2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.2.3 因式分解法 达标训练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.2.3因式分解法达标训练(含答案)22.2.3因式分解法达标训练一、基础·巩固·达标1．方程(x－16)(x＋8)＝0的根是（）A.x1＝－16，x2＝8B.x1＝16，x2＝－8C.x1＝16，x2＝8D.x1＝－16，x2＝－82.方程5x(x＋3)＝3(x＋3)的解为()A.x1＝，x2＝3B.x＝C.x1＝－，x2＝－3D.x1＝，x2＝－33.若方程(x－2)(3x+1)=0，则3x+1的值为（）A.7B.2C.0D.7或04.设a、b为方程（x－1）(x－3)=143的两根，a>b，则a+2b的值为（）A.－18B.－6C.6D.185.用因式分解法解下列方程：（1）(2x+1)2－x2=0；（2）(x－1)(x+2)=2(x+2)；（3）x2+3x－4=0；（4）(2x－1)2+3(2x－1)+2=0.6.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数字的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的积是736，求原来的两位数.7.若一个等腰三角形的两边长是方程（x－2）(x－4)=0的两根，求此三角形的周长.8.若x2+xy+y=14,y2+xy+x=28,则x+y的值为多少？9.已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0,求x2＋y2的值.二、综合·应用·创新10．阅读材料回答问题：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)+4=0，我们可将x2－1视为一个整体，然后设x2－1=y，则(x2－1)2=y2，原方程可化为y2－5y+4=0①，解得y1=1，y2=4.当y=1时，x2－1=1，所以x2=2，x=±2；当y=4时，x2－1=4，所以x2=5，x=±5.所以原方程的解为x1=2，x2=－2，x3=5，x4=－5.（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用了法达到了降次的目的，体现了的数学思想；（2）解方程：x4－x2－6=0.11.已知x2－xy－2y2＝0，且x≠0，y≠0，求代数式的值.三、回顾·热身·展望12.方程x2=2x的解是()A.x=2B.x1=－，x2=0C.x1=2，x2=0D.x=013.用换元法解方程x2+－2(x+)－1=0,若设y=x+,则原方程可化为.14.观察下表，填表后再解答问题：（1）试完成下列表格：序号123…图形…的个数824…的个数14…(2)试求第几个图形中“”的个数和“”的个数相等.参考答案一、基础·巩固·达标1．方程(x－16)(x＋8)＝0的根是（）A.x1＝－16，x2＝8B.x1＝16，x2＝－8C.x1＝16，x2＝8D.x1＝－16，x2＝－8提示：易知x－16＝0或x＋8＝0，因此x1＝16，x2＝－8.答案：B2.方程5x(x＋3)＝3(x＋3)的解为()A.x1＝，x2＝3B.x＝C.x1＝－，x2＝－3D.x1＝，x2＝－3提示：移项，得5x(x＋3)－3(x＋3)＝0，因式分解，得(x＋3)(5x－3)=0，于是得x＋3=0或5x－3＝0，x1＝，x2＝－3.答案：D3.若方程(x－2)(3x+1)=0，则3x+1的值为（）A.7B.2C.0D.7或0提示：易知x－2=0或3x+1=0，故方程的两根是x1＝2，x2＝－，将x的值分别代入3x+1即可求出它的值.答案：D4.设a、b为方程（x－1）(x－3)=143的两根，a>b，则a+2b的值为（）A.－18B.－6C.6D.18提示：先将原方程化为一般形式，再用因式分解法求出方程两根，注意a>b的条件，再确定a、b.解：原方程变形，得x2－4x－140=0.因式分解,得(x－14)(x+10)=0.∴x1=14，x2=－10.∵a>b，∴a=14，b=－10，2a+2b=14+2×（－10）=－6.因此选B.答案：B5.用因式分解法解下列方程：（1）(2x+1)2－x2=0；（2）(x－1)(x+2)=2(x+2)；（3）x2+3x－4=0；（4）(2x－1)2+3(2x－1)+2=0.提示：（1）方程右边是0，左边可用平方差公式分解因式；（2）先移项使方程的右边为0，左边利用提公因式法分解因式；（3）(4)的右边都为0，左边可运用公式x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）来分解因式.解：（1）分解因式，得［(2x+1)+x］［(2x+1)－x］=0.