2020年全国中考数学真题分类汇编：《圆》解答题（二）含答案

2020年全国中考数学真题分类精选汇编：《圆》解答题(二)

含答案解析

1.(2020•广州)如图，。。为等边△ABC的外接圆，半径为2,点。在劣弧源上运动(不与

点A,8重合)，连接。A,DB,DC.

(1)求证：0c是N4DB的平分线；

(2)四边形ADBC的面积S是线段。C的长尤的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果

不是，请说明理由；

(3)若点M,N分别在线段CA,上运动(不含端点)，经过探究发现，点。运动到每一

个确定的位置，△/)〃汽的周长有最小值3随着点。的运动，f的值会发生变化，求所有f

值中的最大值.

2.(2020•株洲)A8是。O的直径，点C是上一点，连接AC、BC,直线MN过点C,满

足/BCM=/BAC=a.

图①图②

(1)如图①，求证：直线是O。的切线；

(2)如图②，点。在线段8C上，过点。作。HLMV于点直线交O。于点E、F,

连接AF并延长交直线于点G,连接CE,且CE=$,若O。的半径为1,cosa=&,求

AG-ED的值.

3.(2020•孝感)已知aABC内接于O。，AB=AC,ZABC的平分线与。。交于点D,与AC

交于点E,连接。并延长与。。过点A的切线交于点F,记NBAC=a.

(1)如图1,若a=60°,

①直接写出更的值为；

DC

②当。。的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为；

(2)如图2,若a<60°,且更=2,DE=4,求BE的长.

图1图2

4.(2020•鄂州)如图所示：OO与AABC的边BC相切于点C,与AC、AB分别交于点。、E,

DE//OB.DC是OO的直径.连接OE,过C作CG〃OE交。。于G,连接。G、EC,DG

与EC交于点F.

(1)求证：直线与O。相切；

(2)求证：AE-ED=AC-EF；

(3)若EF=3,tan/ACE=工时，过A作AN〃CE交于/、N两点(M在线段AN上)，

2

求A7V的长.

5.(2020•烟台)如图，在口ABC。中，ZD=60°,对角线ACL8C,。。经过点A,B,与AC

交于点M,连接AO并延长与。。交于点F,与CB的延长线交于点E,AB=EB.

(1)求证：EC是。。的切线；

(2)若AO=2«,求赢的长(结果保留IT).

6.(2020•娄底)如图，点C在以AB为直径的上，8。平分/A8C交。。于点。，过。作

8C的垂线，垂足为E.

(1)求证：DE与O。相切；

(2)若AB=5,BE=4,求8。的长；

(3)请用线段AB、8E表示CE的长，并说明理由.

7.(2020•恩施州)如图1,AB是。。的直径，直线AM与。。相切于点A,直线与。。相

切于点8,点C(异于点A)在AM上，点。在上，且CZ)=C4,延长CD与BN相交

于点E,连接并延长交8N于点£

图1

(1)求证:CE是。。的切线;

(2)求证:BE=EF；

(3)如图2,连接并延长与分别相交于点G、H,连接若A8=6,AC=4,求

tanNBHE.

8.(2020•广东)如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,ZDAB=90°,AB是。。的直径，CO

平分/BCD.

(1)求证：直线C。与。。相切；

(2)如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧窟上一点，4。=1,BC=2.求tan/APE的

值.

9.(2020•威海)如图，△ABC的外角NR4M的平分线与它的外接圆相交于点E,连接BE,CE,

过点E作E尸〃8C,交CM于点。.

求证：(1)BE=CE；

(2)EF为。0的切线.

10.如图，AC为。。的直径，A尸为。。的切线，M是AP上一点，过点M的直线与交于

点、B,。两点，与AC交于点E,连接AB,AD,AB=BE.

(1)求证：AB=BM；

(2)若AB=3,AD=2鱼，求O。的半径.

11.(2020•宜昌)如图，在四边形ABC。中，AD//BC,AB=2、&,ZABC=60°,过点3的

。。与边AB,BC分别交于E,尸两点.OG_LBC,垂足为G,OG=a.连接。2,OE,OF.

(2)若BE=BF,求证：OO与AD相切于点A.

12.(2020•湘西州)如图，是。。的直径，AC是。。的切线，8C交。。于点E.

(1)若。为AC的中点，证明：是。。的切线；

(2)若CA=6,CE=36,求。。的半径OA的长.

13.(2020•潍坊)如图，为。。的直径，射线AO交。。于点R点C为劣弧前的中点，过

点C作CELA。，垂足为E,连接AC.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若N8AC=30°,AB=4,求阴影部分的面积.

14.(2020•营口)如图，△ABC中，ZACB=9Q°,80为△ABC的角平分线，以点。为圆心,

OC为半径作。。与线段AC交于点D.

(1)求证：AB为。0的切线；

(2)若tanA=立，AD—2,求8。的长.

15.(2020•青海)如图，已知是。。的直径，直线BC与。。相切于点8,过点A作A£)〃

0c交。。于点。，连接CD

(1)求证：O是。。的切线.

(2)若AD=4,直径A8=12,求线段BC的长.

16.(2020•盐城)如图，是△A8C的外接圆，是的直径，ZDCA=ZB.

(1)求证：C。是。。的切线；

(2)若。垂足为E,OE交AC于点尸，求证：△£>(7尸是等腰三角形.

17.(2020•张家界)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以A8为直径作O。，过点C作直

线C£)交的延长线于点使/BC£)=/A.

(1)求证：co为。。的切线；

(2)若平分NAOC,且分别交AC,BC于点、E,F,当CE=2时，求斯的长.

18.(2020•郴州)如图，AABC内接于OO,是。。的直径.直线/与。。相切于点A,在

/上取一点。使得D4=OC,线段。C,的延长线交于点E.

(1)求证：直线DC是。。的切线；

(2)若BC=2,NCAB=30°,求图中阴影部分的面积(结果保留IT).

19.(2020•常州)如图1,与直线。相离，过圆心/作直线。的垂线，垂足为X,且交

于P、。两点(。在P、H之间).我们把点P称为。/关于直线。的“远点”，把尸。

的值称为。/关于直线a的“特征数”.

(1)如图2,在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4).半径为1的。。与两坐标

轴交于点A、B、C、D.

①过点E画垂直于y轴的直线m,则。。关于直线m的“远点”是点(填“A”、“3”、

“C”或“£>”)，。。关于直线机的“特征数”为；

②若直线”的函数表达式为y=Q+4.求。。关于直线n的“特征数”；

(2)在平面直角坐标系xOy中，直线/经过点M(l,4),点P是坐标平面内一点，以厂为

圆心，如为半径作若OF与直线/相离，点N(-1,0)是关于直线/的“远点”.且

OF关于直线/的“特征数”是4泥，求直线/的函数表达式.

20.(2020•长沙)如图，半径为4的。。中，弦AB的长度为4«,点C是劣弧会上的一个动

点，点。是弦AC的中点，点E是弦8c的中点，连接。E、OD、OE.

(1)求/AOB的度数；

(2)当点C沿着劣弧右从点A开始，逆时针运动到点8时，求的外心尸所经过的

路径的长度;

(3)分别记△(?£)&△CDE的面积为Si,S2,当SJ-s2=21时，求弦AC的长度.

21.(2020•临沂)已知OO1的半径为n,。。2的半径为2以。1为圆心，以厂1+己的长为半

径画弧，再以线段0102的中点P为圆心，以工。1。2的长为半径画弧，两弧交于点A,连接

2

OiA,OiA,014交。。1于点8,过点2作。2A的平行线BC交。1。2于点C.

(1)求证：8C是002的切线；

(2)若ri=2,r2=l,0102=6,求阴影部分的面积.

B

22.（2020•山西）如图，四边形。4BC是平行四边形，以点。为圆心，0c为半径的。。与4B

相切于点3,与A。相交于点49的延长线交O。于点E,连接班交OC于点?求NC

和NE的度数.

23.（2020•广元）在Rt^ABC中，ZACB=90°,OA平分/BAC交8c于点。，以O为圆心,

OC长为半径作圆交BC于点D.

（1）如图1,求证：AB为。。的切线;

（2）如图2,AB与。。相切于点E,连接CE交04于点?

①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由.

