2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.1 一元二次方程(A卷)(含答案)-

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.1一元二次方程(A卷)(含答案)-22.1一元二次方程(A卷)（教材针对性训练题60分50分钟）一、选择题（每题3分，共18分）1．下列方程中，是一元二次方程的为（）A．+x=1B．x（x+1）=3C．x3-3x=4D．=52．下面的一元二次方程，是一般形式的为（）A．x2=1+xB．x2=x+5C．2（x+3）=3x（x+1）D．-x2+2x-1=03．若方程（a-2）x2+x-3=0是关于x的一元二次方程，则字母a的取值范围是（）A．a≥0且a≠2B．a>0且a≠2C．a≥2D．a≠24．关于x的方程（a+1）x2+5x-6=0，下列说法正确的是（）A．它一定是一元二次方程B．它一定不是一元二次方程C．它有可能是一元一次方程D．它可能是分式方程5．若关于x的方程x2-2x+c=0有一个根是1，那么c的值是（）A．1B．2C．3D．46．下列各数中是一元二次方程2x2+3x+1=0的根的是（）A．1B．-1C．2D．-2二、填空题（每题3分，共18分）7．若关于x的方程（m-2）x|m|+3x-1=0是一元二次方程，则m的值是________．8．把一元二次方程2x（x+5）=3（x-1）化成一般形式是________．9．关于x的整式方程（a2+1）x2-x+5（a-1）=0一定_______一元二次方程（填“是”或“不是”）10．下列方程：①2x2-=2；②-=5；③（x+）（x-）=7；④（x+2）2=x（x+5）中，共有_____个一元二次方程．11．一元二次方程（1-3x）（x+3）=2x2+1化成一般形式为________，二次项系数为_______，常数项为________．12．若关于x的一元二次方程（a+）x2-（4a2-1）x+1=0的一次项系数为0，那么a的值是_________．三、计算题（15分）13．把下列方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）后，计算b2-4ac的值．（1）x（x+6）=5；（2）（x+1）（x-3）=-4；（3）（2x+1）2=-7．四、解答题（9分）14．已知关于x的一元二次方程（b+5）-x+3=0，试求代数式20x2-2x+b的值．答案:一、1．B点拨：选项A中的方程不是整式方程，可首先排除；选项C中的方程中未知数x的最高次数是3，也可排除；选项D中的方程也不是整式方程，也可排除在外，只有选项B中的方程同时满足一元二次方程的三个条件，故选B．2．D点拨：一元二次方程的一般形式，右边应是0，左边要按未知数的降幂排列，只有选项D中的方程满足这些条件．3．A点拨：a应同时满足a≥0和a-2≠0这两个条件才可以，故选A．4．C点拨：应分两种情况对该方程进行讨论，当a+1=0时，方程化为5x-6=0，是一元一次方程，当a+1≠0时，它是一元二次方程．5．A点拨：根据方程的根的定义，把1代入原方程，等式成立，即12-2×1+c=0，解得c=1．6．B点拨：在目前尚没有学习一元二次方程的解法的情况下，把选项中给出的四个数分别代入方程，逐个进行检验．二、7．-2点拨：该方程若是一元二次方程，必须同时满足两个条件：│m│=2，且m-2≠0，解得m=-2．8．2x2+7x+3=0点拨：按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行．9．是点拨：不论a取何值，a2+1都是一个正数，不可能等于0，故该方程一定是关于x的一元二次方程．10．1点拨：只有方程②是一元二次方程，其他三个都不符合一元二次方程的条件．11．5x2+8x-2=0；5；-2（或-5x2-8x+2=0；-5；2）点拨：先去掉括号，在移项时，可把等号左边的部分移到右边进行合并，也可以把等号右边的部分移到左边进行合并，我们通常要把二次项系数化成正数，这样便于我们今后的解题．12．点拨：依题意得4a2-1=0，则a=±，由于该一元二次方程的二次项系数a+≠0，即a≠-，故a=．三、13．解：（1）x（x+6）=5，去括号，得x2+6x=5，移项，得x2+6x-5=0，因为a=1，b=6，c=-5．所以b2-4ac=62-4×1×（-5）=36+20=56．（2）（x+1）（x-3）=-4，去括号，得x2-3x+x-3=-4．移项，合并同类项，得x2-2x+1=0，因为a=1，b=-2，c=1．所以b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0．