(3x+1)(x+1)=0，3x+1=0或x+1=0.x1=13，x2=－1.（2）移项，得(x－1)(x+2)－2(x+2)=0.因式分解，得(x+2)(x－3)=0.x+2=0或x－3=0.x1=－2，x2=3.（3）分解因式，得(x－1)(x+4)=0.x－1=0或x+4=0.x1=1，x2=－4.（4）因式分解，得［(2x－1)+1］［(2x－1)+2］=0.2x（2x+1）=0.2x=0或2x+1=0.x1=0，x2=－.6.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数字的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的积是736，求原来的两位数.提示：本题属于数字问题，题中的等量关系比较明显：新两位数×原来的两位数=736.正确列出方程的关键是会表示两位数：两位数=十位上的数字×10+个位上的数字.解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为5－x.依题意，得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.整理，得x2－5x+6=0.解方程，得x1=2，x2=3.当x=2时，5－x=3，符合题意，原来的两位数是23；当x=3时，5－x=2，符合题意，原来的两位数是32.答：原来的两位数是23或32.7.若一个等腰三角形的两边长是方程（x－2）(x－4)=0的两根，求此三角形的周长.提示：等腰三角形的两边长分别为2和4，腰长只能为4，即三边长为4、4、2.答案：该三角形的周长为10.8.若x2+xy+y=14,y2+xy+x=28,则x+y的值为多少？提示：本题应注意观察两个等式的特点，灵活的处理两个等式.联想代数中常用的整体的思想.解：两式相加，得x2+y2+2xy+x+y=42.移项整理，得（x+y）2+(x+y)－42=0.因式分解，得(x+y－6)(x+y+7)=0.故x+y=6或x+y=－7.答案：6或－79.已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0,求x2＋y2的值.提示：本题可将x2＋y2看成一个整体，利用换元法来解,同时要注意x2＋y2是一个非负数.解：设x2＋y2=m，则原方程可变为m（m－1）－12＝0，即m2－m－12＝0.因式分解，得（m－4）（m+3）＝0，于是m－4＝0或m+3＝0，所以m=4或m=－3.因为x2＋y2≥0，所以x2＋y2=4.二、综合·应用·创新10．阅读材料回答问题：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)+4=0，我们可将x2－1视为一个整体，然后设x2－1=y，则(x2－1)2=y2，原方程可化为y2－5y+4=0①，解得y1=1，y2=4.当y=1时，x2－1=1，所以x2=2，x=±2；当y=4时，x2－1=4，所以x2=5，x=±5.所以原方程的解为x1=2，x2=－2，x3=5，x4=－5.（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用了法达到了降次的目的，体现了的数学思想；（2）解方程：x4－x2－6=0.提示：解一元二次方程的基本思路是：将一元二次方程化为一次方程，即降次.同样解一元高次方程的思路也是“降次”，将高次方程转化为一元二次方程或一元一次方程.本题的材料就提供了一个高次方程转化为一元二次方程的例子，采用的是换元法.方程x4－x2－6=0可仿照材料中的方法解出.解：（1）换元换元（2）设x2=y，则x4=y2，原方程可化为y2－y－6=0①，解得y1=3，y2=－2.当y=3时，x2=3，x=±；当y=－1时，x2=－1，此方程在实数范围内无解.所以原方程的解为x1=，x2=－.11.已知x2－xy－2y2＝0，且x≠0，y≠0，求代数式的值.提示：要求代数式的值，只要求出x、y的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x、y的二次齐次式，所以知道x与y的比值也可.由已知x2－xy－2y2＝0，因式分解即可得x与y的比值.解：由x2－xy－2y2＝0，得(x－2y)(x＋y)＝0.∴x－2y＝0或x＋y＝0.∴x＝2y或x＝－y.当x＝2y时，;当x＝－y时，.三、回顾·热身·展望12.方程x2=2x的解是()A.x=2B.x1=－，x2=0C.x1=2，x2=0D.x=0提示：将此方程化为一般形式，再利用因式分解法求出方程的根.答案：C13.用换元法解方程x2+－2(x+)－1=0,若设y=x+,则原方程可化为.答案：y2－2y－3=014.观察下表，填表后再解答问题：（1）试完成下列表格：序号123…图形…的个数824…的个数14…(2)试求第几个图形中“”的个数和“”的个数相等.