上海市虹口区2024-2025学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试（一模）数学试卷（含答案）

虹口区2024学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学试卷2024.12考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．已知集合，，则．2．函数的定义域是________．3．若，则______．4．在的二项展开式中，项的系数为______．5．设且，则函数的图像恒过的定点坐标为________．6．若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_______．(结果保留)7．已知非零复数满足，，则的虚部为______．8．已知则的解集是______．第9题图9．如图，已知正三角形和正方形的边长均为，且二面角的大小为，则_______．第9题图10．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点，且，则的离心率为______．11．2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为，且在照片上飞船船体长度为，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了．假设该记者连按拍照键间的反应时间为，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为________．（用含有、、、的式子表示）12．已知项数为的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足，.若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13．已知，则“”是“”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要14．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（）．A．事件和事件独立B．事件和事件互斥C．事件和事件对立D．事件和事件互斥15．已知边长为的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为，若空间中的动点满足，、、，则点的轨迹所形成的几何体的体积为（）．A．B．C．D．16．设数列的前四项分别为、、、，对于以下两个命题，说法正确的是（）．①存在等比数列以及锐角，使成立．②对任意等差数列以及锐角，均不能使成立．A．①是真命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①是假命题，②是假命题三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤.17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)设．(1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；(2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值．18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点．(1)求证：∥平面；第18题图(2)若底面为梯形，∥，，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值．第18题图19．(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第2小题6分)2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为、、、、共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．第19题图1第19题图2(1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；(2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；(3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差．20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，设为上的一点．(1)当时，求的值；(2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围．21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)设，.若函数满足恒成立，则称函数具有性质．(1)判断是否具有性质，并说明理由；(2)设，若函数具有性质，求实数的取值范围；(3)设函数的定义域为，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数均具有性质．参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.13122 13.C 14.B 15.A 16.A17.（1）因为函数的最小正周期为，所以． 2分故． 4分由于，所以，故当，即时，取到最大值． 6分（2）当，所以．故当时，，即，由于为锐角，解得． 8分因为，可得． 10分所以． 12分等号当且仅当时成立，此时的最小值为． 14分18.（1）连接交于点，连接．由于是四棱柱且平面，故四边形为矩形，所以点为的中点，即与平行，且． 2分由于与平行，且，故与平行且相等，故四边形为平行四边形，所以与平行． 4分因为不在平面上，在平面上， 6分所以平面．（2）由于异面直线与所成角为且与平行，为与所成角（或其补角），所以，即． 8分以点为原点，分别以、、为、、轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，． 10分设为平面的一个法向量，则，取，可得． 12分设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为． 14分19.（1）， 2分所以第35百分位数为第7位和第8位数的平均数，故为68． 4分（2）这20名观众有2名的评分大于等于90分，18名的评分小于90分． 6分所以至少有1人的评分大于等于90分的概率为． 8分（3）由于分层抽样，故可得上的频率为，上的频率为．故评分位于上的频数为，位于上的频数为． 10分所以设这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，每个评分设为，；位于上的均值为73，方差为134.6，位于上的均值为与方差，每个评分设为，．所以，解得． 12分，即，解得． 14分所以位于上的均值为，方差为．20.（1）当时，． 2分故． 4分（2）若存在这样的点，由题可知，点到直线的距离． 6分故点为与直线相距且与直线平行的直线与椭圆的交点．直线，设，则，解得或者． 8分当时，，解得或；当时，，方程组无解，所以存在这样的点，且坐标为或． 10分（3）由题可知，直线的斜率必存在且不为零，设．则，化简得（*），设，，故． 12分因为，由于，可得． 14分取线段的中点，有．所以点的坐标为，故，化简得，有． 16分由于方程（*）有两个不同的解，故，代入化简得，故． 18分21.（1）记显然是偶函数.当时，，故， 2分所以对恒成立，具有性质. 4分（2）,当时，严格增；当时，严格减. 6分函数具有性质，故对恒成立.若，则，函数在上严格增，恒成立，此时函数具有性质.若，则函数在上严格减，，故函数不具有性质. 8分 若，则函数在上严格增，“对恒成立”等价于“对恒成立”.而在上严格减，在上严