2024-2025学年上学期广州高二数学期末试卷

第1页（共1页）2024-2025学年上学期广州高二数学期末一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023秋•重庆期末）直线3x+1=0A．π6 B．π3 C．π2 2．（5分）（2021秋•蓝田县期末）等比数列{an}中，a4＝2，a6＝4，则a2等于（）A．12 B．32 C．1 D3．（5分）（2023秋•商丘期中）圆x2+y2＝2与圆x2+y2+2x﹣2y﹣a＝0（a∈R）的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．内含 D．以上均有可能4．（5分）（2019春•武汉期末）若f（n）表示n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1＝197，1+9+7＝17，f（14）＝17，记f1（n）＝f（n），f2（n）＝f[f1（n）]，…，fk+1（n）＝f[fk（n）]，k∈N*，则f2019（8）的值是（）A．3 B．5 C．8 D．115．（5分）（2021•陕西模拟）P是双曲线M：x24-y25=1右支上第一象限内的一点，F1，F2是左、右焦点，△PF1F2的内切圆是圆C，当圆CA．±43 B．43或0 C．0 6．（5分）平行于向量a→=（1，3，﹣A．114（1，﹣3，﹣2） B．114（﹣1，3，﹣2C．114（1，3，﹣2） D．114（﹣1，3，7．（5分）（2023秋•禄劝县校级期末）抛物线2x2＝y的焦点到准线的距离为（）A．116 B．18 C．14 8．（5分）（2020•道里区校级四模）已知圆C1：x2+y2﹣kx﹣y＝0和圆C2：x2+y2﹣2ky﹣1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx+ny＝2上，则m2A．15 B．55 C．255二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2022秋•温州期中）若两直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m与l2：2x+（5+m）y＝8互相平行，则（）A．m＝﹣7 B．m＝﹣1 C．l1与l2之间的距离为212D．与l1、l2距离相等的点的轨迹方程为4x﹣4y+5＝0（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．平面内与定点F1（﹣1，0），F2（1，0）距离之和等于4的点的轨迹方程x24B．平面内与定点A（﹣3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹方程为x24C．点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是M，点A的坐标是A（1，0），则|PA|+|PM|的最小值是2+1D．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是17-（多选）11．（5分）下列各命题正确的是（）A．点（﹣1，﹣2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3） B．点（12，1，﹣3）关于y轴的对称点（-12，1，C．点（2，﹣1，3）到平面Oyz的距离为1 D．设m为任一实数，则点（2，m，1）表示的图形是与平面Oxz垂直的一条直线（多选）12．（5分）（2023春•浙江月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确是（）A．若Sn=2B．若an＝21﹣2n，则Sn的最大值为100 C．若an+1＝an+n，则2S8＝S9+S7﹣8 D．若an=1×三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2015春•厦门期末）已知x2+y2+x+3y+tanθ＝0（-π2＜θ＜π2）表示圆，则14．（5分）在数列{an}中，若an=2n+1，n为奇数2n，n为偶数，则a415．（5分）（2024秋•福州期中）设F1，F2是椭圆x225+y216=1的两个焦点，点M在椭圆上，若△MF1F2是直角三角形，则△MF1F16．（5分）（2022•齐齐哈尔二模）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，现将△ACD沿对角线AC折起，得到四面体D﹣ABC，若异面直线BC与AD所成角为π3，则|BD|＝；若二面角D﹣AC﹣B的大小为π3，则|BD|四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022春•潍坊期中）已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a2＝b2，b3+b2＝a6．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn．18．（12分）（2020•天心区校级开学）已知底面为正三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是棱A1B1，AB的中点，点A1在底面投影为AC边的中点O，A1C∩AC1＝P，A1F∩AE＝G．（1）证明：PG∥平面A1B1C1；（2）若AB＝6，AA1＝5，点M为棱A1B1上的动点，当直线AM与平面A1FC所成角的正弦值为322117时，求点M19．（12分）（2018秋•信阳期末）已知圆C的圆心在直线l：2x﹣y＝0上，且与直线l1：x﹣y+1＝0相切．（Ⅰ）若圆C与圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣76＝0外切，试求圆C的半径；（Ⅱ）满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由．20．