北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．4.52．如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸展开，一定可以得到一个（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形3．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，下列条件中，可使四边形EFGH是矩形的是（）A．AB=CD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD∥BC4．在中，点、、分别在、、上且，，下列四个判断中不正确的是（）A．四边形是平行四边形B．如果，那么四边形是矩形C．如果，那么四边形是菱形D．如果平分，那么四边形是菱形5．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A． B． C．且 D．且6．一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（）A． B． C． D．7．布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（）A． B． C． D．8．如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：；；；，能满足与相似的条件是（）A． B． C． D．9．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为()A．B．（m，n）C．D．二、填空题10．已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____．11．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______________.12．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN．若MN＝1，BD，则菱形的周长为________.13．已知，，，是成比例线段，其中，，，则________．14．一台机器原价万元，两年后这台机器的价格为万元，如果每年的折旧率相同，则这台机器的折旧率为________．15．在一张比例尺为的地图上，艺术楼到学校食堂的图上距离为，那么艺术楼到学校食堂的实际距离为________．16．与相似且对应中线的比为，则与面积的比为________．17．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．18．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为___________．19．如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间秒（），连接．若与相似，则的值为__________．三、解答题20．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC；（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：；（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：．21．按要求解方程（1）x2-4x+1=0（配方法）（2）4x2-6x-3=0（运用公式法）（3）(2x-3)2=5(2x-3)（分解因式法）（4）(x+8)(x+1)=-1222．小华和小军做摸球游戏，A袋中装有编号为1,2,3的三个小球，B袋中装有编号为4,5,6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同，从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出的小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．23．某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？24．如图，中，点为边上的一个动点，过点作直线，设交的外角平分线于点，交内角平分线于．求证：；当点运动到何处时，四边形是矩形，并证明你的结论；在的条件下，试猜想当满足什么条件时使四边形是正方形，请直接写出你的结论．25．如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动．几秒时，的面积为？几秒时，由、、三点组成的三角形与相似？26．已知：如图①，在平行四边形中，，，．沿的方向匀速平移得到，速度为；同时，点从点出发，沿着方向匀速移动，速度为；当停止平移时，点也停止移动，如图②．设移动时间为．连接、、．解答下列问题：当为何值时，？当时，求的面积；是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案与详解1．C【详解】【分析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M求得E′M的长即可得答案．【详解】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，则有PE+PM=PE′+PM=E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，∵AC=6，BD=6，∴AB=，由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M得×6×6=3•E′M，解得：E′M=2，即PE+PM的最小值是2，故选C．【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，确定出点P的位置是解题的关键.2．A【解析】【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，从而可以进行从题后的答案中选择．【详解】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，只有菱形满足这一条件．故选：A．【点睛】此题考查了利用对称设计图案以及菱形的判定，关键是根据对折实际上就是轴对称性质的运用进行解答．3．B【分析】连接AC,BD，根据中位线的性质及矩形的判定方法即可求解.【详解】连接AC,BD，∵顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，∴EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，要使四边形EFGH为矩形，则EF⊥EH，故EF⊥AC，则AC⊥BD，故选B【点睛】此题主要考查中点四边形的判定，解题的关键是熟知中位线定理与矩形的判定定理.4．C【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法一一判断即可．【详解】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，

