2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题157 分式章末题型过关卷（人教版）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列第15章

分式章末题型过关卷

【人教版】

考试时间：60分钟:满分：100分

姓名：班级：考号：

考卷信息：

本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖

面厂，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2022•河北•一模）只把分式『中的m,八同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则

5n

此时Q的值可以是下列中的（）

A.2B.mnC.-D.

3

2.（3分）（2022•全国•八年级单元测试）计算学（一鸿门的结果是（)

次

A.-xB.--C.-D.

yyy

3.（3分）（2022•全国•八年级专题练习）若分式方程上+2=写有增根，贝丸的值是（）

x-2x-2

A.1B.-1C.2D.-2

4.（3分）（2022•山东威海•期中）设口=-、一3，q=二，一士，则p,q的关系是（）

ra+lb+11a+1b+1r1

A.p=qp>q

C.p=-qD.p<q

5.（3分）（2022•浙江•杭州市文澜中学七年级期中）一件工程，甲单独做需要。小时完成，乙单独做需要

物小时完成.若甲、乙一人合作完成此项工作，需要的时间是（）

A.匕心小时B.0+工）小时C.二一小时D.0■小时

2\ab/a+ba+b

6.（3分）（2022•广西贵港•八年级期中）已知乙一乙二3,则分式型出3的值为（）

xyx-xy-y

A.8B.-C.-D.4

27

7.（3分）（2022・甘肃・临泽县第三中学九年级期中）《九章算术》中记载：“今有兔先走一百步，犬追之

二百五十步，不及三十步而止.问犬不止，复行几何步及之？〃大意是说：兔子先出发100步，然后狗出发,

狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停

的话，再跑“步可以追到兔子，则可列方程为（）

250X、250x-30-250X+30仁250X

AA.—=---B.—=---C.—=---D.—=---

180X+30180X180X180X-30

>2y+l

8.（3分）（2022•重庆巴蜀中学九年级阶段练习）若关于y的不等式组12&的解集为）《一4,且

关干x的分式方程=+4=二的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）

x-33-x

A.12B.14C.19D.21

9.（3分）（2022•山东•济南外国语学校九年级）设xWO,yWO,zWO,则三数%+匕y+Lz+"|」（）

yzx

A.都不大于一2B.都不小于一2

C.至少有一个不大于2D,至少有一个不小于2

10.（3分）（2022・湖南•衡阳市成章实验中学八年级阶段练习）三知函数/•（%）=指，其中/（a）表示％=。时

对应的函数值，如/（。二后，/'（2）=展，则/•（/）+f（/）+./G）+f（l）+f（2）+...+f（2021）+f（2022）

的值为（）

A.2022B.2021C.4043D.4042

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2022•辽宁大连•八年级期末）已知彳=5=9则2*=

234yz----

12.（3分）（2022•浙江舟山•七年级期末）在分式汽中，当_________时，分式有意义；当％=___________,

3X-5

分式的值为零.

13.（3分）（2022•辽宁•本溪满族自治县教师进修学校八年级期末）若关于x的分式方程？+工=0的解

xx-a

为《二4,则常数〃的值.

14.（3分）（2022・湖南•邵阳市第六中学八年级阶段练习）若关于x的分式方程汽=:无解，则Q=_______.

ZX—43

15.（3分）（2。22•湖南长沙•七年级阶段练习）已知叫黑=妥+^其中儿B,C,。为常数,

则4+8+C+。=.

16.（3分）（2022•吉林・九年级专题练习）设a,b,c,d都是正数，且s=—+高七匕+高,

那么S的取值范围是

三.解答题（共7小题，满分52分）

17.（6分）（2022・山东•龙口市教学研究室八年级期中）（1）化简：土芸------；

x2-lx-1

（2）先化简，再求值：竺等+G+2-三），其中％=-1.

x-2X-2’

18.（6分）（2022•天津东丽•八年级期末）解分式方程

（1）-=--3

x-22-x

（2）—=-----

2-xx-23/_12

19.（8分）（2022•山东•招远市教学研究室八年级期中）关于上的分式方程三+尸与==3;

x-2（x+l）（x-2）x+1

⑴若方程的增根为％=2,求机的值：

⑵若方程有增根，求〃?的值；

⑶若方程无解，求〃?的值.

