2025版高考物理全程一轮复习第十一章磁场安培力与洛伦兹力专题强化九带电粒子在磁场中运动的临界极值及多解问题学案

专题强化九带电粒子在磁场中运动的临界、极值及多解问题1.会分析带电粒子在匀强磁场中的临界问题和多解问题．2．会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应临界状态或极值的轨迹．考点一带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题带电粒子在磁场中的临界、极值问题的分析思路和方法两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值两种方法物理方法(1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量图求极值数学方法(1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)用不等式的性质求极值；(4)图像法等从关键词找突破口许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件例1如图所示，垂直于纸面的匀强磁场在∠DAC为30°、边长为a的菱形内部，对角线交点为O.某带电粒子以速度v1从O点沿OA方向射出时，恰好没有穿出磁场边界；该带电粒子以速度v2从O点沿OB方向射出时，仍恰好没有射出磁场边界．不计粒子重力，则v1A．1B．2C．3D．6－33例2[2024·四川省成都市石室中学高三三诊]一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束24He粒子在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．已知粒子的质量为m、电荷量为A．3qBL4mB．C．5qBL8mD．例3(多选)[2024·陕西西安市模拟]2023年1月7日，中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置(EAST)，发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义．其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内．如图所示，环状磁场的内半径为R1，外半径为R2，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v.中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为R2的区域内，不计粒子重力，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是()A.vkRC．3vkR考点二带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．带电粒子在磁场中运动的多解问题解题思路：(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因．(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况(全面考虑多种可能性)．(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件．例4(多选)[2022·湖北卷]在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为()A．13kBL，0°B．12C．kBL，60°D．2kBL，60°例5如图所示的等腰梯形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B，等腰梯形中∠P＝45°，PQ＝2MN＝4L，一带电粒子束由M点沿垂直PM方向射入匀强磁场，带电粒子刚好不从PQ边界射出磁场，已知粒子的比荷为k，粒子的重力忽略不计．则下列说法正确的是()A．粒子的轨道半径可能为(2＋2)LB．粒子的速度为(2－2)BkLC．粒子在磁场中运动的时间可能为πD．粒子在磁场中运动的时间一定为π核心素养提升“数学圆”法在磁场中的应用1.“放缩圆”模型法的应用“放缩圆”法粒子射入方向确定，但速率v或磁感应强度B变化时，以入射点为定点，作出半径不同的一系列轨迹，从而探索出临界条件．典例1(多选)[2024·湖南联考模拟]一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，∠abc＝135°，其他地方磁场的范围足够大．一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是()A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等B．从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于πmD．粒子在磁场中的最长运动时间小于3πm2．“旋转圆”模型法的应用“旋转圆”法粒子速率v一定，但射入的方向变化时，以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件．典例2(多选)[2024·河南名校模拟]某个粒子分析装置的简化示意图如图所示，在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)中，有一圆心为O、半径为R的圆形无磁场区域，在圆形边界的P点处有一α粒子发射源，可在图示∠GPH＝90°范围内沿纸面随机向磁场区域发射速度大小相同的α粒子，在圆经过P点的直径上，固定一长度为2R的荧光挡板，α粒子击中荧光挡板后被吸收并发出荧光．已知PG与直径QP延长线的夹角为30°，α粒子的质量为m，电荷量为q.不计α粒子的重力和粒子间的相互作用，当α粒子的速度为v＝qBRmA．所有进入圆形区域的α粒子均垂直击中荧光挡板B．荧光挡板上α粒子打到的区域长度为R，且击中荧光挡板的α粒子的位置均匀分布C．α粒子在磁场中运动的最长时间为5πmD．α粒子在无磁场区域运动的最长时间为m3．“平移圆”模型法的应用“平移圆”法粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但入射点在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝mv0典例3(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为qBdmA．粒子在磁场中的运动半径为dB．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为πmD．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为πm专题强化九带电粒子在磁场中运动的临界、极值及多解问题考点一例1解析：当带电粒子沿OA方向射出时，轨迹如图甲所示，设粒子运动的轨迹半径为r1，由几何知识有sin60°＝r1a2−r1，解得r1＝23−32a，当带电粒子沿OB方向射出时，轨道如图乙所示，设粒子运动的轨迹半径为r2，由几何知识有tan30°＝r2a2答案：D例2解析：根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有qvB＝mv又有T＝2πrv＝设粒子运动轨迹所对的圆心角为α，则运动时间为t＝α2π·T＝可知，α越大，运动时间越长，当粒子运动时间最长时，运动轨迹如图所示，即当圆弧经过c点时α最大由几何关系有L2＋(2L－R)2＝R2解得R＝54联立可得v＝qBRm＝5qBL4m答案：B例3解析：由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，以带正电粒子为例，运动轨迹如图所示由几何知识可知，粒子最大轨道半径r＝R粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝mv解得B＝2v要使粒子不离开磁场B≥2v由于2R2vkR2故选CD.答案：CD考点二例4解析：若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图根据几何关系则有R＝L，qvB＝mv可得v＝qBLm＝根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.当粒子上下均经历一次时，如图因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝12根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv可得v＝qBL2m＝1此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v＝qBL2n−1m＝1此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝qBL2nm＝12nkBL(此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.故可知B、C正确，A、D错误．答案：BC例5解析：若粒子带正电，粒子的轨迹如图中1所示，设粒子的轨道半径为R1，由几何关系得O1P＋O1M＝2L，即2R1＋R1＝2L，解得R1＝(2－2)L，由qv1B＝mv12R1，解得v1＝(2－2)BkL，粒子在磁场中的运动周期为T＝2πmqB＝2πkB，粒子在磁场中偏转的角度为180°，则粒子在磁场中运动的时间为t1＝T2＝πkB.若粒子带负电，粒子的轨迹如图中2所示，轨迹与上边界PQ相切，设粒子的轨道半径为R2，由几何关系得R2＝2(R2－L)，解得R2＝(2＋2)L，由qv2B＝mv22R2，解得v2答案：A核心素养提升典例1解析：画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如下图所示当粒子都从ab边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等，为πmqB，当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于πm当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中最长运动时间小于3πm2qB答案：AD典例2解析：α粒子在磁场中运动的轨迹半径为r＝mvqB＝R，则从P点射出的α粒子运动的轨迹如图，由几何关系可知，四边形O′MOP为菱形，可知O′M水平，则从M点进入圆形区域的粒子速度竖直向下，垂直击中荧光挡板，选项A正确；沿着PG方向射出的粒子打到挡板上的位置最远，由几何关系可知，最远点与P点的距离为32R，并且从O到P，距P点越近，粒子数量越多，粒子分布不均匀，选项B错误；沿着PH方向射出的粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为330°，则最长时间t＝330°360°·2πRv＝11πm6qB，选项C错误；水平向左射出的α粒子在无磁场区域运动的时间最长，为t答案：AD典例3解析：