（新教材适用）2023-2024学年高中数学综合测评（B）北师大版选择性

综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+3t(t的单位是秒,s的单位是米),则它在4秒末的瞬时速度为()A.12316米/秒 B.12516米C.8米/秒 D.674米/解析∵ΔsΔt=(4+Δt)2+34+答案B2.已知数列{an},a1=1,a2=2,an+1=2an+an1(n≥2,n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除时,假设a4k(k∈N+)能被4整除,应证().A.a4k+1能被4整除 B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除 D.a4k+4能被4整除解析在数列{a4n}中,相邻两项下标差为4,所以a4k后一项为a4k+4.故选D.答案D3.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.该数列是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第20项为().A.180 B.200 C.128 D.162解析由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,可得偶数项的通项公式为a2n=2n2,则此数列的第20项为2×102=200,故选B.答案B4.已知非常数列{an}满足(an+2an)24(an+2an+1)(an+1an)=0(n∈N+),Sn为数列{an}的前n项和.若S2=2016,S2016=2,则S2018=().A.2018 B.2018C.2017 D.2017解析∵(an+2an)24(an+2an+1)(an+1an)=0,∴[(an+2an+1)+(an+1an)]24(an+2an+1)(an+1an)=0,化简得[(an+2an+1)(an+1an)]2=0,∴an+2+an=2an+1,∴数列{an}为等差数列.又S2=2016,S2016=2,∴S2016S2=a3+a4+…+a2016=1007(a3+a2016)=2014,∴a3+a2016=a1+a2018=2,∴S2018=2018(a1故选B.答案B5.已知函数f(x)=2ex+1+3sinx,f'(x)为函数f(x)的导函数,则f(2020)+f(2020)+f'(2019)f'(2019)=(A.2019 B.2018 C.4 D.2解析因为f(x)=2ex+1+3sinx,所以f'(x)=-2所以f'(x)=-2e-x(e-x+1)2+所以f'(x)为偶函数,所以f'(2019)=f'(2019).又f(x)=2e-x+1+3sin(x)=所以f(x)+f(x)=2ex+1+3sinx+2exex+13sinx=2,所以f(2020)+f(2020)+f'答案D6.在下列四个图象中,其中一个图象是函数f(x)=13x3ax2+(a24)x+8(a≠0)的导函数y=f'(x)的图象,则f(2)=()(第6题)A.83 B.83 C.173解析∵f'(x)=x22ax+(a24),∴导函数f'(x)的图象开口向上.又a≠0,∴f'(x)不是偶函数,其图象不关于y轴对称,故其图象必为图象③.由图象特征知f'(0)=0,且对称轴x=a>0,∴a=2,则f(2)=838+8=83.答案B7.已知数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Πn,若Πn=(3)n(n+1),则S5=().A.120 B.366 C.126 D.363解析因为ΠnΠn-1=所以an=3n(n≥2).又a1=Π1=(3)2=3符合上式,所以an=3n,即数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,则S5=3×(1答案D8.设Sn为正项数列{an}的前n项和,a2=3,Sn+1Sn=2n2A.3×223 B.3×224C.223 D.224解析由Sn+1Sn=2n2Sn+1+n-4Sn,得Sn+1(2Sn+1+n4Sn)=2nS因为数列{an}为正项数列,所以2Sn+1+n>0,可得Sn+1=2Sn,则数列{Sn}是公比为2的等比数列,又a2=S2S1=S1=3,所以Sn=3×2n1,所以a25=S25S24=3×223,故选A.答案A二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0,且S6=S9,则().A.d<0B.a8=0C.S5>S6D.S7或S8为Sn的最大值解析根据题意可得a7+a8+a9=0,即3a8=0,即a8=0,故B正确;因为数列{an}是等差数列,a1>0,所以公差d<0,所以数列{an}是单调递减数列,故A正确;对于C,由a6>0,得S5<S6,故C不正确;对于D,由a8=0,得S7=S8,又数列为递减数列,则S7或S8为Sn的最大值,故D正确.故选ABD.答案ABD10.已知等比数列{an}的公比q=23,等差数列{bn}的首项b1=12,若a9>b9且a10>b10,则以下说法正确的有()A.a9a10<0 B.a9>a10C.b10>0 D.b9>b10解析等比数列{an}的公比q=23,故a9和a10异号,故a9a10<0,故A正确;但不能确定a9和a10∵a9和a10异号,且a9>b9且a10>b10,∴b9和b10中至少有一个数是负数,∵b1=12>0,∴等差数列{bn}的公差d<0,∴b9>b10,故D正确;∴b10一定是负数,即b10<0,故C不正确.故选AD.答案AD11.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N+),则下列说法正确的是()A.a5=16B.S5=63C.数列{an}是等比数列D.数列{Sn+1}是等比数列解析因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N+),所以S1=2a1+1,因此a1=1.当n≥2时,an=SnSn1=2an2an1,即an=2an1,所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,故C正确;因此a5=1×24=16,故A正确;又Sn=2an+1=2n+1,所以S5=25+1=31,故B错误;因为S1+1=0,所以数列{Sn+1}不是等比数列,故D错误.故选AC.答案AC12.设函数f(x)=exlnx,则下列说法正确的是(A.f(x)的定义域是(0,1)∪(1,+∞)B.x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)有且仅有两个极值点解析对A选项,要使f(x)=exlnx有意义,需满足x>0,lnx≠0,解得x>0且x≠1,f(对B选项,由f(x)=exlnx,当x∈(0,1)时,lnx<0,f(x)<0,f(x)在(0,1)上的图象都在对C选项,f'(x)=exlnx-1x(lnx)2,令g(x)=lnx1x,∵g'(x)=∵g(2)=ln212>0,∴x>2时,g(x)>0,f'(x)>0.∴f(x)存在单调递增区间,故C正确对D选项,g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=ln111=1<0,g(2)=ln212>0,存在唯一的x0∈(1,2),使g(x0)=0,即f'(x0)=0,当x∈(0,x0)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(x答案ABC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.若曲线y=2xx3在横坐标为1的点处的切线为l,则圆(x3)2+(y2)2=1上任意一点到直线l的距离的最小值为.

