2024年高考数学(北师大版)必修三概率专题复习讲义

知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求随机事件的概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义以及频率与概率的区别②了解两个互斥事件的概率加法公式.了解随机现象与概率的意义,加强与现实生活的联系,以科学的态度评价身边的一些随机现象.教师应通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验,正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性.让学生体验观察、实验、归纳、类比、推断等数学活动在概率学习中的重要性,提高直觉思维能力.增加学生合作学习交流的机会,让学生积极参与到数据的收集、分析、整理与描述的数学活动中,在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性.在数据收集和整理的过程中,敢于面对困难,克服困难,初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神古典概型①理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率②学会把一些实际问题化为古典概型问题③了解整数型随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率几何概型①初步体会几何概型的意义②让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型问题③了解连续型随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率本章教学的重点是频率与概率的意义、古典概型、几何概型、事件的关系和运算.在教学时要注意以下几点:.鼓励学生动手操作和主动参与,让他们在试验、观察、交流等活动中体会和理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性等相关内容.鼓励学生动手操作、主动参与统计试验,不但能激发学生学习概率统计的兴趣,而且在反复的统计试验中可以更好地体会和理解统计思想.在引出概率的统计定义时,尽管学生在初中已经做过掷硬币的试验,但对试验数据的整理和分析是比较初步的,如果学生能动手画出条形图和折线图等,通过观察与交流的方式,可以对随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性有更深入的理解.在概率的正确理解的部分,教学中可以让学生动手做两个试验,连续掷两个硬币的试验与边框中有放回的摸球试验,通过观察与分析、交流等方式帮助学生澄清日常生活中遇到的一些错误认识..注意与初中概率统计的衔接.这一章的知识与初中内容联系密切,一些内容在初中都接触过,要与初中内容衔接,就必须深入了解初中概率部分的内容、要求,了解它们与这一部分内容的联系与区别.从小学到初中再到高中,概率统计的内容是采用逐步渗透、螺旋上升的方式.在初中,介绍了随机事件的概念,要求会运用列举法计算简单随机事件的概率,通过试验,获得随机事件发生的频率,知道大量重复试验时频率可作为随机事件发生概率的估计值.由此可以看到,高中有些内容是与初中相同的.在教学中可以用回忆复习等方式先回顾初中相应的内容,在此基础上要有更深层次的理解.比如,在频率与概率部分,不但知道频率可以作为概率的近似,而且要知道频率与概率的区别在于频率是随机的,每次试验得到的频率可能是不同的,而随机事件的概率是一个常数,是随机事件发生可能性大小的度量,它不随每次试验的结果改变.在初中要求会运用列举法计算简单随机事件的概率,而高中提高到理解古典概型的特征,在古典概型中运用古典概型求概率的公式计算随机事件的概率.随机事件的关系与运算、概率的性质、几何概型、随机模拟方法等是高中的新内容,初中没有涉及..教学中要注重统计思想和概率的意义的解释,而不能把重点放在复杂的计算上.一种统计方法只能解决部分实际问题,在面临新的问题时,需要的是新思想.教学的目的不仅是为了让学生掌握现有的知识,而且还要培养学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创新精神,所以统计思想的解释就显得尤为重要.在用频率近似概率时利用的是样本的数字特征估计总体的数字特征的统计思想.同样随机模拟的理论依据仍然是用样本估计总体的思想.在古典概型的教学中,让学生学会把一些实际问题化为古典概型,而不是把重点放在“如何计数”上..重视现代信息技术的应用.现代信息技术对概率统计的发展起到了决定性的作用.随机模拟试验需要产生大量的随机数,同时又要统计试验的结果,如果离开计算机的帮助,需要花费大量的时间,统计试验结果的困难是可想而知的.用计算机进行模拟试验的另一个好处是相同的试验可以在短时间内多次重复,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.现代信息技术的应用使统计试验变得十分方便,而且可以通过大量重复试验比较结果的稳定性.本章对学生的最低要求是会用计算器产生随机数进行简单的模拟试验,并统计试验结果.有条件的学校可以让学生学会用一种统计软件,例如软件,多次重复模拟试验,并统计模拟的结果,画出频率折线图等统计图.第课时随机事件的概率.了解随机事件、必然事件、不可能事件、等可能性事件、确定事件等基本概念..了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的定义..理解频率与概率的区别与联系.重点:一是事件、随机事件、频数、频率、概率的概念;二是频率与概率的区别与联系.难点:理解频率与概率的关系.在一些赌王争霸的影片中,我们经常看到两个新老赌王掷骰子或梭哈来定输赢,在掷骰子时会存在千术,比如在骰子中灌入铅.请指出下面三个事件分别是什么事件.①当不灌铅时,出现六点向上.②当在六点灌铅时,出现六点向上.③当在六点灌铅时,出现一点向上(注:六点的对面为一点).问题:()在上面的问题中,分别对应着随机事件、不可能事件、必然事件.

()必然事件:在条件下(条件可以是一个条件也可以是一组条件),一定会发生的事件叫作相对于条件的必然事件,简称必然事件.

()不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件称为相对于条件的不可能事件,简称不可能事件.

()确定事件:必然事件与不可能事件统称为相对于的确定事件,简称确定事件.

()随机事件:在条件下,可能发生也可能不发生的事件称为相对于条件的随机事件,简称随机事件.问题:()随机事件的频率:在相同的条件下重复次试验,观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数,称事件出现的比例()

为事件出现的频率.

()随机事件的概率:一般来说,随机事件在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件发生的频率会逐渐稳定在区间[]中的某个常数上,这个常数可以用来度量事件发生的可能性的大小,称为事件的概率,记作().

问题:频率和概率的区别与联系()区别:频率随着试验次数的改变而改变,即频率是随机的,且试验前是不确定的,而概率是一个确定的常数,是客观存在的,与试验次数无关,是随机事件自身的一个属性.

()联系:在相同的条件下,随着试验次数的增加,随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,所以可用频率作为概率的近似值,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,概率是频率的近似值.

问题:不可能事件、必然事件、随机事件的概率若事件是不可能事件,则();若事件是必然事件,则();若事件是随机事件,则()∈[].不可能事件、必然事件和随机事件这三个概念既有区别又有联系.在具体的每次试验中,根据试验结果可以区分三种事件.但在一般情况下,随机事件也包含不可能事件和必然事件,并且将它们作为随机事件的特例.

说起概率论起源的故事,就要提到法国的两个数学家.一个叫帕斯卡,一个叫费马.帕斯卡认识的朋友中有两个是赌徒年,法国一位贵族梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题.这两个赌徒说,他俩下赌金之后,约定谁先赢满局,谁就获得全部赌金.赌了半天赢了局赢了局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了.那么,这个钱应该怎么分?是不是把钱分成份,赢了局的就拿份,赢了局的就拿份呢?或者,因为最早说的是满局,而谁也没达到,所以就一人分一半呢?通过两人对这个问题的讨论,概率论从此就发展起来了..下列现象中,是随机现象的有().①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过辆;②若为整数,则为整数;③发射一颗炮弹,命中目标;④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.个个个个【解析】当为整数时一定为整数,是必然现象,其余个均为随机现象.【答案】.从一批准备出厂的电视机中随机抽取台进行质量检查,其中有台是次品.若用表示抽到次品这一事件,则对这一事件发生的说法正确的是()..概率为.频率为.概率接近.每抽台电视机,必有台次品【解析】台电视机中有台次品,连续从这台中抽取,每次抽取一台次试验中必会抽到这台次品一次,故发生的频率为.【答案】.某人抛出一枚硬币次,结果正面朝上有次,设正面朝上为事件,则事件出现的频数为,事件出现的频率为.