提示：该题应注意观察图形的结构，把握规律，灵活解题.答案：（1）169（2）n2=8n，n（n－8）=0；n1=8，n2=0(n不为0).因此，第8个图形中“”的个数和“”的个数相等.22.2.3因式分解法（一）◆课堂测控知识点一提公因式法（一）1．方程x2－x=0的解为x1=______，x2=_______．2．方程x2=4x的解为x1=_____，x2=_____．知识点二提公因式法（二）3．方程x（x+1）=3（x+1）的解是x1=_____，x2=_____．4．（过程探究题）解方程：2x（x+3）=（x+3）2解：2x（x+3）=（x+3）2．移项，得2x（x+3）－（x+3）2=0．提公因式得（x+3）[2x－（x+3）]=0．所以x+3=0或2x－（x+3）=0．即x1=______，x2=_______．◆课后测控5．方程8x2－3x=0的解x1=_____，x2=_____．6．方程（x+2）2=3（2+x）最适合的解法是（）A．直接开平方B．提公因式因式分解法C．公式法D．配方法7．下列方程没有公因式的是（）A．6m2=mB．x2=x+C．（x－1）2=D．2x2－6x=08．用因式分解法解下列方程：（1）4x2－144x=0（2）2（5x－1）2=3（1－5x）（3）2x+6=（3+x）2（4）（x－2）2－2x+4=0◆拓展测控9．聪明的小华运用因式分解中的提公因式法把关于x的一元二次方程x2－15xy+50y2=0的两个根求出来了，你知道他是怎样进行因式分解的吗？（y为已知字母）答案:1．0，12．0，4[总结反思]形如ax2+bx=0的方程，用因式分解法解方程，一般提取公因式x，即x（ax+b）=0．3．－1，34．－3，3[总结反思]含有x的多项式的公因式型的方程，如a（x+b）2=c（x+b），先移项，再提公因式，忽将两边约去（x+b）．5．0，6．B7．B8．解：（1）2x（2x－72）=0，所以x1=0，x2=36．（2）移项得2（5x－1）2－3（1－5x）=0，提公因式得（1－5x）[2（1－5x）－3]=0．所以1－5x=0，2－10x－3=0．则x1=，x2=－．（3）2（x+3）－（3+x）2=0，提公因式得（x+3）（2－3－x）=0，解得x1=－3，x2=－1．（4）（x－2）2－2（x－2）=0．提公因式得（x－2）（x－2－2）=0，所以x1=2，x2=4．9．解：（1）将－15xy拆项为－5xy和－10xy，则原方程变为x2－5xy－10xy+50y2=0，分组提公因式，得x（x－5y）－10y（x－5y）=0，则（x－5y）（x－10y）=0，所以x－5y=0，x=5y，x－10y=0，则x=10y，即x1=5y，x2=10y．22.2.3因式分解法(1)班级姓名座号月日主要内容:会用因式分解法解一元二次方程一、课堂练习:1.因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)整理方程化为一元二次方程的；(2)将方程左边分解为两个的积；(3)令每个因式分别为零,得到两个方程；(4)解这两个方程,它们的解就是原方程的解.2.(课本45页)用因式分解法解下列方程:(1)(2)(3)(4)(5*)(6)二、课后作业:1.把下列各式进行因式分解:(1)=；(2)=；(3)=；(4)=.2.下面一元二次方程解法中,正确的是()A.,∴,∴B.,∴,∴C.∴D.,两边同除以,得=13.一元二次方程的解是()A.B.C.D.4*.如果是关于的方程的一个根,那么的值为()A.B.-1C.D.15.(课本46页)用因式分解法解下列方程:(1)(2)(3)(4)(5*)(6*)三、新课预习:1.解方程的最适当的方法是()A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法2.方程的根为()A.B.C.D.以上结论都不对3.用适当的方法解下列方程:(1)(2)参考答案一、课堂练习:1.因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)整理方程化为一元二次方程的一般形式；(2)将方程左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程；(4)解这两个方程,它们的解就是原方程的解.2.(课本45页)用因式分解法解下列方程:(1)(2)解:因式分解,得则有∴解:因式分解,得则有∴(3)(4)解:整理,得因式分解,得∴解:因式分解,得则有∴(5*)(6)解:整理,得因式分解,得则有∴解:则有∴二、课后作业:1.把下列各式进行因式分解:(1)=；(2)=；(3)=；(4)=.2.下面一元二次方程解法中,正确的是(B)A.,∴,∴B.,∴,∴C.∴D.,两边同除以,得=13.一元二次方程的解是(D)A.B.C.D.4*.如果是关于的方程的一个根,那么的值为(D)A.B.-1C.D.15.