答案7214.若数列{an}是正项数列,且a1+a2+…+an=n2+3n(n∈N+),则an=;a12+解析令n=1,得a1=4,∴a1=16当n≥2时,a1+a2+…+an-1=(n1)2+3(n1),则an=(n2+3n)[(n1)2+3(n1)]=2n+2,∴an∴an=4(n+1)2(n∈N+),∴ann+1=∴a12+a23+…+ann+1=4(1+2+…+n)+答案4(n+1)22n2+6n15.对于数列{an},定义数列{an+12an}为数列{an}的“2倍差数列”.若a1=2,数列{an}的“2倍差数列”的通项为2n+1,则数列{an}的前n项和Sn=.

解析由题意,可得an+12an=2n+1,且a1=2,则an+12n+1所以an2n=1+(n1)×1=n,所以an=n·2n,则Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n1)×2n1+n×2n,2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n1)×2n+n×2n+1,两式相减可得Sn=2+22+23+…+2nn·2n+1=2(1-解得Sn=(n1)·2n+1+2.答案(n1)·2n+1+216.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=xsinx.若不等式f(4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是.

解析由题意得,当x>0时,f'(x)=1cosx≥0,则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,可求得当x<0时,f(x)=xsinx,故f(x)在R上单调递增,那么由f(4t)>f(2m+mt2),可得4t>2m+mt2在R上恒成立.(方法一)即mt2+4t+2m<0在R上恒成立.当m≥0时,不等式在R上不恒成立,所以m<0,此时只需Δ=168m2<0,所以m<2.(方法二)分离参数得m<4t令g(t)=4tt2+2,求导可得,g'(t)=4(t2-2)(t2+2)2,令g'(t)>0,则t<2或t>2,令g'(t)<0,则2<t<2又当t趋于∞时,g(t)趋于0,g(2)=2,所以g(t)min=g(2)=2,所以m<2.答案(∞,2)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求曲线y=1a-x在点M解将点M(2,1)的坐标代入y=1a-x所以y=11所以y'=lim=lim=limΔ所以曲线在点M处的切线斜率为1(1-故曲线在点M处的切线方程为y(1)=x2,即xy3=0.18.(12分)已知f(n)=1+12+13+…+1n,n∈N+,求证:n+f(1)+…+f(n1)=nf(n)(n≥2,且n证明(1)当n=2时,左边=2+f(1)=3,右边=2f(2)=3,等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,k+f(1)+…+f(k1)=kf(k).当n=k+1时,k+1+f(1)+…+f(k1)+f(k)=1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1=(k+1)·f(k)+1k+1=(k+1)f(k+1).即n=k+1时,命题成立.根据(1)和(2),可知结论正确.19.(12分)在①a5=b4+2b6,②a3+a5=4(b1+b4),③b2S4=5a2b3这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.设{an}是公比大于0的等比数列,其前n项和为Sn,{bn}是等差数列.已知a1=1,S3S2=a2+2a1,a4=b3+b5,.