【解析】在次试验中,随机事件出现了次,所以事件的频数是,频率为.【答案】.盒中仅有只白球只黑球,从中任意取出一只球.()“取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少?()“取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少?()“取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少?【解析】()“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生,因此它是不可能事件,其概率为.()“取出的球是白球”是随机事件,它的概率是.()“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然发生,因此它是必然事件,它的概率是.随机事件、不可能事件、必然事件的判断指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.()明年春天雨水将会比较充沛;()出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯;()若∈,则≥;()抛一枚骰子两次,朝上面的数字之和大于.【方法指导】先回顾事件的分类,再判断事件的类型,进而得出结论.【解析】由题意知:()()中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;()中事件一定会发生,是必然事件;()中由于骰子朝上面的数字最大是,两次朝上面的数字之和最大是,不可能大于,所以该事件不可能发生,是不可能事件.【小结】事件的分类主要是根据事件发生可能性的大小来确定,有些事件需要进行适当地推理.用频率估计概率某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:射击次数击中靶心次数击中靶心的频率()填写表中击中靶心的频率.()这个射手射击一次,击中靶心的概率大约是多少?()若该射手在一次射击训练中射中靶心的次数为次,你估计该射手这次训练射击了多少次?【方法指导】()频率;()概率可用频率来估计;()射击次数≈.【解析】()表中依次填入的数据.()由于频率稳定在常数附近,所以射手射击一次,击中靶心的概率约是.()设射击了次,则≈≈次.【小结】随机事件发生的概率是大量试验下的频率的近似值,是一个确定的数,故可用大量试验下的频率来估计.随机试验的结果判断指出下列试验的结果:()从装有红、白、黑三种颜色的小球各个的袋子中任取个小球;()从四个数中任取两个数(不重复)作差.【方法指导】按照顺序列出所有抽取小球的结果;根据抽取两数作差是有顺序的,因此列出抽取的所有结果作差.【解析】()结果:红球,白球;红球,黑球;白球,黑球.()结果,,,,,.即试验的结果为.【小结】在解答本题的过程中,易出现结果重复或遗漏的错误,导致这种错误的原因是没有按一定的顺序列出结果.判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件?()“抛一石块,下落”;()“在标准大气压下且温度低于℃时,冰融化”;()“某人射击一次,中靶”;()“如果>,那么>”;()“从分别标有号数的张标签中任取一张,得到号签”;()“某电话机在分钟内收到次呼叫”.【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知,事件()、()是必然事件;事件()是不可能事件;事件()、()、()是随机事件.口袋里有个黑球和若干白球,现不许将球倒出来数,王兰从口袋里随机摸出一个球,记下其颜色,再把它放回口袋中,不断重复上述过程,她总共摸了次,其中有次摸到黑球,你估计口袋中的白球个数为多少?【解析】设口袋里有白球个,则口袋里共有球()个,于是王兰每次摸一球,记下颜色放回,均匀后再摸一个记颜色,这样摸到黑球的概率,实验中摸到黑球的频率为,∵≈,∴≈,解得≈,∴估计口袋中有白球个.袋中装有大小相同的红、白、黄、黑个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.()从中任取球;()从中任取球.【解析】()条件为从袋中任取球.结果为红、白、黄、黑,共种.()条件为从袋中任取球.若记(红,白)表示一次试验中,取出的是红球与白球.结果为(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑),共种..下列说法正确的是()..任何事件的概率总是在()之间.频率是客观的,与试验次数无关.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率.概率是随机的,在试验前不能确定【解析】中应是[]中()为试验次数中概率不受试验的影响.【答案】个同类产品中含有个次品,现从中任意抽出个,必然事件是().个都是正品.至少有一个是次品个都是次品.至少有一个是正品【解析】都是随机事件;因为只有个次品,所以“抽出的个全是次品”是不可能事件;“至少有一个是正品”是必然事件.【答案】.将一枚硬币连续抛掷次记录朝上一面的正反情形,可能出现的结果共有个.

【解析】分别为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,反,正),(反,正,反),(反,反,反),共种结果.【答案】.对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下:调查件数合格件数根据上表所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到件合格产品,大约需要抽取多少件产品?【解析】次抽查的合格频率分别为,则合格概率估计为.设若想抽到件合格品,大约抽件产品,则,所以.(年·重庆卷)下图是某公司个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[)内的频率为().A.0.2.0.4【解析】由茎叶图可知数据落在区间[)的频数为,所以数据落在区间[)的频率为.【答案】

.先从一副扑克牌中抽取张红桃张梅花张黑桃,再从抽取的这张牌中随机抽出张,恰好红桃、梅花、黑桃种牌都抽到,这个事件()..可能发生.不可能发生.必然发生 .无法判断【解析】因为张牌中,红桃、梅花、黑桃中任两种的张数之和都小于,故从张扑克中抽取张,三种牌一定都有.【答案】.下列说法正确的是()..任一事件的概率总在()内.不可能事件的概率不一定为.必然事件的概率一定为.以上均不对【解析】任一事件的概率总在[]内,不可能事件的概率为,必然事件的概率为.【答案】.在件瓷器中,有件一级品件二级品,从中任取件.()“件都是二级品”是事件.

()“件都是一级品”是事件.

()“至少有一件是一级品”是事件.

【解析】()因为件瓷器中,只有件二级品,取出件都是二级品是不可能发生的,故是不可能事件.()“件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的,故是随机事件.()“至少有一件是一级品”是必然事件,因为件瓷器中只有件二级品,取件必有一级品.【答案】不可能随机必然.某校举办年元旦联欢晚会,为了吸引广大同学积极参加活动,特举办一次摸奖活动.凡是参加晚会者,进门时均可参加摸奖,摸奖的器具是黄、白两色的乒乓球,这些乒乓球的大小和质地完全相同.另有一只密封良好且不透光的立方体木箱(木箱的上方可容一只手伸入).拟按中奖率为设大奖,其余则为小奖,大奖奖品的价值为元,小奖奖品的价值为元.请你运用概率的有关知识设计一个摸奖方案以满足校方的要求.【解析】在箱子里放个乒乓球,其中个黄色的个白色的.摸到黄球时为大奖,摸到白球时为小奖..从名学生中选取名组成参观团,若采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从人中剔除人,剩下的人按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率()..不全相等 .均不相等.都相等且为 .都相等且为【解析】每人入选的概率相等,故选.【答案】.给出关于满足⫋的非空集合、的四个命题:①若任取∈,则∈是必然事件;②若任取∉,则∈是不可能事件;③若任取∈,则∈是随机事件;④若任取∉,则∉是必然事件.其中正确的命题有().个个个个【解析】∵⫋,∴中的任一个元素都是中的元素,而中至少有一个元素不在中,因此①正确,②错误,③正确,④正确.【答案】.某人捡到一块不规则形状的五面体石块,他在每个面上作了记号,投掷了次,并且记录了每个面落在桌面上的次数(如表).如果再投掷一次,请估计石块的第面落在桌面上的概率是.

