新教材2025版高中数学第四章数列4.1数列的概念第2课时数列的递推公式学生用书新人教A版选择性必修第二册

第2课时数列的递推公式【课标解读】1.推断一个实数是否为某个数列的项．2．理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题．3．会用数列的前n项和与通项关系求通项公式．新知初探·课前预习——突出基础性【教材要点】要点一数列的递推公式假如一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式❶.批注❶用递推公式给出一个数列，必需给出：(1)“基础”—数列的第1项(或前几项)；(2)递推关系—数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．要点二数列的前n项和Sn与an的关系1．数列{an}的前n项和Sn：指数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，通常用________表示，即Sn＝________________；2．an与Sn的关系❷当n＝1时a1＝________；当n≥2时，an＝________；故an＝________批注❷(1)已知数列{an}的前n项和Sn求an，一般运用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，但必需留意它成立的条件(n≥2且n∈N*)．(2)由Sn－Sn－1求得的an，若当n＝1时an的值不等于S1的值，则数列的通项公式应采纳分段表示．【夯实双基】1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)递推公式也是表示数列的一种方法．()(2)全部数列都有递推公式．()(3)an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.()(4)利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}．()2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝()A．－3B．－11C．－5D．193．已知数列{an}满意a1＝2，an＝1＋1an-1A．2B．3C．53D．4．数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a3＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1数列通项公式的简洁应用例1已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项．(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．[听课记录]【方法总结】1.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．2．推断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．巩固训练1在数列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3.(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？(2)求数列中的最大项．题型2数列的递推公式例2依据下列条件，写出各数列的前5项．(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N，n≥1)；(2)a1＝1，an＋1＝an＋ann+1(n∈N，(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N，n≥1)．[听课记录]【方法总结】由递推公式写出数列的项的方法依据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清晰公式中各部分的关系，依次代入计算即可．巩固训练2已知数列{an}，a1＝1，且满意an＝3an－1＋-1n2(n∈N*，且n>1)，写出数列{题型3已知Sn求an例3已知数列{an}的前n项和Sn，满意关系lg(Sn－1)＝n(n∈N，n≥1)，求{an}的通项公式．[听课记录]【方法总结】已知Sn求an的一般步骤巩固训练3已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+n2(n∈(1)求S2，S3，a3；(2)求数列{an}的通项公式．第2课时数列的递推公式新知初探·课前预习[教材要点]要点一一个式子要点二1．Sna1＋a2＋a3＋…＋an2．S1Sn－Sn－1S1Sn－Sn－1[夯实双基]1．(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.答案：D3．解析：依据题意，a1＝2，a2＝1＋1a1＝32，a3＝1＋1答案：C4．解析：a3＝S3－S2＝(23-1)-(22-1)＝4.答案：4题型探究·课堂解透例1解析：(1)依据an＝3n2－28n，得a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，解得n＝7或n＝73∴－49是该数列的第7项．令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，解得n＝－2或n＝343∴68不是该数列的项．巩固训练1解析：(1)令an＝－107，即－2n2＋9n＋3＝－107，2n2－9n－110＝0，解得n＝10或n＝－112(舍去)．所以a10(2)an＝－2n2＋9n＋3＝－2(n－94)2＋105由于n∈N*，所以最大项为a2＝13.例2解析：(1)a1＝0，∴a2＝a1＋2×1－1＝1，a3＝a2＋2×2－1＝4，a4＝a3＋2×3－1＝9，a5＝a4＋2×4－1＝16.(2)∵a1＝1，∴a2＝a1＋a11+1＝32，a3＝a2＋a22+1＝2，a4＝a3＋a33+1＝52，(3)a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝5，a4＝3a3－2a2＝15－6＝9，a5＝3a4－2a3＝27－10＝17.巩固训练2解析：由题意，得a2＝3a1＋-122，而a1＝1，所以a2＝3×1＋-同理a3＝3a2＋-1a4＝3a3＋-142＝612，a5＝3a例3解析：由lg(Sn－1)＝n得Sn＝10n＋1，则n＝1时，a1＝S1＝11；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝9