北师大版九年级上册数学期末考试试卷含答案详解

北师大版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6，2，9B．2，－6，9C．－2，－6，9D．2，－6，－92．下列函数：①；②；③；④中，是反比例函数的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．已知反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是(

)A．m＞2B．m＜-2C．m＜0D．m＞04．若x1、x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x1+x1x2+x2的值为（）A．1

B．-1

C．3

D．-35．反比例函数y=3xA．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限6．如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则OE的长是（）A．2.5 B．5 C．2.4 D．无法确定7．若x，x是一元二次方程x﹣2x﹣3＝0的两个根，则x•x的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣28．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A． B． C． D．9．现有四个外观完全一样的粽子，其中有且只有一个有蛋黄．若从中一次随机取出两个，则这两个粽子都没有蛋黄的概率是（）A． B． C． D．10．如图，直角中，，点O是的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为()A． B． C． D．二、填空题11．如果一个矩形较短的边长为5cm，两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是________．12．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为_____．13．已知关于x的一元二次方程2x2+mx+n=0的两个根是1和﹣1，则mn的值是________14．为执行“均衡教育”政策，我县2015年投入教育经费2500万元，预计2017年投入3600万元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则可列方程为_____．15．如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则△EB′C的周长为________．16．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于_____．17．某人用所带的钱去买某种每支售价1.8元的圆珠笔，恰好买12支，假设他用这些钱可买单价为x元的圆珠笔y支，那么y与x的函数关系式为________．18．如图，在一张长为，宽为的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上)，则剪下的等腰三角形的面积为______.三、解答题19．解方程（1）x2+2x﹣3=0（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）20．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：△ABE≌△DCE．21．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH．22．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．​23．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．24．我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，为了扩大销售，该店现规定，凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20－10)=1(元)，因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．问一次卖多少只获得的利润为120元？25．反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过，两点.（1）求反比例函数的表达式.（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标.（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.26．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图1，当t=3时，求DF的长．（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．参考答案1．D【详解】化成一元二次方程的一般形式即得答案.解：原方程即为：，所以其二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，－6，－9.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，属于基础题型，熟知一元二次方程的一般形式是解答的关键.2．C【详解】解：①是正比例函数，②③④是反比例函数，故选C．3．B【解析】【分析】先根据反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【详解】∵反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，∴m+2＜0，∴m＜-2．故选B．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．4．A【解析】试题分析：欲求x1+x1x2+x2的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣1，∴x1+x1x2+x2=x1+x2+x1x2=2﹣1=1．故选A．考点：一元二次方程根与系数的关系．5．B【解析】试题分析：反比例函数y=3>0函数经过一、三象限考点：反比例函数图像与参数之间的关系点评：此题比较简单，学生理解函数的图像和性质，问题就不难了6．C【详解】试题分析：根据菱形的性质可得：△AOB为直角三角形，AO=4，BO=3，则根据勾股定理可得：AB=5，根据等积法可得：OE=.7．B【解析】【分析】根据根与系数的关系即可得到答案．【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，∴x1•x2＝＝﹣3．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则x1+x2=，x1x2=．8．A【详解】左视图从左往右看，正方形的个数依次为：3，1．故选A．9．B【分析】根据概率的求法，先画出树状图，求出所有出现的情况，即可求出答案．【详解】解：用A表示没蛋黄，B表示有蛋黄的，画树状图如下：∵一共有12种情况，两个粽子都没有蛋黄的有6种情况，∴这两个粽子都没有蛋黄的概率是．故选B．【点睛】此题主要考查了画树状图求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．10．D【详解】解：∵点O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故选D．11．cm2​【解析】【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．【详解】如图：AB=5cm，∠AOB=60°，∵四边形是矩形，AC，BD是对角线，∴OA=OB=OD=OC=BD=AC，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，∴OA=OB=AB=5cm，BD=2OB=2×5=10cm，∴BC=cm，∴矩形的面积=25cm2．故答案为：25．【点睛】此题考查矩形的性质，矩形的两对角线所夹的角为60°，那么对角线的一边和两条对角线的一半组成等边三角形．本题比较简单，根据矩形的性质解答即可．12．x（x+40）=1200．【分析】先表示出矩形场地的长，再根据矩形的面积公式即可列出方程．【详解】由题意可得，x（x+40）=1200，故答案是：x（x+40）=1200．【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．13．0【解析】试题分析：∵关于x的一元二次方程2x2+mx+n=0的两个根是1和﹣1，∴1+（﹣1）=﹣ba=﹣m2=0，1×（﹣1）=ca∴m=0，n=﹣2．∴mn=0．故答案为0．考点：一元二次方程根与系数的关系14．2500(1+x)2=3600【解析】解：根据题意得：2500(1+x)2=3600．故答案为2500(1+x)2=3600．15．11【解析】试题分析：根据翻折图形的性质可得：B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，结合对顶角得出△ADE和△CB′E全等，则B′E=DE，则△EB′C的周长=B′C+B′E+CE=BC+DE+EC=BC+CD=AD+AB=3+8=11．16．2【详解】试题分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x=0代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值，还要注意一元二次方程的系数不能等于0．试题解析：把x=0代入（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0中得：m2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，∵m-1≠0，∴m≠1，∴m=2．考点：一元二次方程的解．17．y=【解析】【分析】首先求出此人用带的钱数，进而利用买单价为x元的圆珠笔y枝，进而得出y与x的函数关系式．【详解】∵某人用所带的钱去买某种每枝售价1.8元的圆珠笔，恰好买12枝，∴所需总钱数为：1.8×12=21.6（元），∵假设他用这些钱可买单价为x元的圆珠笔y枝，∴y与x的函数关系式为：y=．故答案为：y=．【点睛】本题考查了根据实际问题列函数式，利用xy=21.6进而得出是解题关键．．18．或5或10【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．【详解】（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；当AE=AF=5厘米时，∴S△AEF=AE•AF=×5×5=厘米2；（2）当AE=EF=5厘米时，如图：BF==厘米，所以S△AEF=•AE•BF=×5×=厘米2；（3）当AE=EF=5厘米时，如图：DF==4厘米，所以S△AEF=AE•DF=×5×4=10厘米2．综上，S△AEF=或5或10厘米2，故答案为或5或10.19．（1）x1=1x2=-3；（2）x1=x2=2．【详解】试题分析：（1）方程左边进行因式分解，将方程化为两个一元一次方程，进行求解即可；（2）移项，提取公因式（x-2）,将方程化为两个一元一次方程，进行求解即可.试题解析：(1)x2＋2x－3＝0，∴(x＋3)(x－1)＝0，∴x+3=0，x-1=0，∴x1＝1，x2＝－3.(2)3x(x－2)＝2(2－x)3x(x－2)+2(x－2)=0(3x＋2)(x－2)＝0，∴3x＋2＝0或x－2＝0，解得x1＝－，x2＝2.20．证明见解析【解析】【分析】先由四边形ABCD是矩形，得出AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，由EA=ED，得出∠EAD=∠EDA，根据等式的性质得到∠EAB=∠EDC，然后利用SAS即可证明△EAB≌△EDC.【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD，∵AE=DE，∴∠EAB=∠EDA，∴∠BAE=∠CDE，∴△ABE≌△DCE．【点睛】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.21．（1）如图所示；（2）路灯灯泡的垂直高度为4．8米．【分析】（1）连结CA并延长交HG的延长线于G点，则G点为路灯灯泡所在的位置；