石块的面频数【解析】我们从表格中可知,总共投掷了石块次,其中第面落在桌面上的次数为次,故我们可利用它落在桌面上的频率估计其概率值为.【答案】.下面是某批乒乓球质量检查结果表:抽取球数优等品数优等品出现的频率

()在上表中填上优等品出现的频率;()估计该批乒乓球优等品的概率.【解析】()依次填上的频率是.()从表中数据可以看出,这批乒乓球优等品的概率大约是..掷一颗骰子,骰子落地时,记“向上的点数是”的概率为,“向上的点数大于”的概率为,则.

【解析】根据题意得,则,故.【答案】.某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力,出了个智力题,每题分.然后作了统计,表中是统计结果:贫困地区:参加测试的人数得分以上的人数得分以上的频率发达地区:参加测试的人数得分以上的人数得分以上的频率()利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得分以上的频率;()估计两个地区参加测试的儿童得分以上的概率;()分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别.【解析】()贫困地区:参加测试的人数得分以上的人数得分以上的频率发达地区:参加测试的人数得分以上的人数得分以上的频率()概率大约分别为和.()经济上的贫困导致该地区生活水平落后,儿童的健康和发育会受到一定的影响;另外经济落后也会使教育事业发展落后,导致智力出现差别.第课时古典概型的特征和概率计算公式.了解基本事件的特点,会用列举法把一次试验的所有基本事件列举出来..理解古典概型的概念及其特点,会判断一个试验是否为古典概型..会应用古典概型的概率公式计算随机事件的概率.重点:会利用古典概型求随机事件的概率.难点:熟练地应用互斥事件和对立事件概率公式,将所求事件分解为概率更易于计算的彼此互斥事件的和,化整为零,化难为易,也可采取逆向思维,求其对立事件的概率.一位魔术师要表演纸牌魔术,他要邀请一位观众从他准备的一副有张牌的扑克中任意抽取一张牌,如果你是被邀请的观众,那么你抽到大王的概率是多少?抽到一张红心牌的概率是多少?问题:在上面的情境中,抽到的牌的可能结果总共有种,每张牌抽到的可能性是相等的,大王只有张,红心牌有张,所以抽到大王的概率为

,抽到红心牌的概率为

,这种概率的求法其实就是我们这节课所学的古典概型.

问题:基本事件()基本事件:在试验中,能够描绘其他事件且不能再分的最简单事件是基本事件.()基本事件的特点:①任何两个基本事件是互斥的.

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.如掷骰子的试验中,随机事件“出现的点数是偶数”是由个基本事件组成的,分别是“出现的点数是点”“出现的点数是点”“出现的点数是点”.

问题:古典概型()古典概型的定义:①有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.

我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.()古典概型的概率计算公式:对于古典概型,如果实验的所有可能的结果(基本事件)的个数为,那么每一个基本事件的概率都是

,若随机事件包含的基本事件数为(≤),则随机事件的概率为

.

问题:古典概型的计算步骤()求出基本事件的总个数,基本个数较少时,通常用列举法把所有的基本事件列举出.()求出事件包含的基本事件个数(≤).()求出事件的概率()

.

概率论是从研究古典概型开始的,早在原始社会,那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具,将一个或多个趾骨投掷出去,趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见.由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性,而每次投掷的结果也互不影响,这与我们今天投掷骰子的基本原理有点相似,因此趾骨可以被看作是骰子的雏形.但是由于趾骨形状的规则性较差,各种结果出现的机率不完全相同(即不具备等可能性),所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的独立随机过程..一个家庭有两个小孩,则所有可能的基本事件有()..(男,女),(男,男),(女,女).(男,女),(女,男).(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).(男,男),(女,女)【解析】由于两个孩子出生有先后之分.【答案】.下列试验是古典概型的是()..任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件.为求任意的一个正整数平方的个位数字是的概率,将取出的正整数作为基本事件.从甲地到乙地共条路线,求某人正好选中最短路线的概率.抛掷一枚均匀的硬币至首次出现正面为止【解析】选项,若以所得的点数之和为基本事件,则和为的有一种(),和为的有两种()、(),…,显然,每个基本事件对应的概率不相等,故不为古典概型.选项,以正整数集为基础研究,结果有无穷多个,故不为古典概型.选项,有种试验结果,选择每条路的可能性相等,故为古典概型.选项,抛掷硬币出现正面的试验次数是不确定的,故不为古典概型.【答案】.学校为了研究男女同学学习数学的差异情况,对某班名同学(其中男生人,女生人)采取分层抽样的方法,抽取一个容量为的样本进行研究,某女同学甲被抽到的概率是.

【解析】这是一个古典概型,每个人被抽到的机会均等,都为.【答案】.盒子里共有大小相同的只白球只黑球.若从中随机摸出两只球,求它们颜色不同的概率.【解析】设只白球为只黑球为,则从中随机摸出两只球的情形有,共种,其中两只球颜色不同的有种,故所求概率为.古典概型的判断下列试验中,是古典概型的有.

