2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.3 实际问题与一元二次方程(第3课时)同步作业(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.3实际问题与一元二次方程(第3课时)同步作业(含答案)22．3实际问题与一元二次方程（第三课时）◆随堂检测1、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（）A．25B．36C．25或36D．-25或-362、一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边（）A、6B、7C、8D、93、为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据题意所列方程为（）A．B．C．D．4、某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间（s）之间的关系为：s=，那么行驶200m需要多长时间?(分析：这是一个加速运动，根据已知的路程求时间.因此，只要把s=200代入求关于的一元二次方程即可．)◆典例分析一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间?（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?分析:本题涉及到物理学中的运动知识,具体分析如下:（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．（2）刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出的值．解:（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是=10（m/s）.那么从刹车到停车所用的时间是=2.5（s）.（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20.从刹车到停车每秒平均车速减少值是=8（m/s）.（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了s，这时车速为（20-8）m/s.则这段路程内的平均车速为=（20-4）m/s.∴（20-4）=15,整理得：,解方程：得=,∴≈4.08（不合题意，舍去），≈0.9（s）.∴刹车后汽车滑行到15m时约用了0.9s.◆课下作业●拓展提高1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为提高到若每年的年增长率相同，则年增长率为（）A．B．C．D．PABQC2、如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQPABQC3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？4、有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？（2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？●体验中考1、(2009年，甘肃定西)在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．（点拨：本题是新定义运算，将一元二次方程的求解问题应用到了新定义运算的领域，具有一定的综合性.）2、(2009年，湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.(提示:本题综合了二元一次方程及不等式的有关知识解决问题.)参考答案◆随堂检测1、C．设这个两位数的十位数字为，则个位数字为.依题意得：解得:.∴这个两位数为25或36.故选C.2、A．设这个多边形有条边.依题意,得：,解得:(不合题意,舍去).∴这个多边形有6条边.故选A.3、C.4、解：当s=200时，，整理，得，解得:(不合题意,舍去).∴=（s）答：行驶200m需s．◆课下作业●拓展提高1、B.设年增长率，可列方程，解得，（不合题意，舍去），所以年增长率10%，故选B.2、解：设秒后△PBQ的面积等于8cm2．这时PB=，BQ=2依题意，得：，解得，即，∵移动时间不能是负值，∴不合题意，舍去．∴.答：2秒后△PBQ的面积等于8cm2．3、解：（1）设每件衬衫应降价元.则依题意，得：（40-）（20+2）=1200，整理，得，解得:.∴若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元．（2）设每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多为y，则y=（40-）（20+2）=∵，∴=15时，赢利最多，此时y=1250元．∴每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多.4、解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用（元）；在乙公司购买需要用（元）（元）．应去乙公司购买.（2）设该单位买台，若在甲公司购买则需要花费元；若在乙公司购买则需要花费元.①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器，则有，解之得．当时，每台单价为，符合题意.当时，每台单价为，不符合题意，舍去．②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，则有，解之得，不符合题意，舍去．故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．●体验中考1、解：∵，∴．∴．∴．∴．2、解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为.则依题意得：，解得：%，（不合题意，舍去）.∴.答：该小区到2009年底家庭轿车将达到125辆．(2)设该小区可建室内车位个，露天车位个.则：由①得：=150-5代入②得：，是正整数，∴=20或21.当时，当时.∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个.22.3实际问题与一元二次方程情境感知一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展，能用一元一次方程解的应用题，大多可用算术方法解．