2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.2 第4课时 公式法

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.2第4课时公式法(2)第4课时公式法(2)学习目标视窗记住用一元二次方程的根的判别式b2－4ac判别ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况．能运用一元二次方程的根的判别式解决简单的问题．基础巩固提优1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为＝b2－4ac：当b2－4ac______0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac______0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac______0时，方程没有实数根．2.若方程x2＋ax＋b＝0有两个相等的实数根，则a，b之间的关系是________．3.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是()．A.a＝cB.a＝bC.b＝cD.a＝b＝c4.在等腰三角形ABC中，BC＝8，边AB、AC的长是关于x的方程x2－10x＋m＝0的两根，则m的值是________．5．关于x的一元二次方程(a－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足()．A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠56.已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是()．A.没有实数根B.有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根7.已知关于x的一元二次方程(1－k)x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是()．A.2B.1C.0D.－18.当m为何值时，一元二次方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根．9.已知关于x的一元二次方程kx2－4kx＋k－5＝0有两个相等的实数根，求k的值，并解这个方程．10.已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0.(1)当m取什么值时，原方程没有实数根？(2)选取一个合适的非零整数m，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．11.关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．思维拓展提优12.当m为何值时，关于x的方程(m2－4)x2＋2(m＋1)x＋1＝0有实根？13.若a是非负整数，且关于x的一元二次方程(1－a2)x2＋2(1－a)x－1＝0有两个实数根，求a的值．14.已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y＝(2m－2)x－4m＋7是否过点A(－2,4)，并说明理由．开放探究提优15.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．16.已知a，b，c分别是△ABC的三边，其中a＝1，c＝4，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．走进中考前沿17.关于x的方程的根的情况描述正确的是()．A.k为任何实数，方程都没有实数根B.k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C.k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种18.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则下列关于判别式mkn42的判断正确的是()mkn42A.B.C.D.19．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()．A.a<2B.a>2C.a<2且a≠1D.a<－2参考答案1．＞＝＜2.b＝eq\f(a2,4)3.A4.25或165.C6.A7.B8.(1)当m＜1且m≠－1时，方程有两个不相等的实数根；(2)方程不可能有两个相等的实数根；(3)当m＞1时，方程没有实数根．9.k的值为－eq\f(5,3)，方程的解为x1＝x2＝2.10.(1)Δ＝[－2(m＋1)]2－4m2＝4(2m＋1)＜0，∴当m＜－eq\f(1,2)时，原方程没有实数根．(2)取m＝1时，原方程为x2－4x＋1＝0.设此方程的两个实数根为x1，x2，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝14.11.(1)k＞－eq\f(9,4)(2)若k是负整数，k只能为－1或－2.如果k＝－1，原方程为x2－3x＋1＝0.解得x1＝eq\f(3＋\r(5),2)，x2＝eq\f(3－\r(5),2).(如果k＝－2，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.)12.题设中的方程未指明是一元一次方程，还是一元二次方程，所以应分m2－4＝0和m2－4≠0两种情形讨论．