（3）（2x+1）2=-7，去括号，得4x2+4x+1=-7，移项，合并同类项，得4x2+4x+8=0．因为a=4，b=4，c=8．所以b2-4ac=42-4×4×8=16-128=-112．点拨：把一元二次方程整理成一般形式是我们必须掌握的能力点，一般按去分母，去括号，移项，合并同类项的顺序进行，今后我们会了解到（b2-4ac）的值对一元二次方程的根的情况起决定作用．四、14．解：依题意解之，得b=5．原方程可化为10x2-x+3=0，即10x2-x=-3．所以20x2-2x+b=2（10x2-x）+5=2×（-3）+5=-1．点拨：充分利用一元二次方程的定义可直接求出b的值，然后把b的值代入原方程，整理变形后，可整体代入求值．22.1一元二次方程(A卷)（45分钟60分）一、选择题（每小题3分，共18分）1．下列方程是一元二次方程的是（）．A．x（mx+n）=kB．（2x+1）（3x+2）=6x2C．x2－2xy－3y2=0D．（x－2）2=（3x+1）22．关于x的方程（m2－4）x2+mx－m=0是一元二次方程的条件是（）A．m≠0B．m≠2C．m=－2D．m≠±23．将方程3（2x2－1）=（x+）（x－）+3x+5化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（）A．5，3，5B．5，－3，－5C．7，，2D．8，6，14．关于x的方程（m+n）x2+－（m－n）x=0（m+n≠0）的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为（）A．B．C．D．5．关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．－1C．1或－1D．6．某商店卖出A、B两种价格不同的商品，商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以a元出售，则两种商品的原价分别是（）．A.（1+20%）2；a（1－20%）2B．；;a（1－20%）2二、填空题:（每小题3分，共18分）7．方程①x3－x2=2；②5y2－21=0；③x2+y2=12；④x2－3=2；⑤++1=0中，属于一元二次方程的是_________．（只填序号）8．关于x的一元二次方程x2－a（3x－2a+b）－b2=0中，常数项是_______．9．方程（1－x）2=（x+1）（x－1），经整理后得一次项系数与常数项之和为_______．10．若把100cm长的铁丝折成一个面积为525cm2的长方形，若设长为xcm，根据题意，可列方程为__________．11．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个解为1和－1，则有a+b+c=_____；a－b+c=_________．12．某林场原有木材存量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，则经过一年木材存量达到__________；经过两年木材存量达到__________．三、解答题（共24分）13．（12分）已知关于x的方程（m+1）x+（m－2）x－1=0，问：（1）m取何值时，它是一元二次方程？并猜测方程的解；（2）m取何值时，它是一元一次方程？14．（12分）已知方程x2+px+q=0的一个根与方程x2+qx－p=0的一个根互为相反数，并且p≠q，求p－q的值．答案:一、1．D分析：因为A没有m≠0的条件，B的方程左、右两边二次项系数可合并为零，而C方程中含有两个未知数．点拨：一元二次方程必须符合三个条件：①二次项系数不为0；②只含有一个未知数；③未知数最高次数为2的整式方程．2．D分析：满足一元二次方程的条件是m2－4≠0，因此可得m≠±2．点拨：一元二次方程二次项系数不能等于零．3．B分析：先将方程化成一般形式，即5x2－3x－5=0．点拨：不要漏掉各项的符号．4．A分析：由题意，得，∴=．点拨：分清各项的系数，注意各项的符号．5．B分析：把x=0代入方程，得a=±1．当a=1时，a－1=0不合题意．点拨：掌握一元二次方程二次项系数所具备的条件．6．B分析：设商品B原价为x，则x（1－20%）2=a，∴x=．点拨：掌握百分率的概念．二、7．②⑤分析：方程①未知数最高次数是3；方程③含有两个未知数；方程④不是整式方程．点拨：一元二次方程必须同时满足三个条件，缺一不可．8．2a2－ab－b2分析：先将方程化为一般形式x2－3ax+2a2－ab－b2=0．点拨：注意各项的符号．9．－2+2分析：将方程化为x2－2x+2=0，再求和．点拨：注意各项的符号．10．x（50－x）=525分析：长方形的周长为100cm，设长为xcm，则宽为=（50－x）（cm），得x（50－x）=525．