全国各地2024-2025学年高一上学期期中数学试题专练汇编：基本不等式-A4

第页高一2024-2025学年上学期期中试题专练基本不等式一、单选题1．（24-25高一上·广东深圳·期中）若，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．2．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A． B．14 C．15 D．273．（24-25高三上·四川成都·期中）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（）A． B．C． D．5．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（

）A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是66．（24-25高一上·广东广州·期中）对于使成立的所有常数中，我们把其中的最大值叫做的下确界，若正数，且，则的下确界为（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·广西·期中）若，则函数的最小值是（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·浙江·期中）要建造一个容积为，深为6m的长方形无盖蓄水池，池壁的造价为95元，池底的造价为135元，问水池总造价最低时，水池的长a与宽b分别为（

）A．， B．，C．， D．，9．（24-25高一上·重庆·期中）已知，则的最小值为（

）A．1 B．3 C．5 D．710．（24-25高一上·重庆万州·期中）已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．11．（24-25高一上·辽宁·期中）已知，则函数的最小值是（

）A．8 B．12 C．16 D．2012．（24-25高一上·北京·期中）已知，则的最小值为（

）A． B．3 C．4 D．5二、多选题13．（24-25高一上·广东广州·期中）下列选项正确的是（

）A．若，则的最小值是B．若，则的最大值为−2C．已知，，，则的取值范围是D．已知，，，则的最小值为14．（24-25高一上·福建·期中）设，，，下列说法正确的有（