20.（8分）（2022・湖南•永州市冷水滩区京华中学八年级阶段练习）永州市万达广场筹建之初的一项挖土

工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工

程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：

（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；

（方案一）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天：

（方案三）若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工.

⑴请你求出完成这项工程的规定时间；

⑵如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案?说明理由.

21.（8分）（2022•福建•福州日升中学八年级期末）阅读：

对于两个不等的非零实数。，b,若分式（x-a）@-b）的值为零,则x=Q或x=b.又因为空色空处=

XX

X"了）"。匕=X+B-（Q+匕）,所以关于X的方程X+B=Q+b有两个解，分别为=6.

应用上面的结论解答下列问题：

⑴方程％+£=6有两个解，分别为=2,x2-.

（2）关于x的方程％+探="累茨的两个解分别为%=2,外=.

⑶关于x的方程2%+£—二2几的两个解分别为力,不（*1〈小），求竽1的值.

22.（8分）（2022•全国•八年级专题练习）我们定义：如果两个分式力与8的差为常数，且这个常数为正数,

则称4是B的“雅中式〃,这个常数称为4关于B的“雅中值

如分式力=与，昨三,力一8二三一三二爷=幺等=2,则4是B的“雅中式”，4关于B的“雅中值”

x+1x+1x+1X+lx+lX+1

为2.

（1）已知分式。=空当，判断C是否为。的“雅中式"，若不是，请说明理由：若是，请证明并

X+2/+以+4

求出C关于。的“雅中值〃；

（2）己知分式P二刍，Q=三，P是Q的“雅中式〃，且尸关于Q的“雅中值〃是2,x为整数，且“雅中式”P的

值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的％的值之和；

（3）已知分式M=（""）（"%一=--5）,（麻氏c为整数），M是N的“雅中式"，且M关于N的“雅中

XX

值〃是1,求Q-b+C的值.

23.（8分）（2022•江苏省新海高级中学七年级期中）有一列按一定顺序和规律排列的数：

第一个数是名；第二个数是白；第三个数是七；

对任何正整数九，第n个数与第（n+1）个数的和等于就不

（1）经过探究，我们发现：士二：-j^=1-1

1X2122X3233x434

设这列数的第5个数为a,那么①②③则________________正确（填序号）.

565656

（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第九个数可表示（用含几的式子表示），

并且证明：第九个数与第（九+1）个数的和等于益而：

（3）利用上述规律计算：--—+—-—+—-—+•••+」-的值.

2020x20182018x20162016x20144x2

第15章分式章末题型过关卷

【人教版】

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2022•河北•一模）只把分式当中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则

5n

此时Q的值可以是下列中的（）

A.2B.mnC.—D.m£

3

【答案】c

【分析】根据分式的性质，分子分母的m，71同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则Q为含血或71的

一次单项式，据此判断即可.

【详解】解：喈^中的血，几同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，

瞅为含m或n的一次单项式，故只有C符合题意.

故选C.

【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键.

2.（3分）（2022•全国•八年级单元测试）计算学（一，（乎的结果是（）

A.-xB.——C.-D.—

yyy

【答案】A

【分析】分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最

后进行约分运算.

【详解】原式=-乙，・马=7.

yyx2

故选A

【点睛】在计算过程中需要注意的是运算顺序.分式的乘除运算实际就是分式的约分.

3.（3分）（2022•全国•八年级专题练习）若分式方程七+2二号有增根，贝味的值是（）

x-2x-2

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】使分母等于0的未知数的值是分式方程的增根，即x=2,将x=2代入化简后的整式方程中即可求出

k的值.

【详解】1+2=kx-l

x-2

去分母得：1+2(x-2)=kx-l,

整理得:2x-2=kx,

团分式方程有增根,

Bx=2,

将x=2代入2x-2=kx,

2k=2,

k=l,

故选：A.

