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文档简介

山西省阳泉市第十一中学2025届高三下学期第六次检测数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知命题:R,;命题:R,,则下列命题中为真命题的是()A. B. C. D.2.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().A.1 B. C.2 D.33.执行下面的程序框图,则输出的值为()A. B. C. D.4.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离5.有一改形塔几何体由若千个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是()A.8 B.7 C.6 D.46.设实数x,y满足条件x+y-2⩽02x-y+3⩾0x-y⩽0则A.1 B.2 C.3 D.47.在平面直角坐标系中,锐角顶点在坐标原点,始边为x轴正半轴,终边与单位圆交于点,则()A. B. C. D.8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.9.下列说法正确的是()A.“若,则”的否命题是“若,则”B.“若,则”的逆命题为真命题C.,使成立D.“若,则”是真命题10.已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位),则实数a=()A.-1 B.1 C.0 D.211.已知命题p:直线a∥b,且b⊂平面α,则a∥α;命题q:直线l⊥平面α,任意直线m⊂α,则l⊥m.下列命题为真命题的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)12.已知四棱锥的底面为矩形,底面,点在线段上,以为直径的圆过点.若,则的面积的最小值为()A.9 B.7 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.数据的标准差为_____.14.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为_______.15.动点到直线的距离和他到点距离相等,直线过且交点的轨迹于两点,则以为直径的圆必过_________.16.己知函数,若关于的不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式在区间内无解,求实数的取值范围.18.(12分)已知函数,,(1)讨论的单调性;(2)若在定义域内有且仅有一个零点,且此时恒成立,求实数m的取值范围.19.(12分)已知抛物线的顶点为原点,其焦点关于直线的对称点为,且.若点为的准线上的任意一点,过点作的两条切线,其中为切点.(1)求抛物线的方程;(2)求证:直线恒过定点,并求面积的最小值.20.(12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,已知曲线,曲线(为参数),求曲线交点的直角坐标.21.(12分)已知函数.(1)若,求证:.(2)讨论函数的极值;(3)是否存在实数,使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.22.(10分)已知数列中,(实数为常数),是其前项和,且数列是等比数列,恰为与的等比中项.(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列的通项公式;(3)若,当时,的前项和为,求证:对任意,都有.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据,可知命题的真假,然后对取值,可得命题的真假,最后根据真值表,可得结果.【详解】对命题:可知,所以R,故命题为假命题命题:取,可知所以R,故命题为真命题所以为真命题故选:B【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用,识记真值表,属基础题.2、C【解析】试题分析:抛物线的准线为,双曲线的离心率为2,则,,渐近线方程为,求出交点,,,则;选C考点:1.双曲线的渐近线和离心率;2.抛物线的准线方程;3、D【解析】

根据框图,模拟程序运行,即可求出答案.【详解】运行程序,,

,,,,,结束循环,故输出,故选:D.【点睛】本题主要考查了程序框图,循环结构,条件分支结构,属于中档题.4、B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r5、A【解析】

则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,以此类推,能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8,则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,从下往上第五层正方体的棱长为:,从下往上第六层正方体的棱长为:,从下往上第七层正方体的棱长为:,从下往上第八层正方体的棱长为:,∴改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选:A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算,属于基础题.6、C【解析】

画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示:画出可行域和目标函数,z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直线在y轴的截距加上1,根据图像知,当x+y=2时,且x∈-13,1时,故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.7、A【解析】

根据单位圆以及角度范围,可得,然后根据三角函数定义,可得,最后根据两角和的正弦公式,二倍角公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:,又为锐角所以,根据三角函数的定义:所以由所以故选:A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式,还考查二倍角的正弦、余弦公式,难点在于公式的计算,识记公式,简单计算,属基础题.8、D【解析】

结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.9、D【解析】选项A,否命题为“若,则”,故A不正确.选项B,逆命题为“若,则”,为假命题,故B不正确.选项C,由题意知对,都有,故C不正确.选项D,命题的逆否命题“若,则”为真命题,故“若,则”是真命题,所以D正确.选D.10、B【解析】

化简得到z=a-1+a+1【详解】z=1+ia+i=a-1+a+1i为纯虚数,故a-1=0故选:B.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数,意在考查学生的计算能力.11、C【解析】

首先判断出为假命题、为真命题,然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性,判断出正确选项.【详解】根据线面平行的判定,我们易得命题若直线,直线平面,则直线平面或直线在平面内,命题为假命题;根据线面垂直的定义,我们易得命题若直线平面,则若直线与平面内的任意直线都垂直,命题为真命题.故:A命题“”为假命题;B命题“”为假命题;C命题“”为真命题;D命题“”为假命题.故选:C.【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断,考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断,属于基础题.12、C【解析】