（12分）（2023•河南模拟）如图，圆柱O1O2的侧面积为2π，高为1，AB为⊙O2的直径，C，D分别为⊙O1，⊙O2上的点，直线CD经过O1O2的中点O．（1）若AC＝BC，证明：AB⊥CD；（2）若直线CD与平面ABC所成角的正弦值为10535，求三棱锥D﹣ABC21．（12分）（2024•烟台模拟）对于数列{an}(n∈N*)，记Δan＝an+1﹣an，称数列{Δan}为数列{an}的一阶差分数列：记Δ2an＝Δ（Δan）＝Δan+1﹣Δan称数列{Δ2an}为数列{an}的二阶差分数列，…，一般地，对于k∈N，记Δk+1an=Δ(Δkan)=Δkan+1-Δkan，规定：Δ0an＝an，Δ1an＝Δan，称{Δkan}为数列{an}的（1）数列{n2}是否为k阶等差数列，如果是，求k值，如果不是，请说明为什么？（2）请用a1，Δa1，Δ2a1，Δ3a1，…表示a3，a4，并归纳出表示an的正确结论（不要求证明）；（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列{an}为k阶等差数列，则其前n项和为Sn（4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？22．（12分）（2022•四川模拟）已知椭圆E：y2a2+x2b2=1（a＞（1）求椭圆E的方程；（2）设过点N（0，t）的动直线l与椭圆E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得1|NC|2+

2024-2025学年上学期广州高二数学期末典型卷1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023秋•重庆期末）直线3x+1=0A．π6 B．π3 C．π2 【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，先分析直线的斜率，由此求出其倾斜角即可得答案．【解答】解：根据题意，直线3x+1＝0，即x=-则其倾斜角θ＝90°，故选：C．【点评】本题考查直线的倾斜角，涉及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．（5分）（2021秋•蓝田县期末）等比数列{an}中，a4＝2，a6＝4，则a2等于（）A．12 B．32 C．1 D【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】利用等比中项直接计算即可．【解答】解：因为数列{an}是等比数列，所以a42=a2a6即4＝4a故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．3．（5分）（2023秋•商丘期中）圆x2+y2＝2与圆x2+y2+2x﹣2y﹣a＝0（a∈R）的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．内含 D．以上均有可能【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】利用圆与圆的位置关系求解．【解答】解：两个圆的圆心分别为O1（0，0），O2（﹣1，1），且圆心O2（﹣1，1）在圆O1上，因为圆O2的半径不确定，所以均有可能．故选：D．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）（2019春•武汉期末）若f（n）表示n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1＝197，1+9+7＝17，f（14）＝17，记f1（n）＝f（n），f2（n）＝f[f1（n）]，…，fk+1（n）＝f[fk（n）]，k∈N*，则f2019（8）的值是（）A．3 B．5 C．8 D．11【考点】归纳推理．【专题】计算题；整体思想；综合法；推理和证明；运算求解．【答案】C【分析】计算f1（8）＝11，f2（8）＝5，f3（8）＝8，归纳推理得到fn（8）是以3为周期的循环数列，从而得到f2019（8）的值．【解答】解：由82+1＝65，∴f（8）＝11，即f1（8）＝11，由112+1＝122，∴f（11）＝5，即f2（8）＝5，由52+1＝26，∴f（5）＝8，即f3（8）＝8，……，∴fn（8）是以3为周期的循环数列，又∵2019÷3＝673，余数为0，∴f2019（8）＝f3（8）＝8，故选：C．【点评】本题主要考查了合情推理中的归纳推理，是基础题．5．（5分）（2021•陕西模拟）P是双曲线M：x24-y25=1右支上第一象限内的一点，F1，F2是左、右焦点，△PF1F2的内切圆是圆C，当圆CA．±43 B．43或0 C．0 【考点】双曲线的几何特征．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】由双曲线的方程可得a，b，c的值，由内切圆的面积可得内切圆的半径，再由双曲线的定义及内切圆的性质可得圆心的坐标，设直线PF2的方程，求出圆心到直线的距离等于内切圆的半径可得直线PF2的斜率．【解答】解：由双曲线的方程可得a＝2，b=5，所以c＝3由题意可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4，且|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝12，由圆C的面积为4π可得内切圆的半径为2，设内切圆与边的切点分别为Q，S，R，如图所示：则|PQ|＝|PS|，|QF1|＝|F1R|，|SF2|＝|F2R|，由双曲线的定义可得：|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4，所以可得|F1R|﹣|F2R|＝4，即（c+xR）﹣（c﹣xR）＝4，解得xR＝2，即R（2，0），所以圆心C（2，2），设直线PF2D的方程为：y＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k＝0，圆心C到直线的距离d=|2k-2-3k|1+解得：k=43或故选：D．【点评】本题考查双曲线的性质及内切圆的性质，点到直线的距离的公式的求法，属于中档题．