【点睛】此题考查分式方程的增根，正确理解增根的意义得到未知数的值是解题的关键.

4.（3分）（2022•山东威海•期中）设2二言7-57，Q=^77—^77,则P，q的关系是（）

A.p=qB.p>q

C.p=—qD.p<q

【答案】C

【分析】判断p,q的关系，可以计算（p+q）的结果，由此即可求解.

【详解】解：根据题意得，

ab,11a+1b+1.__

P+O=---------------1---------------=--------------=1—1=0>

lfa+1a+1a+1b+1a+1b+1

（3p,q的关系是互为相反数，

故选：C.

【点睛】本题主要考查分式的加减混合运算，掌握分式加减法法则是解题的关键.

5.（3分）（2022•浙江•杭州市文澜中学七年级期中）一件工程，甲单独做需要。小时完成，乙单独做需要

》小时完成.若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（）

A.竺^小时B.0+工）小时C.」-小时D.a小时

2\ab/a+ba+b

【答案】D

【分析】由题意可得甲单独做每小时完成工程的L乙单独做每小时完成工程的:，然后根据工作时间=工作

ab

总量+工作效率列式计算即可.

【详解】解：团甲单独做每小时完成工程的2,乙单独做每小时完成工程的3

ab

（3甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是由=悬（小时）；

故选：D.

【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找到题目中隐含的数量关系是解本题的关键.

6.（3分）（2022•广西贵港•八年级期中）已知工一工=3,则分式空吆型的值为（）

xyx-xy-y

A.8B.-C.-D.4

27

【答案】B

【分析】把己知整理成％-y=-3xy,再整体代入求解即可.

【详解】解送\=3,即丁=3,

0y-x=3xy,即％-y=-3%y,

p+xy-5y5(x-y)+xy_5x(-3xy)+「y_-14xy7

",

x-xy-y(x-y)-xy(-3xy)-xy-4xy2

故选：B.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，在本题中能理解整体思想并且将x-y=-3xy整体代入是解题关键.

7.（3分）（2022•甘肃•临泽县笫三中学九年级期中）《九章算术》中记载："今有兔先走一百步，犬追之

二百五十步，不及三十步而止.问犬不止，复行几何步及之？〃大意是说：兔子先出发100步，然后狗出发,

狗跑了250步后，距离兔子还有30步,问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停

的话，再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（）

A啊=」B啊=2C型=2D型=上

*180X+301807.'180X■180X-30

【答案】D

【分析】根据题意可得狗与缭子的速度比为250：180,设狗再跑x步，可追上兔子，此时免子跑的步数为:

（A-30）步，根据题意列出方程，即可求解.

【详解】解：兔子先出发100步，狗跑了250步后距兔子30步，

团兔子跑了250-100+30=180（步），

即狗与兔子的速度比为250：180,

设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意得：

250x

180X-30

故选:D

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到狗与兔子的速度比为250：180是解题的关键.

（芽>2y+l

2

8.（3分）（2022•重庆巴蜀中学九年级阶段练习）若关于y的不等式组y_a的解集为户一4,且

----<1

3

关于x的分式方程M+4=F的解是非负整数，则所有满足条件的整数。的值之和是（）

X-33-X

A.12B.14C.19D.21

【答案】C

【分析】先解分式方程得%=4-手，再由题意可得竽W0,且手工3,可求得H11且分2而且1+Q为3的

倍数，；再解不等式组，结合题意可得。>-7,则可得所有满足条件的整数a有-4,-1,5,8,11,求和

即可.

【详解】解：=+4=2，

x-33-X

（l-x）+4（x—3）=-a»

3x=ll-a>

ll-a.1+a

X=——=4.....-

33

•••方程的解为非负整数,

.Ml-a>0,手为整数,

・••aWll，而且1+a为3的倍数,

又：为⑶

---黄3,

二。=2,

.•。411且a学2,而且1+Q为3的倍数,

‘华N2y+1①

"〈I②’

由①得y-4,

由②得yVa+3,

•••不等式组的解集为A—4,

0a-3>-4,

：.a>-7

.•.符合条件a的整数有-4,-1,5,8,11,

符合条件的所有整数a的和为=(-4)+(-1)+5+8+11=19,

故选：C.

