都存在路径，称为连通图。非连通图图中存在至少两个顶点之间不存在路径，称为非连通图。强连通图有向图中任意两个顶点之间都存在双向路径，称为强连通图。最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，目标是在给定图中找到两个指定节点之间的最短路径。最短路径问题在现实生活中有很多应用，例如导航软件、交通规划、网络路由等。常用的最短路径算法包括Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等。最小生成树连接所有节点最小生成树是一个连接图中所有节点的树，且边的总权重最小。贪心算法常用的最小生成树算法包括普里姆算法和克鲁斯卡尔算法，都是基于贪心策略。广泛应用最小生成树在网络设计、线路规划和通信网络等领域都有广泛的应用。图的着色问题定义图的着色问题是指用最少的颜色给图的顶点染色，使得相邻的顶点颜色不同。此问题广泛应用于实际问题中，例如电路板设计、时间表安排等。染色方式图的着色问题有多种染色方式，包括顶点着色、边着色和区域着色。其中，顶点着色是最常见的一种方式，应用于解决冲突分配问题，例如时间表安排和资源分配等。哈密尔顿图哈密尔顿图是指一个无向图，其中存在一条包含图中所有顶点的回路，称为哈密尔顿回路。哈密尔顿回路是图论中的一个重要概念，它在计算机科学、运筹学等领域有着广泛的应用，例如旅行商问题、网络路由等。欧拉回路欧拉回路是指从图中任意顶点出发，经过图中每条边恰好一次，并最终回到出发顶点的回路。欧拉回路存在条件：图中所有顶点的度数均为偶数，或图中恰好有两个奇度顶点。二部图定义二部图是一种特殊的图，其顶点可以分为两个不相交的集合，且图中所有边都连接不同集合的顶点。性质二部图没有奇环，即长度为奇数的环。二部图的边着色问题可以用贪婪算法在多项式时间内解决。图的同构定义如果两个图的顶点和边之间存在一个一一对应关系，使得对应顶点之间具有相同的邻接关系，则这两个图称为同构。重要性图的同构关系表明两个图在结构上是等价的，即使它们在表示方式上有所不同。应用图的同构关系在化学、计算机科学、社会网络分析等领域有着广泛的应用。平面图平面图指的是可以绘制在平面上，且所有边仅在顶点处相交的图。平面图可以被视为现实世界中的地图，其中城市表示顶点，而道路表示边。平面图的典型例子包括地图、电路图和网络图。图的染色节点着色将图中每个节点分配一个颜色，确保相邻节点颜色不同。最小染色数图的染色数是指将图染色所需的最小颜色数。应用场景图染色在资源分配、时间表安排、地图着色等领域都有广泛应用。图的可分解性图的分解将一个图分解成若干个子图，每个子图都满足一定的性质。可分解性指一个图是否可以分解成若干个满足特定条件的子图。应用在网络分析、算法设计、数据挖掘等领域都有重要的应用。图的独立集1定义图中任何两个顶点之间都没有边相连的顶点子集称为独立集。2最大独立集一个图的所有独立集中，包含顶点数最多的独立集称为最大独立集。3应用独立集在计算机科学、运筹学和社会科学等领域有广泛的应用，例如调度问题、资源分配问题和社交网络分析。图的支配集11.定义图的支配集是指图中一个顶点集合，该集合中的每个顶点都能支配图中所有其他顶点。22.最小支配集最小支配集是指包含顶点数量最少的支配集。33.应用支配集在计算机科学、社会网络分析和生物学等领域有着广泛的应用。图的匹配完美匹配在图的匹配中，当所有顶点都参与匹配时，称之为完美匹配。最大匹配最大匹配是指一个图中包含最多匹配边的匹配。最大匹配并不一定是唯一匹配。匈牙利算法匈牙利算法是一种经典的图匹配算法，用于求解二分图的最大匹配。图的覆盖点覆盖点覆盖是指图中一个点的集合，它包含图中每一条边的至少一个端点。边覆盖边覆盖是指图中一个边的集合，它包含图中每个顶点至少一个相连的边。最小覆盖最小覆盖是指图中满足覆盖条件的最小点数或边数的集合。图的流图的流理论是图论的一个重要分支，用于分析网络中流动的资源，如货物、信息、资金等。它通过将网络表示为图，并将流动的资源表示为图中的边上的流量，来研究网络的容量、流量和效率。1流量守恒每个节点的流入流量等于流出流量。2容量限制每条边的流量不能超过其容量。3最大流最大化网络中源点到汇点的流量。4最小割最小割是指将源点和汇点分离的最小容量的边集合。图的切割集定义在图论中，切割集是指将图划分为两个子图的边集合。换句话说，切割集是一组边，移除它们会导致图中两个顶点集合之间不再相连。重要性切割集在图论中具有重要意义，因为它们可以用来分析图的连通性，找到图的最小割，并解决图的网络流问题。图的割点和桥割点图中删除一个点后，图的连通分量数增加，该点称为割点。图的连通性会降低。桥图中删除一条边后，图的连通分量数增加，该边称为桥。图的连通性会降低。应用网络可靠性分析网络拓扑结构优化图的点连通性定义图的点连通性是指将图断开至少需要删除多少个点，才能使图不再连通。点连通图点连通性大于或等于2的图被称为点连通图。最小割集删除图中满足条件的最小点数集，即为图的最小割集。图的边连通性定义图的边连通性是指从图中移除最少数量的边才能将图断开，使图不再连通。重要性边连通性反映了图的鲁棒性，即图在应对边故障时的抗破坏能力。应用场景例如，在网络设计中，边连通性可以用来评估网络的可靠性和容错性。计算计算图的边连通性可以使用最小割算法来实现。图的直径图的直径是指图中任意两点之间距离的最大值，即图中最远的两点之间的距离。图的直径图中任意两点之间距离的最大值计算方法求所有点对之间的最短路径长度，然后取最大值图的直径反映了图的大小和连接紧密程度，直径较小的图，其连接更加紧密。图的中心图的中心是指图中到所有其他顶点的最大距离最小的顶点。定义图中到所有其他顶点的最大距离最小的顶点应用网络优化，物流规划，设施选址算法基于最短路径算法，计算每个顶点到其他所有顶点的最短距离图的周长图的周长指的是图中所有简单回路的长度的最小值。简单回路指的是不包含重复顶点的回路。3长度例如，一个包含三个顶点的三角形图的周长为3。4循环在图论中，周长是一个重要的参数，它反映了图的结构和复杂性。图的拟阵基础概念拟阵是一种抽象的数学结构，用于描述集合的独立性。重要性质拟阵具有遗传性、交换性和独立性等重要性质。应用场景拟阵理论在图论、组合优化和博弈论等领域有广泛的应用。图的不变量度数序列节点的度数是不变的，即使图的结构发生变化。连通性图