()种下一粒种子观察它是否发芽;()从直径为±0.的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径;()抛一枚硬币,观察其出现正面或反面;()某人射击中靶或不中靶;()两个奥运会志愿者相约在中午点到点之间在志愿服务地点交接班.【方法指导】首先阅读条件分清事件关系,其次根据古典概型的特点进行判断,最后得出结论.【解析】()有两个基本事件“发芽”“不发芽”,这两个基本事件对应的概率不相等,故不为古典概型.()中的250mm±0.6mm是个无限集,结果有无穷多个,故不为古典概型.()有种试验结果,出现正面和反面的可能性相等,故为古典概型.()中某人射击中靶或不中靶两个基本事件概率不一定相等,故不为古典概型.()两个奥运会志愿者相约在中午点到点之间交接班,基本事件是中午点到点之间的任何一个时间两人交接班,基本事件有无穷多个,故不为古典概型.【答案】()【小结】要判断古典概型就是判断:每个基本事件的发生是否是等可能;试验可能出现的结果是否为有限个.基本事件个数的计算将一颗均匀的骰子先后抛掷两次,计算:()一共有多少种不同的结果;()其中向上的点数之和是质数的结果有多少种?【方法指导】根据抛掷骰子顺序确定结果,根据两次之和确定“点数之和是质数”的结果有多少种.【解析】()将抛掷两次骰子的所有结果一一列举如下:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共有种不同的结果.()点数之和是质数的结果有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共种.【小结】()求基本事件的基本方法是列举法.基本事件具有:①不能或不必分解为更小的随机事件;②不同的基本事件不可能同时发生.因此,求基本事件时,一定要从可能性入手,对照基本事件的含义及特征进行思考,并将所有可能的基本事件一一列举出来.()对较复杂的问题中基本事件数的求解还可应用列表或树形图.应用列举法解古典概型问题袋中有个球,其中个白球个红球,从袋中任意取出两个,求下列事件的概率.()取出的两球都是白球;()取出的两球一个是白球,另一个是红球.【方法指导】解答本题首先将它们的所有情况一一列出,然后计算它们的概率.【解析】设个白球的编号为个红球的编号为.从袋中的个小球中任取两个的所有可能结果如下:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共个.()从袋中的个球中任取两个,所取的两球全是白球的基本事件数,即是从个白球中任取两个的基本事件数,共有个,即为(),(),(),(),(),().∴取出的两个球全是白球的概率为.()从袋中的个球中任取两个,其中一个是红球,而另一个为白球,其取法包括(),(),(),(),(),(),(),(),共个.∴取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为.【小结】列举法可以使我们明确基本事件的构成,此法适合于基本事件比较少的情况,列举时要按规律进行,通常采用分类方法列举,这样可以避免重复、遗漏,此题是按分别在第一位进行列举的.在两个箱子里,各有一个黑球和一个白球,所有的球除颜色外完全相同.从两个箱子里都摸出一个球.()若将试验的结果——“两个白球”“两个黑球”“一个白球一个黑球”视为基本事件,能构成古典概型吗?()求摸出的球是一个白球与一个黑球的概率.【解析】()摸出的两个球的所有可能结果可表示为:“黑、黑”“白、白”“黑、白”“白、黑”.这个结果是有限的,也是等可能的,这种试验是古典概型.但将“摸出一个白球与一个黑球”视为基本事件时,是将“黑、白”与“白、黑”两个结果合为一个结果,使得个结果出现的可能性不全相等,故这时的试验不是古典概型.()由()的分析可知,当试验的结果视为“黑、黑”“白、白”“黑、白”“白、黑”个结果时,试验为古典概型,“摸出的球是一个白球与一个黑球”所包含的基本事件数为,故所求概率为.连续掷枚硬币,观察落地后这枚硬币出现正面还是反面.()写出这个试验的所有基本事件;()求这个试验的基本事件的总数;()记“恰有两枚正面向上”这一事件,则包含哪几个基本事件?【解析】()这个试验的基本事件集合为:Ω()基本事件的总数是.()“恰有两枚正面向上”包含以下个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).先后抛掷两枚大小相同的骰子.()求点数之和出现点的概率;()求出现两个点的概率;()求点数之和能被整除的概率.【解析】如图所示,从图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共种.()记“点数之和出现点”为事件,从图中可以看出,事件包含的基本事件共个:(),(),(),(),(),().故().()记“出现两个点”为事件,从图中可以看出,事件包含的基本事件只有个,即().故().()记“点数之和能被整除”为事件,则事件包含的基本事件共个:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),().故()..从集合{}中任取两个数相乘,积是偶数的概率是().....【解析】任取两个数相乘,共有××××××,共种结果,其中积为偶数的有种结果,故所求概率为.【答案】.下课以后,教室里最后还剩下位男同学和位女同学.如果没有同学一块儿走,则第位走的是男同学的概率是().....【解析】已知有位女同学和位男同学,所有走的可能顺序有(女,女,男,男),(女,男,女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女),(男,女,女,男),所以第位走的是男同学的概率是.【答案】.口袋中有个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为,则口袋中黑球的数目为个.

【解析】摸出红球的概率为,因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件,所以摸出黑球的概率为,故黑球的数目为个.【答案】.某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:()该队员只属于一支球队的概率;()该队员最多属于两支球队的概率.【解析】()设“该队员只属于一支球队”为事件,则事件的概率为().()设“该队员最多属于两支球队”为事件,则事件的概率为().(年·江西卷)集合{}{},从中各任意取一个数,则这两数之和等于的概率是().. ...【解析】从中各取一数共有种情况:(),(),(),(),(),(),其中两数之和为的有(),()两种情况,∴.【答案】

.下列对古典概型的说法中正确的是().①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件总数为,随机事件包含个基本事件,则()..②④.①③④.①④.③④【答案】人并排坐在一起照相,则甲恰好坐在正中间的概率为().....【解析】人并排照相,中间位置有等可能的种排法,∴甲坐正中间的概率为,故选.【答案】.已知集合{},点的坐标为(),其中∈∈.记点落在第一象限为事件,则().

【解析】点的坐标可能为(),(),(),(),(),(),(),(),(),共种,其中落在第一象限的点的坐标为(),故().【答案】.有一项活动,需在名教师和名学生中任意选人参加.()需一人参加,求选到教师的概率;()需两人参加,求选到的都是学生的概率.【解析】因为任意选人参加,所以每个人被选中的可能性相等,为古典概型.()一共有个人,故有种选人情况,而选到教师的情况有种,故概率.()用数字代表教师代表学生,则有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共个基本事件,其中两个数均为到之间的有个,故概率..在一个袋子中装有分别标注数字的五个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取个小球,则取出的小球标注的数字之和为或的概率是().....【解析】随机从袋子中取个小球的基本事件为(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共有种,其中数字之和为或的有(),(),(),∴数字之和为或的概率是.【答案】.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别有点),骰子朝上的面的点数分别为、,则的概率为().....【解析】由于先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别有点),出现朝上的面的点数看成有序实数对(),共有×种,且每一种的可能性都相等,而满足的有(),(),()这种情况,所以所求的概率为.【答案】.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为、,则方程有实根的概率为.

【解析】一枚骰子掷两次,其基本事件总数为,方程有实根的条件为≥.使≥的基本事件个数由此可见,使方程有实根的基本事件个数为,于是方程有实根的概率为.【答案】.设函数()从集合{}中任取一个数从集合{}中任取一个数,求使函数的定义域为全体实数的概率.【解析】∵∈{}∈{},∴()的所有可能为:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共种.而,有≤,即≤,∴满足定义域为的()的所有可能为:(),(),(),(),(),(),共种,∴函数的定义域为全体实数的概率..“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如),在二位的“渐升数”中任取一数比大的概率是.

【解析】十位是的“渐升数”有个,十位是的“渐升数”有个,…,十位是的“渐升数”有个,所以二位的“渐升数”有个,以为十位比大的“渐升数”为个,分别以、、、、为十位的“渐升数”均比大,且共有个,所以比大的“渐升数”共有个,故在二位的“渐升数”中任取一数比大的概率是.【答案】.为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).高校相关人数抽取人数()求;()若从高校抽取的人中选人作专题发言,求这人都来自高校的概率.【解析】()由题意可得,所以.()记从高校抽取的人为,从高校抽取的人为,则从高校抽取的人中选人作专题发言的基本事件有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共种.设选中的人都来自高校的事件为,则包含的基本事件有(),(),(),共种,因此().故选中的人都来自高校的概率为.第课时建立概率模型.通过实例,理解古典概型的两个基本特征,能判断一个试验是否为古典概型,能分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数..通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件包含的基本事件数及事件发生的概率..通过实例,能利用树状图法、列表法、坐标法建立概率模型来解决简单的实际问题.重点:建立实际问题古典概型的方法以及利用树状图法、列表法、坐标法计算基本事件数.难点:放回和不放回问题的古典概型的基本事件数的计算.在某条人流量较大的街道上,有一中年人吆喝着“送钱喽”,只见他手拿一只黑色小布袋,袋中只有个黄色和个白色的乒乓球(完全相同),旁边立着一块黑板,上面写着:从袋中不放回地摸出个球,如果摸得同一颜色球个,摊主送给摸球者元钱;如果摸得不是同一颜色球个,摸球者付给摊主元钱.小李想:摸球次,情况有“黄”“黄白”“黄白”和“白”四种情况,摸得个同一颜色球的概率为,赢的钱多输的钱少,稳赚!于是他决定摸球次,结果发现自己不但没赢,还输了不少!同学们,你们能用概率知识解释这一现象吗?问题:()上述情境中有“黄”“黄白”“黄白”和“白”四种情况,但这四种情况发生的可能性不相等,故不能作为基本事件求概率.