②若ORFC=1：2,OC=3,求tanB的值.

24.（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC,以A8为直径的交3C于点。，过点。作

DE±AC,垂足为点E.

(1)求证：△A3。丝△AC£)；

(2)判断直线。E与。。的位置关系，并说明理由.

25.(2020•武汉)如图，在RtZkABC中，NABC=90°,以AB为直径的。。交AC于点D

AE与过点。的切线互相垂直，垂足为E.

(1)求证：AD平分/BAE；

(2)若CD=DE,求sin/BAC的值.

26.(2020•随州)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以斜边A8上的中线C£＞为直径作。0,

与BC交于点M,与AB的另一个交点为E,过M作MNLAB,垂足为N.

(1)求证：是O。的切线；

(2)若。。的直径为5,sin8=3,求ED的长.

27.(2020•江西)已知NMPN的两边分别与。。相切于点A,B,。。的半径为八

(1)如图1,点C在点A,8之间的优弧上，/MPN=8Q°,求NACB的度数；

(2)如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，/APB的度数应

为多少？请说明理由；

(3)若PC交。。于点。，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含厂的式子表示).

28.(2020•怀化)定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.

(1)下面四边形是垂等四边形的是;(填序号)

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)图形判定：如图1,在四边形中，AD//BC,AC±BD,过点。作2。垂线交BC

的延长线于点E,且/。8C=45°,证明：四边形ABC。是垂等四边形.

(3)由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用：在

图2中，面积为24的垂等四边形ABC。内接于中，ZBCD=60°.求。。的半径.

29.(2020•深圳)如图，A3为O。的直径，点C在O。上，4。与过点C的切线互相垂直，垂

足为D.连接BC并延长，交的延长线于点E.

(1)求证：AE=AB；

(2)若A8=10,BC=6,求CD的长.

E

oB

30.(2020•北京)在平面直角坐标系尤Oy中，OO的半径为1,A,8为。。外两点，AB=l.

给出如下定义：平移线段A3,得到O。的弦A®(A,B'分别为点A,2的对应点)，线段

44'长度的最小值称为线段48到OO的“平移距离”.

(1)如图，平移线段AB得到。。的长度为1的弦P1P2和P3P4,则这两条弦的位置关系

是;在点尸1,尸2,P3,P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段A8到。。

的“平移距离”；

(2)若点A,B都在直线y=技+2%上，记线段AB到。。的“平移距离”为力，求力

的最小值；

(3)若点A的坐标为(2,3),记线段到。。的“平移距离”为近，直接写出心的取

2

值范围.

31.(2020•咸宁)如图，在RtZ\A8C中，/C=90°,点。在AC上，以04为半径的半圆。

交于点。，交AC于点E,过点D作半圆。的切线。R交2c于点?

(1)求证：BF=DF；

(2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆。的半径长.

32.(2020•陕西)如图，ZkABC是。。的内接三角形，ZBAC=75°,ZABC=45°.连接A。

并延长，交O。于点。，连接3D过点C作O。的切线，与助的延长线相交于点E.

(1)求证：AD//EC；

(2)若48=12,求线段EC的长.

E

33.(2020•天水)如图，在△ABC中，NC=90°,AD平分/BAC交BC于点。，点。在AB

上，以点。为圆心，为半径的圆恰好经过点。，分别交AC、AB于点£、F.

(1)试判断直线BC与OO的位置关系，并说明理由；

(2)若BD=2M，A3=6,求阴影部分的面积(结果保留it).

34.(2020•泰州)如图，在。。中，点P为AB的中点，弦A。、PC互相垂直，垂足为M,BC

分别与A。、尸。相交于点E、N,连接B。、MN.

(1)求证：N为3E的中点.

(2)若。。的半径为8,源的度数为90°,求线段MN的长.

35.(2020•内江)如图，AB是。。的直径，C是O。上一点，OOLBC于点。，过点C作。。

的切线，交。。的延长线于点E,连结BE.

(1)求证：3E是O。的切线;

(2)设0E交0。于点F,若DF=2,BC=4«,求线段EF的长;

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

36.(2020•哈尔滨)己知：。。是△ABC的外接圆，为O。的直径，AD1BC,垂足为E,

连接B。，延长3。交AC于点?