根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定,根据勾股定理,得到之间的等量关系,再用表示出的面积,利用均值不等式即可容易求得.【详解】设,,则.因为平面,平面,所以.又,,所以平面,则.易知,.在中,,即,化简得.在中,,.所以.因为,当且仅当,时等号成立,所以.故选:C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用,考查空间想象能力以及数形结合思想,涉及线面垂直的判定和性质,属中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先计算平均数再求解方差与标准差即可.【详解】解:样本的平均数,这组数据的方差是标准差,故答案为:【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.14、【解析】

设为的中点,根据弦长公式,只需最小,在中,根据余弦定理将表示出来,由,得到,结合弦长公式得到,求出点的轨迹方程,即可求解.【详解】设为的中点,在中,,①在中,,②①②得,即,,.,得.所以,.故答案为:.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、相交弦长的最值,解题的关键求出点的轨迹方程,考查计算求解能力,属于中档题.15、【解析】

利用动点到直线的距离和他到点距离相等,,可知动点的轨迹是以为焦点的抛物线,从而可求曲线的方程,将,代入,利用韦达定理,可得,从而可知以为直径的圆经过原点O.【详解】设点,由题意可得,,,可得,设直线的方程为,代入抛物线可得,,,,以AB为直径的圆经过原点.故答案为:(0,0)【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了直线和抛物线的交汇问题,同时考查了方程的思想和韦达定理,考查了运算能力,属于中档题.16、【解析】

首先判断出函数为定义在上的奇函数,且在定义域上单调递增,由此不等式对任意的恒成立,可转化为在上恒成立,进而建立不等式组,解出即可得到答案.【详解】解:函数的定义域为,且,函数为奇函数,当时,函数,显然此时函数为增函数,函数为定义在上的增函数,不等式即为,在上恒成立,,解得.故答案为.【点睛】本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用,考查不等式的恒成立问题,属于常规题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)只需分,,三种情况讨论即可;(2)在区间上恒成立,转化为,只需求出即可.【详解】(1)当时,,此时不等式无解;当时,,由得;当时,,由得,综上,不等式的解集为;(2)依题意,在区间上恒成立,则,当时,;当时,,所以当时,,由得或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题,考查学生分类讨论与转化与化归的思想,是一道基础题.18、(1)时,在上单调递增,时,在上递减,在上递增.(2).【解析】

(1)求出导函数,分类讨论,由确定增区间,由确定减区间;(2)由,利用(1)首先得或,求出的最小值即可得结论.【详解】(1)函数定义域是,,当时,,单调递增;时,令得,时,,递减,时,,递增,综上所述,时,在上单调递增,时,在上递减,在上递增.(2)易知,由函数单调性,若有唯一零点,则或.当时,,,从而只需时,恒成立,即,令,,在上递减,在上递增,∴,从而.时,,,令,由,知在递减,在上递增,,∴.综上所述,的取值范围是.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查函数零点个数与不等式恒成立问题,解题关键在于转化,不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值.这又可通过导数求解.19、(1)(2)见解析,最小值为4【解析】

(1)根据焦点到直线的距离列方程,求得的值,由此求得抛物线的方程.(2)设出的坐标,利用导数求得切线的方程,由此判断出直线恒过抛物线焦点.求得三角形面积的表达式,进而求得面积的最小值.【详解】(1)依题意,解得(负根舍去)∴抛物线的方程为(2)设点,由,即,得∴抛物线在点处的切线的方程为,即∵,∴∵点在切线上,①,同理,②综合①、②得,点的坐标都满足方程.即直线恒过抛物线焦点当时,此时,可知:当,此时直线直线的斜率为,得于是,而把直线代入中消去得,即:当时,最小,且最小值为4【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式,考查抛物线方程的求法,考查抛物线的切线方程的求法,考查直线过定点问题,考查抛物线中三角形面积的最值的求法,考查运算求解能力,属于难题.20、【解析】

利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为,所以,所以曲线的直角坐标方程为.由,得,所以曲线的普通方程为.由,得,所以(舍),所以,所以曲线的交点坐标为.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程,参数方程与普通方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.21、(1)证明见解析;(2)见解析;(3)存在,1.【解析】

(1),求出单调区间,进而求出,即可证明结论;(2)对(或)是否恒成立分类讨论,若恒成立,没有极值点,若不恒成立,求出的解,即可求出结论;(3)令,可证恒成立,而,由(2)得,在为减函数,在上单调递减,在都存在,不满足,当时,设,且,只需求出在单调递增时的取值范围即可.【详解】(1),,,当时,,当时,,∴,故.(2)由题知,,,①当

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