当m2－4＝0，即m＝±2时，2(m＋1)≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当m2－4≠0，即m≠±2时，方程有根的条件是Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－4)＝8m＋20≥0，解得m≥－eq\f(5,2).∴当m≥－eq\f(5,2)时，方程有实根．13.∵一元二次方程有两个实数根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,Δ＝41－a2－41－a2·－1≥0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠±1，,a≤1.))∴a＜1且a≠－1.∵a是非负整数，∴a＝0.14.直线不过点A(－2,4)．理由如下：根据题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋2)＞0，解得m＞eq\f(7,4).则2m－2＞0，－4m＋7＜0，故直线不过第二象限．所以直线不过点A(－2,4)．15.(1)设这段铁丝被分成两段后，围成两个正方形．其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为eq\f(20－4x,4)＝(5－x)cm.依题意列方程，得x2＋(5－x)2＝17，解得x1＝1，x2＝4.∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm.(2)两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.理由：由(1)可知，x2＋(5－x)2＝12，化简得2x2－10x＋13＝0，Δ＝(－10)2－4×2×13＝－4＜0，∴方程无实数解．∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.16.因为方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(－4)2－4b，所以b＝4，又c＝4，所以b＝c＝4，所以△ABC是等腰三角形．17.B18.C19.C第5课时因式分解法学习目标视窗记住用因式分解法解一元二次方程的根据．能判断用因式分解法可解的一元二次方程．能应用因式分解法解决一些具体问题．基础巩固提优1.方程(x＋1)(3x＋2)＝0的根是___．2.方程x(x＋3)＝(x＋3)的根为______．3．方程的根是．4．若实数，满足，则的值为5.一元二次方程5x2－2x＝0的解是()．A.x1＝0，x2＝eq\f(2,5)B.x1＝0，x2＝－eq\f(5,2)C.x1＝0，x2＝eq\f(5,2)D.x1＝0，x2＝－eq\f(2,5)6.若方程x2－px＋q＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝－2，则二次三项式x2－px＋q可以分解为()．A.(x－1)(x－2)B.(x－1)(x＋2)C.(x＋1)(x－2)D.(x＋1)(x＋2)7.经计算，整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则一元二次方程x2－3x－4＝0的所有根是()．A.x1＝－1，x2＝－4B.x1＝－1，x2＝4C.x1＝1，x2＝4D.x1＝1，x2＝－48．已知方程的左边可分解因式为，则b，c的值为()．A．B．C．D．9.在正数范围内定义一种新运算“※”，其规则为：.根据这个规则，方程的解是()．A. B. C. D.10.用因式分解法解下列方程：(1)(x－1)2－2(x2－1)＝0；(2)(x－1)(x＋3)＝12；(3)2x(4x＋13)＝7；(4)(2x＋1)2＋3(2x＋1)＋2＝0.11.若分式eq\f(x2＋x－6,x－2)的值为0，求x的值．12.(1)我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.(2)用指定的方法解下列一元二次方程：①x2＋3x－10＝0(用配方法)；②4y2－7y＋2＝0(用公式法)；③2x2－7x＋3＝0(用因式分解法)．思维拓展提优13.三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是________．14.写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：___________________.15.方程(2002x)2－2001×2003x－1＝0较大的根为a，方程x2－2002x－2003＝0较小的根为b，求(a＋b)2004的值．16．已知，求的值.17.探究下表中的奥秘，并完成填空：将你发现的结论一般化，并写出来．开放探究提优18.如下表所示，表中各方程是按照一定规律排列的．(1)解方程1，并将它的解填在表中的空白处：(2)若关于x的方程a(x－b)－x＝x(x－b)(a＞b)的解是x1＝6，x2＝10，求a，b的值．该方程是不是(1)中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？(3)请写出这列方程的第n个方程的解，并验证所写的解．19.已知x1，x2是关于x的方程(x－2)(x－m)＝(p－2)(p－m)的两个实数根．(1)求x1，x2的值；(2)若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．20．已知关于x的方程(a－2)x2+ax+2=0，求方程的解．21.如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）．求的值.走进中考前沿22.方程(x+1)(x－2)=x+1的解是()．A.2B.3C.－1，2D.－1，323.