(1)如图1,求证：ZBFC=3ZCAD；

(2)如图2,过点。作。G〃B尸交。。于点G,点H为。G的中点，连接OH,求证：BE

=OH；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接CG,若DG=DE,AAOF的面积为金返，求线段

37.(2020•咸宁)定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.

理解：

(1)若四边形ABC。是对余四边形，则/A与NC的度数之和为;

证明：

(2)如图1,MN是。。的直径，点A,B,C在。。上，AM,CN相交于点D

求证：四边形ABC。是对余四边形；

探究：

(3)如图2,在对余四边形中，AB=BC,ZABC=60°,探究线段ADC£)和

之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由.

D

（1）如图1,在RtzXABC中，ZACB=90°,AC>BC,/ACB的平分线交AB于点。.过

点。分别作。ELAGOFLBC.垂足分别为E，R则图1中与线段CE相等的线段是.

问题探究

（2）如图2,是半圆。的直径，43=8.尸是标上一点，且苒=2位，连接AP,BP.Z

APB的平分线交AB于点C,过点C分别作CELAP,CF1BP,垂足分别为E,F,求线段

CF的长.

问题解决

（3）如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知OO的直径AB=70%，点C

在。。上，且CA=C8.尸为AB上一点，连接CP并延长，交。。于点。.连接AD,BD.过

点P分别作PELAO,PFLBD,垂足分别为E,F.按设计要求，四边形PE。F内部为室内

活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为了（根），阴影部分

的面积为y（初2）.

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30机时，整体布局比较合理.试

求当AP=30机时.室内活动区（四边形尸EOF）的面积.

39.（2020•金昌）如图，。。是△A8C的外接圆，其切线AE与直径8。的延长线相交于点E,

且AE^AB.

(1)求NAC8的度数;

(2)若DE=2,求。。的半径.

40.(2020•福建)如图，AB与相切于点8,AO交O。于点C,49的延长线交。。于点

E是血上不与3,。重合的点，sinA=A.

2

(1)求/BE。的大小；

(2)若OO的半径为3,点P在的延长线上，且8歹=3«,求证：。P与。。相切.

2020年全国中考数学真题分类精选汇编：《圆》解答题（二）含答

案

参考答案与试题解析

一.解答题（共40小题）

1.（2020•广州）如图，。。为等边△ABC的外接圆，半径为2,点。在劣弧源上运动（不与

点A,B重合），连接ZM,DB,DC.

（1）求证：0c是NAOB的平分线;

（2）四边形AD8C的面积S是线段。C的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果

不是，请说明理由；

（3）若点M,N分别在线段C4,上运动（不含端点），经过探究发现，点。运动到每一

个确定的位置，的周长有最小值随着点。的运动，f的值会发生变化，求所有，

值中的最大值.

【分析】（1）由等边三角形的性质可得/42。=/胡。=/4。2=60°,圆周角定理可得/

ADC=ZBDC=60°,可得结论;

（2）将△ADC绕点逆时针旋转60°,得到△BHC,可证△OCT?是等边三角形，可得四边

形ADBC的面积S—S^ADC+SABDC—SACDH—^^-CD2,即可求解；

4

（3）作点D关于直线AC的对称点E,作点D关于直线BC的对称点F,由轴对称的性质可

得EM=DM,DN=NF,可得的周长=Z>M+ON+MN=AV+KW+A/N,则当点E,点

点N,点/四点共线时，的周长有最小值，即最小值为由轴对称的性质可求

CD=CE=CF,NECF=120。，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求EF=2PE=

43EC=yf3CD=t,则当CO为直径时，，有最大值为4y.