6．（5分）平行于向量a→=（1，3，﹣A．114（1，﹣3，﹣2） B．114（﹣1，3，﹣2C．114（1，3，﹣2） D．114（﹣1，3，【考点】空间向量及其线性运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】直接利用平行向量和单位向量的应用求出结果．【解答】解：平行于向量a→=（1，3，﹣2）的一个单位向量为故选：C．【点评】本题考查的知识要点：单位向量，向量的共线，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（5分）（2023秋•禄劝县校级期末）抛物线2x2＝y的焦点到准线的距离为（）A．116 B．18 C．14 【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】把抛物线化为标准形式，求出p的值，即可得出抛物线的焦点到准线的距离．【解答】解：抛物线2x2＝y可化为x2=12因为2p=12，所以p所以抛物线的焦点到准线的距离为14故选：C．【点评】本题考查了抛物线的标准方程应用问题，是基础题．8．（5分）（2020•道里区校级四模）已知圆C1：x2+y2﹣kx﹣y＝0和圆C2：x2+y2﹣2ky﹣1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx+ny＝2上，则m2A．15 B．55 C．255【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】把两圆方程作差消去二次项，可得两圆的公共弦所在直线方程，由直线系方程求得定点M的坐标，代入直线mx+ny＝2，得m与n的关系，再把m2+n2转化为关于m的二次函数求最值．【解答】解：由圆C1：x得两圆公共弦所在直线方程为kx+（1﹣2k）y﹣1＝0，即k（x﹣2y）+y﹣1＝0．联立x-2y=0y-1=0∴M（2，1），又点M在直线mx+ny＝2上，∴2m+n＝2，即n＝2﹣2m．∴m2当m=45时，m2故选：C．【点评】本题考查直线与圆位置关系，直线系方程与圆的方程，训练了利用二次函数求最值，是中档题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2022秋•温州期中）若两直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m与l2：2x+（5+m）y＝8互相平行，则（）A．m＝﹣7 B．m＝﹣1 C．l1与l2之间的距离为212D．与l1、l2距离相等的点的轨迹方程为4x﹣4y+5＝0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条平行直线间的距离；轨迹方程．【专题】计算题；对应思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】ACD【分析】利用两条直线平行的充要条件判断AB，利用两平行直线间的距离公式判断CD．【解答】解：∵两直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m与l2：2x+（5+m）y＝8互相平行，∴（3+m）（5+m）＝4×2，即m2+8m+7＝0，∴m＝﹣7或m＝﹣1，检验，当m＝﹣7时，两直线l1：2x﹣2y+13＝0与l2：2x﹣2y﹣8＝0平行，当m＝﹣1时，两直线l1：x+2y﹣4＝0与l2：x+2y﹣4＝0重合，∴m＝﹣7，∴A正确，B错误，∵l1与l2的距离为|13+8|4+4=21设与l1，l2距离相等的点为（x，y），则|2x-2y+13|4+4整理得，4x﹣4y+5＝0，∴与l1，l2距离相等的点的轨迹方程为4x﹣4y+5＝0，∴D正确，故选：ACD．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，两平行直线间的距离公式，属于中档题．（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．平面内与定点F1（﹣1，0），F2（1，0）距离之和等于4的点的轨迹方程x24B．平面内与定点A（﹣3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹方程为x24C．点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是M，点A的坐标是A（1，0），则|PA|+|PM|的最小值是2+1D．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是17-【考点】轨迹方程；抛物线的焦点与准线．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】AD【分析】根据圆锥曲线的定义及性质，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：对A选项，∵平面内与定点F1（﹣1，0），F2（1，0）距离之和等于4＞|F1F2|＝2，∴该动点的轨迹是以F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆，∴2c＝2，2a＝4，∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴x24+对B选项，∵平面内与定点A（﹣3，0）和B（3，0）的距离之差等于4＜|AB|＝6，∴该动点的轨迹是以A（﹣3，0）和B（3，0）为焦点的双曲线的右支，∴2c＝6，2a＝4，∴a＝2，c＝3，∴b2＝c2﹣a2＝5，∴x24-y25=1对C选项，∵抛物线x2＝4y的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，又点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是M，点A的坐标是A（1，0），∴|PA|+|PM|＝|PA|+（|PM|+p2）-p2=|PA|+|PF|-p当且仅当F，P，A三点共线时，等号成立，∴C选项错误；对D选项，根据抛物线的定义可知点P到抛物线的准线距离等于|PF|，又圆M：x2+（y﹣4）2＝1的圆心M（0，4），半径r＝1，又F（1，0），∴所求即为：|PQ|+|PF|≥|FM|﹣r=17-当且仅当M，Q，P，F四点共线时，等号成立，∴D选项正确．