）A．的最小值为4 B．的最小值为C．最小值为 D．的最小值为15．（24-25高一上·江苏·期中）已知a，，且，则（

）A．的最小值为8 B．的最小值为C．最小值为12 D．的最大值为16．（24-25高三上·四川成都·期中）正实数，满足，则下列选项一定成立的是（

）A． B．C． D．17．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，且，则下列选项正确的是（

）A．y的范围为 B．xy的最大值为C．的最小值为16 D．的最小值为2三、填空题18．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知，，，则的取值范围为，的最小值为．19．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为20．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知a，b为正实数，则的最小值为．21．（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为，的最小值为.22．（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是.四、解答题23．（24-25高一上·上海·期中）已知，.(1)若，求的最小值；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若，求的最大值.24．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行.(1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间；(2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值．25．（24-25高一上·四川·期中）已知图象开口向上的二次函数.(1)若，求的最小值及取得最小值时的的值；(2)在（1）的前提下，在区间上没有最值，求的取值范围．26．（24-25高一上·宁夏银川·期中）（1）求函数的最小值；（2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围．27．（24-25高三上·山东枣庄·期中）求下列各式的最值(1)当时，求的最小值；(2)已知，求的最大值.28．（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值；（2）证明：、、，.参考答案：1．D【分析】由基本不等式“1”的妙用方法即可计算求解.【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.2．A【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因正实数a，b满足，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：A3．B【分析】A选项，举出反例；B选项，由基本不等式得到，由得到，B正确；C选项，由基本不等式得到；D选项，由基本不等式得到.【详解】A选项，取得，A错误；B选项，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，但，故等号取不到，所以，，故，综上，，B正确；C选项，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，但，故等号取不到，所以，C错误；D选项，由B选项知，，故，所以，D错误.故选：B4．A【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，直接求解即可.【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A5．B【分析】利用基本不等式，结合不等式恒成立问题的解法即可得解.【详解】因为，，当且仅当，即时取等号，又不等式恒成立，所以，即，所以实数的最大值6，没有最小值，故B正确.故选：B.6．A【分析】由基本不等式求出的最小值即得．【详解】.故选：A.7．D【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，可得，所以，当且仅当时，即时，取得最小值.故选：D.8．A【分析】设水池的长为am，宽为m，总造价为z元；从而可得，，结合基本不等式求最值即得.【详解】设水池的长为am，宽为m；总造价为z元；则，故；.当且仅当，时等号成立.故选：A.9．D【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.【详解】当时，，当且仅当时取等号，所以的最小值为7.故选：D10．A【分析】由题意知，然后根据基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A.11．D【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以函数的最小值是.故选：D12．D【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为，根据基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立；所以的最小值为5，故选：D.13．BD【分析】利用基本不等式即可判断AB，对C构造关于的一元二次不等式即可判断，对D，利用乘“1”法即可判断.【详解】对于A：因为，当且仅当时等号成立，但是此时无实数解，故A错误；对于B：，则，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C：因为，且，所以，即，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，即的取值范围是，故C正确；对于D：因为，且，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故D错误；故选：BC14．ABD【分析】根据基本不等式即可求解A,根据，即可利用乘“1”法求解B，利用，即可求解CD.【详解】对于A，由，，，故，当且仅当取等号，故A正确，对于B，由得，故，当且仅当，即等号成立，故B正确，对于C，由可得，故，由可知，当时，则，故C错误，对于D，由可得，故，当时取到等号，故D正确，故选：ABD15．ACD【分析】利用基本不等式和二次函数的性质对选项逐个判断即可.【详解】对于A，，当且仅当时，取等号，故A正确；对于B，，当且仅当时，取等号，故B错误；对于C，，当时，最小值为12，故C正确；对于D，因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故D正确故选：ACD．16．BCD【分析】利用基本不等式、函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项错误.B选项，，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.C选项，，，当且仅当时等号成立，函数在上单调递减，最小值为，所以当时，有最小值为，而，当且仅当，时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以C选项正确.D选项，，当且仅当时等号成立，D正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：利用基本不等式进行判断：首先应用基本不等式来分析选项是否成立，并结合等号条件进一步判断，这是判断选项正确与否的基础.函数单调性分析：在选项C的判断中，通过函数的单调性来验证不等式的成立条件，这种结合单调性的方法可以更准确地判断不等式的取值情况.17．ABC【分析】根据题意，结合不等式的性质可判断A；根据基本不等式可判断BCD.【详解】对于A：由题知，所以，解得，即，故A正确；对于B：，即，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C：，当且仅当时等号成立，所以的最小值为16,故C正确；对于D：∴，当且仅当，即时，时等号成立，∴有最小值，故D不正确.故选：ABC.18．【分析】根据基本不等式，基本不等式“1”的妙用可求得结果，注意一正二定三相等.【详解】因为，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的取值范围为；因为，，，所以，当且仅当即时，等号成立，此时取得最小值为；故答案为：；.19．2【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值.【详解】由，得，令，则，解得，，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：将变形为，令，再表示出是求出最小值的关键.20．【分析】先将两个分母看做两个整体，然后化简利用基本不等式求解即可.【详解】令得所以当且仅当时，即时，等号成立，故答案为：21．；/【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可.【详解】因为，，所以，所以，当且仅当，即时取得最小值；易知，当且仅当第一个不等号可取等号，当且仅当第二个不等号可取等号.故答案为：；.【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况.22．【分析】利用基本不等式可求最小值.【详解】,当且仅当时等号成立，故所求最小值为，故答案为：.23．(1)(2)(3)【分析】（1）减少变量化为即可证明；（2）构造得，再利用乘“1”法即可得到答案；（3）利用，即可得到答案.【详解】（1）由得，，所以，当且仅当时，取得等号.即的最小值为.（2）由得，，即，所以，当且仅当时等号成立，由题意可知，，整理得，解得或(舍去)，所以，故实数的取值范围为.（3）因为，所以，，故，当且仅当时，取得等号，故的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用乘“1”法得到，最后解出即可.24．(1)(2)【分析】（1）作出图形，计算出、的长，结合题意可计算出此人从海岛到达地的时间；（2）求出、的长，根据题意可得出，可得，利用基本不等式可求得的最大值.【详解】（1）解：如下图所示：由题意可得，，，，，由勾股定理可得，因此，此人从海岛到达地的时间为.（2）解：如下图所示：，，，，由勾股定理可得，由题意可得，即，可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，快递员的速度的最大值为.25．(1)时，最小值为1(2)【分析】（1）根据，得，再根据基本不等式中“常数”的代换可得最小值；（2）根据题意确定函数的对称轴为，若函数在无最值，则对称轴不在区间内，则或，解不等式即可求得.【详解】（1），，图象开口向上，，又，，，当且仅当，即时，等号成立.时，的最小值为1.（2）由（1）知，，在上单调递减，在上单调递增，在区间上没有最值，①或②，由①解得无解，由②解得，综上：的取值范围是.26．（1）9；（2）【分析】（1）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值；（2）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值；【详解】（1）由，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9.（2）由，则．当且仅当，即时取到最小值16．若恒成立，则．27．(1)(2)【分析】