辽宁省部分高中2023-2024学年高二上学期期末考试 数学 含解析

2023—2024学年度上学期期末考试高二试题数学命题人：本溪高中陈静盘锦高中黄简审题人：本溪高中陈静盘锦高中黄简考试时间：120分钟满分：150分第I卷（选择题，共60分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）1.己知随机变量，则（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.72.二项式展开式的常数项为（）A. B.70 C. D.3.下列有关回归分析的说法正确的是（）A.样本相关系数越大，则两变量相关性就越强.B.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线.C.回归直线方程不一定过样本中心点.D.回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系.4.直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦是（）A. B. C. D.5.已知双曲线的离心率为2，则双曲线两条渐近线的夹角为（）A. B. C. D.6.2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有多少种（）A.90种 B.150种 C.180种 D.240种7.小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（）A. B. C. D.8.某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏，有7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，假设他每次掷中的概率是，且每次投掷之间相互独立，则小明在此次游戏中得7分的概率是（）A. B. C. D.二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9.已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（）A.B.展开式中的系数为280C.展开式中所有项的系数和为D.展开式中的第二项为10.已知正方体的棱长为为棱中点，为棱上的动点（包括端点），下面说法正确的是（）A.平面截正方体截得多边形是正方形B.长度的最大值为6C.存在点，使得D.当为棱中点时，点到直线的距离为11.已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，点在准线上的射影分别为点，则下列结论正确的是（）A.B.若为线段的中点且，则点到轴的距离为4C.若，则直线的斜率为D.12.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出次骰子后，下列结论正确的是（）A.第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为B.第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是C.第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设随机变量的方差，则的值为__________.14.某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.15.现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有__________种.16.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长､短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆，则其蒙日圆方程为__________，若为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､两点，则面积的最大值为__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.某市为了了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：分钟性别女生10305010男生5205025根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”.根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“学生体育运动时间与学生性别因素有关联”不合格合格合计女生男生合计附：，（其中.0.150100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87918.如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的大小.19.某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.（1）应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：20.在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.（1）求曲线方程；（2）直线与交于两点，求过两点且与直线相切的圆的方程.21.某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：旅游消费支出频数1238845213810（1）根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上；（2）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率.（参考数据：）22.过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且.（1）求双曲线C标准方程；（2）若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积.2023—2024学年度上学期期末考试高二试题数学命题人：本溪高中陈静盘锦高中黄简审题人：本溪高中陈静盘锦高中黄简考试时间：120分钟满分：150分第I卷（选择题，共60分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）1.己知随机变量，则（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】C【解析】【分析】由正态分布的性质计算即可得.【详解】由，，则，故.故选：C.2.二项式展开式的常数项为（）A. B.70 C. D.【答案】D【解析】【分析】由，令得出后代入计算即可得.【详解】，令，即，故，即展开式的常数项为.故选：D.3.下列有关回归分析的说法正确的是（）A.样本相关系数越大，则两变量的相关性就越强.B.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线.C.回归直线方程不一定过样本中心点.D.回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系.【答案】D【解析】【分析】由知识点：两变量的相关性就越强，则相关系数越接近或，当相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关；回归直线方程一定过样本中心点；回归直线是基于样本数据使残差平方和最小的拟合直线，可得正确答案.【详解】由知识点：两变量的相关性就越强，则相关系数越接近或可知A不正确；由回归直线是基于样本数据使残差平方和最小的拟合直线可判断B不正确；由回归直线方程一定过样本中心点可知C不正确；由当相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关可得D正确.故选:D4.直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的数量积运算公式,利用坐标法即可求解.【详解】由，得，所以，三棱柱是直棱柱，所以平面，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示直角坐标系，由，可得，，，，所以，，设直线与夹角，则，因为，，，所以，所以直线与夹角的余弦是.故选：B.5.已知双曲线的离心率为2，则双曲线两条渐近线的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用离心率求出的关系，再求出渐近线方程，进而求出双曲线两条渐近线的夹角.【详解】双曲线的离心率为，解得，，所以.双曲线两条渐近线方程分别是和，它们倾斜角分别是和，从而双曲线两条渐近线的夹角为.故选：B6.2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有多少种（）A.90种 B.150种 C.180种 D.240种【答案】A【解析】【分析】现将第一小组5人分层组，为一组1人两组2人，再将其分分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆即可得出答案.【详解】现将第一小组5人分层组，为一组1人两组2人，所以有种，再将其分分配到击剑､拳击､柔道比赛场馆种，所以共有种.故选：A.7.小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算事件的概率，再利用条件概率计算即可.【详解】由题意可知两家都没选择丹东凤凰山，即，所以，而有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则，所以.故选：D8.某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏，有7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，假设他每次掷中的概率是，且每次投掷之间相互独立，则小明在此次游戏中得7分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解．