故选：AD．【点评】本题考查圆锥曲线的定义与性质，化归转化思想，属中档题．（多选）11．（5分）下列各命题正确的是（）A．点（﹣1，﹣2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3） B．点（12，1，﹣3）关于y轴的对称点（-12，1，C．点（2，﹣1，3）到平面Oyz的距离为1 D．设m为任一实数，则点（2，m，1）表示的图形是与平面Oxz垂直的一条直线【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中的点的坐标．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】直接利用点关于线和面的对称的应用求出结果．【解答】解：对于A：点（1，﹣2，3）关于平面Ozx的对称点为（1，2，3），故A正确；对于B：点（12，1，﹣3）关于y轴的对称点为（-12，1，3对于C：点（2，﹣1，3）到平面Oyz的距离为2，故C错误；对于D：设m为任一实数，则由空间直角坐标系的性质得：点（2，m，1）表示的图形是与平面Oxz垂直的一条直线，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间直角坐标系，点关于线和关于面的对称等基础知识，是基础题．（多选）12．（5分）（2023春•浙江月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确是（）A．若Sn=2B．若an＝21﹣2n，则Sn的最大值为100 C．若an+1＝an+n，则2S8＝S9+S7﹣8 D．若an=1×【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】BCD【分析】根据所给Sn与an分别求a1判断A，根据通项公式分析项的符号的变化可求最值判断B，由Sn与an关系可得2Sn＝Sn+1+Sn﹣1﹣n即可判断C，由组合数的性质及等比数列的求和公式可化简判断D．【解答】解：对A，因为S1=21-2=0，而a1=对B，若an＝21﹣2n，则n≤10时an＞0，而当n＞11时，an＜0，所以Sn的最大值为S10对C，若an+1＝an+n，则Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+n⇒2Sn＝Sn+1+Sn﹣1﹣n⇒2S8＝S9+S7﹣8，故正确；对D，因为kCnk则1a故选：BCD．【点评】本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2015春•厦门期末）已知x2+y2+x+3y+tanθ＝0（-π2＜θ＜π2）表示圆，则【考点】二元二次方程表示圆的条件．【专题】计算题；直线与圆．【答案】见试题解答内容【分析】将方程配方成标准形式，利用方程表示一个圆，可得1﹣tanθ＞0，结合-π2＜θ＜【解答】解：方程x2+y2+x+3y+tanθ＝0进行配方，得（x+12）2+（y+32）2∵x2+y2+x+3y+tanθ＝0（-π2∴1﹣tanθ＞0，∵-π2＜∴θ∈(-故答案为：(-【点评】本题给出二次曲线方程表示一个圆，求参数的取值范围，着重考查了圆的方程的几种形式及其相互转化的知识，属于基础题．14．（5分）在数列{an}中，若an=2n+1，n为奇数2n，n为偶数，则a4【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】27．【分析】根据数列的通项公式，求出相应的项，可得答案．【解答】解：由题意可得a4=24=16，a5＝2故a4+a5＝27．故答案为：27．【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于基础题．15．（5分）（2024秋•福州期中）设F1，F2是椭圆x225+y216=1的两个焦点，点M在椭圆上，若△MF1F2是直角三角形，则△MF1F【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】485【分析】令|F1M|＝m、|MF2|＝n，由椭圆的定义可得m+n＝2a①，Rt△F1MF2中，由勾股定理可得n2﹣m2＝36②，由①②可得m、n的值，利用△F1PF2的面积求得结果．【解答】解：由椭圆的方程可得a＝5，b＝4，c＝3，令|F1M|＝m、|MF2|＝n，由椭圆的定义可得m+n＝2a＝10①，∵c＜b，∴直角顶点不可能是M．∴Rt△MF1F2中，由勾股定理可得n2﹣m2＝36②，由①②可得m=165，n∴△MF1F2的面积是12•6•16故答案为：485【点评】本题主要考查椭圆的定义及几何性质，直角三角形相关结论，基础题，涉及椭圆“焦点三角形”问题，通常要利用椭圆的定义．16．（5分）（2022•齐齐哈尔二模）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，现将△ACD沿对角线AC折起，得到四面体D﹣ABC，若异面直线BC与AD所成角为π3，则|BD|＝3或1；若二面角D﹣AC﹣B的大小为π3，则|BD|【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑思维；直观想象；运算求解．【答案】3或1；72【分析】根据题意可作出草图可知|BD→|=|BC→+CA→+AD→|，根据向量的数量积，可得|BD→|=2-2cosθ，其中θ为CB→与AD→的夹角；因为异面直线BC与AD所成角为π3，所以θ=π3或2π3，由此即可求出结果；在矩形ABCD中，作BE⊥AC交AC于点E，DF⊥AC交AC于点F，再作EG⊥AC交CD于点G，则EG∥DF，所以二面角D﹣AC﹣B的平面角为∠BEG．