广东省茂名市2024届高三上学期第一次综合测试（一模）数学 含解析

绝密★启用前2024年茂名市高三年级第一次综合测试数学试卷试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则集合的子集个数为（）A.2 B.3 C.4 D.82.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为（）A.33 B.45 C.84 D.904.曲线在点处的切线与直线平行，则（）A. B. C.1 D.25.椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线，交于，两点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.6.函数和均为上的奇函数，若，则（）A. B. C.0 D.27.若，，则（）A. B. C. D.8.数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（）A. B. C.3 D.410.过抛物线：的焦点作直线，交于，两点，则（）A.的准线方程为B.以为直径的圆与的准线相切C.若，则线段中点的横坐标为D.若，则直线有且只有一条11.在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（）A.直线与所成的角为60°B.过空间中一点有且仅有两条直线与所成的角都是60°C.过，，三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为D.过直线的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形12.从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字，，记点，，，则（）A.是锐角的概率为 B.是锐角的概率为C.是锐角三角形的概率为 D.的面积不大于5的概率为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，其中为虚数单位，则______.14.如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球的半径都为，则上层的最高点离平台的距离为______.15.动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为______.16.函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是______.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）若为的中点，且，求的最小值.18.（12分）已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：）将它们分成5组：，，，，得到如下频率分布直方图.（1）用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间，，内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.（ⅰ）已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；（ⅱ）记这3个石榴中质量在区间内的个数为，求的分布列与数学期望.19.（12分）已知数列的前项和为，数列是首项为、公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）令，为数列的前项积，证明：，.20.（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.（1）证明：；（2）点在线段上，当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面的夹角的余弦值.21.（12分）已知双曲线：（）的左焦点为，，分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为.（1）求的标准方程；（2）过点的直线与双曲线左支交于点（异于点），直线与直线：交于点，的角平分线交直线于点，证明：是的中点.22.（12分）若函数在上有定义，且对于任意不同的，，都有，则称为上的“类函数”.（1）若，判断是否为上的“3类函数”；（2）若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；（3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，.

2024年茂名市高三年级第一次综合测试数学参考答案一、单选题题号12345678答案CABCAACD二、多选题题号9101112答案CDBCDACDACD1.【答案】C【解析】集合，，则，所以集合的子集个数为.故选C.2.【答案】A【解析】解不等式得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.3.【答案】B【解析】.故选B.4.【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选C.5.【答案】A【解析】因为，因为直线垂直于轴，令，代入椭圆方程可得，解得，所以，因为，所以，即，即，所以，解得.故选A.6.【答案】A【解析】因为为奇函数，所以关于对称，又关于原点对称，所以的周期为4，所以.故选A.7.【答案】C【解析】令，，得，则，即，即，且，那么，则.故选C.8.【答案】D【解析】由题意，，两边取倒数可化为，所以，，，由累加法可得，，因为，所以，所以，因为数列是递减数列，故，即，整理可得，，因为，，所以，故.故选D.9.【答案】CD【解析】由题意，，故在，上单调递减，在上单调递增，若函数在区间上单调，则或或解得或或，即或.故选CD.10.【答案】BCD【解析】因为抛物线的方程为，所以，准线方程为，A错误；过，和的中点分别做准线的正线，，，则，连接，，因为，所以，以为直径的圆与准线相切于点，B正确；抛物线的焦点为，设，两点坐标分别为，，由抛物线的焦半径公式可知，若，又因为，此时，则线段中点的横坐标为，C正确；因为，当且仅当轴时等号成立，所以，若，则这样的直线有且只有一条，此时轴，D正确.故选BCD.11.【答案】ACD【解析】与所成的角即为与所成的角，为60°，A正确；因为直线，所成角是90°，所以过空间一点与两直线所成角为60°的直线有4条，B错误；易知平面为过，，三点的截面，该截面为梯形，周长为，C正确；对于D，如图所示，取，的靠近，的三等分点，，连接，，，，易知，，故点，，，，共面，该截面图形为五.边形，D正确.故选ACD.12.【答案】ACD【解析】易知，不共线，若是锐角，，易知共有100种情况，其中共有10种，与有相同种情况，即45种，所以是锐角的概率为，A正确；若是锐角，恒成立，所以是锐角的概率为1，B错误；若是锐角三角形，则即所以，共有9种情况，所以是锐角三角形的概率为，C正确；若，则，易知该不等式共有组正整数解，所以的面积不大于5的概率为，D正确.故选ACD.13.【答案】【解析】∵，∴.14.【答案】【解析】依次连接四个球的球心，，，，则四面体为正四面体，且边长为，所以到底面的距离为，所以最高点到平台的距离为.15.【答案】【解析】设点，因为，所以，化简得，所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，又因为直线过定点，所以点到直线的距离的最大值为点到的距离加上圆的半径，故最大值为.16.【答案】【解析】由于在区间上有且只有两个零点，所以，即，由得，，，∵，∴，∴或解得或，所以的取值范围是.17.解：（1）由正弦定理及，得，又，所以，又，∴，∴，即，又，∴.（2）由及，所以.当且仅当时等号成立，所以的最小值为.18.解：（1）该品种石榴的平均质量为，所以该品种石榴的平均质量为.（2）由题可知，这7个石榴中，质量在，，上的频率比为，所以执取们质量在，，上的石榴个数分别为2，2，3.（ⅰ）记“抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，“这3个石榴恰好来自不同区间”，则，，所以，即这3个石榴恰好来自不同区间的概率为.（ⅱ）由题意的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为0123所以.19.（1）解：由于，则，当时，，则，；当时，符合上式，则，.（2）证明：由于，那么，∵，∴，那么，即证.20.（1）证明：由于平面平面，平面平面，过点作的严线交的延长线于点，则平面.连接交于，连接，∵，，∴，∴，又，，∴四边形为矩形，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，即，又平面，平面，∴，又，∴平面，又∵平面，∴.（2）解：以为坐标原点，，，所在直线分別为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，由于在上，设，则，∴，又平面的法向量，设直线与平面所成角为，∴，解得或（舍去），∴，∴，，，设平面的法向共，平而的法向共，则即，取，得，，∴，故平面与平面夹角的余弦值为.21.（1）解：因为，所以，双曲线的一条渐近线为，因为双曲线的右顶点为，设右顶点到浙近线的距离为，由题意得解得则的标准方程为.（2）证明：①当，即时，设点，代入双曲线方程得，，解得，取第二象限的点，则，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，解得，即，因为直线是的角平分线，且.，所以直线的斜率为，直线的方程为，令，解得，即，此时，即是的中点；②当时，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程消去得，由韦达定理得，，又因为，所以，，点，又因为，所以，由题意可知，直线的斜率存在，设为，则直线：，因为是的角平分线，所以，所以，又因为，，所以，即，即，得或，由题意知和异号，所以，所