(课本46页)用因式分解法解下列方程:(1)(2)解:整理,得因式分解,得∴解:整理,得因式分解,得则有∴(3)(4)解:整理,得因式分解,得则有∴解:则有∴(5*)(6*)解:则有∴解:则有∴三、新课预习:1.解方程的最适当的方法是(D)A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法2.方程的根为(D)A.B.C.D.以上结论都不对3.用适当的方法解下列方程:(1)(2)解:移项,得配方,得开平方,得∴解:因式分解,得则有∴22.2.3因式分解法（二）◆课堂测控知识点一运用平方差公式解方程1．方程4x2－1=0的解为x1=_____，x2=______．2．解方程：（x－1）2=（3+2x）2解：（x－1）2=（3+2x）2移项，得（x－1）2－（3+2x）2=0，所以[（x－1）+（3+2x）][（x－1）－（3+2x）]=0，则x－1+3+2x=0，x－1－（3+2x）=0．解得x1=_____，x2=______．感悟：运用平方差a代表什么式子，b代表什么式子你认准了吗？这里a=x－1，b=3+2x．知识点二运用完全平方公式解方程3．方程3x2－12x+12=0的解x1=x2=______．4．解方程：9x2－6x+1=0，解：9x2－6x+1=0，所以（3x－1）2=0，即3x－1=0，解得x1=x2=______．◆课后测控5．下列方程能用因式分解法解有（）①x2=x②x2－x+=0③2x－x2－3=0④（3x+2）2=16A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2008，陕西）方程（x－2）2=9的解是（）A．x1=5，x2=－1B．x1=－5，x2=1C．x1=11，x2=－7D．x1=－11，x2=77．方程25x2=10x－1的解是（）A．x=±B．x=C．x1=x2=D．x=8．（2008，吉林）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为49万元，设每月平均增长率为x，则可列方程为（）A．45（1+x）2=36B．36（1－x）2=49C．36（1+x）2=49D．49（1－x）2=369．运用平方差，完全平方公式解方程：（1）16（x－1）2=225（2）4x2－4x+1=x2－6x+9（3）9（x+1）2=4（x－1）2（4）x2－4x+4=（3－2x）210．阅读后解答问题．解方程：2x2－3x－2=0解：2x2－3x－2=0，拆项，分组得2x2－4x+x－2=0，提公因式，得2x（x－2）+（x－2）=0，再提公因式，得（x－2）（2x+1）=0，所以x－2=0或2x+1=0．即x1=2，x2=－．运用以上分解分解法解方程6x2+7x－3=0．11．用适当方法解下列方程：（1）（x－2）2+（x+2）2=4x－6（2）4（x+2）（x－3）=（x－3）2◆拓展测控12．（1）（探究题）若方程x2－6x－k－1=0与x2－kx－7=0仅有一个公共的实数根，试求k的值和相同的根．（2）（原创题）如图22－2－4所示，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在已知y=（x>0）的图像上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，若A2（4，0），求反比例函数解析式．答案:1．－，2．－，－4[总结反思]运用a2－b2=（a+b）（a－b），可把二次方程转化为一元一次方程，注意这里a代表的是什么，b代表什么，不能弄错了．3．24．[总结反思]运用a2±2ab+b2=（a±b）2，可把方程化为一个完全平方式，再运用平方根定义写出其解．5．C6．A7．C8．C9．解：（1）16（x－1）2－152=0，所以[4（x－1）+15][4（x－1）－15]=0，即4x+1=0，4x－19=0，得x1=－，x2=．（2）原方程变为（2x－1）2－（x－3）2=0，所以[（2x－1）+（x－3）][（2x－1）－（x－3）]=0，即3x－4=0，x+2=0，得x1=，x2=－2．（3）原方程变为[3（x+1）]2－[2（x－1）]2=0，所以[3（x+1）+2（x－1）][3（x+1）－2（x－1）]=0，即（5x+1）（x+5）=0，得x1=－，x2=－5．（4）（x－2）2=（3－2x）2．（x－2）2－（3－2x）2=0，[（x－2）+（3－2x）][x－2－3+2x]=0，（1－x）（3x－5）=0，所以x1=1，x2=．[解题规律]运用因式分解法解一元二次方程，能提公因式动用提公因式法，能运用完全平方式或平方差就用其公式来降次求解．10．解：6x2+7x－3=0，拆项，分组得6x2+9x－2x－3=0，提公因式3x（2x+3）－（2x+3）=0，再提公因式得（2x+3）（3x－1）=0，即2x+3=0，3x－1=0，x1=－，x2=．[解题