回归分析的基本思想及其初步应用

选修1-2第一章1.1回归分析的基本思想及其初步应用选修2-3第三章3.1回归分析的基本思想及其初步应用学习目标1.了解随机误差、残差、残差图的概念．2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．3.掌握建立回归模型的步骤．4.通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法和初步应用．通过对必修3的学习，我们知道，变量之间存在关系时，有两种关系：确定性关系非确定性关系函数关系相关关系如：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是y=x2确定性关系如：某水田水稻产量y与施肥量x之间没有一个确定性的关系

在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455相关关系是一种变化的，通过《数学3》的学习我们知道，回归分析(regressionanalysis)是相关关系的一种分析方法，它是对具有相关关系的两个变量进行统计分析一般步骤为：散点图求回归方程利用回归方程预报下面我们通过实际案例。进一步学习回归分析的基本思想及其应用最小二乘法函数关系例1.从某大学中随机选取8名女大学生。其身高和体重数据如表所示：编号12345678身高／cm165165157170175165155170体重／kg4857505464614359求根据一名大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名172cm的女大学生的体重。解利用前面的知识我们首先作身高x和体重y的散点图：于是得到线性回归方程

是回归方程直线的斜率的估计值，说明身高x每增加一个单位，体重y就增加0.849个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为探究：身高172cm的女生的体重一定是60.316吗？如果不是，你能解释一下原因吗？事实上,从散点图可以看出,样本点并不是分布在这条直线上,而是分布在它的两边,所以严格来说：

y=bx+a不是真正的表示它们之间的关系，这时我们把身高和体重的关系做一下调整来模拟回归关系：Y=bx+a+e其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差如何产生的？显然身高为172cm的女生体重不一定是60.316kg，但一般认为她的体重在60.316左右。从图中样本点和回归直线的相互位置说明了这一点身高X(cm)体重y(kg)饮食习惯运动习惯质量误差没有人知道身高和体重之间的真正关系是什么，现在只是利用线性回归方程来近似这种关系，而这种近似和上面提到的影响因素都会导致随机误差e的产生线性回归模型y=bx+a+e与我们了的一次函数模型不同之处在于多了一个随机误差e，y的值由x和e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化，在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。解释变量x预报变量y随机误差e探究：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差呢？（x1,y1）,（x2,y2）,…，（xn,yn）而言，它们的随机误差为ei=yi-bxi-a,i=1,2,…，n在实际应用中，我们用回归方程中的估计bx+a，由于随机误差e=y-(bx+a)，所以是e的估计量，对于样本点其估计值为称为相应于点（xi,yi）的残差编号12345678身高／cm165165157170175165155170体重／kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382思考：如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？

可以通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果。下表列出了女生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据残差图：问题数据越窄越好我们可以利用图形来分析残差特性。作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样做出的图形称为残差图从图中可以看出，第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高我们可以用R2来刻画回归的效果：

显然，当R2的值越大，说明残差所占的比例越小，回归效果约好；反之,回归效果越差。一般的，当R2越接近于1,说明解释变量和预报变量之间的相关性越强,如果同一个问题,采用不同的回归方法分析,我们可以通过选择R2大的来作为回归模型

在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近1，表示回归的效果越好，在例1中，R2=0.64，表明身高解释了64%的体重变化，或者说，体重差异有64%是由身高引起的。R2是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应尽量选择R2大的回归模型用身高预报体重时，需要注意下列问题：1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。例如，不能用女大学生的身高和体重之间的回归方程描述女运动员的身高和体重之间的关系，同样，不能用生长在南方多雨地区的树木地高于直径之间的回归方程，描述北方干旱地区的树木地高与直径之间的关系。2.我们所建立的回归方程一般都有时间性，例如不能用20世纪80年代的身高体重数据所建立的回归方程，描述现在的身高和体重之间的关系。3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围，例如我们的回归方程是由女大学生身高和体重的数据建立的，那么用它来描述一个人幼儿时期的身高和体重之间的关系就不恰当（在回归方程中解释变量x的样本的取值范围为155-175cm，而用这个方程计算x=70cm时的y值显然不合适）4.不能期望回归方程，得到的预报值就是预报变量的精确值，事实上，它是预报变量的可能取值的平均值一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量。（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，而选用线性回归方程）（4）按一定规则（如最小二乘法）估计回归方程中的参数。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等）若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。例2一只红蛉虫的产卵数y与温度x有关，现收集了7组数据，请建立y与x的回归方程温度x／℃21232527293235产卵数y/个711212466115325解1.制作散点图2.观察模拟样本点不能直接利用线性回归,根据我们的函数知识,它应该是一个指数模型:y=c1ec2x其中c1c2为参数或二次函数模型,根据对数回归知识我们知道:令z=lny将其变换到样本点的分布直线z=a+bxx21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784z=0272x-3.843则:y=e0.272x-3.8433.我们认为样本点集中在某二次函数y=c3x2+c4附近，c3c4为参数，则，令t＝x2则：y=c5t+c6其中c5c6为参数t44152962572984110241225y711212466115325y=0.367t-202.544.残差分析：X21232527293235合计(残差平方和)R2Y711212466115329e(1)0.518-0.1671.760-9.1498.889-14.15332.9281450.6730.98e(2)47.69319.397-5.835-41.003-40.107-58.26877.965154