()若将个黄球编号为,将个白球编号为,利用列举法分析可知从这个球中摸出个球的基本事件有个,摸出的三个球颜色全部相同的基本事件有个,颜色不完全相同的基本事件有个,所以小李摸一次球输的概率为.

问题:古典概型的每次试验有一个并且只有一个基本事件发生.运用公式时必须确定所有可能的基本事件是等可能发生的.

问题:建立古典概型()一题多解与多题一解:有些实际问题根据不同的角度可以建立不同的古典概型来解决,所以有些古典概型存在一题多解的情形,在多解的方法中,再寻求较为“简捷”的解法;另一方面,不断归纳,总结,又可以用同一种模型去解决很多不同的问题,即多题一解思想.

()古典概型角度的选择:在建立古典概型时,在确定每一个出现的结果的可能性相等的前提下,要尽可能地减少基本事件的个数,同时也要保证问题中所研究的事件都能轻易地表示成若干个基本事件的和.

问题:古典概型概率计算事件的概率().

概率论的起源(一)年,意大利的帕奇欧里在一本有关计算技术的教科书中提出了一个问题,一场赌赛,胜六局才算赢,当两个赌徒一个胜五局,另一个胜两局时,中止赌赛,赌金该怎样分配才合理?柏奇欧里给出的答案是按∶分.后来人们一直对这种分配原则表示怀疑,但没有一个人提得出更合适的办法来.时间过去了半个世纪,另一名意大利数学家卡当()潜心研究赌博不输的方法,出版了一本《赌博之书》.在书里提出了这样一个问题:掷两颗骰子,以两颗骰子的点数和作赌赛,那么押几点最有利?卡当认为最好.卡当还对帕奇欧里提出的问题进行过研究,提出过疑问,指出需要分析的不是已经赌过的次数,而是剩下的次数,卡当对问题的解决,虽然有了正确的思路,但没有得到正确的答案..下列是古典概型的是()..抛掷两粒均匀的骰子,所得的点数之和作为基本事件.为求任取一个正整数,该正整数平方值的个位数字是的概率,将取出的正整数作为基本事件.从甲地到乙地共有条路线,求某人正好选中最短路线的概率.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的【解析】对于,所得点数之和为基本事件,个数虽有限,但不是等可能发生的;对于,基本事件的个数都是无限的;只有是古典概型.故选.【答案】.甲、乙两人一起去游“西安世园会”,他们约定,各自独立地从到号景点中任选个进行游览,每个景点参观小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是().....【解析】若用代表处景点,显然甲、乙两人最后一小时的选择结果为(),(),(),…,(),共种,其中满足“最后一小时他们同在一个景点”包括(),(),(),…,(),共个基本事件,所以所求的概率为.【答案】.盒子里共有大小相同的只白球只黑球.若从中随机摸出只球,则它们颜色不同的概率是.

【解析】设只白球为只黑球为,则从中随机摸出只球的情形有{},{},{},{},{},{},即试验共包括个等可能发生的基本事件,事件“只球颜色不同”包括{},{},{},共个基本事件,故所求概率为.【答案】.从分别写有、、、、的张卡片中任取张,则这张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是多少?【解析】从张卡片中任取张的基本事件为(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共计个.而恰好是按字母顺序相邻的基本事件为(),(),(),(),共计个,故此事件的概率为().优化概率模型任取一个正整数,求该数的平方的末位数字是的概率.【方法指导】从正整数的平方的末位数字是考虑正整数个位上数字的特点,由此建立模型.【解析】因为正整数的个数是无限的,故不属于古典概型.但是一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数字,正整数的末位数字是,…中的任意一个数字.现任取一个正整数,…这个数字在该正整数的末位是等可能出现的,因此,所有的基本事件为,…,共个.而任取一个正整数,且该数的平方的末位数字是的事件有,共个.故所求概率为.【小结】同一个问题由于考虑的角度不同,其解法繁简差别较大,因此,在写试验的所有可能结果时,务必抓住欲求事件的本质,而把其他无关的因素抛开,以简化求解过程.树状图与列表法分析概率模型有、、、四位贵宾,应分别坐在、、、四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.()求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;()求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;()求这四人恰好有一人坐在自己的席位上的概率.【方法指导】利用树状图列出“四位贵宾就座情况”,根据树状图确定对应概率.【解析】将、、、四位贵宾就座情况用下面图形表示出来:如上图所示,本题中的等可能基本事件共有个.()设事件为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件只包含个基本事件,所以().()设事件为“这四人恰好都没有坐在自己席位上”,则事件包含个基本事件,所以().()设事件为“这四人恰好有一人坐在自己席位上”,则事件包含个基本事件,所以().【点评】.当事件个数没有很明显的规律,并且涉及的基本事件又不是太多时,我们可借助树状图法直观地将其表示出来,这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况..在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示,这样可以准确地找出基本事件的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,给问题的解决带来方便.古典概型与统计的综合应用先后掷两枚骰子,设第一次点数为,第二次点数为,两次点数用有序数对()表示,求:()列出所有的基本事件.()第一次出现奇数点,第二次出现偶数点的概率.()点数之和为的倍数的概率.()点数之和大于且小于的概率.()至少有一个点或点的概率.【方法指导】此题用列表的方式较方便,写基本事件时可做到不重不漏,求某事件发生的概率时,只要找准满足条件的事件个数即可.【解析】()先后抛掷两枚骰子的点数情况如表所示:点点点点点点点()()()()()()点()()()()()()点()()()()()()点()()()()()()点()()()()()()点()()()()()()(表)()由表可知,第一次出现奇数点,第二次出现偶数点包括的基本事件个数为,故其概率为.()点数和的所有可能情况如表所示:点点点点点点点点点点点点(表)记事件{点数之和为的倍数},则由表可知包含的基本事件共个,因此().()记事件{点数之和大于且小于},则由表可知包含的基本事件共个,因此().()共有种不同的结果,其中至少有一个点或点的事件包括个基本事件,所以至少有一个点或点的概率为.【小结】在求概率时,通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点表示,以方便我们更直接、更准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数,然后再根据古典概型的概率公式求相应的概率.有号、号、号三个信箱和、、、四封信,若封信可以任意投入信箱,投完为止,则其中信恰好投入号或号信箱的概率是多少?【解析】由于每封信可以任意投入信箱,对于信,投入各个信箱的可能性是相等的,一共有种不同的结果,投入号信箱或号信箱有种结果,故信恰好投入号或号信箱的概率为.连续掷三枚硬币,观察落地后这三枚硬币出现正面还是反面.()基本事件是三正、二正一反、一正二反,三反这个吗?若不是,列出这个试验的基本事件的个数.()恰有两枚正面朝上的概率是多少?【解析】不是,上述列举的种情况并不都是基本事件,基本事件是不能再被分割的,而二正一反和一正二反中包含了多个事件.基本事件列举如下:()按每枚出现的正、反情况进行列举.故共有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)个基本事件.()“恰有两枚正面朝上”包含了以下个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),故概率为.在探究三的条件下,求:()满足的概率;()满足<的概率.【解析】所有基本事件共个,2a(续表)2a()满足的基本事件有个,故.()满足<的基本事件有个,故..某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课,则体育课不排在第一节的概率为().. . . .【解析】我们不考虑语文、数学、历史排在第几节,只考虑体育的排法,体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节,共个基本事件,因此,体育课不排在第一节的概率为.【答案】.在五个数字中,若随机取出三个数字,则剩下的两个数字都是奇数的概率为().. . . .【解析】对应于从五个数字中随机取出三个数字,则剩余的两个数字的所有可能结果为、、、、、、、、、、,共个等可能发生的基本事件,其中剩下两个数字都是奇数包含、、、,共个基本事件,则所求概率为.【答案】.在大小相同的个球中个是红球个是白球,若从中任取个,则所取的个球中至少有一个红球的概率为.