一元二次方程x（x－2）=2－x的根是()．A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2参考答案1.x1＝－1，x2＝－eq\f(2,3)2.x1＝－3，x2＝13．4．－2或15.A6.B7.B8．D9.B10.(1)x1＝1，x2＝－3(2)x1＝－5，x2＝3(3)x1＝－eq\f(7,2)，x2＝eq\f(1,4)(4)x1＝－1，x2＝－eq\f(3,2)11.－312.(1)略(2)①x1＝－5，x2＝2②y1＝eq\f(7＋\r(17),8)，y2＝eq\f(7－\r(17),8)③x1＝3，x2＝eq\f(1,2)13.6或10或1214.不唯一，如x2＋2x－3＝0等．15.∵(2002x)2－2001×2003x－1＝0，∴20022x2－2001×2003x－1＝0，即(x－1)(20022x＋1)＝0.∴x1＝1，x2＝－eq\f(1,20022).∵a为该方程较大的根，∴a＝1.又x2－2002x－2003＝0，∴(x－2003)(x＋1)＝0.∴x1＝2003，x2＝－1.∵b为该方程较小的根，∴b＝－1.∴(a＋b)2004＝(1－1)2004＝0.16.0或17.填空(从左向右)：－eq\f(1,4)－3eq\f(1,4)3发现的一般结论为：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1，x2，则ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)．18.(1)34(2)将x1＝6，x2＝10分别代入a(x－b)－x＝x(x－b)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6－b－6＝66－b，,a10－b－10＝1010－b.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝12，,b＝5.))得方程为12(x－5)－x＝x(x－5)，它是(1)中所给一列方程中的一个，是第4个．(3)这列方程的第n(n≥2，n为整数)个方程为2(n＋2)(x－n－1)－x＝x(x－n－1)，解得x1＝n＋2，x2＝2(n＋1)．验证略．19.(1)原方程变为x2－(m＋2)x＋2m＝p2－(m＋2)p＋2m，∴x2－p2－(m＋2)x＋(m＋2)p＝0，(x－p)(x＋p)－(m＋2)(x－p)＝0，即(x－p)(x＋p－m－2)＝0.∴x1＝p，x2＝m＋2－p.(2)∵直角三角形的面积为eq\f(1,2)x1x2＝eq\f(1,2)p(m＋2－p)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(m＋2,2)))2＋eq\f(m＋22,8)，∴当p＝eq\f(m＋2,2)且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为eq\f(m＋22,8)或eq\f(1,2)p2.20.当a－2=0即a=2时，方程的解为x=－1．当a－2≠0时，.21.由拼图前后的面积相等，得.因为y≠0，整理，得.解得（负值不合题意，舍去）.22.D23.D22.2降次──解一元二次方程(A卷)（教材针对性训练题70分55分钟）一、选择题（每题3分，共18分）1．已知关于x的一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是（）A．（x-1）2=m+1B．（x+1）2=m+1C．（x-1）2=m2+1D．（x+1）2=m2+12．方程（x+2）2=9的最适当的解法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法3．方程x2+x=0的解是（）A．x=0B．x=-1C．x=0或x=-1D．x=0或x=14．若关于x的一元二次方程mx2+n=0（n≠0）有实数解，则必须具备的条件是（）A．m，n同号B．m，n异号C．（m+n）为正数D．n是m的整数倍5．方程4x2+4x+1=0的根是（）A．x=B．x=-C．x1=x2=D．x1=x2=-6．若x取全体实数，则代数式3x2-6x+4的值（）A．一定为正B．一定为负C．可能是0D．正数、负数、0都有可能二、填空题（每题3分，共18分）7．解一元二次方程的基本思路就是通过_________，把一元二次方程化为__________．8．一元二次方程的求根公式是用______法解_________而推导出来的，求根公式是：x=__________．9．若代数式4x2+4x的值为8，则x的值是_______．10．方程x（x+3）=2（x+3）的解是________．11．若x2=│x│，那么x的值是_____________．12．在解方程①（x+1）2-1=0；②3x2+x-1=0；③x2+2x-255=0；④x2-5x-14=0时，较方便的解法依次是_______（把下列解法的代号填到横线上）．a．直接开平方法b．配方法c．公式法d．因式分解法三、解下列方程（16分）13．用适当的方法解下列方程：（1）（2x-5）2-2=0；（2）x2-8x-9=0；（3）6x2+7x-3=0；（4）x2-2（+）x+4=0．四、解答题（每题9分，共18分）14．x取什么值时，代数式3x2+6x-8的值与2x2-1的值相等？15．若关于x的方程（a-3）+（a-2）x+5=0是一元二次方程，试求a的值和方程的解．答案:一、1．A点拨：配方的步骤是：（1）移项，把常数项移到等号右边；（2）把二次项系数化为1，即在方程两边同时除以二次项系数．（3）配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2．A点拨：形如（x+a）2=b（b≥0）的方程适合用直接开平方法求解．3．