设∠BEG＝【解答】解：如图所示：在矩形ABCD中，AB=3，BC=1在四面体D﹣ABC中，|BD=1+4+1-2-2-2|CB→|⋅|AD→|⋅cosθ若异面直线BC与AD所成角为π3，则θ=π3或θ=2π3经检验BD=3或1均满足题意，故BD=3或在矩形ABCD中，作BE⊥AC交AC于点E，DF⊥AC交AC于点F，在四面体D﹣ABC中，作EG⊥AC交CD于点G，则EG∥DF，所以二面角D﹣AC﹣B的平面角为∠BEG．设∠BEG＝α，因为BE=DF=BC⋅cos30°=32，所以EF＝AC﹣2CE＝AC﹣2BC又四面体D﹣ABC可知，BE⊥EF，DF⊥EF，则BE→而|=3若二面角D﹣AC﹣B的大小为π3，则α=π3，所以|故答案为：3或1；72【点评】本题主要考查异面直线所成的角，线面角的相关计算，考查了空间想象能力，属于中等题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022春•潍坊期中）已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a2＝b2，b3+b2＝a6．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）an（2）Tn【分析】（1）设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据已知条件可出关于q、d的方程组，解出这两个量的值，可求得数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求得cn=2n+2n【解答】（1）解：设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a2＝b2得a1+d＝b1q，即2+d＝2q①，由b3+b2＝a6得b1q2+b1q=a1+5d，即2由①②解得d＝2，q＝2，所以，an（2）解：∵cn所以Tn＝（a1+a2+a3+⋯+an）+（b1+b2+b3+⋯+bn）=n(2+2n)【点评】本题考查了数列的递推式和分组求和，属于中档题．18．（12分）（2020•天心区校级开学）已知底面为正三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是棱A1B1，AB的中点，点A1在底面投影为AC边的中点O，A1C∩AC1＝P，A1F∩AE＝G．（1）证明：PG∥平面A1B1C1；（2）若AB＝6，AA1＝5，点M为棱A1B1上的动点，当直线AM与平面A1FC所成角的正弦值为322117时，求点M【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．【专题】对应思想；向量法；空间向量及应用；逻辑思维；直观想象；运算求解．【答案】（1）证明过程请看解答；（2）点M在靠近点A1的六等分点处．【分析】（1）由斜三棱柱的性质，可推出P为A1C的中点；易证四边形AFEA1为平行四边形，故G为A1F的中点，从而得PG∥CF，再结合线面平行的判定定理和面面平行的性质定理即可得证；（2）以O为原点、OB、OC、OA1所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出A、B、C、A1、F、B1的坐标，设A1M→=λA1B1→，λ∈[0，1]，可用含λ的式子表示点M的坐标，从而得AM→；根据法向量的性质求得平面A1FC的法向量n→，设直线AM与平面A1FC所成角为θ，则sin【解答】（1）证明：∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1各侧面均为平行四边形，∴P为A1C的中点，∵E，F分别是棱A1B1，AB的中点，∴A1E＝AF，又A1E∥AF，∴四边形AFEA1为平行四边形，∴G为A1F的中点，∴PG∥CF，∵PG⊄平面ABC，CF⊂平面ABC，∴PG∥平面ABC，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴PG∥平面A1B1C1．（2）解：∵点A1在底面投影为AC边的中点O，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥AC，A1O⊥OB，∵正△ABC，且O为AC的中点，∴AC⊥OB，故以O为原点、OB、OC、OA1所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（33，0，0），C（0，3，0），A1（0，0，4），F（332，-32，0），B1（3∴A1B1→=（33，3，0），A1C→=（0，3，﹣设A1M→=λA1B1→，λ∈[0，1]，则M（∴AM→=（33λ，3λ+3设平面A1FC的法向量为n→=（x，y，z），则令z＝3，则x=43，y＝4，∴n→=（43，设直线AM与平面A1FC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜AM→，n→＞|＝|33λ×43解得λ=16或∵λ∈[0，1]，∴λ=1∴当A1M→=16【点评】本题考查空间中线与面的平行关系、线面角的求法，熟练掌握线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．（12分）（2018秋•信阳期末）已知圆C的圆心在直线l：2x﹣y＝0上，且与直线l1：x﹣y+1＝0相切．（Ⅰ）若圆C与圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣76＝0外切，试求圆C的半径；（Ⅱ）满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由．【考点】过圆外一点的圆的切线方程．【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，2a），利用利用外切圆心距等于半径和，即可求出圆C的半径；（Ⅱ）如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点（1，2），对斜率分存在和不存在两种情况讨论，即可求出还存在一条公切线，其方程为7x﹣y+5＝0．