点拨：掌握长方形的面积计算公式S=ab．11．00分析：分别将1和－1代入方程可得．12．a（1+25%）－x[a（1+25%）－x]（1+25%）－x分析：掌握增长率的规律．三、13．解：（1）根据题意，得m2+1=2，∴m=1±1，∵m=－1不合题意，∴m=1．当m=1时，方程为一元二次方程2x2－x－1=0，它的解为x1=1，x2=－．（2）当m=－1时，为一元一次方程．14．分析：设x0为x2+px+q=0的根，那么x2+qx－p=0的一根为－x0，依题意，得方程组解：设x0为x2+px+q=0的根，则有①－②，可得（p+q）x0+（p+q）=0，即（p+q）（x0+1）=0．∵p≠－q，∴x0+1=0，∴x0=－1．把x0=－1代入方程①，得1－q+q=0，∴p－q=1．22.1一元二次方程(B卷)（综合应用创新能力提升训练题100分80分钟）一、学科内综合题（每题6分，共30分）1．若关于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．2．求方程x2+3=2x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．3．若等式│a-1│+（b+2）2+=0，试把关于x的一元二次方程（x+a）2+x（x-b）=c（x+a-b）化为一般形式．4．若关于x的方程（k2-4）x2+x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围．5．若α是方程x2-5x+1=0的一个根，求α2+的值．二、实际应用题（每题7分，共21分）以下各题只要求设出适当的未知数，列出方程，并化成一般形式．6．李爽同学把一块面积为54cm2的长方形纸片的一边剪下5cm，另一边剪下2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长．7．某大学为了改善校园环境，计划在一块长80m，宽60m的矩形场地中央建一个矩形网球场，网球场占地面积为3500m2，四周为宽度相等的人行道，求人行道的宽度．8．某百货商店服装柜在销售中发现：“米立琪”牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了迎接“六．一”国际儿童节，商场采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存．经市场调查发现：每件童装每降价4元，平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上赢利1200元，那么每件童装应降价多少元？三、创新题（9题9分，10～12题各10分，共39分）9．（巧题妙解）若α是方程x2-x-1=0的一个根，求-α3+2α+2007的值．10．（新情境信息题）对于符号“※”，我们作如下规定：a※b=a2-b2+2．如：2※3=22-32+2=4-9+2=-3．（1）若3※x=10，求x的值;（2）试化简（2x+1）※x=5．11．（多变题）已知关于x的方程（9k2-1）x2+（3k-1）x=0，若方程是一元二次方程，求k的取值范围．（1）一变：若方程是一元一次方程，求k的值．（2）二变：若方程的解是全体实数，求k的值．12．（趣味题）一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．四、经典中考题（10分）13．根据下列表格的对应值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围是（）．A．3<x<3.23B．3.23<x<3.24C．3.24<x<3.25D．3.25<x<3.2614．（2005，广州，3分）若a2-2a+1=0，则2a2-4a=________．15．（2005，重庆，3分）已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1，则m的值是______．答案:一、1．解：依题意：m2-7=2且m+3≠0，解得m=3．原方程可化为：6x2-2x+5=0，所以各项系数之和为6+（-2）+5=9．点拨：抓住一元二次方程的定义，可求出m的值，相应的二次项系数为6，一次项系数为-2，常数项为5，问题得以解决．2．解：原方程可化为：x2-2x+7=0．二次项系数为，一次项系数为-2，常数项为7．它们的积为×（-2）×7=-28．点拨：题目综合了一元二次方程的一般形式和二次根式的乘法，一定得先化为一般形式．3．解：因为│a-1│+（b+2）2+=0，所以a-1=0，b+2=0，c-3=0，即a=1，b=-2，c=3．