天津市西青区杨柳青一中2024-2025学年高三上学期第四次阶段性测试数学试题（含答案）

杨柳青一中2024-2025学年度第一学期高三年级第四次阶段性测试数学学科(2024.12)一.选择题:本题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填涂到答题卡上.1.已知全集U={1,2,A.{5}B.{2,8}2.“数列an为等差数列”是“a3+A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.如图所示,5个(x,y)数据,去掉D3,10A.相关系数r变小B.决定系数R2C.残差平方和变小D.解释变量x与预报变量y的相关性变弱4.函数fx=2A.B.C.D.5.已知2m=3n=A.3B.6C.8D.96.已知m,n为空间两条不同的直线,α,A.若m⊥α,n⊥α,则m//nC.若m//n,n//α,则m//α7.已知F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点,点A.x29−yC.x26−y8.已知函数fx=A①fx的图象关于点4π3②fx的图象关于直线x=−③fx的图象可由y=2sin2x−④若方程gx=ftxt>0在0,5π69.已知函数y=fx是定义域为R的偶函数,当x≥0时,fx=54sinπ2x,0≤xA.−52,−94二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.请将正确的答案填写到答题卡上.试题中包含2个空的,答对1个空的得3分,全部答对的得5分.10.已知i是虚数单位,复数z=11+3i1−2i,z为11.x−2xn12.已知fx=x2−lnx在x=113.已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的4个红球,3个白球和2个黑球.若不放回地摸球,每次摸1个球,摸取4次,则恰有3次摸到红球的概率为_____；若有放回地摸球,每次摸1个球,摸取3次,则摸到红球的次数X的期望为_____.14.所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面,其余各面叫作拟柱体的侧面,两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高.现有一拟柱体,上下底面均为正六边形,且下底面边长为4,上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点,高为2,则该拟柱体的体积为_____.15.已知平面向量a,b满足a=2,b≤1,且3b−2a≤2.记a三.解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a(1)求角C;(2)若cosA=64,求(3)若c=7,△ABC的面积为33217.(本小题满分15分)如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,AF⊥平面ABCD,EF//AB,AD=2,AB=(1)求证:BF//平面APC(2)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值；(3)求点F到平面ACP的距离.18.(本小题满分15分)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A−2,0,离心率为32,过点A(1)求椭圆的方程:(2)设点P为AD的中点.若x轴上存在点Q,对于任意的kk≠0,都有OP⊥(i)求出点Q的坐标；(ii)若1+4k2tan∠AQD19.(本小题满分15分)设数列an的前n项和为S(1)求an(2)求i=(3)若bn=ann,抽去数列bn中的第1项,第4项,第7项,……,第3n-2项,……余下的项顺序不变,组成一个新数列cn,若cn的前n项和为Tn,求证:20.(本小题满分16分)已知函数fx(1)当a=1时,求函数fx在点(2)若函数fx的最大值为1,求a(3)在(2)的条件下证明fx

2024-2025学年第一学期高三年级第四次阶段性测试数学学科答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.D6.C7.B8.C9.D二、填空题10.-5;12.24;13.1063;4314.三、解答题16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2cosCacosB(3)若c=7,△ABC的积为332【详解】(1)由正弦定理得,2cosC2∵C(2)A∴sinC∴cos2A(3)由余弦定理得c2=S∴则a+b=517.如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,AF⊥平面ABCD,EF//AB,AD=2,AB=(1)求证:BF//平面APC(2)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值;(3)求点F到平面ACP的距离.【详解】(1)连接BD,交AC于点O,由P,O分别为DF和DB的中点,得而PO⊂平面APC,BF⊄平面APC,所以BF//(2)由直线AF⊥平面ABCD,AB,AD⊂AF由矩形ABCD,得AD⊥AB,以A为原点,直线AB,AD,AF分别为x,BC设平面BCF的法向量n=x,y,z,则n⋅BC=设平面APC的法向量为m=a,b,c令b=−1,得所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为cos⟨n(3)由(2)知,平面APC的法向量m=2,−1,所以点F到平面ACP的距离d=18.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为直线l与椭圆交于点D与y轴交于点E.(1)求椭圆的方程；(2)设点P为AD的中点.若x轴上存在点Q,对于任意的kk≠0(O为原点).(i)求出点Q的坐标;(ii)若1+4k2tan∠AQD【详解】(I)由已知得a=2又∵e=c(II)(i)假设x轴上存在着点Qm,0使得设AD所在的直线方程为:y=kx+由x2+4y2−2E0∵OP解得m=−12∴x轴上存在着点Q−(ii)∵∴tan∠∴tan∠QA∴∴∴k19.设数列an的前n项和为(1)求an(2)求i=(3)若bn=ann,抽去数列bn中的第不变,组成一个新数列cn,若cn的前n项和为Tn,求证:当n为奇数时,【详解】(1)由Sn=n−1Sn−1=n当n=1时,代入上式,求得所以an(2)由(1)知,an则a则i=1==(3)由题知,bn所以数列cn为2它的奇数项组成以4为首项,公比为8的等比数列;偶数项组成以8为首项,公比为8的等比数列;∴当n为奇数,即n=2kT=TT∵5∴12(本小题满分16分)已知函数fx(1)当a=1时,求函数fx在点(2)若函数fx的最大值为1,求a(3)在(2)的条件下证明f【解析】(I)由题意x>k=f′1=(II)f′故当x∈0,ea−1时,f′x所以函数fx在x∈0,ea所以fx在x=ea−1处取到最大值,即(III)解法一:欲证fx≤e−2x令ℎx则ℎ′所以函数ℎ′x为增函数,又所以存在x0∈