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，2a），则半径r=|a-2a+1|两圆的连心线长为(a-1)2+(2a-2)2因为两圆外切，所以10r＝r+9，∴r=10+（Ⅱ）如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点（1，2），①若斜率不存在，则直线方程为：x＝1，圆心C到它的距离|a﹣1|＝r=|a-1|由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，所以它不是公切线，②若斜率存在，设公切线方程为：y﹣2＝k（x﹣1），则d=|ka-2a+2-k|1+k2=所以k2﹣8k+7＝0，解得k＝1或k＝7，当k＝1时，直线与l1重合，当k＝7时，直线方程为7x﹣y﹣5＝0，故还存在一条公切线，其方程为7x﹣y﹣5＝0．【点评】本题主要考查了求圆的标准方程，和直线与圆的位置关系，是中档题．20．（12分）（2023•河南模拟）如图，圆柱O1O2的侧面积为2π，高为1，AB为⊙O2的直径，C，D分别为⊙O1，⊙O2上的点，直线CD经过O1O2的中点O．（1）若AC＝BC，证明：AB⊥CD；（2）若直线CD与平面ABC所成角的正弦值为10535，求三棱锥D﹣ABC【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直．【专题】转化思想；向量法；综合法；空间位置关系与距离；空间角；立体几何；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）36【分析】（1）由已知条件通过证明AB⊥平面O1O2C，得到AB⊥CD．（2）延长DO2交⊙O2于点E，建立空间直角坐标系，设∠BAE＝θ（0＜θ＜90°），由已知条件解得θ，可求三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：（1）如图所示，连接O1C，O2C，O1D，O2D，因为C，O1，D，O2四点共面，由圆柱的结构特征可知O1C∥O2D．因为AC＝BC，O2为AB中点，所以AB⊥O2C，又AB⊥O1O2，O1O2∩O2C＝O2，所以AB⊥平面O1O2C，又CD⊂平面O1O2C，所以AB⊥CD．（2）延长DO2交⊙O2于点E，连接CE，则AE⊥BE，以E为坐标原点，EA→，EB→，EC→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E因为圆柱O1O2的侧面积为2π，高为1，则AB＝2，设∠BAE＝θ（0＜θ＜90°），则BE＝2sinθ，AE＝2cosθ，则有A（2cosθ，0，0），B（0，2sinθ，0），C（0，0，1），D（2cosθ，2sinθ，0），AC→=(-2cosθ，0，设平面ABC的法向量为n→由n→⋅AC→=0，n→⋅BC→则cos〈则sin22θ=34，又0所以sin2θ=32，故θ＝30°或故三棱锥D﹣ABC的体积VD-ABC【点评】本题主要考查线线垂直的证明，棱锥的体积公式，圆柱的结构特征，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．21．（12分）（2024•烟台模拟）对于数列{an}(n∈N*)，记Δan＝an+1﹣an，称数列{Δan}为数列{an}的一阶差分数列：记Δ2an＝Δ（Δan）＝Δan+1﹣Δan称数列{Δ2an}为数列{an}的二阶差分数列，…，一般地，对于k∈N，记Δk+1an=Δ(Δkan)=Δkan+1-Δkan，规定：Δ0an＝an，Δ1an＝Δan，称{Δkan}为数列{an}的（1）数列{n2}是否为k阶等差数列，如果是，求k值，如果不是，请说明为什么？（2）请用a1，Δa1，Δ2a1，Δ3a1，…表示a3，a4，并归纳出表示an的正确结论（不要求证明）；（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列{an}为k阶等差数列，则其前n项和为Sn（4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？【考点】数列的应用．【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】（1）以k＝2，数列{n2}是二阶等差数列；（2）an（3）证明见解析；（4）了22层．【分析】（1）由新定义可直接证明{n2}是k阶等差数列；（2）由Δk+1a1（3）首先证明数列0，S1，S2，S3…，Sn为k+1阶等差数列，再结合（2）可得Sn（4）由（3）得12+22+【解答】解：（1）因为Δa而△2an＝△（△an）＝△（2n+1）＝2（n+1）+1﹣（2n+1）＝2≠0，所以k＝2，数列{n2}是二阶等差数列；（2）因为数列{an}为k阶等差数列，则Δkan＝d≠0，则Δk+1a1则a2＝a1+Δa1，a3a4=(a=a归纳得一般结论：an（3）证明：设数列：0，S1，S2，S3，…，Sn，因为an＝Sn﹣Sn﹣1＝ΔSn﹣1（n≥2），ΔS1＝S1﹣0＝a1，所以数列0，S1，S2，S3…，Sn为k+1阶等差数列，由（2）中①得：Sn因为Δk+1S1（4）由（1）知数列{n2}为二阶等差数列，且Δa1＝4﹣1＝3，Δ2a1＝Δa2﹣Δa1＝（a3﹣a2）﹣（a2﹣a1）＝（9﹣4）﹣（4﹣1）＝2，则由（3）得：12+=1设共堆积了n层，第n层共有an个球，第1层有1个球，因为每层的“边”比上一层多1个球，所以第n层的“边”共有n个球，则第n层的球数为an则这n层所有球的个数为Sn由②式得：S=1解得n＝22．所以这位同学共堆积了22层．【点评】考查等差数列定义、通项、求和以及组合数性质，考查阅读理解能力、字母符号识别理解能力、归纳能力、转化能力、运算能力，属于难题．22．（12分）（2022•四川模拟）已知椭圆E：y2a2+x2b2=1（a＞（1）求椭圆E的方程；（2）设过点N（0，t）的动直线l与椭圆E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得1|NC|2+【考点】椭圆的定点及定值问题．