【解析】记大小相同的个球分别为红、红、白、白、白,则基本事件为(红,红),(红,白),(红,白),(红,白),(红,白),(红,白),(红,白),(白,白),(白,白),(白,白),共个,其中至少有一个红球的事件包括个基本事件,所以所求事件的概率为.【答案】.若连续掷枚硬币.()有多少个基本事件?()求“恰有两次正面朝上”的概率.【解析】()用树状图列举如下:故共有个基本事件.()“恰有两次正面朝上”共有个基本事件,故所求概率为.(年·新课标全国卷)从中任取个不同的数,则取出的个数之差的绝对值为的概率是().. . . .【解析】从中任意取出个数,一共有如下情形:(),(),(),(),(),(),共种.设事件为:取出的个数之差的绝对值为,则事件包含的情形如下:(),(),共种.根据古典概型,得到事件发生的概率().【答案】

.从台电脑中任抽台进行质量检测,每台电脑被抽到的概率是().....【解析】把抽到每一台电脑都看成一个基本事件,试验的所有基本事件数是,且每个基本事件都是等可能发生的.“任抽台”这一事件含有个基本事件,故所求概率为.【答案】.袋中共有个除了颜色外完全相同的球,其中有个红球、个白球和个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于().. . . .【解析】袋中的个红球、个白球和个黑球分别记为.从袋中任取两球有:{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},共个基本事件,其中满足两球颜色为一白一黑的有:{},{},{},{},{},{},共个基本事件.所以所求事件的概率为.【答案】.据人口普查统计,育龄妇女生男生女是等可能的,如果允许生育二胎,则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是.

【解析】该妇女生育两胎有(男,男)、(男,女)、(女,男)、(女,女)种等可能结果.故两胎均是女孩的概率为.【答案】.在直角坐标平面内,已知点集,在中任取一点,则这个点在轴上方的概率是多少?【解析】集合中共有个点,分别为()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、().其中在轴上方的有个,故所求概率..在瓶饮料中,有瓶已过了保质期,从中任取瓶,取到的全是已过保质期的饮料的概率为().....【解析】设过保质期的瓶记为,没过保质期的瓶用、、、表示,试验的结果为:由图可知试验可能的结果数是瓶都过保质期的结果只有个,故.【答案】.有个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为().. . . .【解析】甲、乙两位同学各自参加其中一个小组共有种可能,其中两位同学参加同一个兴趣小组有种可能,所以两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.【答案】.已知正整数满足4a,则都是偶数的概率是.

【解析】正整数满足的实数对共有(),(),(),(),(),(),().所以都是偶数的概率为.【答案】.从中任取两个不同的数字,求()>的概率.【解析】设()>为事件,则()>⇔>,所以事件就是从中任取两个不同的数字组成的两位数大于.由于的个位数字是,所以事件转化为从中任取一个不小于的数.此时,所有的基本事件为,共个等可能发生的基本事件,事件包含,共个基本事件,所以()..在棱长分别为的长方体上随机选取两个相异顶点,若每个顶点被选的概率相同,则选到两个顶点的距离大于的概率为.

【解析】从个顶点中任取两点有种取法,其线段长可以为,,,,,①其中条棱线,长度都小于等于;②边长为的长方形的对角线为<,共有条;故长度大于的有28-12-4条,故两点距离大于的概率.【答案】.如图,从()()()()()()这个点中随机选取个点.()求这点共线的概率;()求这点的纵坐标之和为的概率.【解析】从这个点中随机选取个点的所有可能结果是:1A1A1A2C1A2C2A2A2C2C1C2A1C2A1C1C1C1C2C2C1C1C2C2C,共种.()选取的这点共线的所有可能结果有1A2C1A2C1C2A1C2A,共种,因此,这个点共线的概率为.()选取的这个点的纵坐标之和为的所有可能结果有2C1C1C2C1C,共种,因此,这个点的纵坐标之和为的概率为.第课时互斥事件.了解事件间的相互关系,理解互斥事件、对立事件的概念..通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式..会用概率的加法公式求某些事件的概率.重点:互斥事件的概念及其概率的加法公式,在此基础上讨论对立事件,以及用古典概型解决实际应用问题.难点:互斥事件和对立事件的区别与联系.老师把一枚骰子抛掷后,看了下点数,然后盖住,叫四个同学猜,甲说是点,乙说点数是奇数,丙说不超过点,丁说点数是偶数,老师听后微笑地说,有三人猜对了.问题:甲和丁的猜测、乙和丁的猜测是不可能同时发生的,若丁猜对了,则甲、乙都猜错了,与老师的说法矛盾,所以只能是丁猜错了,其他三人都猜对了,故点数为.

问题:()在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件和称作互斥事件.

()事件事件发生是指事件和事件至少有一个发生.若事件和事件是互斥事件,则().()不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件.事件的对立事件记作,可以得出两事件的概率关系为()().

问题:互斥事件与对立事件有何关系?如何从集合的角度理解对立事件与互斥事件?对立事件是特殊的互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.对立事件只有两个,互斥事件可能有多个,如在一次试验中,…事件只有个发生,则,…互斥.

从集合的角度来看,事件、互斥是指事件所含的结果组成的集合与事件所含的结果组成的集合的交集为空集;事件与对立,是指事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件所含的结果组成的集合的补集,即∩⌀,且∪.

如图、互斥∩⌀,即(∩).

、对立∩⌀,且∪,即(∩)且(∪)().

问题:如果,…两两互斥,此时,…的概率满足(…)()()…().

奇怪的选举假定有张、王、李三个同学竞选学生会主席.民意测验表明,选举中有愿意选张不愿选王,有愿意选王不愿选李.是否是愿意选张而不愿选李的多?直观感觉的答案显然是肯定的.其实结果是:不一定!奇怪的选举使入迷惑的地方是我们以为“好恶”关系总是可以传递的,就像>>,可以推出>那样.但事实上,“好恶”关系是不可以传递的.这个例子说明,在对两个以上事物作两两对比选择时,有可能产生矛盾..在一批产品中取出三件,设表示“三件产品全不是次品”表示“三件产品全是次品”表示“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是().与互斥与互斥.任两个均互斥.任两个均不互斥【解析】表示三件产品都是正品表示三件产品都是次品表示一件正品两件次品,两件正品一件次品和三件正品,即与互斥与互斥与不互斥.【答案】.某校派出甲、乙两支球队参加全市足球冠军赛,甲、乙两队夺冠的概率分别是和,则该校球队夺得全市足球冠军的概率为().....【解析】由题目可知,两支球队夺冠为互斥事件,且(甲夺冠)(乙夺冠),故(甲夺冠)(乙夺冠).【答案】.某射击运动员在一次射击命中环的概率是,命中环的概率是,不够环的概率是,则这个射手在一次射击中命中环或环的概率是.

