北京市延庆区2025届高三第二次联考数学试卷含解析

北京市延庆区2025届高三第二次联考数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则（）A． B． C． D．2．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（）A．56 B．72 C．88 D．403．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（）A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度4．设，则A． B． C． D．5．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．设数列是等差数列，，.则这个数列的前7项和等于（）A．12 B．21 C．24 D．368．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．9．已知向量，，且与的夹角为，则x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-110．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是()A．1 B．-3 C．1或 D．-3或11．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（）A．3 B．4 C．5 D．612．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若满足约束条件，则的最大值为__________．14．数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，且.若任意，成立，则实数的取值范围为__________.15．若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为________.16．已知三棱锥，，是边长为4的正三角形，，分别是、的中点，为棱上一动点（点除外），，若异面直线与所成的角为，且，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，，，且满足（1）求点的轨迹的方程；（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程．18．（12分）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.（Ⅰ）证明：平面平面垂直；（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.19．（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线与直线其中的一个交点为，且点极径.极角（1）求曲线的极坐标方程与点的极坐标；（2）已知直线的直角坐标方程为，直线与曲线相交于点(异于原点)，求的面积.20．（12分）在以为顶点的五面体中，底面为菱形，，，，二面角为直二面角.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且(1)求数列{a(2)求数列{1Sn}的前22．（10分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）.（1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．【详解】解：由集合，解得，则故选：．【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题．2、B【解析】

，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【详解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.3、C【解析】

根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.【详解】为得到，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），故可得；再将向左平移个单位长度，故可得.故选：C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.4、C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5、D【解析】

由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得，，，.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.6、A【解析】

由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解.【详解】解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，．抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，，又，，则双曲线的离心率为．故选：．【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．7、B【解析】

根据等差数列的性质可得，由等差数列求和公式可得结果.【详解】因为数列是等差数列，，所以，即，又，所以，，故故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.8、B【解析】

由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】函数，可得，时，，单调递增，∵，故不等式的解集等价于不等式的解集．．∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.9、B【解析】

由题意，代入解方程即可得解.【详解】由题意，所以，且，解得.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.10、D【解析】

由题得，解方程即得k的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.11、B【解析】分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.详解：记执行第次循环时，的值记为有，则有；记执行第次循环时，的值记为有，则有.令，则有，故，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前和、前项积等）.12、D【解析】

由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.【详解】因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D.【点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】

作出可行域如图所示：由，解得.目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.14、【解析】

当时，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根据定义求出，再借助单调性求解．【详解】解：当时，，则，，当时，，，，，，（当且仅当时等号成立），，故答案为：．【点睛】本题主要考查已知求，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题．15、【解析】

注意平移是针对自变量x，所以，再利用整体换元法求值域（最值）即可.【详解】由已知，，，又，故，，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.16、【解析】

取的中点，连接，，取的中点，连接，，，直线与所成的角为，计算，，根据余弦定理计算得到答案。【详解】取的中点，连接，，依题意可得，，所以平面，所以，因为，分别、的中点，所以，因为，所以，所以平面，故，故，故两两垂直。取的中点，连接，，，因为，所以直线与所成的角为，设，则，，所以，化简得，解得，即.故答案为：.【点睛】本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）．（2）的方程为．【解析】

（1）令，则，由此能求出点C的轨迹方程．（2）令，令直线，联立，得，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。【详解】解：（1）因为，即直线的斜率分别为且，设点，则，整理得.（2）令，易知直线不与轴重合，令直线，与联立得，所以有，由，故，即，从而，解得，即。所以直线的方程为。【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）存在，此时为的中点.【解析】

（Ⅰ）证明平面，得到平面平面，故平面平面，平面，得到答案.（Ⅱ）假设存在点满足题意，过作于，平面，过作于，连接，则，过作于，连接，是二面角的平面角，设，，计算得到答案.【详解】（Ⅰ）∵，，，∴平面.又平面，∴平面平面，而平面，，∴平面平面，由，知，可知平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）假设存在点满足题意，过作于，由知，易证平面，所以平面，过作于，连接，则（三垂线定理），即是二面角的平面角，不妨设，则，在中，设（），由得，即，得，∴，依题意知，即，解得，此时为的中点.综上知，存在点，使得二面角的余弦值，此时为的中点.【点睛】本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.19、（1）极坐标方程为，点的极坐标为（2）【解析】

（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；（2）只需算出A、B两点的极坐标，利用计算即可.【详解】（1）曲线C：(为参数，)，将代入，解得，即曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.（2)由（1），得点的极坐标为，由直线过原点且倾斜角为，知点的极坐标为，.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结，证明平面得到答案.（Ⅱ）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结因为为菱形，所以.因为，所以.因为二面角为直二面角，所以平面平面，且平面平面，所以平面所以因为所以是平行四边形，所以.所以，所以，所以平面，又平面，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知两两垂直，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设设平面的法向量为，由，取.平面的法向量为.所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21、（1）an=2n【解析】

(1)先设出数列的公差为d，结合题中条件，求出首项和公差，即可得出结果．(2)利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：(1)设公差为d的等差数列{an}且a1+a则有：a1解得：a1=3，所以：a(2)由于：an所以：Sn则：1S则：Tn=1【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22、（1）证明见解析，是，，，，；（2）【解析】

（1）根据是球的直径，则，又平面，得到，再由线面垂直的判定定理得到平面，，进而得到，再利用线面垂直的判定定理得到平面.（2）以A为原点，，，所在直线为x，y，z