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；直观想象；运算求解．【答案】(1)y（2）存在实数t=±215【分析】（1）根据题目信息得到关于a，b的方程组，求出a2＝4，b2＝1，得到椭圆方程；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况，进行求解，当直线斜率存在时，得到2t2+8＝﹣8t2+32，求出t=±【解答】解：（1）由题意得：2a＝4b，c=3，所以a＝2b，a2﹣b2＝3解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆E的方程为y2（2）设直线斜率存在时，设为y＝kx+t，与y24+x2=1联立得：（k2+4）x2+2ktx+t设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1因为|NC|2=(1+所以1=1当且仅当2t2+8＝﹣8t2+32，即t2=125，当直线斜率不存在时，C（0，﹣2），D（0，2），若t=±则1|NC故存在实数t=±2155，使得【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．

考点卡片1．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或⇔a1【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．2．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或a1＜3．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．4．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求数列{bn}的前分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26，解得a1＝∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n-1)2×2=n2（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即数列{bn}的前n项和Tn=n点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．5．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=s在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1;;n≥2s1;;n=1（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f(1)（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=a（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an=a（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．6．等差数列与等比数列的综合【知识点的认识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2、等比数列的性质．（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或⇔a1＜0q7．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥=138．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝902、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：9．空间中直线与平面之间的位置关系【知识点的认识】空间中直线与平面之间的位置关系：位置关系公共点个数符号表示图示直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线和平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线和平面平行无a∥α10．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．11．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．12．空间中的点的坐标【知识点的认识】1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（x113．空间向量及其线性运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|AB→|，|a特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作0→②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a→的相反向量记为-5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0→②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：a（2）结合律：(a3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：A1（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量A11．