【点睛】本题考查分式方程的整数解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解集取法,

分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键.

9.(3分)(2022・山东•济南外国语学校九年级)设xWO,yWO,zW0,则三数%+:，y+Jz+3中()

A.都不大于一2B.都不小于一2

C.至少有一个不大于一2D.至少有一个不小于一2

【答案】C

【分析】首先把三个数相加，得到(％+»+('+；)+1+3,由己知可知之+：工-2,y+：W—2,z+^<

-2,可得％+L+y+」+z+工工一6,据此即可判定.

yyzx

【详解】解：％+j+y+；+z+3=(X+3)+(y+m+(z+3),

x<0,y<0,z<0,

Ax+-<-2,y+-<-2,z+-<-2,当且仅当为=y=z=—1时，取等号

xyz

•••x+-+y+-+z+-<—6>

y'zx

当这三个数都大于-2时，这三个数的和•定大于-6,这与%+工+、+工+Z+24-6矛盾，

yzx

.•.这三个数中至少有一个不大于-2，

故选：C.

【点睛】本题考查了利用不等式的取值及反证法，判定命题的真假，难度比较大.

10.(3分)(2022・湖南•衡阳市成章实验中学八年级阶段练习)三知函数f(x)-后，其中f(a)表示x-a时

对应的函数值，如f(l)=忘，f(2)=11r则/(/)+/(/)+jG)+/(l)+/(2)+...+/(202l)+f(2022)

的值为()

A.2022B.2021C.4043D.4042

【答案】C

【分析】首先根据已知条件把所求的式子进行化简，再代入相关数值，计算即可.

【详解】解：0/(i)=A=

31+-a+l

则有：

/岛)+/岛)+…+，&)

4044।4042.4040..4

I十•••+一,

2023202220213

f⑴+f⑵+…+/(2020)+f(2021)+f(2022)

=i+V+战+岛

则原式二+翳+瑞+…+>1+|+〜+盛+短

/42\/6240442\

=1+(3+3)+(4+4.

+•••+2023+20237

=1+(2023-2)x2

=4043,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了函数值的计算，计算的关键是理解已知条件中的关系式，对每个式子进行化简.

二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.(3分)(2022•辽宁大连•八年级期末)已知彳=^=3，则―=

234yz-----

【答案】:

O

【分析】设;=；=：=匕则有x=2k,产3Az=4上代入即可求解.

【详解】设：=：=：=%根据题意有，心0，

则有x=2匕y=3k,z=4匕

,q.xy-x2_(2k)(3k)-(2k)2_6k2_\2_i

yz(3k)(4k)12k26'

故答案为：

o

【点睛】本题考查为了分式的求值，设;=(=：=k是解答本题的关键.

12.(3分)(2022•浙江舟山•七年级期末)在分式汽中，当时，分式有意义；当％=

分式的值为零.

【答案】X；X=

*5/

【分析】要使分式有意义，则需要满足分式的分母不为零，即右-5H0；要使分式的值为零，则需要满足

分式的分子为零，分母不为零，即〃+1=0,3x-5^0.

【详解】解：分式有意义，则3X—5H0,即%中豆

分式的值为零，则解得％=-3

故答案为"H1X=~2

【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式的分母不为0时分式

有意义，分式的分子为0分母不为。时，分式的值为0.

13.（3分）（2022•辽宁•本溪满族自治县教师进修学校八年级期末）若关于x的分式方程三+/-=0的解

xx-a

为%=4,则常数〃的值.

【答案】10

【分析】根据分式方程的解的定义把44代入原分式方程得到关于。的方程，然后求解即可.

【详解】解：把》=4代入分式方程々+3=0,得

xx-a

一2二0,

44-a

解得:用10,

经检验4=10是方程的解，

故答案为：10.

【点睛】此题考查了分式方程的解和解分式方程，解题的关键是注意分式方程分母不能为0.