C点拨：此题用因式分解法比较适合，方程的左边可分解为x（x+1），原方程可化为x=0或x+1=0，可求出方程的解．4．B点拨：方程可化为x2=-，因为任意实数的平方都为非负数，故-≥，即≤0，又由于n≠0，所以m、n应异号．5．D点拨：此方程用因式分解法比较合适，它的解是两个相等的实数，不能只写一个．6．A点拨：3x2-6x+4=3x2-6x+3+1=3（x2-2x+1）+1=3（x-1）2+1，由于不论x取何值，3（x-1）2≥0，则3（x-1）2+1>0，故为正数．二、7．降次；一元一次方程8．配方；ax2+bx+c=0（a≠0）；（b2-4ac≥0）点拨：弄清一元二次方程的求根公式的来历，有助于记忆公式．9．-2或1点拨：依题意：4x2+4x=8，解得x1=-2，x2=1．10．x1=2，x2=-3点拨：把2（x+3）移到方程的左边，然后用因式分解法求解，千万不要在方程两边同时除以（x+3），否则就会漏掉一个根．11．1或-1或0点拨：分两种情况讨论，当x≥0时，x2=x，则x1=0，x2=1．当x<0时，x2=-x，则x=-1．12．a、c、b、d点拨：弄清每种解法所适用的情况．三、13．解：（1）（2x-5）2-2=0，整理得，（2x-5）2=4．因为（2x-5）是4的平方根，所以2x-5=±2．2x=5±2，x=，即x1=，x2=．（2）x2-8x-9=0，原方程可化为（x-9）（x+1）=0．即x-9=0或x+1=0，所以x1=9，x2=-1．（3）因为a=6，b=7，c=-3．b2-4ac=72-4×6×（-3）=49+72=121>0．所以x==．即x1=，x2==-．（4）x2-2（+）x+4=0，x2-2x-2x+4=0，x（x-2）-2（x-2）=0，（x-2）（x-2）=0，x-2=0或x-2=0，所以x1=2，x2=2．点拨：针对不同特点的一元二次方程，采用不同的方法可以达到快捷、迅速、准确地解题的目的．直接开平方法适用于形如（x+a）=b（b≥0）的方程；如果一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是偶数，用配方法就比较合适；若方程的右边为0，左边易于分解因式，用因式分解法比较合适，若以上方法均不适合，则用求根公式求解．任何一个方程都可用公式法求解，但能用简便方法的一般用简便方法较好．四、14．解：依题意，3x2+6x-8=2x2-1，整理，得x2+6x-7=0，（x+7）（x-1）=0，x+7=0或x-1=0，所以x1=-7，x2=1．所以当x=-7或x=1时，代数式3x2+6x-8与2x2-1的值相等．点拨：针对此题，也可以用配方法求x的值．（x+3）2-7-9=0，所以（x+3）2=16，x+3=±4，所以x1=1，x2=-7．很明显不如因式分解法简便．针对不同的题目选择最合适的解法，既可以提高解题速度，又可以提高正确率．15．解：依题意，得a2-5a+8=2且a-3≠0，解得a=2，当a=2时，原方程可化为：-x2+5=0，解得x1=，x2=-．所以a的值为2，原方程的解为x1=，x2=-．点拨：需两次解一元二次方程，首先，依据一元二次方程的定义，a2-5a+8应为2，用因式分解法解之得a=2或3，但由于二次项系数a-3≠0，故a≠3，所以a的值应为2，当a=2时，原方程可化为-x2+5=0，用直接开平方法可求得方程的解．22.2降次──解一元二次方程(A卷)（45分钟60分）一、选择题（每小题3分，共15分）1．方程（x－1）2=1－x的根是（）A．0B．1C．－1和0D．1和02．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（）①x2=1；②（x－2）2=5；③（x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2－3=x2+1；⑥y2－2y－3=0；⑦x2=x+3．A．1B．2C．3D．43．用配方法解方程x2－x－1=0时，应将其变形为（）A．（x－）2=B．（x+）2=C．（x－）2=0D．（x－）2=4．方程ax2+bx+c=0（a<0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（）A．≥;B．>C．≤;D．<5．若x2+mx+3=（x+3）（x+1），则方程mx2+3mx+8=0的两个根是（）．A．x1=1，x2=2B．x1=－1，x2=－2;C．x1=1，x2=－2D．x1=－1，x2=2二、填空题（每小题3分，共15分）6．方程x2+x－1=0的根是______．7．方程x2－3│x│－4=0的解是_______．8．已知三角形的两边长分别是1和2，第三边的数值是方程2x2－5x+3=0的根，则这个三角形的周长为________．9．两个连续偶数之积是288，则二者之和为_________．10．若方程2x2－3x－4=0的两根为x1，x2，则x1x2=_______．三、解答题（共30分）11．（10分）用直接开平方法或因式分解法解下列方程．（1）（x－）2=（2－）2；（2）x2－2（p－q）x－4pq=0．12．（20分）用适当的方法解下列方程．（1）9（2x+3）2－4（2x－5）2=0；（2）x2－5=x；（3）（2x－1）2+3（2x－1）+2=0；（4）x2－x+x－=0．答案:一、1．D分析：（x－1）2=1－x的根是x1=1，x2=0．点拨：用分解因式的方法提取公因式（x－1）．2．D分析：方程④⑥⑦不能直接开平方，所以适合直接开平方法解得的个数是4．点拨：直接开平方法必须具备两个条件：①方程的左边是一个完全平方式；②右边是非负数．3．D分析：∵x2－x－1=0，∴x2－x=1，∴x2－x+=1+，∴（x－）2=．点拨：配方法适用于二次项系数为1的一元二次方程，配方法就是在方程两边都加上一次项系数一半的平方．4．C分析：当a<0时，b2－4ac≥0，∴≤．5．B分析：根据题意，得m=