【解答】证明：（1）;△ABC是等边三角形，

ZABC=ZBAC=ZACB=60°,

VZADC=ZABC=6Q°，ZBDC=ZBAC=6Q°，

：./ADC=/BDC,

.•.OC是/AOB的平分线；

(2)四边形A。8c的面积S是线段DC的长x的函数，

理由如下：

如图1,将△ADC绕点C逆时针旋转60°,得到△B8C,

：.CD=CH,ZDAC=ZHBC,

•.•四边形AC8。是圆内接四边形,

：.ZDAC+ZDBC^180°,

：.ZDBC+ZHBC=180°,

...点。，点8,点H三点共线，

:DC=CH,ZCDH=60°,

...△OCH是等边三角形，

4

(2«<;cW4)；

4

(3)如图2,作点。关于直线AC的对称点E,作点。关于直线8c的对称点R

图2

:点。，点E关于直线AC对称，

：.EM=DM,

同理。N=NF,

4DMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN,

当点E,点〃，点N,点产四点共线时，的周长有最小值，

则连接ER交AC于交BC于N,连接CE,CF,DE,DF,作CP_L所于P,

ADMN的周长最小值为EF=t,

；点D,点E关于直线AC对称，

：.CE=CD,ZACE=ZACD,

:点D,点尸关于直线8C对称，

:.CF=CD,NDCB=NFCB,

:.CD=CE=CF,ZECF^ZACE+ZACD+ZDCB+ZFCB^2ZACB^120°,

'JCPLEF,CE=CF,NEC尸=120°,

：.EP=PF,ZCEP=3Q°,

：.PC=1-EC,PE=y/3PC=y^-EC,

22

EF=2PE=yf^CD=t,

...当CO有最大值时，EF有最大值，即f有最大值，

：C£＞为。。的弦，

...C。为直径时，C。有最大值4,

.•，的最大值为4y.

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对

称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

2.（2020•株洲）A8是。O的直径，点C是上一点，连接AC、BC,直线MN过点C,满

E

图①图②

(1)如图①，求证：直线MN是。。的切线；

(2)如图②，点。在线段BC上，过点。作。于点X,直线。〃交。。于点E、F,

连接A尸并延长交直线MN于点G,连接CE,且CE=$,若。。的半径为1,cosa=3,求

34

AG-ED的值.

【分析】(1)由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得/A+N8=90°,由OC=OB可

得/B=NOCB,推出/OC8+/8cM=90°,从而可得结论；

(2)由已知条件易求出AC的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得NGfW=NACE,根据

余角的性质可得NECD=/AGC,进而可得△EDCS/VLCG,根据相似三角形的性质变形可

得AG・DE=AC・CE,即可求出结果.

【解答】(1)证明：连接OC,如图①，

是OO的直径，

ZACB=90°,

：.ZA+ZB=90°,

：0C=08,

:./B=/OCB,

■:/BCM=ZA,

：.ZOCB+ZBCM=90°,BPOC1.MN,

是。。的切线；

(2)解：如图②，TAB是。。的直径，。。的半径为1,

：.AB=2,

VcosZBAC=cosa即想■二

AB424

.3

••AC号

VZAFE=ZACEfNGFH=NAFE,

:・/GFH=ZACE,

•:DHLMN,

.e.ZGFH+ZAGC=90°,

•：NACE+NECD=90°,

：.ZECD=ZAGC.

又•：NDEC=NCAG,

：.AEDC^AACG,

・EDEC

••记年

o55

•'•AG*DE=AC<E-yXy-y.

图①

【点评】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理的推

论以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握切线的判定和相似三角形

的判定与性质是解题的关键.

3.(2020•孝感)已知△ABC内接于。。，AB=AC,ZABC的平分线与OO交于点D,与AC

交于点E,连接C。并延长与。。过点A的切线交于点R记N54C=a.

(1)如图1,若a=60°,

①直接写出更的值为1;

DC_2__

②当。。的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为一国二2』

—2—3—

(2)如图2,若a<60°,且此=2,DE=4,求BE的长.

图1图2

【分析】(1)①由切线的性质得：/。4尸=90°,证明△ABC是等边三角形，

得/42。=/4。2=/区4。=60°,根据三角形的内角和定理证明NA4£)=90°,可知BD

是。。的直径，由圆周角，弧，弦的关系得AQ=CD说明△AD尸是含30度的直角三角形，

得AD=CD=2DF,可解答；

②根据阴影部分的面积=S梯形AODF-S扇形。4。=代入可得结论；

(2)如图2,连接A。，连接AO并延长交。。于点H,连接则乙4。"=90°,先证

明(ASA),得DF=DE=4,由己知得。C=6,证明△C£)ES/\B£)C,列比

例式可得8£>=9,从而解答即可.