14.（3分）（2022•湖南・邵阳市第六中学八年级阶段练习）若关于工的分式方程会为=就解，则Q=.

【答案】2

【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类〃值，再根据

分式方程无解的条件看能否得出另外一类。值即可.

【详解】解：汽=：,

去分母得：3（x-a）=2x-4,

整理得：x=3a-4,

由于此方程未知数的系数是1不为0,故无论。取何值时，3（%-a）=2无-4都有解，故此情形下无符合题

意的a值；

由分式方程无解即有增根，可得2A-4=0,得42

把x=2代入％=3a-4,

解得：。=2,故此情形下符合题意的。值为2；

综上，若要关于x的分式方程三=；无解，。的值为2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了分式力程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键.

15.（3分）（2022•湖南长沙•七年级阶段练习）已知字要=妾三+铲々，其中A,B,C,。为常数,

x4+x2+lx2+x+lx2-x+l

则W+8+C+。=.

【答案】6

【分析】由于/+%2+1=（X2+I）2-X2=（X2+1+x）（x2+1-X）»利用这个等式首先把已知等式右边

通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于A、8、C、。的方程组,

解方程组即可求解.

6X3+10XAX+B,Cx+D且一/

【详解】解:--------------=--------------+-------------+/+1=(%2+1)2=(X2+1+x)(x2+1-x),

x4+x2+l--x2+x+lx2-x+l

.6x3+1OX_(Ax+8)(%2+ir)+(cx+D)a2+i+x)

**x*+x2+lx4+x2+l

6x3+10%=(Ax+5)(x2+1-x)+(Cx+D)(x2+1+x)

.•.当x=0时，B+D=0①

当x=1时，A+B+3(C+D)=16(2)

当％=-1时，3(8-4)+。一。二-16③

06x3+10x=(/lx3+Bx2)+(Ax+B)(l-x)4-(Cx3+Dx2)+(Cx+0)(1+x),

即6-+10x=(4+C)%3+Bx2+(Ax+8)(1-x)+Dx2+(Cx+D)(l+x)

出1+C=6④

联立①②③④解之得

A=C=3.B=-2、D=2,

二4+B+C+O=6.

故答案为：6.

【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出

关于4、B、C、。的方程组即可解决问题.

16.（3分）（2。22・吉林・九年级专题练习）设a，b,c,d都是正数，且$=扁+高—

a+c+d'

那么S的取值范围是

【答案】1<S<2

【分析】根据分式的性质，分别将分母扩大、缩小，通过分式加减，计算即可得到结论.

【详解】0a,b,c,d都是正数

a,bc,d.a,bc,aa+b+c+a

=------1------+------1------>--------1--------h--------F-------=-------

a+b+da+b+cb+c+da+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+d

bc,d.a,bc,da+bc+d

-----1-----d------<——+---1---F——=---h——=

s=淅+a+b+cb+c+da+c+da+ba+bc+dc+da+bc+d

回1<SV2

故答案为：1<S<2.

【点睛】本题考查了分式的知识：解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解.

三.解答题（共7小题，满分52分）

17.（6分）（2022・山东•龙口市教学研究室八年级期中）（1）化简：一+2：+1—3：

x2-lx-1

（2）先化简，再求值：空%+fx+2--）,其中％=-1.

X-2X-2，

【答案】（1）々

X-1

（2）三，

x+32

【分析】（1）根据分式的减法法则计算即可；

（2）根据分式的混合运算法则计算，将分式化简，再把％=-1代入化简式计算即可.

(X+1)2

【详解】解:（1）原式=x

(X-l)(X41)X-l

X+1X

x-l~x-l

X-l

⑵原式=誓+q等

3x(x—3)x—2

x-2(x+3)(x-3)

3x

x+3"

当《二-1时，原式=堇七？=一3

【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键.

18.（6分）（2022•天津东丽•八年级期末）解分式方程

（1）-=--3

X-22-X

（2）工=工一^^

2-XX-23*2-12

【答案】⑴无解；（2）尸-，

【分析】（1）两边同时乘以x-2化为整式方程，解得x=2后检验即可；

（2）先去分母化为一元一次方程，解方程得到再检验即可.