而用一元二次方程解的应用题，一般不能用算术方法求解．由于一元二次方程的次数为二次，所以其应用相当广泛，其中面积问题，平均增长率问题和储蓄问题，经营问题，数字问题等涉及到积的一些问题，都是代表类型．基础准备一、数字问题1．三个连续的整数，设中间一个为，则其余两个分别为__________，___________．2．三个连续的偶数（或奇数），设中间一个为，则其余两个为__________，___________．3．十位上的数字为，个位上的数字为，则这个两位数为_______________．4．个位，十位，百位上的数字分别为，，，则这个三位数为_______________．问题1．若两个连续正整数的平方和是313，则这两个连续正整数的和是___________．二、图形面积问题5．常见的面积公式：_______________________________________________________．6．常见的体积公式：_______________________________________________________．问题2．有一批长是宽的2倍的长方形铁皮，四角各截去一个正方形，做成高是5cm，容积是360cm3的长方体容器，求这批铁皮的长和宽．三、平均变化率问题7．设基数为，平均增长率为，则连续增长次后的值为___________，若增长后的量为，则可列方程______________；如果平均降低率为，则可列方程______________．问题3．我市某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，则这两个有净化污水量平均每月增长的百分率为__________．四、一元二次方程根与系数关系8．一元二次方程的两根为__________，__________，__________，__________．9．一元二次方程的两根为__________，__________，__________，__________．10．设一元二次方程的两个根为和，则__________，__________．问题4．两根分别为、的一元二次方程是（）（A）．（B）．（C）．（D）．要点探究探究1．数字问题例1．一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位与原来的两位数的积为736，求原来的两位数．解析：设十位数字为，则个位数字为，则此两位数为．则新两位数为，用未知数表示新旧两位数是解题的关键．答案：设原来两位数的十位数字为，则个位数字为，依题得，整理，得，解这个方程，得，．当时，，两位数为23；当时，，两位数32．答：原来的两位数为32或23．智慧背囊：此类问题要明确数与数字之间的关系，准确地表示出两位数．活学活用：一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数．探究2．与几何图形面积相关的问题例2．如图①，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，问道路应为多宽？图①图②解析：设道路的宽度应为m，将三条道路分别平移到边上（如图②所示），则可得六块试验田的总面积为．它的面积为570m2，根据此关系可列方程．答案：设道路宽为m．依题意，得570．整理，得．解得，．∵不合题意，舍去．∴．答：道路宽应为1m．智慧背囊：此类问题的特点是只与渠（或小路）的宽度有关，而与位置无关，因此可以运用化归思想将几条渠（或小路）归在一起，这样会给解决问题带来方便．活学活用：一块矩形耕地东西64米，南北168米，现要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？探究3．平均变化率问题例3．某校办工厂生产某产品，今年产量为200件，计划通过技术改革，使今后每年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产量达到1400件，求这个百分数．解析：若设平均增长率为，则第二年产量为件，第三年产量为件．答案：设年平均增长率为，根据题意，得，解这个方程，得，（不符合题意，舍去）．答：这个百分数为100%．智慧背囊：平均变化率问题要注意运用公式．活学活用：某电视厂2005年生产一种彩色电视机，每台成本3000元．由于该厂不断进行技术革新，连续两年降低成本，至2007年这种彩色电视机每台成本仅1920元，问平均每年降低成本百分之几？探究4．其他问题例4．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了获得8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？解析：此题属于利润问题，设商品售价为元，则每个商品的利润为元，因为每涨价1元，销售量会减少10个，现在涨价元，销售量减少10个，为获得8000元利润，则应有．答案：设商品售价为元，则进货量为个．根据题意，得．整理，得．解得，．当时，；当时，．答：要想获得8000元利润，售价为60元或80元，当售价60元时，应进货400个；当售价为80元时，应进货200个．智慧背囊：利润问题中常用的关系有：利润销价进价，利润利润率进价，总利润每件利润销售量，销价进价（1利润率）．活学活用：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？探究5．一元二次方程的根与系数关系例5．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于56，求的值．解析：若方程的两个根为，，根据一元二次方程的根与系数的关系，得，，由可列得关于的方程，解这个方程，并代入判别式中进行检验．答案：设方程的两个根为，，则，，由，得，解得，．当时，，故应舍去；当时，，所以．智慧背囊：由根与系数的关系列出关于待定系数的方程，解这个方程，并代入判别式中检验，确保一元二次方程有实数根．即可求出待定系数的值．活学活用：已知方程的一根是2，求另一个根及的值．随堂尝试A基础达标1．选择题（1）若两个连续偶数的平方和与它们的平方差的比是41：9，则这两个数是（）（A）和．（B）8和10．（C）和．（D）和．（2）从一个正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48m，则原来这块木板的面积是（）（A）64m．（B）100m．(C)121m．（D）144m．（3）如果一个二次方程的两个根是，，则的值为（）（A）3．