【解答】解：(1)如图1,连接。4,AD,

图1

是。。的切线，

：.ZOAF^90°,

\'AB=AC,ZBAC=60°,

.'.△ABC是等边三角形，

ZABC=ZACB=ZBAC=6Qa,

平分N4BC,

ZABD=ZCBD=30°,

VZADB=ZACB=60°,

：.ZBAD^90°,

・・・3O是。。的直径，

•：OA=OB=OD,

：.ZABO=ZOAB=3Q°,ZOAD=ZADO=60°,

9：ZBDC=ZBAC=6Q°,

ZADF=180°-60°-60°=60°=ZOAD,

：.OA//DF,

.\ZF=180°-ZOAF=90°,

VZ£)AF=30°,

：.AD=2DF,

,//ABD=/CBD,

**,AD二CD，

：.AD=CDf

：.CD=2DF,

・DF=X

e，DCT

故答案为：1;

2

@VO6»的半径为2,

：.AD=OA=2fDF=1,

VZAOD=60°,

，阴影部分的面积为：S梯形AODF-S扇形OA。=—(DF+OA)一兀，

2''36C

齐《(1+2)型婷=等争

故答案为:迈旦；

23

(2)如图2,连接A。，连接AO并延长交。。于点X,连接。则/AOH=90°,

・・・ND4"+NZ)HA=90°,

TA厂与OO相切，

AZDAH+ZDAF=ZFAO=90°,

：.ZDAF=ZDHA,

•・,5O平分NABC,

・•・NABD=NCBD,

AD=CD>

JZCAD=ZDHA=ZDAFf

*：AB=ACf

：.ZABC=ZACB9

・・•四边形A3C0内接于OO,

AZABC+ZA£>C=180°,

VZADF+ZAZ)C=180°,

・•・ZADF=ZABC,

ZADB=ZACB=ZABC,

：.ZADF=ZADB,

在△A。歹和△AO石中

'NDAF=/DAE

vAD=AD，

ZADF=ZADE

AAADF^AAPE(ASA),

:.DF=DE=4,

・•・—DF=—2，

DC3

ADC=6,

ZDCE=ZABD=ZDBC,NCDE=/CDE,

・•.△CDEsABDC,

•CD_DEpn64

DBCDBD6

:.BD=9,

：.BE=DB-DE=9-4=5.

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，相

似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解

此题的关键.

4.(2020•鄂州)如图所示：与△ABC的边相切于点C,与AC、AB分别交于点。、E,

DE//OB.0c是。。的直径.连接OE,过C作CG〃OE交0。于G,连接。G、EC,DG

与EC交于点?

(1)求证：直线A8与。。相切；

(2)求证：AE・ED=AUEF；

(3)若EF=3,tan/AC£=工时，过A作AN〃CE交O。于M、N两点(M在线段AN上)，

2

求⑷V的长.

【分析】(1)证明△20E会/XBOC(SSS)可得结论.

(2)连接EG.证明△AECszXEPG可得结论.

(3)过点。作OHLAN于解直角三角形求出。E=EC,CD,利用相似三角形的性质求

出E,AC,AO,求出AH,HN即可解决问题.

【解答】(1)证明：：CD是直径，

：.NDEC=90°,

C.DELEC,

,:DE〃OB,

・•・OBLEC,

・•・05垂直平分线段EC,

：・BE=EC,OE=OC,

'：0B=0B,

・•・△OBE%AOBC(SSS),

：./0EB=N0CB,

・・・3C是OO的切线，

・•・OCLBC,

・・・NOC3=90°,

：.ZOEB=90°,

OELAB,

・・・AB是。。的切线.

(2)证明：连接£G.

•「CD是直径，

・・・N0GC=9O°,

CG±DGf

CG//OE,

：.OELDG,

ADE=EG，

:.DE=EG,

'：AE±OE,DGLOE,

：.AE//DG,

：.ZEAC=ZGDC,

■:/GDC=4GEF,

:・/GEF=/EAC,

■:/EGF=/ECA,

：.AAEC^AEFG,

・AE=AC,

"EFEG，

♦：EG=DE,

：.AE^E=AC9EF.