【详解】（1）去分母得：1=^-1-3X+6.

解得：x=2,

经检验x=2是增根，分式方程无解：

（2）去分母得：-3（x+2）=3Lv+2）-6+x,

去括号得：-3A-6=3X+6-6+x,

移项合并得：7x=-6,

解得：L、，

经检验x=-,是分式方程的解.

【点睛】此题考查解分式方程，按照去分母化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1的

步骤解方程，得到解后必须代入最简公分母中检验，当未知数的值使分母为0,则该解不是分式方程的解,

如果不等于0,则该解是原分式方程的解.

19.（8分）（2022•山东•招远市教学研究室八年级期中）关于工的分式方程

x-27（xT+l）（x-2）x+1

⑴若方程的增根为％=2,求/〃的值；

（2）若方程有增根，求〃?的值；

⑶若方程无解，求〃，的值.

【答案】⑴-3

⑵9或-3

（3）1或9或一3

【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程,

即可得到答案；

（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为%=-1或乂=2,再通过计算即可得到答案：

（3）结合（1）的结论，根据分式方程和一元一次方程的性质计算，即可得到答案.

【详解】⑴壬+，，比

x-2（x+l）（x-2）x+1

去分母得：2（%+1）+m无=3（%-2）,

移项并合并同类项，得：（m-l）x+8=U,

当方程的增根为％=2时，（m-l）x2+8=0,

回m=-3；

（2）当方程有增根时，方程的增根为%=-1或%=2,

当%=2时,m=—3,

当《=-1时，（m-l）x（-l）+8=0,

解得：m=9,

0m=9或m=-3；

（3）0（m-l）x+8=0

当方程无增根，且m—1=0时，方程无解，

团得m=1,

当方程有增根，且%=-1时，771=9,方程无解，

当方程有增根，且欠=2时，m=-3,方程无解，

（3当zn=1或m=9或m=—3时，方程无解.

【点睛】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解.

20.（8分）（2022・湖南•永州市冷水滩区京华中学八年级阶段练习）永州市万达广场筹建之初的一项挖土

工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工

程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：

（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；

（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；

（方案三）若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工.

⑴请你求出完成这项工程的规定时间；

⑵如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由.

【答案】（1）30天；

⑵选择方案三，理由为既节省了工程款且又能如期完工.

【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为X天,则甲队单独完成这项工程为X天，乙队单独完成这项工程

为a+6）天，然后根据"甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工"列分

式方程求解即可；

（2）根据题意可知有方案一和方案三符合条件，然后分别求出方案一和方案三的工程款，然后比较即可解

答.

（1）

解:设完成这项工程的规定时间为A-天,则甲队单独完成这项工程为x天，乙队单独完成这项工程为（％+6）天

由题意得：（-+-X5H---x（x—5）=1>解得：x=30

XX+6X+6

经检验：％=30是原分式方程的解.

答:完成这项工程的规定时间为30天.

（2）

解：如期完工时，只有方案一和方案三符合条件

方案一工程款:30X2.4=72（万元）

方案三工程款:5x（2.4+1.8）+（30-5）x1.8=66（万元）

（372>66

团选择方案三.

答:选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、列代数式计算等知识点，灵活运用分式方程解决实际问题是解

答本题的关键.

21.（8分）（2022•福建・福州日升中学八年级期末）阅读：

对于两个不等的井零实数a，b,若分式的值为零,贝或％-儿又因为竺吆上处一

XX

〃弋）"。』+?—伍+匕）,所以关于X的方程x+B=Q+b有两个解，分别为%i=a$2=b.

应用上面的结论解答卜列问题：

⑴方程％+1=6有两个解，分别为勺=2,&=.

（2）关于x的方程”+/=巴黑'的两个解分别为与=2,x2=.

⑶关于X的方程2x+T=2〃的两个解分别为勺,&（与＜%2），求竽1的值.

ZX—1ZX2

【答案】（1）4.

(2)—.

2mn

⑶3•

【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可;

（2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出心与2的值即可;

（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为内、X2,代入原式计算即可得到结果.