原一元二次方程可化为（x+1）2+x（x+2）=3（x+1+2），整理，得2x2+x-8=0．点拨：欲把一元二次方程化为一般形式，应先求a，b，c的值，因此，根据非负数的性质，求出a，b，c的值并代入可解决问题．4．解：依题意，解得x≥1且k≠2．点拨：根据题意，二次项系数（k2-4）应不为零，且题中的二次根式中被开方数应为非负数，综合考虑以上两个条件即可解决问题，由k2-4≠0可知k≠±2．但-2已被k≥1排除在外．5．解：依题意，α2-5α+1=0，则α≠0．方程两边同时除以α，得α-5+=0，所以α+=5，两边同时平方，得（α+）2=25，α2++2=25，所以α2+=23．点拨：依据方程的根的定义，可以得到关于a的等式．二、6．解：设这个正方形的边长为xcm，依题意，列方程（x+5）（x+2）=54．整理，得x2+7x-44=0．点拨：解决这类问题时，可先画出图形．7．解：设人行道的宽度为xm．依题意，列方程（80-2x）（60-2x）=3500，整理，得x2-70x+325=0．点拨：可画出如答图22-1-1所示的图形进行分析．8．解：设每件童装应降价x元．依题意，列方程（40-x）（20+·x）=1200，整理，得x2-30x+200=0．点拨：读懂题目的意思是解题的关键，降价后每件的利润是（40-x）元，售出的数量是在20件的基础上增加的，依题意，可知，每降价1元，可多卖出2件，降价后每天可售出（20+2x）件．三、9．解：依题意：α2-α-1=0，α2=α+1，α2-α=1，α3=α·α2=α（α+1）=α2+α，所以-α3+2α+2007=-α2-α+2α+2007=-α2+α+2007=-（α2-α）+2007=-1+2007=2006．点拨：利用一元二次方程的根的定义，把α代入原方程，得到关于α的等式，然后重点来求α3的值，通过层层代换，变形，最终可解决问题．10．解：（1）依题意：3※x=32-x2+2即9-x2+2=10，x2=1，所以x=±1．（2）（2x+1）※x=5，（2x+1）2-x2+2=5．整理，得3x2+4x-2=0点拨：题中新定义了运算符号“※”，我们可以通过阅读所给的例子来理解“※”的实际含义，在做给出的题目时，依据理解的含义进行运算．11．解：若方程是一元二次方程，则9k2-1≠0，即k≠±．（1）若方程是一元一次方程，则9k2-1=0且3k-1≠0，即k=-．（2）依题意：9k2-1=0且3k-1=0，即k=．点拨：方程的解是全体实数，方程的各系数都应为0．12．解：设竹竿的长为x米，依题意，列方程（x-2）2+（x-4）2=x2，整理，得x2-12x+20=0．四、13．C点拨：求方程ax2+bx+c=0的根，就是观察x取何值ax2+bx+c的值为0，观察表格可知，当x取3.24时，ax2+bx+c的值小于0，当x取3.25时，ax2+bx+c的值大于0，故x的一个值应在3.24和3.25之间．14．-2点拨：由a2-2a+1=0，可知a2-2a=-1，所以2a2-4a=2（a2-2a）=2×（-1）=-2．15．6点拨：由方程的根的定义知3×12-9×1+m=0，3-9+m=0，m=6．22.1一元二次方程(C卷)（课标新型题拔高训练40分30分钟）一、开放题（10分）1．已知关于x的方程mx2+（3+m）x-6=0是一元二次方程，请你给它添加一个适当的条件，使m的值能够被唯一确定．二、阅读理解题（10分）2．把方程5x（x+1）=2（x+5）2+x2-3化成一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．小强的解题过程如下：解：去括号，得5x2+5x=2（x2+25）+x2-3移项，得5x2+5x-2x2-50-x2+3=0合并，得2x2+5x-47=0．所以二次项系数是2，一次项系数是5，常数项是-47．小强的解题过程有错误吗？若有，请指出错在什么地方，并给出正确的解题过程．三、信息处理题（10分）3．在一节数学课上，老师给出了如下表格：x12345678…y0381524354863…请你观察上面的表格，找到x与y的关系，并回答下列问题：（1）上述表格中y的第10个值是多少？第2008年呢？（2）上述表格中y的值是否会出现255和2890？四、发散题（10分）4．请你参照一元二次方程的定义，给出二元二次方程，一元三次方程的定义．答案:一、1．解：任意取一个实数作为方程的根代入，即可求m的值．如：方程的一个根为1，则m的值为m=．点拨：确定m的值的方法很多，除了给出方程的根作为条件外，还可给出各系数之间的关系，比如二次项系数与常数项互为相反数等．二、2．解：有错误．错在“去括号”这一步，正确解法如下：去括号，得5x2+5x=2x2+20x+50+x2-3．