(3)解：过点。作OH_LAN于H.

••,DE=K)

:・NEDG=/ACE,

：.t^nZEDF=tanZACE=工=变=迈，

2DEEC

■:EF=3,

**•DE=6,DF=3EC=12,CD={DE?+EC2=

VZAED+ZOED=90°,ZOED+ZOEC=90°,

・•・NAED=NOEC,

;OE=OC,

：.ZOEC=ZOCEf

：.ZAED=ZACE,

9：ZEAD=ZEAC,

.,.△EAD^ACAE,

・AEDEAD2

**AC=EC=AE=

:・可以彳发设A_E=x,AC=2x,

VAE2=AZ)-AC,

.,・/=(2x-6A/^)・2X,

解得％=4遥(％=0舍去)，

・・・AE=4旄，AC=8旄，AD=2愿,0A=5近,

9：EC//AN,

：.ZOAH=/ACE,

tanZOAH—tanZACE=_QHn

AH2

：・0H=5,AH=10,

0H1MN,

：.HM=HN,连接OM,则MH=HN=孤,2口2={(诉)2-52=2遥,

：.AN=AH+HN=10+2”后.

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三

角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形

解决问题，属于中考压轴题.

5.（2020•烟台）如图，在口ABC。中，ZZ）=60°,对角线AC_LBC,经过点A,B,与AC

交于点M,连接AO并延长与。。交于点F,与CB的延长线交于点E,AB=EB.

（1）求证：EC是的切线；

（2）若AO=2«,求菽的长（结果保留IT）.

【分析】（1）证明：连接根据平行四边形的性质得到NA8C=NQ=60°,求得N8AC

=30°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到NABO=N04B=3O°,于是得

到结论；

（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD=2«,过。作OHLAM于则四边形02cx

是矩形，解直角三角形即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接08,连接。

：四边形ABCD是平行四边形，

AZABC=ZD=60",

'：AC±BC,

：.ZACB=90°,

：.ZBAC=30°,

•；BE=AB,

：・/E=/BAE,

VZABC=ZE+ZBAE=6Q°,

：.ZE=ZBAE=30°,

・・・Q4=O3,

ZABO=ZOAB=30°,

：.ZOBC=300+60°=90°,

・•・OBLCE,

・・・EC是OO的切线;

(2)解：•・•四边形ABC。是平行四边形,

:・BC=AD=2M，

过。作OH1AM于H,

则四边形08cH是矩形,

・•・OH=BC=2M，

：.OA=_—=4,ZAOM=2ZAOH=60°,

sin600

/.余的长度=60，KX4=里L.

【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正

确的作出辅助线是解题的关键.

6.(2020•娄底)如图，点C在以A8为直径的。。上，8。平分/A8C交。。于点。，过。作

8C的垂线，垂足为E.

(1)求证：OE与。O相切；

(2)若AB=5,BE=4,求的长；

(3)请用线段A3、BE表示CE的长，并说明理由.

E

0D

【分析】（1）连接。。，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到/根

据平行线的性质得到于是得到结论；

（2）根据圆周角定理得到/4。8=90。，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）过。作DH±AB于H,根据角平分线的性质得到/=OE,根据全等三角形的性质即

可得到结论.

【解答】（1）证明：连接0。，

,；0D=0B,

：.ZODB=ZOBD,

平分/ABC,

：./0BD=/CBD,

：./0DB=NCBD,

：.OD//BE,

•：BE_LDE,

：.ODLDE,

与。。相切；

（2）M：\'AB是。。的直径，

ZADB=90°,

■:BELDE,

:./ADB=/BED=90°,

：8。平分/ABC,

：./OBD=NCBD,

：.LABDsADBE,

•••A-B~--B-D,

BDBE

._5_BD

=，；

,•丽T

:.BD=2炳;

(3)解：结论CE=A8-8E,

理由：过。作。于H,

平分/ABC,DELBE,

:.DH=DE,

在RtABED与RtABHD中，JDE=DH,

lBD=BD

：.RtABED出RtABHD(HL),

:.BH=BE,

'：ZDCE=ZA,/DHA=/DEC=90°,

.,.△ADH2CDE(A4S),

：.AH=CE,

'：AB=AH+BH,

：.AB=BE+CE,

：.CE=AB-BE.