（2）由AB∥GH，可判断△CBA∽△CHG，然后利用相似比可计算出GH的长．【详解】解：（1）如图，CA与HE的延长线相交于G；（2）AB=1.6m，BC=3m，HB=6m，∵AB∥GH，∴△CBA∽△CHG，∴，即，∴GH=4.8，即路灯灯泡的垂直高度GH=4.8m．【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了相似三角形的判定与性质．22．90米【分析】根据相似三角形的性质得出,进而代入求出即可．【详解】解答：根据题意得出：QR∥ST，

则△PQR∽△PST，

故，

∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，

∴，

解得：PQ=90（m），

∴河的宽度为90米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR∽△PST是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）PE=QE，理由见解析；（3）PE的长为3.4．【解析】试题分析：(1)、根据正方形的性质得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，结合∠PDQ=90°得出∠ADP=∠CDQ，从而说明△APD和△CQD全等，从而得出答案；(2)、根据全等得出PD=QD，根据DE为角平分线得出∠PDE=∠QDE，从而说明△PDE和△QDE全等，得出答案；(3)、根据(2)得出PE=QE，根据(1)得出CQ=AP=1。从而得到BQ=5，BP=3，设PE=QE=x，然后利用Rt△BPE的勾股定理得出x的值，得出答案.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，∵∠PDQ=90°，∴∠ADP=∠CDQ，在△APD和△CQD中，∴△APD≌△CQD（ASA），∴AP=CQ；（2）PE=QE，理由如下：由（1）得：△APD≌△CQD，∴PD=QD，∵DE平分∠PDQ，∴∠PDE=∠QDE，在△PDE和△QDE中∴△PDE≌△QDE（SAS），∴PE=QE；（3）由（2）得：PE=QE，由（1）得：CQ=AP=1，∴BQ=BC+CQ=5，BP=AB﹣AP=3，设PE=QE=x，则BE=5﹣x，在Rt△BPE中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2=x2，解得：x=3.4，即PE的长为3.4．点睛：本题主要考查的就是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形的勾股定理的应用.在解答这个问题的时候，利用好正方形的性质得出全等是关键.同学们在解答这种问题，很多时候不明白上面证明的结论是否可以作为下面一题的条件，对于这个问题，我们一定知道，上面的证明题如果没有添加辅助条件得出的结论可以作为下面的条件，如果是小题里面添加了附加条件得出的结论是不能拿来使用的.24．20只【分析】设每次卖x只，所获得的利润为120元，根据我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，为了扩大销售，该店现规定，凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，可列方程求解.【详解】设每次卖x只，所获得的利润为120元，x[20-13-0.1（x-10）]=120x2-80x+1200=0x=20或x=60（舍去）．（因为最多降价到16元，所以60舍去．）故卖20只时利润可达到120.25．（1）；（2）；（3），,，.【解析】【分析】（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式．

（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可．

（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．【详解】解：（1）把，代入得②-①得.∴反比例函数的表达式为.（2）由解得，∵点A在第一象限，∴点A的坐标为.(3)OA==,OA与x轴所夹锐角为45°，①当OA为腰时,由OA=OP1得P1(,0)，由OA=OP2得P2(−,0)；由OA=AP3得P3(2,0).②当OA为底时,OP4=AP4得P4(1,0).∴符合条件的点有4个,分别是(,0),(−,0),(2,0),(1,0).【点睛】本题综合考