陕西省“天一大联考”2025届高三毕业班阶段性测试（四）数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页陕西省“天一大联考”2025届高三毕业班阶段性测试（四）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={x∈N|−2<x<112}，集合A={1,3,4,5}，则∁A.{2} B.{2,5} C.{0,2} D.{0,2,5}2.已知等比数列{an}满足a1+a3A.1 B.2 C.3 D.43.若8cos2α−3sin2α+1=0A.3 B.13 C.2 D.4.已知函数f(x)=x2,x≤5,−(x−5)3+1,5<x<a的最小值为A.(5,6) B.(5,6] C.[6,+∞) D.(5,7]5.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率(记住的单词个数占总单词数的百分比) y与初次记忆经过的时间x(ℎ)的函数关系式为y=1−0.5x0.06，当其记住的单词仅剩25个时，x≈(    )参考数据：lg2≈0.30，lgA.100 ℎ B.300ℎ C.1000ℎ D.2000ℎ6.已知正项数列{an}，{bn}满足aA.{bn}为等差数列 B.{1bn}为等差数列7.已知函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)在区间(0,π4)A.[103,154] B.[8.已知四面体ABCD满足AC=BC=AD=BD=8，AB=CD=4，动点M在四面体ABCD的外接球的球面上，且MA=43，则点M的轨迹的长度为(

)A.4π B.6π C.8π D.9π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(2,1)，b=(3,m)，则(

)A.|a|<|b| B.|a−b|min=2

C.a与10.已知对任意两个不相等的正数a，b，总有ab<a−blnA.当a，b>0且a≠b时，lnab<ab−ba

B.当a，b>011.将双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上所有的点绕坐标原点OA.C′关于直线y=x对称 B.θ=45∘

C.若M为C上一点，则|OM|min=2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若z⋅(3−i)=1−2i，则z的虚部为

．13.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为312，AB=10，AB>A1B1，直线14.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，A，B两点均在C上且位于第一象限，|AF|− |BF|=1，|AB|=2，AB中点的横坐标为1.过动点P(t−1,−t)作C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则点F到直线MN四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(sin2A+(Ⅰ)证明：B=C+(Ⅱ)若M是边AC上靠近A的三等分点，且BC⊥MB，求ba的值．16.(本小题15分)已知数列{an}的首项为(Ⅰ)求{an(Ⅱ)若bn=n⋅4nan217.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点M在棱BC上，且∠AMC=90∘，点(Ⅰ)证明：AM//(Ⅱ)若AA1=AC，∠ACM=45∘，直线BA1与平面18.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,22(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)当直线MN的斜率为1时，求直线MN的方程;(Ⅲ)若MP=PN，延长OP交C于点Q，设|OQ|=λ|OP|，求实数λ19.(本小题17分)已知函数f(x)，g(x)的定义域分别为D1，D2，如果存在x1∈D1，x2∈D2，使得(Ⅰ)试判断函数f(x)=x−ex−(Ⅱ)已知函数f(x)=elnxx(x<1)与g(x)=x(ⅰ)若x1⋅x2=1，求(ⅱ)若x1⋅x2∈[et,1)，常数t∈(−1,0)，求参考答案1.C

2.B

3.A

4.B

5.C

6.A

7.D

8.C

9.AD

10.BCD

11.ABD

12.−113.80

14.515.解：(Ⅰ)由正弦定理，可得(a2+b2−c2)⋅a=2a2bsinB，

由余弦定理，可得a2+b2−c22ab=cosC=sinB.

因为0<C<π，且B为钝角，所以B+C≠π2，则B=C+π2．

(Ⅱ)由题可知AM=b3，CM=2b3．

由(Ⅰ)可知∠ABC=C+16.解：(Ⅰ)∵an+1an=n2+nan2+n2+n⇒an2an+12+(n2+n)an+12=(n2+n)an2，

两边同时除以(n2+n)an2an+12，可得1an+12−1an2=1n2+n=17.解：(Ⅰ)由题可知C1C⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，故C1C⊥AM.

又∠AMC=90∘，即AM⊥BC，C1C∩BC=C，C1C，BC⊂平面BCC1B1，

故AM⊥平面BCC1B1．

又A1N⊥平面BCC1B1，

∴AM//A1N.

(Ⅱ)以M为原点，MC，MA所在直线分别为x，y轴，过点M作垂直于平面ABC的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨设AC=2，B(t,0,0)，则AM=CM=2，M(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，A1(0,218.解：设M(x1,y1)，N(x2,y2).

(Ⅰ)由题可知1a2+12b2=11b2=1解得a2=2，b2=1，

故C的方程为x22+y2=1．

(Ⅱ)当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m．

由y=kx+mx2+2y2=2得，(2k2+1)x2+4kmx+2m2−2=0．

由Δ=8(2k2−m2+1)>0得m2<1+2k2，x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−22k2+1．

由题可知OM⊥ON，所以OM⋅ON=0，即x1x2+y1y2=x119.(Ⅰ)因为f(x)=x−ex−12x2，所以f′(x)=−ex−x+1，

易知f′(x)在R上单调递减，且f′(0)=0，

所以当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，

所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，

所以f(x)max=f(0)=−1，又x→+∞时，f(x)→−∞，

所以f(x)的取值范围是(−∞,−1]．

由题可知g(x)的定义域为(0,+∞)，且g′(x)=1x−x=(1+x)(1−x)x，

所以当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以g(x)max=g(1)=−12，

又x→0时，g(x)→−∞，

所以g(x)的取值范围是(−∞,−12]，