(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,求Tn.解(1)选条件①:设等比数列{an}的公比为q,∵a1=1,S3S2=a2+2a1,∴q2q2=0,解得q=2或q=1.∵q>0,∴q=2,∴an=2n1.设等差数列{bn}的公差为d,∵a4=b3+b5,a5=b4+2b6,∴2解得b∴bn=n.∴an=2n1,bn=n.选条件②:设等比数列{an}的公比为q,∵a1=1,S3S2=a2+2a1,∴q2q2=0,解得q=2或q=1.∵q>0,∴q=2,∴an=2n1.设等差数列{bn}的公差为d,∵a4=b3+b5,a3+a5=4(b1+b4),∴2解得b∴bn=n.∴an=2n1,bn=n.选条件③:设等比数列{an}的公比为q,∵a1=1,S3S2=a2+2a1,∴q2q2=0,解得q=2或q=1.∵q>0,∴q=2,∴an=2n1.设等差数列{bn}的公差为d,∵a4=b3+b5,b2S4=5a2b3,∴2解得b∴bn=n.∴an=2n1,bn=n.(2)an=2n1,bn=n,∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×20+2×21+…+(n1)×2n2+n×2n1,①∴2Tn=1×21+2×22+…+(n1)×2n1+n×2n,②①②,得Tn=1+21+22+…+2n1n×2n=1-2n1-2n×2n=2n1n×2n,∴Tn=(n1)20.(12分)为了保护环境,某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进,把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,处理成本y(单位:万元)与处理量x(单位:吨)之间的函数关系近似地满足y=125x3+640,解由题意,可知二氧化碳每吨的平均处理成本P(x)=y①当x∈[10,30)时,P(x)=125x2+640x,所以P'(x)=225x640x2=2(x3-8000)25x2,当x∈(10,20)时,P'(x)<0,P(x)单调递减;当x∈(20,30)时,P'(x)>0,P②当x∈[30,50]时,P(x)=x+1600x40≥2x·1600x40=40,当且仅当x=1600x,即x=40时,P(x)取得最小值因为48>40,所以当处理量为40吨时,每吨的平均处理成本最少.21.(12分)设k为正整数,若数列{an}满足a1=1,且(an+1an)2=(n+1)k,则称数列{an}为“k次方数列”.(1)设数列{an}为“2次方数列”,且数列ann为等差数列,求数列{a(2)设数列{an}为“4次方数列”,且存在正整数m满足am=15,求m的最小值.解(1)因为数列{an}为“2次方数列”,所以(an+1an)2=(n+1)2,于是a2a1=±2.又a1=1,故a2=1或a2=3.当a2=3时,由数列ann为等差数列,得数列ann的首项为1,公差为12,所以ann=1+(n1)×12=12(当a2=1时,由数列ann为等差数列,得数列ann的首项为1,公差为32,所以ann=132(n1)=32n+52,所以a综上所述,数列{an}的通项公式为an=12(n2+n)(2)因为数列{an}为“4次方数列”,所以an+1an=±(n+1)2,即an=1±22±32±…±n2.因为am=15,当m≤3时,am的最大值是1+22+32=14,所以m≤3时不成立;当m=4时,因为1±22±32±42等于28,20,10,2,4,12,22,30,所以m=4时不成立;当