∴∠FAD=∠ADF，∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故D正确；故选C．【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法．5．D【详解】分析：根据一元二次方程根的判别式进行计算即可.详解：根据一元二次方程一元二次方程有两个实数根，解得：，根据二次项系数可得：故选D.点睛：考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.6．D【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球标号为偶数的情况数，即可求出概率．【详解】列表得：所有等可能的情况数有9种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为，故选D．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．A【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，∴两次都摸到白球的概率为．故选A．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．D【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.【详解】当，，所以∽,故条件①能判定相似，符合题意；当，，所以∽，故条件②能判定相似，符合题意；当，即AC：：AC，因为所以∽，故条件③能判定相似，符合题意；当，即PC：：AB，而，所以条件④不能判断和相似，不符合题意；①②③能判定相似，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.9．D【分析】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标：【详解】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），所以：位似比为2：1，∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：．故选D．10．﹣3【详解】【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可．【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，因为k≠0，所以k的值为﹣3．故答案为﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11．3【分析】由四边形ABCD是菱形，OB=4，根据菱形的性质可得BD=8，在根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得AC=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得OH的长.【详解】∵四边形ABCD是菱形，OB=4，∴OA=OC，BD=2OB=8；∵S菱形ABCD=24，∴AC=6；∵AH⊥BC，OA=OC，∴OH=AC=3.故答案为3.【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得AC=6是解题的关键.12．8【解析】【分析】由三角形中位线的性质可求出AC的长，根据菱形的性质可得OA、OB的长，利用勾股定理可求出AB的长，即可求出菱形的周长.【详解】∵M、N分别为边AB、BC的中点，MN=1，∴AC=2MN=2，∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，BD=2，∴OA=AC=1，OB=BD=，∴AB==2，∴菱形的周长=4AB=8，故答案为：8【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质及勾股定理，菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分且平分对角；三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半.熟练掌握相关性质是解题关键.13．【解析】【分析】根据比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把a=2m，b=4m，c=5m代入进行计算即可．【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴a：b=c：d，而a=2m，b=4m，c=5m，∴d==10（m）．故答案为：10．【点睛】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有a：b=c：d，那么这四条线段成比例．14．【解析】【分析】可设这台机器的折旧率为x，根据等量关系：原价×（1-折旧率）2=两年后这台机器的价格，依此列出方程求解即可．【详解】解：设这台机器的折旧率为x，依题意有60（1-x）2=48.6，解得x1=1.9（不合题意，舍去），x2=0.1．答：这台机器的折旧率为10%．故答案为：10%．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．15．【解析】【分析】根据比例尺的定义列式计算即可得解．【详解】解：设实际距离是为xcm，根据题意得，解得x=40000，40000cm=400m．故答案为：400．【点睛】本题考查了比例线段，需注意单位转换．16．【解析】【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出两三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：5，∴△ABC与△DEF的相似比为3：5，∴△ABC与△DEF面积的比为9：25．故答案为：9：25．【点睛】本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，求出两三角形的相似比是解题的关键．17．AD=BC．【详解】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．解：条件是AD=BC．∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EH∥=BC，GF∥=BC，∴EH∥=GF，∴四边形EFGH是平行四边形．要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，∴GH=GF，∴四边形EFGH是菱形．18．9.【详解】试题分析：由ABCD为正方形，根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，又根据CG与BE垂直得到∠BCG+∠CBG=90°，根据同角的余角相等得到一对角相等，又根据一对直角相等，利用“AAS”即可得到三角形BCG与三角形FBA全等，根据全等三角形的对应边相等得到AF与BG相等，又因为FH=FB，从而得到AH=FG，然后由垂直得到一对直角相等，加上一个公共角，得到三角形APH与三角形ABF相似，根据相似得比例，设AH=FG=x，用x表示出PH，由四边形PHFB一组对边平行，另一组对边不平行得到此四边形为梯形，根据梯形的面积公式，由上底PH，下底为BF=3，高FH=3，表示出梯形的面积；然后在三角形BCG与三角形ECG中，根据同角的余角相等，再加上一对直角得到两三角形相似，根据相似得比例，用含x的式子表示出GE，由CG=3，利用表示出的GE，利用三角形的面积公式表示出直角三角形CGE的面积，把表示出的两面积相加，化简即可得到值．试题解析：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，又CG⊥BE，即∠BGC=90°，∴∠BCG+∠CBG=90°，∴∠ABF=∠BCG，又AF⊥BG，∴∠AFB=∠BGC=90°，∴△ABF≌△BCG，∴AF=BG，BF=CG=FH=3，又∵FH=BF，∴AH=FG，设AH=FG=x，∵PH⊥AF，BF⊥AF，∴∠AHP=∠AFB=90°，又∠PAH为公共角，∴△APH∽△ABF，∴，即PH=，∵FH∥BF，BP不平行FH，∴四边形BFHP为梯形，其面积为；又∵∠BCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠BEC=90°，∴∠BCG=∠BEC，又∠BGC=∠CGE=90°，∴△BCG∽△CEG，∴，即GE=，故Rt△CGE的面积为×3×，则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．考点:1.正方形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质．19．秒或秒【解析】设运动时间为t秒（0<t<2），则BP=5t，CQ=4t，BQ=8-4t，先利用勾股定理计算出AB=10，分类讨论：当△BPQ∽△BAC时，根据相似三角形的性质的=；当△BPQ∽△BQP，根据相似三角形的性质得=，然后分别解方程求出t的值即可.解：设运动时间为秒（），则．，．∵，且，∴．当时，∴，∴，∴．当时，即，∴．20．（1）详见解析；（2）详见解析，A1（﹣3，3）；（3）详见解析，A2（6，6）．【分析】（1）根据A、B、C三点坐标画出图形即可；（2）作出A、B、C关于轴的对称点A1、B1、C1即可；（3）延长OC到C2，使得OC2=2OC，同法作出A2，B2即可；【详解】（1）△ABC如图所示；（2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3），（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．故答案为（﹣3，3），（6，6）．【点睛】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．；；或【解析】【分析】根据一元二次方程的解法即可求解．【详解】，∴，∴；∵，，，∴，∴；，∴，∴或；，∴，∴，或【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题型．22．不公平【分析】根据题意，列表表示所有的可能，然后求出符合条件的可能，再根据概率的意义求解即可.【详解】列表如下B袋

A袋

4

5

6

1

3

4

5

2

2

3

4

3

1

2

3

共有9种等可能结果，其中B袋中数字减去A袋中数字为偶数有4种等可能结果；则小军胜的概率为1-=∵，∴不公平.考点：列表或画树状图求概率23．每千克应涨价5元【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少20千克，每天盈利6000元，列出方程，求解即可．【详解】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：（10+x）（500﹣20x）＝6000，解得：x＝5或x＝10，要尽量减少库存，那么每千克应涨价5元；答：每千克应涨价5元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（1）见解析；（2）当点运动到中点处时，四边形是矩形，理由见解析；（3）当时，四边形是正方形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的判定方法解答．【详解】解：如图中，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理，，∴．结论：当点运动到中点处时，四边形是矩形．理由：如图中，如图，，∴四边形为平行四边形，∵平分，∴，同理，，∴，∴四边形是矩形．结论：当时，四边形是正方形理