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|λ2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）结合律：λ(μ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±14．直线与平面所成的角【知识点的认识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，π2）；直线和平面所成的角的范围为[0，π22、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为a→，平面的法向量为u→，直线与平面所成的角为θ，a→与u→的夹角为φ，则有sinθ＝|cos15．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为u→和v→，若两个平面的夹角为（1）当0≤＜u→，v→＞≤π此时cosθ＝cos＜u→，（2）当π2＜＜u→，v→＞＜π时，θcosθ＝﹣cos＜u→，16．点、线、面间的距离计算【知识点的认识】17．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．范围：[0，π）（特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当a≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且tanα随【解题方法点拨】直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）直接根据直线斜率求倾斜角例：直线3x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：因为直线3x+y﹣1＝0的斜率为：-3直线的倾斜角为：α．所以tanα=-α＝120°故选C．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．（2）通过条件转换求直线倾斜角例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，∴直线AB的斜率k=4-13-0∴直线AB的倾斜角α＝45°．故选B．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．直线的一般式方程与直线的平行关系【知识点的认识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率为-（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔A1A2=B1B2≠C1C2；l1与l219．两条平行直线间的距离【知识点的认识】﹣平行直线方程：两条平行直线的方程为：直线Ax+By+C1＝0与直线Ax+By+C2＝0它们之间的距离为：d=【解题方法点拨】﹣计算距离：1．选择一条直线：选择其中一条直线计算点到另一条直线的距离．2．应用公式：用点到直线距离公式，其中点选择在第一条直线上的点．【命题方向】﹣平行直线距离：常考查计算两条平行直线间的垂直距离，涉及相似方程和坐标变换．20．二元二次方程表示圆的条件【知识点的认识】1、圆的定义：平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径．2、圆的标准方程：圆的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x2+y2＝r2．3、圆的一般方程：圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0．当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（-D2，-E当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（-D2，当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形．因此二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0．注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2+E2﹣4F＞0．21．过圆外一点的圆的切线方程【知识点的认识】﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式：(x-其中R是与圆外切的圆的半径．【解题方法点拨】﹣求切线方程：1．计算切点：找到外点到圆的距离，即切线半径．2．应用公式：使用切线方程公式计算得到切线方程．【命题方向】﹣外切线问题：考查如何找到通过圆外一点的切线方程，涉及到切线长度和几何计算．22．直线与圆的位置关系【知识点的认识】直线与圆的位置关系【解题方法点拨】判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d=①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由Ax+By+C=0x①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．23．圆与圆的位置关系及其判定【知识点的认识】圆与圆的位置关系【解题方法点拨】圆与圆的位置关系的判定设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断①外离（4条公切线）：d＞r1+r2②外切（3条公切线）：d＝r1+r2③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．24．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．25．椭圆的定点及定值问题【知识点的认识】定点问题涉及椭圆上的某点到固定点的距离、角度等特性．定值问题通常要求解决椭圆上的点的距离问题．【解题方法点拨】1．计算定点距离：利用椭圆的标准方程计算定点的距离．2．应用定值：解决与定值相关的