⑴

解：02x4=8,2+4=6,

团方程”+2=6的两个解分别为工尸2,m=4.

故答案为：4.

(2)

解：方程变形得：“+学=流+2,

由题中的结论得：方程有一根为2,另一个根为掾

m-n

贝X2=-2mn'

故答案为：岩

⑶

解：方程整理得：2.1+甯2=几+”1,

得2X一1=〃-1或2x-l=n,

可得力甘，*=等

则原式受.

【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键.

22.（8分）（2022•全国•八年级专题练习）我们定义：如果两个分式4与5的差为常数，且这个常数为正数,

则称A是8的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值〃.

如分式力=衽，B=—,力一8二①一三"=2=空辿=2,则力是B的"雅中式"，力关于B的"雅中值"

x+1x+1x+1x+lX+lX+1

为2.

（1）已知分式。=2，。=奈1判断C是否为。的“雅中式〃，若不是，请说明理由；若是，请证明并

x+2x2+4X+4

求出C关于D的"雅中值"；

（2）已知分式「二喜，Q=急，P是Q的“雅中式〃，月.P关于Q的“雅中值〃是2,%为整数，且“雅中式〃P的

值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；

（3）已知分式M=（"­）（"%N=（。、氏c为整数），M是N的“雅中式"，且M美于N的“雅中

XX

值''是1，求Q-b+C的值.

【答案】（1）不是，利用见解析；（2）E=18+6居27；（3）16或8或一4或4.

【分析】（1）先化简D,再计算C-D,再根据"雅中值''的定义可得答案；

（2）由定义可得：&-言=2,整理可得：E的表达式，再化简P,根据“为整数，且〃雅中式"P的值也为

整数，得到：3-%是6的因数，从而可得答案；

（3）由定义可得：丝但包一丝但父=1,整理可得：（_/,一。+。+4）%+儿一5a=0,从而可得:

T再消去。，结合因式分解可得”c—5）-5（-5）=5,结合a、氏c为整数，分类讨论

后可得答案.

【详解】解：⑴3芸筌=篝竽x+3c1

x——+2,C=x——+2

x,1X+3x+2《

:•C-Dn=-------=----=-1,

x+2X+2x+2

二C不是。的“雅中式〃.

（2）P关于Q的"雅中值”是2,

:.P-Q=2,

=?

9-x23-x'

：,E—2x(3+x)=2(9—x2),

:，E=18+6x,

18+6x_6(3+x)6

.%P=

9-x2(3+x)(3-x)3-x

•••X为整数，且"雅中式〃P的值也为整数,

3-%是6的因数，

二3一％可能是：±1,±2,±3,±6,

•••》的值为：一3,0,1,2,4,5,6,9.

•••xH±3,

•••%的值为：0,1,2,4,5,6,9.

••・0+1+2+4+5+6+9=27.

(3)•••M是N的"雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1,

(x-b)(x-c)(x-a)(x-5)_1

XX

整理得：(-b—c+a+4)x+be-5a=0,

由上式恒成立：

.r-b—c+a+4=0

Ybe—Sa=0

消去a可得：be-5b-5c+20=0,

•••be—5b—5c+25=5,

•••b(c-5)-5(c-5)=5,

:.(b-5)(c-5)=5,

•・•a、6、c为整数

.•・b-5,c-5为整数，

当6—5=1,c—5=5时•b=6,c=10,

止匕时：a=12,

•••a—b+c=12-6+10=16,

当6-5=5,c-5=1时，b=10,c=6,

此时：a=12,

Q—b+c=12—10+6=8,

当6—5=-l,c—5=-5时，,匕=4,c=0,

此时：a=0,

:.a—b+c=0—4+0=-4,

当6—5=-5,6:-5=-1时，,匕=04=4,

此时：a=0,

:.a—b+c=0—0+4=4,

综上：a-b+c的值为：16或8或一4或4.

【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算:，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应

用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键.

23.（8分）（2022•江苏省新海高级中学七年级期中）有一列按一定顺序和规律排列的数：

第一个数是3；第