【点评】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定和性

质，熟练掌握切线的判定及全等三角形的判定与性质是本题的关键.

7.（2020•恩施州）如图1,48是。。的直径，直线AM与。。相切于点A,直线与。。相

切于点2,点C（异于点A）在AM上，点。在O。上，且CZ）=C4,延长CO与BN相交

于点E，连接A。并延长交8N于点足

(3)如图2,连接E。并延长与。。分别相交于点G、H,连接若AB=6,AC=4,求

tanNBHE.

【分析】(1)连接。。，根据等边对等角可知：ZCAD=ZCDA,ZOAD=ZODA,再根据

切线的性质可知NCAO=/C4O+/OAO=/CD4+/OD4=90°=ZODC,由切线的判定

定理可得结论；

(2)连接BD,根据等边对等角可知再根据切线的性质可知

OBE^90°,由等量减等量差相等得再根据等角对等边得到ED=EB,然

后根据平行线的性质及对顶角相等可得推出。E=EF,由此得出结论；

(3)过E点作矶_LAM于L,根据勾股定理可求出BE的长，即可求出tan/BOE的值，再

利用倍角公式即可求出tanZBHE的值.

【解答】解：(1)如图1中，连接0。，

'：CD=CA,

：.ZCAD=ZCDA,

'：OA=OD

J.ZOAD^ZODA,

:直线AM与。。相切于点A,

?.ZCAO=ZCAD+ZOAD=90°,

ZODC=ZCDA+ZODA=90°,

是O。的切线.

(2)如图1中，连接

：OD=OB,

：./ODB=/OBD,

・・,CE是OO的切线，3厂是。0的切线,

：.ZOBD=ZODE=90°,

；./EDB=NEBD,

；・ED=EB,

,JAMLAB,BNLAB,

：.AM//BN,

:・NCAD=/BFD,

,/ZCAD=ZCDA=/EDF,

：.ZBFD=ZEDF,

:・EF=ED,

：.BE=EF.

(3)如图2中，过E点作皮，AM于3则四边形A8皮是矩形,

图2

设BE=x,则CL=4-x,CE=4+x,

(4+x)2=(4-x)2+62,

解得：龙=旦，

4

9_

t.anZBOE卫，

tanjDUDOB34

■:/BOE=2/BHE,

./v2tan/BHE3

--tanZBOE=--------5--------=­r>

1-tanZBHE4

解得：tan/2HE=_l或-3(-3不合题意舍去),

3

：.tanZBHE=±.

3

补充方法：如图2中，作即交E8的延长线于J.

:tan/B0E=^=3,

OB4

.,.可以假设BE=34，02=4瓦则。£=5晨

'：OB//HJ,

0-B=OE=EB

HJEHIf

4-k二5k=3k

H㈤T9kEJ，

^-k,EJ=2Lk,

55

.'.BJ—EJ-BE=^-k-3k--^-k

55

HJ3

ZBHE=/HBA=ZBHJ,

图1

【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性

质，三角函数/,勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键.

8.(2020•广东)如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,ZDAB^9Q°,48是。。的直径，CO

平分/BCD.

(1)求证：直线CD与。。相切;

(2)如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧窟上一点，AD=1,BC=2.求tan/APE的

值.

【分析】(1)证明：作OE_LC。于E,证△OCEgZkOCB(44S),得出OE=OB,即可得出

结论；

(2)作。E_LBC于尸，连接8E,则四边形ABFD是矩形，AB=DF,BF=AD=l,则CF

=1,证A。、BC是O。的切线，由切线长定理得瓦＞=4。=1，EC=BC=2,则CD=ED+EC

=3,由勾股定理得。E=2我，贝!J。8=丁万，证NABE=/BC”，由圆周角定理得/APE=

ZABE,则由三角函数定义即可得出答案.

【解答】(1)证明：作OE_LC。于E,如图1所示：

则NOEC=90°,

'：AD//BC,90°,

AZOBC=180°-ZDAB=9Q°,

J.ZOEC^ZOBC,

：CO平分/BC