2025届江西省赣州厚德外国语学校高考数学押题试卷含解析

2025届江西省赣州厚德外国语学校高考数学押题试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为，若，且，则该双曲线的离心率为()A． B． C． D．2．执行下面的程序框图，则输出的值为（）A． B． C． D．3．若，则的虚部是（）A． B． C． D．4．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（）A． B． C． D．5．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A． B． C． D．6．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（）A．1 B． C． D．7．已知正项数列满足：，设，当最小时，的值为()A． B． C． D．8．已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．9．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示销售量），由散点图可知与的相关关系为（）A．正相关，相关系数的值为B．负相关，相关系数的值为C．负相关，相关系数的值为D．正相关，相关负数的值为10．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A． B． C． D．11．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤12．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是______.14．已知函数在上仅有2个零点，设，则在区间上的取值范围为_______．15．等腰直角三角形内有一点P，，，，，则面积为______.16．已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则可取到的最大值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：加工1个零件用时（分钟）20253035频数（个）15304015以加工这100个零件用时的频率代替概率.（1）求的分布列与数学期望；（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.18．（12分）已知是递增的等差数列，，是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）求的最大值．20．（12分）已知函数（1）若，试讨论的单调性；（2）若，实数为方程的两不等实根，求证：.21．（12分）直线与抛物线相交于，两点，且，若，到轴距离的乘积为．（1）求的方程；（2）设点为抛物线的焦点，当面积最小时，求直线的方程．22．（10分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用，求出点，因为点在双曲线上，及，代入整理及得，又已知，即可求出离心率．【详解】由题意可知，代入得：，代入双曲线方程整理得：，又因为，即可得到，故选：D．【点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于，，的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题．2、D【解析】

根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.【详解】运行程序，，

，，，，，结束循环，故输出，故选：D.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.3、D【解析】

通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：的形式，即可得到复数的虚部.【详解】由题可知，所以的虚部是1.故选：D.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.4、D【解析】

由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.【详解】由题意，设每一行的和为故因此：故故选：D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5、C【解析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A.，值域为，非奇非偶函数，排除；B.，值域为，奇函数，排除；C.，值域为，奇函数，满足；D.，值域为，非奇非偶函数，排除；故选：.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.6、A【解析】

设，因为，得到，利用直线的斜率公式，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，设，因为，即线段的中点，所以，所以直线的斜率，当且仅当，即时等号成立，所以直线的斜率的最大值为1.故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.7、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由递推公式求出.【详解】由得，即，，当且仅当时取得最小值，此时.故选：B【点睛】本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.8、B【解析】由题意可得c=，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以椭圆的方程为．故选B．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．9、C【解析】

根据正负相关的概念判断．【详解】由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．故选：C．【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．10、C【解析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.11、C【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列则由等差数列的性质得，故选C12、A【解析】

根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可.【详解】因为,所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、；【解析】

求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值．【详解】圆：的标准方程为，圆心为，由题意，即，∴，当且仅当，即时等号成立，故答案为：．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．14、【解析】

先根据零点个数求解出的值，然后得到的解析式，采用换元法求解在上的值域即可.【详解】因为在上有两个零点，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合，其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难.对形如的函数的值域求解，关键是采用换元法令，然后根据，将问题转化为关于的函数的值域，同时要注意新元的范围.15、【解析】

利用余弦定理计算，然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果.【详解】设由题可知：由，，，所以化简可得：则或，即或由，所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题.16、4【解析】

由于曲线与直线相交，存在相邻两个交点间的距离为，所以函数的周期，可得到的取值范围，再由解出的两类不同的值，然后列方程求出，再结合的取值范围可得的最大值.【详解】，可得，由，则或，即或，由题意得，所以，则或，所以可取到的最大值为4.故答案为：4【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）分布列见解析，；（2）0.8575【解析】

（1）根据题目所给数据求得分布列，并计算出数学期望.（2）根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工个零件作示范的总时间不超过分钟的概率.【详解】（1）的分布列如下：202530350.150.300.400.15.（2）设，分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时间不超过100分钟”，则.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档题.18、（1）;（2）.【解析】

（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出．【详解】方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.所以{an}的通项公式为an＝n＋1.（2）设的前n项和为Sn，由（1）知＝，则Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考点：等差数列的性质；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为，由题意得，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．19、（1），；（2）1．【解析】

（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；（2）设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．【详解】（1）∵点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，|PF|＝3，∴23，解得：p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x，∵点P（2，n）（n＞0）在抛物线C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．（2）∵F（1，0），∴设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是y2+4my﹣4＝0的两个不同实根，∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，（），（x2﹣2，），（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8＝﹣8m2+8m+5＝﹣8（m）2+1．∴当m时，取最大值1．【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】

（1）根据题意得，分与讨论即可得到函数的单调性；（2）根据题意构造函数，得，参变分离得，分析不等式，即转化为，设，再构造函数，利用导数得单调性，进而得证.【详解】（1）依题意，当时，，①当时，恒成立，此时在定义域上单调递增；②当时，若，；若，；故此时的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）方法1：由得令，则，依题意有，即，要证，只需证（不妨设），即证，令，设，则，在单调递减，即，从而有.方法2：由得令，则，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减，不妨设，则，要证，只需证，易知，故只需证，即证令，（），则==，（也可代入后再求导）在上单调递减，，故对于时，总有.由此得【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.21、（1）；