（B）6．（C）18．（D）24．（4）某商品两次价格下调后，单价从5元变为元，则每次 降低的百分率为（）（A）9%．（B）10%．（C）11%．（D）12%．（5）下列四个方程中，两实数根之和为5的是（）（A）．（B）．（C）．（D）．2．填空题（1）如果两个数之和为6，两个数之积为8，那么这两个数为__________．（2）某人购买某种债券2000元，两个月后获纯利311.25元，则这种债券的月利率为__________．（3）当__________时，关于的方程的一个根是另一个根的3倍．（4）甲、乙两车分别从相距km的两地同时出发，若同向而行，则小时后快车追上慢车，若相向而行，则小时后两车相遇，那么快车是慢车速度的__________倍．（5）直角三角形斜边同它的一条直角边的比等于13：12，而另一条直角的长等于15cm，则这个三角形的周长为__________．3．某商店以16元的价格进了一批钢笔，如果以20元的价格售出，每周可以卖出200支，而价格每上涨1元，就少卖10支，现在该商店希望本周这种钢笔的利润达到1350元，则该种钢笔的价格应上涨多少元？此时能售出多少支钢笔？当售价为多少时，所获利润最多？此时利润为多少？4．在解方程时，甲看错了，解得两个根为1与6；乙看错了，解得两根为3与4，求原一元二次的两个根．B能力升级5．李大哥从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现在已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问李大哥购回这张铁皮共花了多少元钱？6．读诗词解题：“大江东去浪淘尽，属千古风流人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”C感受中考7．据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．(取≈1.41)8．已知，是关于的方程的两个实数根．（1）求，的值；（2）若，是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．课后实践古题欣赏《九章算术》有这样一道题：今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙各行几何．译成现代文，其大意是：已知甲乙两人同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？有兴趣的同学，你可以试着画出图形，试着算一算．结果是甲走了24.5步，乙走了10.5步，你算对了吗？我国是一个文明古国，有着几千悠久的文化历史，今天我们重温古人的文化遗作，就是要继承和发扬祖先的治学精神，不断探索，不断进取，勇攀科学高峰．参考答案问题1．，．问题2．，．问题3．（1）有两个相等的实数根；（2）当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根．问题4．（1），；（2），．要点探究活学活用1．（1），；（2），；（3），；（4）．活学活用2．（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个不相等的实数根．活学活用3．，且．随堂尝试A基础达标1．（1）C（2）D（3）A（4）C（5）C2．（1）因式分解；（2）或；（3）或3；（4）9．3．（1），；（2），；（3），；（4），．4．．B能力升级5．（1）答案不唯一，如；（2）如：．6．或，，，方程的根为，，方程的根为，．7．（1）60；（2），；（3）．C感受中考8．D．9．，．10．（1）当时，方程有两个不相等的实数根．可令；（2）时，方程，，，．22.3实际问题与一元二次方程综合测验（检测时间：45分钟满分：100分）班级：_______姓名：______得分；______一、填空题（4分×3=12分）1．两个连续整数的积为2，这两个连续整数为_______．2．三个连续整数，其中绝对值较小的两数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数为_______．3．一种商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，那么平均每次降价的百分率为___________．二、选择题（4分×7=28分）4．某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡78张，则这个小组的同学共有（）A．15人B．14人C．13人D．12人5．小王将1000元钱存入银行，年利率为x，第二年他把本息和全部存入银行，两年后不计利息税，他得到本息共a元，则依题意可列方程为（）A．1000（x+x）=aB．1000（1-2x）=aC．1000（1+x）2=aD．1000（1+2x）2=a6．小明的父亲到银行存入20000元人民币，存期一年，年利率为1.98%，到期应交纳所得利息的20%的利息税，那么小明的父亲存款到期交利息税后共得款（）A．20158.4元B．20198元C．20396元D．20316.8元7．矩形周长为62cm，面积为210cm2，则它的长和宽分别为（）A．21cm，5cmB．5cm，4cmC．21cm，10cmD．15cm，4cm8．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，在本世纪的头二十年（2001～2020年），要实现实一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（）A．（1+x）2=2B．（1+x）2=4C．1+2x=2D．（1+x）+2（1+x）=49．若方程2x2+（m-2）x+m-5=0的一个根大于2，另一小根小于2，则m的范围是（）A．任意实数B．m=C．m<D．m>10．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折三、解答题（60分）11．（8分）两个数之和为12，积为32，求这两个数．12．（8分）如图，在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，若草坪实际面积为540平方米，求中路的平均宽度．13．（8分）某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后加强改进管理，经减员增效，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元