【详解】在游戏中恰好得7分可分为三类情况：①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，故概率为，②若连中3次，额外加2分布，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为，③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为，综上，该生在比赛中恰好得7分概率为．故选：D【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得小明在游戏中得7分的三种情况，从而得解.二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9.已知的展开式的各二项式系数的和为128，则（）A.B.展开式中的系数为280C.展开式中所有项的系数和为D.展开式中的第二项为【答案】AC【解析】【分析】利用二项式定理及二项式系数的性质、二项展开式的通项公式、赋值法逐一进行判断.【详解】由二项式系数性质，可得：.故A正确；展开式通项为，令，则的系数为：，故B错误；令可得所有项的系数和为，故C正确；展开式的第二项为：，故D错误.故选：AC10.已知正方体的棱长为为棱中点，为棱上的动点（包括端点），下面说法正确的是（）A.平面截正方体截得的多边形是正方形B.长度的最大值为6C.存在点，使得D.当为棱中点时，点到直线的距离为【答案】BCD【解析】【分析】先建立空间直角坐标系后求出所需各点坐标，对A：求出长度后可得；对B：表示出长度即可得，对C：借助向量数量积即可得；对D：借助空间向量求点线距即可得.【详解】以为原点建立空间直角坐标系，则、、、、、，则，，，由，故，故A错误；可设，则，由，故长度的最大值为，故B正确；，，故，则当时，有，即存在点，使得，故C正确；当为棱中点时，，，有，则，故D正确.故选：BCD.11.已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，点在准线上的射影分别为点，则下列结论正确的是（）A.B.若为线段的中点且，则点到轴的距离为4C.若，则直线的斜率为D.【答案】ABD【解析】【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据抛物线的定义可判断A；设、，由焦点弦的性质判断B、C；首先证明，再利用基本不等式判断D.【详解】因为抛物线：的焦点到准线的距离为4，所以，则抛物线：，所以焦点，准线为，对于A，由抛物线的定义可知，，，所以，又因为轴，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故A正确；对于B，依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，由，消去得，显然，所以，，则，，则，解得，又为线段的中点，则，所以点到轴的距离为，故B正确；对于C，过点作交点，由于，不妨设，则，，由抛物线的定义可知，，，则在直角中，，此时的倾斜角为，根据抛物线的对称性可知，的倾斜角为或，则直线的斜率为或，故C错误；对于D，所以，所以，所以，当且仅当，即时取得等号，故D正确.故选：ABD.12.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出次骰子后，下列结论正确的是（）A.第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为B.第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量期望是C.第一次扔完骰子小球位于且第五次位于1的概率D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率【答案】AD【解析】【分析】计算出小球每次向左向右的概率后，结合概率公式与期望算法逐个计算即可得.【详解】扔出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为；对A：若两次运动后，小球位于原点，小球在两次运动之中一定一次向左一次向右，故其概率为，故A正确；对B，设这个随机变量为，则的可能取值为、、、，其中，，故其期望，故B错误；对C：第一次扔完骰子小球位于，即第一次向左移动，且第五次位于1，则后续中小球向右3次，向左1次，故其概率为，故C错误；对D：第五次扔完骰子，小球位于1，即两次向左，三次向右，故其概率，小球位于3，则四次向右，一次向左，故其概率，有，故D正确.故选：AD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设随机变量的方差，则的值为__________.【答案】12【解析】【分析】根据公式求解.【详解】故答案为：1214.某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.【答案】【解析】【分析】根据全概率公式求解即可.【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为：.故答案为：.15.现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有__________种.【答案】144【解析】【分析】相邻问题用捆绑法计算即可得.【详解】采用捆绑法，将同一类的书放在一起后排列可得.故答案为：144.16.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长､短半轴的平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆，则其蒙日圆方程为__________，若为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于､两点，则面积的最大值为__________.【答案】①.②.7【解析】【分析】根据半径为蒙日，即可得圆的方程，由定义可知，于是为蒙日圆的直径，过点，利用面积公式可将面积转化为蒙日圆半径，即可求解最值.【详解】椭圆方程为：，蒙日圆半径为，由题可知，所以蒙日圆方程为，由于为其蒙日圆上一动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交､两点，根据蒙日圆定义可知，于是为蒙日圆直径，过点，，可知，所以的面积为：，当且仅当取等号，故答案为：，7.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.某市为了了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：分钟性别女生10305010男生5205025根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”.根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“学生体育运动时间与学生性别因素有关联”不合格合格合计女生男生合计附：，（其中.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.6357.879【答案】表格见解析，有的把握认为学生体育运动时间与学生性别因素有关联【解析】【分析】根据卡方的计算，与临界值比较即可求解.【详解】列联表：

不合格合格合计女生4060100男生2575100合计65135200因为，所以有的把握认为学生体育运动时间与学生性别因素有关联.18.如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）连接由题意可得平面，即可得，结合题目条件可得，由线面垂直的判定定理即可得平面；（2）建立空间直角坐标系后得出各点坐标，分别计算出平面与平面的法向量，借助向量即可得二面角的平面角的大小.【小问1详解】为的中点，连接，由题意得平面，又平面，所以，因为，所以，又平面，所以平面；【小问2详解】以的中点为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，由题意知各点坐标如下：，由故，，故，因此，设平面的法向量为，平面的法向量为，由，即，令，可取，由，即，令，可取，于是，由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角的平面角为.19.某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.（1）应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：【答案】（1）3人，2人，2人.（2）①答案见解析；②，【解析】【分析】（1）根据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.（2）①本小问符合超几何分布可以根据超几何分布公式求随机变量X的分布列.②本小问符合二项分布可以根据二项分布公式求Y的期望和方差.【小问1详解】由已知选取的三个年级的人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取3人，2人，2人.【小问2详解】①随机变量X符合超几何分布，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.则所以，随机变量的分布列为0123②取一个学生就是一次试验，有“睡眠不足”和“睡眠充足”两个结果，抽3个学生相当于3次独立重复抽一个学生的试验，于是符合二项分布，所以20.在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）直线与交于两点，求过两点且与直线相切圆的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）借助抛物线定义即可得；（2）联立直线与抛物线可得与交点横坐标有关韦达定理，该圆过两点，故圆心在线段的垂直平分线上，与相切，故半径与圆心到直线的距离相等，设出该圆方程，借助待定系数法计算即可得.【小问1详解】由题意得，点到直线的距离等于它到定点的距离，点的轨迹是以