移项，得5x2+5x-2x2-20x-50-x2+3=0．合并同类项，得2x2-15x-47=0．点拨：在去括号时，把完全平方式展开时，丢掉了积的2倍这一项，这是同学们很容易犯错的地方．三、3．解：（1）上述表格中y的第10个值是99，第2008个值是20082-1，即4032063．（2）上述表格中会出现255，是第16个值，2890不会出现．点拨：解决问题的关键在于弄清y与x的关系，即y比x的平方少1，即y=x2-1．解第（1）小题，把x=10，x=2008代入求出y的值即可，解第（2）小题时，把y=255和2890代入，求x．拓展：题中给出的数据显示，y与x是二次函数关系，在九年级下学期将学习二次函数的知识．四、4．解：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3的整式方程叫做一元三次方程．点拨：要注意知识的正确迁移，在不同的情境中给出新的定义．22.1一元二次方程情境感知从前，有一个醉汉拿着一根竹竿进门．横着竖着都拿不进去，竹竿横着比门宽4尺，竖着比门高2尺．这时，和他在一起的另一个醉汉告诉他沿着门的对角线斜着拿竹竿，这个醉汉一试，不多不少刚好把竹竿拿进去了，你知道竹竿有多长吗？基础准备一、一元二次方程的概念经过化简后的整式方程，如果____________未知数，并且未知数的最高次数是________，那么这样的整式方程叫做一元二次方程．问题1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（）（A）．（B）．（C）．（D）．二、一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式_______________，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中二次项是_________，二次项系数是________；一次项是________，一次项系数是_________；________是常数项．问题2．将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．三、一元二次方程的根使一元二次方程左右两__________的_________的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．问题3．已知是方程的一个根，则的值为（）（A）．（B）1．（C）0．（D）．要点探究探究1．判断一个方程是否是一元二次方程例1．判断下列关于的方程是不是一元二次方程：（1）．（2）．（3）．（4）．解析：对一元二次方程的判断关键是抓住构成一元二次方程的三个条件．答案：方程（2）含有两个未知数，不是一元二次方程；方程（3）经整理后，得，不是一元二次方程；方程（4）左边是分式，不是一元二次方程．因方程（1）是含有一个未知数、未知数的最高次数是2的整式方程，所以方程（1）是一元二次方程．智慧背囊：一元二次方程必须具备下列三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．因此，将各个方程化为一般形式后，根据这三个条件可以作出判断．活学活用：下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是__________．①；②；③；④；⑤探究2．一元二次方程各项及其系数的确定例2．关于的方程．（1）当为何值时，为一元一次方程？（2）当为何值时，为一元二次方程？解析：只要方程的二次项系数为0，而一次项系数不为0，方程即为一元一次方程；而方程的二次项系数不为0，即为一元二次方程．答案：（1）且，解为，即当时，为一元一次方程；（2），得，即当时，为一元二次方程．智慧背囊：掌握一元一次方程、一元二次方程的一般形式及所满足条件是判别一元一次方程和一元二次方程的关键．对于一元一次方程来说，常数项可以是任意数，一元二次方程的一次项系数和常数项可以是任意数。活学活用：若是关于的一元二次方程，求的值．探究3．一元二次方程的根例3．已知是关于的方程的一个根，则的值为（）（A）3．（B）4．（C）5．（D）6．解析：把代入原方程求出的值，从而求出．答案：选C．把代入中，即，，∴．智慧背囊：根据方程根的定义，把方程的根代入原方程，得到一个新的一元一次方程，解这个一元一次方程，求出字母的值．活学活用：一元二次方程的一个根是，且、满足等式，求此一元二次方程．随堂尝试A基础达标1．选择题（1）下列方程中一定是关于的一元二次方程的是（）（A）．（B）．（C）．（D）．（2）把方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为