【解析】.【答案】.在数学考试中,小明的成绩在[]分的概率是,在[)分的概率是,在[)分的概率是,在[)分的概率是,在[)分的概率是,计算:()小明的考试成绩在分以下的概率;()小明的考试成绩在分及分以上的概率.【解析】分别记小明的考试成绩在[]分、[)分、[)分、[)分、[)分为事件、、、、,这五个事件彼此互斥.()小明的考试成绩在分以下的事件记为,则()()()()().()小明的考试成绩在分及分以上的事件记为,则()()()()()().也可考虑用对立事件()().互斥事件与对立事件的判断一个射手进行一次射击,记“命中的环数大于”为事件,“命中的环数大于”为事件,“命中的环数小于”为事件,“命中的环数小于”为事件.那么、、、中有多少对互斥事件?是否有对立事件?【方法指导】判断两个事件是不是互斥事件,就是考察它们能否同时发生.如果不能同时发生,则是互斥事件;反之则不是互斥事件.【解析】与与与是互斥事件,但不是对立事件.因为此三组中的任意两个事件都是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中一个一定发生,故二者不是对立事件与既是互斥事件,又是对立事件.【小结】要判断两个事件是不是互斥事件、是不是对立事件,只需要找出各个事件包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,这样便可判断是否互斥,在互斥的前提下判断是否对立.事件概率的计算某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示:年降水量(单位:)[)[)[)[)概率()求年降水量在[)()范围内的概率;()求年降水量在[)()范围内的概率.【方法指导】记这个地区的年降水量在[)、[)、[)、[)()范围内分别为事件、、、.这四个事件是彼此互斥的,根据互斥事件的概率加法公式即可得出结果.【解析】()年降水量在[)()范围内的概率是()()().()年降水量在[)()范围内的概率是()()()().【小结】注意互斥事件的概念,只有当、两事件互斥时()()()才成立.互斥事件与对立事件概率的应用做投掷颗骰子的试验,用()表示点的坐标,其中表示第颗骰子出现的点数表示第颗骰子出现的点数.()求点在函数的图像上的概率;()求点不在函数的图像上的概率;()求点的坐标()满足<≤的概率.【方法指导】投掷两颗骰子时,可能出现的点数的情况总数为个,另外要注意点在函数图像或不在函数图像上的条件,对于否定性问题常利用对立条件求解.【解析】每颗骰子出现的点数都有种情况,所以基本事件总数为个.()记“点在函数的图像上”为事件,则事件有个基本事件,即{(),(),(),(),(),()},∴().()记“点不在函数的图像上”为事件,则“点在函数图像上”为事件,其中事件有个基本事件.即{(),(),(),(),()},∴()().()记“点坐标满足<≤25”为事件,则事件有个基本事件.即{(),(),(),(),(),(),()},∴().【小结】在求解古典概型的概率时,如果事件包含的基本事件的个数较多,情况较为复杂,可考虑对事件进行适当的分类以求出基本事件数,分成若干彼此互斥的事件,这是分类讨论思想的运用;在讨论时应遵循不重不漏的原则,先根据问题的需要确定一个分类标准,然后按照这个标准把符合要求的各类情况一一列举出来,并分别进行求解.判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.()“抛一石块,下落”;()“某人射击一次,中靶”;()“从分别标有号数的张标签中任取一张,得到号签”;()“没有水分,种子能发芽”.【解析】根据定义,事件()是必然事件;事件()是不可能事件;事件()()是随机事件.由经验公式知,每天在学校食堂某窗口排队等候就餐的人数及其概率如下表:排队人数[)[)[)[)[)[∞)概率()求等候就餐人数为[)的概率;()若等候就餐的人数大于或等于,则应增加一个新窗口,请问增加新窗口的概率是多少?【解析】()记“等候就餐人数为[)”为事件,“等候就餐人数为[)”为事件,“等候就餐人数为[)”为事件,“等候就餐人数为[)”为事件,则,且彼此互斥,所以()()()().()要增加新窗口,则等候就餐的人数大于或等于,包含两种情况:等候就餐的人数为[)和[∞),记“等候就餐的人数大于或等于16”为事件,“等候就餐的人数为[)”为事件,“等候就餐的人数为[∞)”为事件,则,且互斥()()().故增加新窗口的概率是.某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:()该队员只属于一支球队的概率;()该队员最多属于两支球队的概率.【解析】()设“该队员中属于一支球队”为事件,则事件的概率().()设“该队员最多属于两支球队”为事件,则事件的概率()..抛掷一枚骰子,向上的点数是或为事件,向上的点数是或为事件,则().⊆ 表示向上的点数是或或【解析】可知、既不互斥,也不存在包含关系.【答案】.袋中有红、黄、白色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取次,则下列事件概率为的是()..颜色全相同 .颜色全不相同.颜色不全相同 .颜色无红色【解析】有放回地抽取次,共有种不同的取法,而颜色全相同的情况有种,颜色全相同的概率为,由对立事件可知,颜色不全相同的概率为.【答案】.袋内装有大小相同的红球、白球和黑球各若干个,从中摸出一球,摸出红球的概率是,摸出黑球的概率是,则摸出白球的概率是.

【解析】摸一球的结果包含了摸出红球、摸出黑球、摸出白球这三个互斥事件,这三个事件的概率之和为,故摸出白球的概率为.【答案】.某乡村医院一天中派出医生下乡医疗的人数是不确定的,派出医生人数及其概率如下:医生人数人及以上概率计算:()派出医生至多人的概率;()派出医生至少人的概率.【解析】().().(年·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为().....【解析】五人中选用三人,列举可得基本事件个数是个,“甲或乙被录用”的对立事件是“甲乙都没有被录用”,即录用的是其余三人,只含有一个基本事件,故所求概率是.【答案】

.把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()..对立事件.互斥但不对立事件.不可能事件 .以上都不对【解析】由互斥事件与对立事件的概念进行判断.【答案】.从,…这个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,对立事件是()..①.②④.③.①③【解析】由对立事件的定义可知③为对立事件;①中,两事件为同一事件;②中前一事件包含后一事件,可同时发生;④中,至少有一个奇数即一奇或两奇,至少有一个偶数即一偶或两偶,两事件存在交集,可同时发生.故选.【答案】.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是,甲不输的概率为,则甲、乙二人下成和棋的概率为.

【解析】甲不输包含了甲胜或和棋这两个互斥事件,∴和棋的概率为.【答案】.在一个盒中装有支圆珠笔,其中支一等品支二等品和支三等品,从中任取支,求下列事件的概率.()恰有支一等品;()恰有支一等品;()没有三等品.【解析】用数字代表支一等品代表支二等品代表支三等品,从中任取三支,共有个基本事件,分别为(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),().()恰有支一等品说明在这组数中,只有一个的整数,共有个,故概率为.()恰有支一等品说明在这组数中,有两个的整数,共有个,故概率为.()“没有三等品”与“有三等品”是对立事件,若有三等品,则说明一定含有,共有个,故概率值为..先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别有点、、、、、),骰子朝上的面的点数分别为、,则的概率为().....【解析】由于先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别有点、、、、、),出现朝上的面的点数看成有序实数对(),共有×种,且每一种的可能性都相等,而满足的、有(),(),()这种情况,所以所求的概率为.【答案】.把张卡片分别写上,…后,任意叠在一起,从中任取一张,设“抽得大于的奇数”为事件,“抽得小于的奇数”为事件,则()是().. .. .以上都不对【解析】由题可知、互斥,且()(),∴()()().【答案】.一个学校的足球队、篮球队和乒乓球队分别有名、名和名成员,一些成员参加了不止支球队,具体情况如图所示,随机选取名成员,则他参加了不止支球队的概率为,参加足球或篮球队的概率为.

【解析】由图可知,所有成员有人,其中参加不止支球队的成员有人,故.参加足球或篮球队的人数为,故.【答案】.受轿车在保修期内的维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,甲品牌车保修期为年,乙品牌车保修期为年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取辆,统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下:品牌甲首次出现故障的时间(年)<≤<≤<≤>轿车数量(辆)品牌乙首次出现故障的时间(年)<≤<≤>轿车数量(辆)()从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;()从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率.(将频率视为概率)【解析】()设分别表示甲种品牌轿车首次出现故障在第年,第年和第年之内,设表示甲种品牌轿车首次出现故障在保修期内.因为彼此互斥,且()()(),所以()()()()(),即首次出现故障发生在保修期内的概率为.()乙种品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为,故首次出现故障发生在保修期内的概率为..在张卡片上分别写有数字,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被或整除的概率是.

【解析】(法一)用列举法可知组成四位数,共有种结果,能被或整除,即只要满足末位是或或,共有种,∴.(法二)只考虑末位共有种情况,满足条件的有种,∴.【答案】.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共杯,其颜色完全相同,并且其中杯为饮料,另外杯为饮料,公司要求此员工一一品尝后,从杯饮料中选出杯饮料.若该员工杯都选对,则评为优秀;若杯选对杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对和两种饮料没有鉴别能力.()求此人被评为优秀的概率;()求此人被评为良好及以上的概率.【解析】将杯饮料编号为,编号表示饮料,编号表示饮料,则从杯饮料中选出杯的所有可能情况有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共种.用表示“此人被评为优秀”表示“此人被评为良好”表示“此人被评为良好及以上”,()().()∵(),∴()()().第课时模拟方法——概率的应用.注意几何概型的两个特点:试验结果有无限多个、每个基本事件出现的可能性相等..对于公式的记忆与掌握不可忽视..要看清题目本质,做题时选取正确的几何度量进行运算.重点:几何概型及其适用范围与求概率的方法.难点:几何概型几种类型的辨别.某超市为了吸引顾客,设立了一个蒙眼飞镖投靶有奖活动(靶如图所示),并规定:顾客每购买元的商品,就能获得一次投靶的机会.飞镖投在红色区域,顾客可获得元购物券;飞镖投在黄色区域,顾客可获得元购物券;飞镖投在绿色区域,顾客可获得元的购物券,靶分成等份.若甲顾客购买了元的商品,且假设他投靶不会脱靶,不会投在靶心和等分线上,则他获得元、元或元购物券的概率分别是多少?问题:()在上面的问题中,可以通过几何概型知识进行解决,他获得元、元或元购物券的概率分别是

,,.

()几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

()几何概型具有下列两个特征:①每次试验的结果有无限多个,且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示.

②每次试验的各种结果是等可能的.

问题:几何概型的计算公式在几何概型中,事件的概率的计算公式:()

.

问题:几种常见的几何概型()线段型:设线段是线段的一部分,向线段上任投一点.若落在线段上的点数与线段的长度成正比,而与线段在线段上的相对位置无关,则点落在线段上的概率为的长度的长度.

()面积型:设平面区域是平面区域的一部分,向区域上任投一点,若落在区域上的点数与区域的面积成正比,而与区域在区域上的相对位置无关,则点落在区域上的概率为的面积的面积.

()体积型:设空间区域是空间区域的一部分,向区域上任投一点.若落在区域上的点数与区域的体积成正比,而与区域在区域上的相对位置无关,则点落在区域上的概率为的体积的体积.

()角度型:设角度区域是角度区域的一部分,向角度区域上任投一点.若落在区域上的点数与区域的角度成正比,而与区域在区域上的相对位置无关,则点落在区域上的概率为的角度的角度.

问题:古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的,但古典概型要求基本事件是有限个,几何概型是要求基本事件有无限多个.古典概型利用事件所含基本事件数的比值求,而几何概型是利用其几何度量的比值求.

模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法.它可以在短时间内完成大量的重复试验,然后估计某些随机事件发生的概率.我们常用到的几种模拟方法有:()直接试验法.比如教材中的向正方形中撒芝麻或者豆粒和使用转盘模拟试验过程等.()随机数表法.随机数是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会一样.()利用计算机或计算器产生随机数进行模拟试验.比如用软件产生随机数..关于几何概型和古典概型的区别,下列说法正确的是()..几何概型中基本事件有有限个,而古典概型中基本事件有无限个.几何概型中基本事件有无限个,而古典概型中基本事件有有限个.几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等,而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等.几何概型中每个基本事件出现的可能性相等,而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等【解析】几何概型中基本事件有无限个,而古典概型中基本事件有有限个,故正确.几何概型与古典概型中每个基本事件出现的可能性都相等,因此、错误.【答案】.取一个正方形及其外接圆,随机向圆内抛一粒豆子,则豆子落入正方形外的概率为().....【解析】所求概率为圆面积与正方形面积的差值除以圆面积.【答案】.在平面直角坐标系中,设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于的点构成的区域是到原点的距离不大于的点构成的区域,向中随机投一点,则落入中的概率为.

【解析】如图,区域表示边长为的正方形的内部(含边界),区域表示单位圆及其内部,因此.【答案】.在长为的线段上任取一点,并以线段为边作正方形,求这个正方形的面积介于与之间的概率.【解析】依题意≤≤,∴≤≤,∴在线段上满足条件的构成的线段长度为.记事件{面积介于与之间},则().几何概型的概率计算如图所示两盏路灯之间的长度是米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯,问与与之间的距离都不小于米的概率是多少?【方法指导】在之间每一个位置安装路灯都是一个基本事件,基本事件有无限多个,且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件发生的概率只与长度有关,符合几何概型条件.【解析】记事件为:“与与之间的距离都不小于米”,把三等分.由于中间长度为×米,所以().【小结】我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.几何概型随机模拟应用向如图所示的正方形中随机撒一把豆子,用随机模拟的方法估计圆周率的值.【方法指导】可以利用一般的人工随机模拟的办法,如撒一把豆子,也可以考虑利用计算机随机模拟的方式,借助函数解决.【解析】(法一)随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即≈.假